A legkisebb közös többszörös legnagyobb közös osztójának megtalálása. Hogyan találjuk meg a számok legkisebb közös többszörösét

A "Több szám" témát az 5. osztályban tanulják középiskola. Célja a matematikai számítások írásbeli és szóbeli készségeinek fejlesztése. Ebben a leckében új fogalmakat vezetnek be - "többszörös számok" és "osztók", a természetes szám osztóinak és többszöröseinek megtalálásának technikáját, valamint az LCM különféle módon történő megtalálásának képességét.

Ez a téma nagyon fontos. Az ezzel kapcsolatos ismereteket a törtjeles példák megoldása során lehet alkalmazni. Ehhez meg kell találni a közös nevezőt a legkisebb közös többszörös (LCM) kiszámításával.

A többszöröse olyan egész szám, amely maradék nélkül osztható A-val.

Minden természetes számnak végtelen számú többszöröse van. A legkevesebbnek tartják. A többszörös nem lehet kisebb, mint maga a szám.

Be kell bizonyítani, hogy a 125 szám többszöröse az 5-nek. Ehhez az első számot el kell osztani a másodikkal. Ha 125 osztható 5-tel maradék nélkül, akkor a válasz igen.

Ez a módszer kis számok esetén alkalmazható.

Az LCM kiszámításakor vannak speciális esetek.

1. Ha meg kell találni egy közös többszöröst 2 számhoz (például 80 és 20), ahol az egyik (80) maradék nélkül osztható a másikkal (20), akkor ez a szám (80) a legkisebb ennek a két számnak a többszöröse.

LCM (80, 20) = 80.

2. Ha kettőnek nincs közös osztója, akkor azt mondhatjuk, hogy az LCM-jük ennek a két számnak a szorzata.

LCM (6, 7) = 42.

Tekintsük az utolsó példát. A 6 és 7 a 42-hez képest osztók. A többszöröst maradék nélkül osztják.

Ebben a példában a 6 és 7 párosztó. A szorzatuk megegyezik a legtöbb többszörös számmal (42).

Egy számot prímnek nevezünk, ha csak önmagával vagy 1-gyel osztható (3:1=3; 3:3=1). A többit kompozitnak nevezik.

Egy másik példában meg kell határoznia, hogy a 9 osztó-e 42-hez képest.

42:9=4 (a maradék 6)

Válasz: A 9 nem osztója 42-nek, mert a válasznak van maradéka.

Az osztó abban különbözik a többszöröstől, hogy az osztó az a szám, amellyel a természetes számokat osztjuk, és maga a többszörös is osztható ezzel a számmal.

A számok legnagyobb közös osztója aés b, megszorozva a legkisebb többszörösükkel, maguknak a számoknak a szorzatát adja aés b.

Nevezetesen: GCD (a, b) x LCM (a, b) = a x b.

Az összetettebb számok közös többszörösei a következő módon találhatók meg.

Például keresse meg a 168, 180, 3024 LCM-jét.

Ezeket a számokat prímtényezőkre bontjuk, hatványok szorzataként írjuk fel:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM (168, 180, 3024) = 15120.

Lancinova Aisa

Letöltés:

Előnézet:

A prezentációk előnézetének használatához hozzon létre egy Google-fiókot (fiókot), és jelentkezzen be: https://accounts.google.com

Diák feliratai:

Feladatok a GCD-hez és a számok LCM-éhez Az MKOU "Kamyshovskaya OOSh" 6. osztályos diákjának munkája Lantsinova Aisa Felügyelő Gorjajeva Zoja Erdnigorjajevna, matematika tanár o. Kamyshovo, 2013

Példa az 50, 75 és 325 számok GCD-jének megtalálására. 1) Bontsuk fel az 50, 75 és 325 számokat prímtényezőkre. 50 = 2 ∙ 5 ∙ 5 75 = 3 ∙ 5 ∙ 5 325 = 5 ∙ 5 ∙ 13 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 oszd meg maradék nélkül az a és b számokat e számok legnagyobb közös osztójának nevezzük.

Példa a 72, 99 és 117 számok LCM-jének megtalálására. 1) Tényezőzzük a 72, 99 és 117 számokat. Írjuk fel a 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3∙ számok egyikének bővítésében szereplő tényezőket. 3, és add hozzá a fennmaradó számok hiányzó tényezőit. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Határozza meg a kapott tényezők szorzatát! 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Válasz: LCM (72, 99 és 117) = 10296 Az a és b természetes számok legkisebb közös többszöröse a legkisebb természetes szám, amely a többszöröse és b.

Egy kartonlap téglalap alakú, melynek hossza 48 cm, szélessége 40 cm. Ezt a lapot hulladék nélkül egyenlő négyzetekre kell vágni. Melyek a legnagyobb négyzetek, amelyek ebből a lapból nyerhetők, és hány? Megoldás: 1) S = a ∙ b a téglalap területe. S \u003d 48 ∙ 40 = 1960 cm². a karton területe. 2) a - a négyzet oldala 48: a - a karton hosszában elhelyezhető négyzetek száma. 40: a - a karton szélességében elhelyezhető négyzetek száma. 3) GCD (40 és 48) \u003d 8 (cm) - a négyzet oldala. 4) S \u003d a² - egy négyzet területe. S \u003d 8² \u003d 64 (cm².) - egy négyzet területe. 5) 1960: 64 = 30 (négyzetek száma). Válasz: 30 négyzet egyenként 8 cm-es oldallal. Feladatok a GCD-hez

A szobában lévő kandallót négyzet alakú befejező csempével kell elhelyezni. Hány csempe kell egy 195 ͯ 156 cm-es kandallóhoz, és mik azok legnagyobb méretek csempe? Megoldás: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm ²) - S a kandalló felületétől. 2) GCD (195 és 156) = 39 (cm) - a csempe oldala. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) - 1 csempe területe. 4) 30420: = 20 (darab). Válasz: 20 db 39 ͯ 39 (cm) méretű lapka. Feladatok a GCD-hez

A kerület mentén 54 × 48 m nagyságú kerti telket be kell keríteni, ehhez rendszeres időközönként betonoszlopokat kell elhelyezni. Hány oszlopot kell hozni a helyszínre, és az oszlopok egymástól milyen maximális távolságra állnak? Megoldás: 1) P = 2(a + b) – telephely kerülete. P \u003d 2 (54 + 48) \u003d 204 m. 2) GCD (54 és 48) \u003d 6 (m) - az oszlopok közötti távolság. 3) 204: 6 = 34 (pillérek). Válasz: 34 pillér, 6 m távolságra GCD feladatok

210 bordóból 126 fehér, 294 vörös rózsa csokor gyűlt össze, és minden csokorban egyenlő az azonos színű rózsák száma. Melyik a legnagyobb számban ezekből a rózsákból készült csokrok és hány rózsa van egy csokorban minden színből? Megoldás: 1) GCD (210, 126 és 294) = 42 (csokrok). 2) 210:42 = 5 (bordó rózsák). 3) 126:42 = 3 (fehér rózsák). 4) 294:42 = 7 (vörös rózsák). Válasz: 42 csokor: 5 bordó, 3 fehér, 7 piros rózsa minden csokorban. Feladatok a GCD-hez

Tanya és Masha ugyanannyi postafiókot vásárolt. Tanya 90 rubelt fizetett, Masha pedig 5 rubelt. több. Mennyibe kerül egy szett? Hány készletet vettek mindegyik? Megoldás: 1) Masha 90 + 5 = 95 (rubelt) fizetett. 2) GCD (90 és 95) = 5 (rubel) - 1 készlet ára. 3) 980: 5 = 18 (szett) - Tanya vásárolta. 4) 95: 5 = 19 (készletek) - Mása vásárolt. Válasz: 5 rubel, 18 készlet, 19 készlet. Feladatok a GCD-hez

A kikötővárosban három turistahajó-kirándulás indul, amelyek közül az első 15, a második 20, a harmadik pedig 12 napig tart. A kikötőbe visszatérve a hajók ugyanazon a napon ismét útra indulnak. Ma mindhárom útvonalon motorhajók hagyták el a kikötőt. Hány nap múlva hajóznak először együtt? Hány utat tesz meg egy hajó? Megoldás: 1) NOC (15.20 és 12) = 60 (nap) - találkozási idő. 2) 60: 15 = 4 (utak) - 1 hajó. 3) 60: 20 = 3 (utazás) - 2 motoros hajó. 4) 60: 12 = 5 (utazás) - 3 motoros hajó. Válasz: 60 nap, 4 repülés, 3 repülés, 5 repülés. Feladatok a NOC számára

Masha tojást vásárolt a Medvének a boltban. Az erdő felé vezető úton rájött, hogy a tojások száma osztható 2, 3, 5, 10 és 15-tel. Hány tojást vett Masha? Megoldás: LCM (2;3;5;10;15) = 30 (tojás) Válasz: Masha vett 30 tojást. Feladatok a NOC számára

A 16 × 20 cm-es dobozok egymásra rakásához négyszögletes fenekű dobozt kell készíteni, melyik legyen a négyzet alakú fenék legrövidebb oldala, hogy a dobozok szorosan illeszkedjenek a dobozba? Megoldás: 1) NOC (16 és 20) = 80 (dobozok). 2) S = a ∙ b 1 doboz területe. S \u003d 16 ∙ 20 \u003d 320 (cm ²) - 1 doboz aljának területe. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (cm ²) - négyzet alakú alsó terület. 4) S \u003d a² \u003d a ∙ a 25600 \u003d 160 ∙ 160 - a doboz méretei. Válasz: 160 cm a négyzet alakú alsó oldala. Feladatok a NOC számára

A K ponttól induló út mentén 45 méterenként villanyoszlopok találhatók, és úgy döntöttek, hogy ezeket az oszlopokat cserélik ki, egymástól 60 m távolságra. Hány rúd volt és hányan fognak állni? Megoldás: 1) NOK (45 és 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 - oszlopok voltak. 3) 180: 60 = 3 - voltak oszlopok. Válasz: 4 oszlop, 3 oszlop. Feladatok a NOC számára

Hány katona vonul fel a felvonulási téren, ha 12 fős alakulatban vonulnak fel egy sorban, és egy sorban 18 fős oszloppá változnak? Megoldás: 1) NOC (12 és 18) = 36 (fő) - menetelés. Válasz: 36 fő. Feladatok a NOC számára

A diákok sok matematikai feladatot kapnak. Közöttük nagyon gyakran vannak a következő megfogalmazású feladatok: két érték van. Hogyan találjuk meg a megadott számok legkisebb közös többszörösét? Szükséges az ilyen feladatok elvégzése, hiszen az elsajátított készségeket a különböző nevezőjű törtekkel való munkavégzésre használják fel. A cikkben elemezzük, hogyan találjuk meg az LCM-et és az alapfogalmakat.

Mielőtt megtalálná a választ arra a kérdésre, hogy hogyan találja meg az LCM-et, meg kell határoznia a többszörös kifejezést. Ennek a fogalomnak a megfogalmazása leggyakrabban a következő: valamilyen A érték többszöröse egy természetes szám, amely maradék nélkül osztható A-val. Tehát 4, 8, 12, 16, 20 stb. a szükséges határértéket.

Ebben az esetben egy adott érték osztóinak száma korlátozható, és végtelenül sok többszöröse van. Ugyanez vonatkozik a természeti értékekre is. Ez egy mutató, amelyet maradék nélkül osztanak el. Miután foglalkoztunk bizonyos mutatók legkisebb értékének fogalmával, térjünk át a megtalálásának módjára.

A NOC megtalálása

Két vagy több kitevő legkisebb többszöröse az a legkisebb természetes szám, amely teljes mértékben osztható az összes adott számmal.

Számos módja van egy ilyen érték megtalálásának. Tekintsük a következő módszereket:

1. Ha a számok kicsik, akkor írja be a sorba az összes osztható vele. Addig csináld ezt, amíg valami közöset nem találsz köztük. A rekordban K betűvel vannak jelölve. Például 4 és 3 esetén a legkisebb többszörös 12.
2. Ha ezek nagyok, vagy 3 vagy több érték többszörösét kell találnia, akkor itt más technikát kell használnia, amely magában foglalja a számok prímtényezőkre történő felosztását. Először rakja ki a jelzett közül a legnagyobbat, majd az összes többit. Mindegyiknek megvan a maga szorzószáma. Példaként bontsuk fel a 20-at (2*2*5) és az 50-et (5*5*2). A kisebbiknél húzza alá a tényezőket, és adja hozzá a legnagyobbhoz. Az eredmény 100 lesz, ami a fenti számok legkisebb közös többszöröse.
3. 3 szám (16, 24 és 36) keresésekor az elvek ugyanazok, mint a másik kettőnél. Bővítsük ki mindegyiket: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. A 16-os szám kibővítéséből mindössze két kettőt nem vettünk bele a legnagyobbak bontásába, ezeket összeadva 144-et kapunk, ami a legkisebb eredmény a korábban feltüntetett számértékekre.

Most már tudjuk, mi az általános technika két, három vagy több érték legkisebb értékének meghatározására. Vannak azonban privát módszerek is, segít a NOC-ok felkutatásában, ha az előzőek nem segítenek.

Hogyan lehet megtalálni a GCD-t és a NOC-t.

Privát keresési módok

Mint minden matematikai résznél, itt is vannak speciális esetek az LCM-ek megtalálásában, amelyek bizonyos helyzetekben segítenek:

• ha az egyik szám maradék nélkül osztható a többivel, akkor e számok legkisebb többszöröse egyenlő vele (NOC 60 és 15 egyenlő 15-tel);
• A másodprímszámoknak nincs közös prímosztójuk. Legkisebb értékük e számok szorzatával egyenlő. Így a 7-es és 8-as számok esetében ez 56 lesz;
• ugyanez a szabály más esetekben is működik, beleértve a speciális eseteket is, amelyekről a szakirodalomban olvashatunk. Ide tartoznak az összetett számok dekompozíciójának esetei is, amelyek külön cikkek, sőt Ph.D. értekezések tárgyát képezik.

A speciális esetek kevésbé gyakoriak, mint a szabványos példák. De nekik köszönhetően megtanulhatja, hogyan kell dolgozni a különböző bonyolultságú frakciókkal. Ez különösen igaz a törtekre., ahol különböző nevezők vannak.

Néhány példa

Nézzünk néhány példát, amelyeknek köszönhetően megértheti a legkisebb többszörös megtalálásának elvét:

1. LCM-et találunk (35; 40). Először 35 = 5*7, majd 40 = 5*8 rakjuk ki. A legkisebb számhoz hozzáadunk 8-at, és megkapjuk a NOC 280-at.
2. NOC (45; 54). Mindegyiket kirakjuk: 45 = 3*3*5 és 54 = 3*3*6. A 6-os számot hozzáadjuk 45-höz. A NOC értéke 270.
3. Nos, az utolsó példa. Van 5 és 4. Nincsenek egyszerű többszöröseik, így ebben az esetben a legkisebb közös többszörösük lesz a szorzatuk, ami egyenlő 20-zal.

A példáknak köszönhetően megértheti, hogyan található a NOC, mik az árnyalatok és mi az ilyen manipulációk jelentése.

A NOC megtalálása sokkal könnyebb, mint elsőre tűnik. Ehhez mind az egyszerű bővítést, mind a szorzást használják. egyszerű értékek Egymás. Az ezzel a matematikai részleggel való munkavégzés képessége segít a matematikai témák további tanulmányozásában, különös tekintettel a különböző összetettségű töredékekre.

Ne felejtse el rendszeresen megoldani a példákat különböző módszerekkel, ez fejleszti a logikai apparátust, és lehetővé teszi számos kifejezés emlékezését. Tanuljon meg módszereket egy ilyen mutató megtalálására, és jól tud majd dolgozni a többi matematikai szakaszsal. Boldog matematika tanulást!

Videó

Ez a videó segít megérteni és emlékezni arra, hogyan találja meg a legkisebb közös többszöröst.

Azt a legnagyobb természetes számot nevezzük, amellyel az a és b számok maradék nélkül oszthatók legnagyobb közös osztó ezeket a számokat. Jelölje GCD(a, b).

Fontolja meg a GCD megtalálását két természetes szám 18 és 60 példáján:

1 Bontsuk fel a számokat prímtényezőkre:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

2 Töröljük az első szám bővítéséből az összes olyan tényezőt, amely nem szerepel a második szám bővítésében, kapjuk 2×3×3 .

3 A fennmaradó prímtényezőket áthúzás után megszorozzuk, és megkapjuk a számok legnagyobb közös osztóját: gcd ( 18 , 60 )=2×3= 6 .

4 Vegyük észre, hogy mindegy, hogy az első vagy a második számból kihúzzuk a tényezőket, az eredmény ugyanaz lesz:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

324 , 111 és 432

Bontsuk fel a számokat prímtényezőkre:

324 = 2×2×3×3×3×3

111 = 3×37

432 = 2×2×2×2×3×3×3

Töröljük az első számból, amelynek tényezői nincsenek a második és harmadik számban, kapjuk:

2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3

A GCD( 324 , 111 , 432 )=3

GCD keresése Euklidész algoritmusával

A második módszer a legnagyobb közös osztó megtalálására Euklidész algoritmusa. Euklidész algoritmusa a leginkább hatékony mód lelet GCD, használatával folyamatosan meg kell találni a számok felosztásának maradékát és alkalmazni kell visszatérő képlet.

Ismétlődő képlet GCD esetében, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), ahol a mod b az a b-vel való osztásának maradéka.

Euklidész algoritmusa

Példa Keresse meg a számok legnagyobb közös osztóját 7920 és 594

Keressük a GCD( 7920 , 594 ) az Euklidész algoritmus segítségével kiszámítjuk az osztás maradékát egy számológép segítségével.

GCD( 7920 , 594 )

GCD( 594 , 7920 mod 594 ) = gcd( 594 , 198 )

GCD( 198 , 594 mod 198 ) = gcd( 198 , 0 )

GCD( 198 , 0 ) = 198

• 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
• 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0

Ennek eredményeként a GCD( 7920 , 594 ) = 198

Legkisebb közös többszörös

Ahhoz, hogy a különböző nevezőjű törtek összeadásakor és kivonásakor közös nevezőt találjon, ismernie kell és számolnia kell legkisebb közös többszörös(NEM C).

Az "a" szám többszöröse olyan szám, amely maradék nélkül osztható az "a" számmal.

Azok a számok, amelyek a 8 többszörösei (azaz ezeket a számokat maradék nélkül osztják 8-cal): ezek a 16, 24, 32 ...

9 többszörösei: 18, 27, 36, 45…

Egy adott a számnak végtelen sok többszöröse van, ellentétben ugyanazon szám osztóival. Osztók - véges szám.

Két természetes szám közös többszöröse olyan szám, amely egyenlően osztható mindkét számmal..

Legkisebb közös többszörös A két vagy több természetes szám (LCM) a legkisebb természetes szám, amely önmagában osztható ezekkel a számokkal.

Hogyan lehet megtalálni a NOC-ot

Az LCM kétféleképpen kereshető és írható.

Az LCM megtalálásának első módja

Ezt a módszert általában kis számoknál alkalmazzák.

1. Minden szám többszörösét írjuk egy sorba, amíg nem lesz olyan többszörös, amely mindkét számra azonos.
2. Az "a" szám többszörösét nagy "K" betű jelöli.

Példa. Keresse meg az LCM 6-ot és 8-at.

Az LCM megtalálásának második módja

Ez a módszer kényelmesen használható három vagy több szám LCM-jének megkeresésére.

Az azonos tényezők száma a számok bővítésében eltérő lehet.

A kisebb szám (kisebb számok) bővítésében húzza alá azokat a tényezőket, amelyek nem szerepeltek a nagyobb szám bővítésében (példánkban ez 2), és adja hozzá ezeket a tényezőket a nagyobb szám bővítéséhez.
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2

A kapott munkát válaszként rögzítse.
Válasz: LCM (24, 60) = 120

A legkisebb közös többszörös (LCM) megtalálását az alábbiak szerint is formalizálhatja. Keressük meg az LCM-et (12, 16, 24) .

24 = 2 2 2 3

Ahogy a számok bővítéséből is látható, a 24 (a számok közül a legnagyobb) kiterjesztésében a 12 minden tényezője benne van, így a 16-os szám bővítéséből csak egy 2-t adunk az LCM-hez.

LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

Válasz: LCM (12, 16, 24) = 48

A NOC-ok megtalálásának speciális esetei

Ha az egyik szám egyenlően osztható a többivel, akkor ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse egyenlő ezzel a számmal.

Például LCM(60, 15) = 60
Mivel a másodprímszámoknak nincs közös prímosztójuk, a legkisebb közös többszörösük egyenlő ezeknek a számoknak a szorzatával.

Oldalunkon speciális számológép segítségével is megkeresheti a legkevésbé gyakori többszöröst online, és ellenőrizheti számításait.

Ha egy természetes szám csak 1-gyel és önmagával osztható, akkor prímnek nevezzük.

Bármely természetes szám mindig osztható 1-gyel és önmagával.

A 2-es szám a legkisebb prímszám. Ez az egyetlen páros prímszám, a többi prímszám páratlan.

Sok prímszám van, és ezek közül az első a 2. Utolsó prímszám azonban nincs. A "Tanulmányozáshoz" részben letöltheti a prímszámok táblázatát 997-ig.

De sok természetes szám egyenletesen osztható más természetes számokkal.

• a 12-es szám osztható 1-gyel, 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 6-tal, 12-vel;
• A 36 osztható 1-gyel, 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 6-tal, 12-vel, 18-mal, 36-tal.

Azokat a számokat, amelyekkel a szám egyenletesen osztható (12 esetén ezek 1, 2, 3, 4, 6 és 12), a szám osztóinak nevezzük.

Az a természetes szám osztója olyan természetes szám, amely az adott "a" számot maradék nélkül osztja.

A kettőnél több tényezőből álló természetes számot összetett számnak nevezzük.

Vegye figyelembe, hogy a 12-es és 36-os számoknak közös osztói vannak. Ezek a számok: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ezeknek a számoknak a legnagyobb osztója a 12.

Két adott „a” és „b” szám közös osztója az a szám, amellyel mindkét adott „a” és „b” szám maradék nélkül el van osztva.

Legnagyobb közös osztó(gcd) két adott szám „a” és „b” értéke legnagyobb számban, amellyel az "a" és a "b" szám egyaránt osztható maradék nélkül.

Röviden, az "a" és "b" számok legnagyobb közös osztóját a következőképpen írjuk fel:

Példa: gcd (12; 36) = 12 .

A megoldásrekordban a számok osztóit nagy "D" betű jelöli.

A 7-es és 9-es számoknak csak egy közös osztójuk van - az 1-es szám. Az ilyen számokat hívják prímszámok.

Második prímszámok természetes számok, amelyeknek csak egy közös osztójuk van - az 1. GCD-jük 1.

Hogyan találjuk meg a legnagyobb közös osztót

Két vagy több természetes szám gcd-jének megtalálásához a következőkre lesz szüksége:

• bontsuk fel a számok osztóit prímtényezőkre;

A számítások kényelmesen írhatók függőleges sáv segítségével. A sor bal oldalán először írja le az osztalékot, jobbra - az osztót. Tovább a bal oldali oszlopba írjuk fel a privát értékeit.

Azonnal magyarázzuk el egy példával. Tényezőzzük a 28 és 64 számokat prímtényezőkké.

Húzza alá mindkét számban ugyanazt a prímtényezőt!
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
Megkeressük az azonos prímtényezők szorzatát, és felírjuk a választ;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4

Válasz: GCD (28; 64) = 4

A GCD helyét kétféleképpen rendezheti el: oszlopban (ahogyan fentebb) vagy „egy sorban”.

A GCD írásának első módja

Keresse meg a GCD 48-at és 36-ot.

GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

A GCD írásának második módja

Most írjuk egy sorba a GCD keresési megoldást. Keresse meg a GCD 10-et és 15-öt.

Információs oldalunkon online is megtalálhatja a legnagyobb közös osztót a helper programmal a számítások ellenőrzéséhez.

A legkisebb közös többszörös megtalálása, módszerek, példák az LCM megtalálására.

Az alábbiakban bemutatott anyag logikus folytatása az LCM - Least Common Multiple címszó alatti cikk elméletének, definíció, példák, kapcsolat az LCM és a GCD között. Itt fogunk beszélni a legkisebb közös többszörös megtalálása (LCM), és fordítson különös figyelmet a példák megoldására. Először is mutassuk meg, hogyan számítják ki két szám LCM-jét e számok GCD-je alapján. Ezután fontolja meg a legkisebb közös többszörös megtalálását úgy, hogy a számokat prímtényezőkké alakítja. Ezt követően három vagy több szám LCM-jének megkeresésére összpontosítunk, és figyelmet fordítunk a negatív számok LCM-jének kiszámítására is.

Oldalnavigáció.

A legkisebb közös többszörös (LCM) kiszámítása a gcd-n keresztül

A legkisebb közös többszörös megtalálásának egyik módja az LCM és a GCD közötti kapcsolat. Az LCM és a GCD közötti kapcsolat lehetővé teszi két pozitív egész legkisebb közös többszörösének kiszámítását az ismert legnagyobb közös osztón keresztül. A megfelelő képletnek van formája LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Tekintsen példákat az LCM megtalálására a fenti képlet szerint.

Határozzuk meg a 126 és 70 két szám legkisebb közös többszörösét!

Ebben a példában a=126 , b=70 . Használjuk az LCM kapcsolatát a GCD-vel, amelyet az LCM(a, b)=a b képlet fejez ki: GCM(a, b) . Azaz először meg kell találnunk a 70 és 126 számok legnagyobb közös osztóját, ami után a felírt képlet alapján ki tudjuk számítani ezeknek a számoknak az LCM-jét.

Keresse meg a gcd(126, 70) értéket Euklidész algoritmusával: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , ebből következően gcd(126, 70)=14 .

Most megtaláljuk a szükséges legkisebb közös többszöröst: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .

Mi az LCM(68, 34)?

Mivel 68 egyenletesen osztható 34-gyel, akkor gcd(68, 34)=34 . Most kiszámítjuk a legkisebb közös többszöröst: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .

Figyeljük meg, hogy az előző példa megfelel a következő szabálynak az a és b pozitív egész számok LCM-jének meghatározására: ha az a szám osztható b -vel, akkor ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a .

Az LCM megkeresése a számok prímtényezőkbe való faktorálásával

A legkisebb közös többszörös megtalálásának másik módja a számok prímtényezőkbe való faktorálása. Ha ezeknek a számoknak az összes prímtényezőjéből szorzatot készítünk, majd ebből a szorzatból kizárunk minden olyan gyakori prímtényezőt, amely e számok kiterjesztésében jelen van, akkor a kapott szorzat egyenlő lesz e számok legkisebb közös többszörösével.

Az LCM megtalálásának meghirdetett szabálya az LCM(a, b)=a b egyenlőségből következik: GCD(a, b) . Valóban, az a és b számok szorzata egyenlő az a és b számok kiterjesztésében részt vevő összes tényező szorzatával. A gcd(a, b) viszont egyenlő minden olyan prímtényező szorzatával, amelyek egyidejűleg jelen vannak az a és b számok kiterjesztésében (amelyet a gcd megtalálása a számok prímtényezőkre történő felosztásával című részben ismertetünk ).

Vegyünk egy példát. Tudjuk, hogy 75=3 5 5 és 210=2 3 5 7 . Állítsa össze ezen bővítések összes tényezőjének szorzatát: 2 3 3 5 5 5 7 . Most ebből a szorzatból kizárjuk mindazon tényezőket, amelyek mind a 75-ös, mind a 210-es szám kiterjesztésében jelen vannak (ilyenek a 3-as és az 5-ös tényezők), ekkor a szorzat 2 3 5 5 7 alakot ölt. Ennek a szorzatnak az értéke egyenlő 75 és 210 legkisebb közös többszörösével, azaz LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .

Miután a 441-es és 700-as számokat prímtényezőkké alakította, keresse meg e számok legkisebb közös többszörösét.

Bontsuk fel a 441 és 700 számokat prímtényezőkre:

441=3 3 7 7 és 700=2 2 5 5 7 kapjuk.

Most készítsünk szorzatot az összes tényezőből, amely részt vesz ezeknek a számoknak a bővítésében: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Zárjuk ki ebből a szorzatból mindazokat a tényezőket, amelyek mindkét bővítésben egyidejűleg jelen vannak (egyetlen ilyen tényező van - ez a 7-es szám): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Tehát LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

LCM(441; 700) = 44 100 .

Az LCM megtalálásának szabálya a számok prímtényezőkre történő felbontásával egy kicsit másképp is megfogalmazható. Ha a b szám bővítéséből hiányzó tényezőket összeadjuk az a szám bővítéséből származó tényezőkkel, akkor a kapott szorzat értéke egyenlő lesz az a és b számok legkisebb közös többszörösével.

Vegyük például ugyanazokat a 75-ös és 210-es számokat, prímtényezőkre való kiterjesztéseik a következők: 75=3 5 5 és 210=2 3 5 7 . A 75-ös szám bővítéséből származó 3-as, 5-ös és 5-ös faktorokhoz hozzáadjuk a 210-es szám bővítéséből hiányzó 2-es és 7-es tényezőket, így a 2 3 5 5 7 szorzatot kapjuk, melynek értéke LCM(75 , 210) .

Keresse meg 84 és 648 legkisebb közös többszörösét.

Először megkapjuk a 84 és 648 számok prímtényezőkre való felosztását. Így néznek ki: 84=2 2 3 7 és 648=2 2 2 3 3 3 3. A 2, 2, 3 és 7 faktorokhoz a 84-es szám bővítéséből hozzáadjuk a hiányzó 2, 3, 3 és 3 faktorokat a 648-as szám bővítéséből, így a 2 2 2 3 3 3 3 7 szorzatot kapjuk, ami egyenlő 4 536 . Így a 84 és 648 számok kívánt legkisebb közös többszöröse 4536.

Három vagy több szám LCM-jének megkeresése

Három vagy több szám legkisebb közös többszöröse úgy található meg, hogy egymás után megkeresi két szám LCM-jét. Idézzük fel a megfelelő tételt, amely lehetőséget ad három vagy több szám LCM-jének megtalálására.

Legyenek adottak a 1, a 2, …, a k pozitív egészek, ezeknek a számoknak az m k legkisebb közös többszöröse a szekvenciális számításban található m 2 = LCM (a 1, a 2) , m 3 = LCM (m 2, a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Tekintsük ennek a tételnek az alkalmazását négy szám legkisebb közös többszörösének megtalálásának példáján.

Keresse meg a négy szám 140, 9, 54 és 250 LCM-jét.

Először azt találjuk, hogy m 2 = LCM (a 1, a 2) = LCM (140, 9). Ehhez az euklideszi algoritmus segítségével meghatározzuk a gcd(140, 9) , 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , ezért gcd( 140,9)=1, innen LCM(140,9)=1409: GCD(140,9)=140 9:1=1260. Azaz m 2 =1 260 .

Most azt találjuk, hogy m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54). Számítsuk ki a gcd(1 260, 54) -n keresztül, amit szintén az Euklidész algoritmus határoz meg: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Ekkor gcd(1 260, 54)=18 , innen LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Vagyis m 3 \u003d 3 780.

Meg kell találni, hogy m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250). Ehhez az Euklidész algoritmussal keressük meg a GCD(3 780, 250) értéket: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Ezért gcd(3 780, 250)=10, tehát LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500. Vagyis m 4 \u003d 94 500.

Tehát az eredeti négy szám legkisebb közös többszöröse 94 500.

LCM(140;9;54;250)=94500.

Sok esetben három vagy több szám legkisebb közös többszörösét kényelmesen megtalálhatjuk adott számok prímtényezőivel. Ebben az esetben a következő szabályt kell követni. Több szám legkisebb közös többszöröse egyenlő a szorzattal, amely a következőképpen áll össze: a második szám bővítéséből hiányzó tényezőket hozzáadjuk az első szám bővítéséből származó összes tényezőhöz, a hiányzó tényezőket az első szám bővítéséből. a harmadik számot hozzáadjuk a kapott tényezőkhöz, és így tovább.

Tekintsünk egy példát a legkisebb közös többszörös megtalálására a számok prímtényezőkre történő felosztásával.

Határozzuk meg öt szám legkisebb közös többszörösét 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Először is megkapjuk ezeknek a számoknak a prímtényezőkre való felosztását: 84=2 2 3 7, 6=2 3, 48=2 2 2 2 3 , 7 (a 7 egy prímszám, egybeesik a prímtényezőkre való felosztásával) és 143=11 13 .

Ezen számok LCM-jének megtalálásához az első 84-es szám faktoraihoz (ezek 2, 2, 3 és 7) hozzá kell adni a második 6-os szám bővítéséből hiányzó tényezőket. A 6-os szám bővítése nem tartalmaz hiányzó tényezőket, hiszen a 2-es és a 3-as is jelen van már az első 84-es szám bővítésében. A 2-es, 2-es, 3-as és 7-es faktorokhoz hozzáadjuk a 48-as harmadik szám kibontásából a hiányzó 2-es és 2-es faktorokat, így a 2, 2, 2, 2, 3 és 7 faktorok halmazát kapjuk. Ehhez a halmazhoz a következő lépésben nem kell faktorokat hozzáadni, mivel a 7 már benne van. Végül a 2 , 2 , 2 , 2 , 3 és 7 faktorokhoz hozzáadjuk a 143 szám bővítéséből hiányzó 11 és 13 faktorokat. A 2 2 2 2 3 7 11 13 szorzatot kapjuk, ami egyenlő 48 048-cal.

Ezért LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

LCM(84;6;48;7;143)=48048.

A negatív számok legkevésbé gyakori többszörösének megkeresése

Néha vannak olyan feladatok, amelyekben meg kell találni a számok legkisebb közös többszörösét, amelyek közül egy, több vagy az összes szám negatív. Ezekben az esetekben minden negatív számot az ellentétes számra kell cserélni, ami után meg kell találni a pozitív számok LCM-jét. Így lehet megtalálni a negatív számok LCM-jét. Például LCM(54, -34)=LCM(54, 34) és LCM(-622, -46, -54, -888)= LCM(622, 46, 54, 888) .

Ezt azért tehetjük meg, mert a többszöröseinek halmaza megegyezik −a többszöröseinek halmazával (a és −a ellentétes számok). Valóban, legyen b a többszöröse, akkor b osztható a -val, és az oszthatóság fogalma egy olyan q egész létezését állítja, hogy b=a q . De igaz lesz a b=(−a)·(−q) egyenlőség is, ami ugyanazon oszthatósági koncepció alapján azt jelenti, hogy b osztható −a -val, azaz b -a többszöröse. A fordított állítás is igaz: ha b -a többszöröse, akkor b is a többszöröse.

Határozzuk meg a −145 és −45 negatív számok legkisebb közös többszörösét.

Cseréljük ki a −145 és −45 negatív számokat a velük szemben álló 145 és 45 számokra. LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) van. Miután meghatároztuk a gcd(145, 45)=5 értéket (például az Euklidész algoritmussal), kiszámítjuk az LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 értéket. Így a −145 és −45 negatív egész számok legkisebb közös többszöröse 1305 .

www.cleverstudents.ru

Továbbra is tanulmányozzuk az osztást. Ebben a leckében olyan fogalmakat fogunk megvizsgálni, mint pl GCDés NEM C.

GCD a legnagyobb közös osztó.

NEM C a legkisebb közös többszörös.

A téma meglehetősen unalmas, de meg kell érteni. Ennek a témának a megértése nélkül nem fog tudni hatékonyan dolgozni a törtekkel, amelyek igazi akadályt jelentenek a matematikában.

Legnagyobb közös osztó

Meghatározás. A számok legnagyobb közös osztója aés b aés b maradék nélkül felosztva.

Annak érdekében, hogy jól megértsük ezt a definíciót, a változók helyett helyettesítünk aés b tetszőleges két szám például változó helyett a cserélje ki a 12-es számot, és a változó helyett b 9. Most próbáljuk meg elolvasni ezt a definíciót:

A számok legnagyobb közös osztója 12 és 9 a legnagyobb szám, amellyel 12 és 9 maradék nélkül felosztva.

A definícióból kitűnik, hogy a 12 és 9 számok közös osztójáról beszélünk, és ez az osztó a legnagyobb az összes létező osztó közül. Ezt a legnagyobb közös osztót (gcd) meg kell találni.

Két szám legnagyobb közös osztójának megtalálásához három módszert használunk. Az első módszer meglehetősen időigényes, de lehetővé teszi, hogy jól megértse a téma lényegét, és érezze annak teljes jelentését.

A második és harmadik módszer meglehetősen egyszerű, és lehetővé teszi a GCD gyors megtalálását. Mindhárom módszert megvizsgáljuk. És mit kell alkalmazni a gyakorlatban - Ön választja.

Az első módszer az, hogy megkeressük két szám összes lehetséges osztóját, és kiválasztjuk közülük a legnagyobbat. Tekintsük ezt a módszert a következő példában: Keresse meg a 12 és 9 számok legnagyobb közös osztóját.

Először megkeressük a 12 szám összes lehetséges osztóját. Ehhez a 12-t felosztjuk az 1-től 12-ig terjedő tartományban lévő összes osztóra. Ha az osztó lehetővé teszi, hogy maradék nélkül osszuk el a 12-t, akkor azt kék színnel kiemeljük, és a megfelelő magyarázatot zárójelben.

12: 1 = 12
(12 osztva 1-gyel maradék nélkül, tehát 1 osztója 12-nek)

12: 2 = 6
(12 osztva 2-vel maradék nélkül, tehát 2 osztója 12-nek)

12: 3 = 4
(12 osztva 3-mal maradék nélkül, tehát a 3 a 12 osztója)

12: 4 = 3
(12 osztva 4-gyel maradék nélkül, tehát a 4 a 12 osztója)

12:5 = 2 (2 maradt)
(12 nem osztható 5-tel maradék nélkül, tehát az 5 nem osztója 12-nek)

12: 6 = 2
(12 osztva 6-tal maradék nélkül, tehát a 6 a 12 osztója)

12: 7 = 1 (5 maradt)
(12 nem osztható 7-tel maradék nélkül, így a 7 nem osztója 12-nek)

12: 8 = 1 (4 maradt)
(A 12 nem osztható 8-cal maradék nélkül, így a 8 nem osztója 12-nek)

12:9 = 1 (3 maradt)
(A 12 nem osztható 9-cel maradék nélkül, így a 9 nem osztója 12-nek)

12:10 = 1 (2 maradt)
(12 nem osztható 10-zel maradék nélkül, így a 10 nem osztója 12-nek)

12:11 = 1 (1 maradt)
(A 12 nem osztható 11-gyel maradék nélkül, így a 11 nem osztója 12-nek)

12: 12 = 1
(12 osztva 12-vel maradék nélkül, tehát a 12 a 12 osztója)

Most keressük meg a 9-es szám osztóit. Ehhez ellenőrizze az összes osztót 1-től 9-ig

9: 1 = 9
(9 osztva 1-gyel maradék nélkül, tehát 1 osztója 9-nek)

9: 2 = 4 (1 maradt)
(9 nem osztható 2-vel maradék nélkül, így a 2 nem osztója 9-nek)

9: 3 = 3
(9 osztva 3-mal maradék nélkül, tehát a 3 a 9 osztója)

9: 4 = 2 (1 maradt)
(9 nem osztható 4-gyel maradék nélkül, így a 4 nem osztója 9-nek)

9:5 = 1 (4 maradt)
(9 nem osztható 5-tel maradék nélkül, tehát az 5 nem osztója 9-nek)

9: 6 = 1 (3 maradt)
(9 nem osztott 6-tal maradék nélkül, így a 6 nem osztója a 9-nek)

9:7 = 1 (2 maradt)
(9 nem osztható 7-tel maradék nélkül, így a 7 nem osztója 9-nek)

9:8 = 1 (1 maradt)
(9 nem osztható 8-cal maradék nélkül, így a 8 nem osztója a 9-nek)

9: 9 = 1
(9 osztva 9-cel maradék nélkül, tehát a 9 a 9 osztója)

Most írja le mindkét szám osztóit. A kékkel kiemelt számok az osztók. Írjuk ki őket:

Az osztók kiírása után azonnal meghatározhatja, hogy melyik a legnagyobb és leggyakoribb.

Definíció szerint a 12 és 9 legnagyobb közös osztója az a szám, amellyel 12 és 9 egyenletesen osztható. A 12 és 9 számok legnagyobb és közös osztója a 3

A 12 és a 9 is osztható 3-mal maradék nélkül:

Tehát gcd (12 és 9) = 3

A GCD megtalálásának második módja

Most fontolja meg a második módszert a legnagyobb közös osztó megtalálására. lényeg ez a módszer mindkét számot prímtényezőkké alakítjuk, és a közöseket megszorozzuk.

1. példa. Keresse meg a 24 és 18 számok GCD-jét

Először is számoljuk mindkét számot prímtényezőkké:

Most megszorozzuk a közös tényezőket. A megzavarás elkerülése érdekében a közös tényezőket aláhúzhatjuk.

Megnézzük a 24-es szám dekompozícióját. Ennek első tényezője 2. Ugyanezt a faktort keressük a 18-as szám felbontásában, és azt látjuk, hogy ott is van. Mind a kettőt aláhúzzuk:

Megint a 24-es szám dekompozícióját nézzük. Második tényezője is 2. Ugyanezt a faktort keressük a 18-as szám felbontásában, és azt látjuk, hogy másodszorra nincs ott. Akkor nem emelünk ki semmit.

A 24-es szám bővítésében a következő kettő hiányzik a 18-as szám bővítéséből is.

Áttérünk a 24-es szám dekompozíciójának utolsó tényezőjére. Ez a 3-as tényező. Ugyanezt a faktort keressük a 18-as szám felbontásában, és azt látjuk, hogy ott is van. Mindkét hármat hangsúlyozzuk:

Tehát a 24 és 18 számok közös tényezői a 2-es és 3-as tényezők. A GCD kiszámításához ezeket a tényezőket meg kell szorozni:

Tehát gcd (24 és 18) = 6

A harmadik módja a GCD megtalálásának

Most nézzük meg a harmadik módot a legnagyobb közös osztó megtalálására. Ennek a módszernek az a lényege, hogy a legnagyobb közös osztóra keresendő számokat prímtényezőkre bontjuk. Ezután az első szám dekompozíciójából törlődnek azok a tényezők, amelyek nem szerepelnek a második szám dekompozíciójában. Az első bővítmény fennmaradó számai megszorozódnak, és GCD-t kapnak.

Például keressük meg így a 28-as és 16-os számok GCD-jét. Először is ezeket a számokat prímtényezőkre bontjuk:

Két bővítést kaptunk: és

Most az első szám bővítéséből töröljük azokat a tényezőket, amelyek nem szerepelnek a második szám bővítésében. A második szám bővítése nem tartalmazza a hetest. Töröljük az első bővítményből:

Most megszorozzuk a fennmaradó tényezőket, és megkapjuk a GCD-t:

A 4 a 28 és 16 számok legnagyobb közös osztója. Mindkét szám osztható 4-gyel maradék nélkül:

2. példa Keresse meg a 100 és 40 számok GCD-jét

A 100-as szám faktorálása

A 40-es szám faktorálása

Két bővítést kaptunk:

Most az első szám bővítéséből töröljük azokat a tényezőket, amelyek nem szerepelnek a második szám bővítésében. A második szám bővítése nem tartalmaz egy ötöst (csak egy ötös van). Az első dekompozícióból töröljük

Szorozzuk meg a fennmaradó számokat:

A 20-as választ kaptuk. Tehát a 20 a 100 és 40 legnagyobb közös osztója. Ez a két szám maradék nélkül osztható 20-zal:

GCD (100 és 40) = 20.

3. példa Keresse meg a 72 és 128 számok gcd-jét

A 72-es szám faktorálása

A 128-as szám faktorálása

2×2×2×2×2×2×2

Most az első szám bővítéséből töröljük azokat a tényezőket, amelyek nem szerepelnek a második szám bővítésében. A második szám bővítése nem tartalmaz két hármast (egyáltalán nincs). Töröljük őket az első bővítményből:

A 8-as választ kaptuk. Tehát a 8-as szám a 72 és 128 számok legnagyobb közös osztója. Ez a két szám maradék nélkül osztható 8-cal:

GCD (72 és 128) = 8

GCD keresése több számhoz

A legnagyobb közös osztó több számra is megtalálható, nem csak kettőre. Ehhez a legnagyobb közös osztóra keresendő számokat prímtényezőkre bontjuk, majd megkeressük e számok közös prímtényezőinek szorzatát.

Például keressük meg a 18, 24 és 36 számok GCD-jét

A 18-as szám faktorálása

A 24-es szám faktorálása

A 36-os szám faktorálása

Három bővítményt kaptunk:

Most kiválasztjuk és aláhúzzuk ezekben a számokban a közös tényezőket. Mindhárom számban szerepelnie kell a közös tényezőknek:

Látjuk, hogy a 18-as, 24-es és 36-os számok közös tényezői a 2-es és 3-as faktorok. Ezeket a tényezőket megszorozva megkapjuk a keresett GCD-t:

A 6-os választ kaptuk. Tehát a 6-os szám a 18, 24 és 36 számok legnagyobb közös osztója. Ez a három szám maradék nélkül osztható 6-tal:

GCD (18, 24 és 36) = 6

2. példa Keresse meg a gcd-t a 12, 24, 36 és 42 számokhoz

Tényezőzzünk minden számot. Ezután megtaláljuk e számok közös tényezőinek szorzatát.

A 12-es szám faktorálása

A 42-es szám faktorálása

Négy bővítést kaptunk:

Most kiválasztjuk és aláhúzzuk ezekben a számokban a közös tényezőket. A közös tényezőket mind a négy számnak tartalmaznia kell:

Látjuk, hogy a 12-es, 24-es, 36-os és 42-es számok közös tényezői a 2-es és 3-as tényezők. Ezeket a tényezőket megszorozva megkapjuk a keresett GCD-t:

A 6-os választ kaptuk. Tehát a 6-os szám a 12, 24, 36 és 42 számok legnagyobb közös osztója. Ezek a számok maradék nélkül oszthatók 6-tal:

gcd(12, 24, 36 és 42) = 6

Az előző leckéből tudjuk, hogy ha egy számot maradék nélkül osztunk el egy másikkal, akkor ezt a szám többszörösének nevezzük.

Kiderült, hogy a többszörös több szám közös lehet. És most két szám többszörösére leszünk kíváncsiak, miközben a lehető legkisebbnek kell lennie.

Meghatározás. A számok legkisebb közös többszöröse (LCM). aés b- aés b aés szám b.

A definíció két változót tartalmaz aés b. Helyettesítsük be ezeket a változókat tetszőleges két számmal. Például változó helyett a cserélje ki a 9-es számot, és a változó helyett b cseréljük be a 12-es számot. Most próbáljuk meg elolvasni a definíciót:

A számok legkisebb közös többszöröse (LCM). 9 és 12 - ez legkisebb szám, ami egy többszörös 9 és 12 . Más szóval, ez egy olyan kis szám, amely maradék nélkül osztható a számmal 9 és a számon 12 .

A definícióból egyértelmű, hogy az LCM a legkisebb szám, amely maradék nélkül osztható 9-el és 12-vel. Ezt az LCM-et meg kell találni.

A legkisebb közös többszörös (LCM) megtalálásának két módja van. Az első módszer az, hogy felírhatja két szám első többszörösét, majd kiválaszthatja a többszörösei közül egy olyan számot, amely mind a számoknál, mind a kicsinél közös lesz. Alkalmazzuk ezt a módszert.

Először is keressük meg a 9-es szám első többszörösét. A 9 többszöröseinek kereséséhez ezt a kilencet meg kell szoroznia az 1-től 9-ig terjedő számokkal. A kapott válaszok a 9-es szám többszörösei lesznek. Kezdjük. A többszörösek pirossal lesznek kiemelve:

Most megtaláljuk a 12-es szám többszörösét. Ehhez megszorozzuk a 12-t az 1-től 12-ig terjedő számokkal.

A legnagyobb közös osztó és a legkisebb közös többszörös olyan kulcsfontosságú aritmetikai fogalmak, amelyek lehetővé teszik a könnyű műveleteket közönséges törtek. LCM és leggyakrabban több tört közös nevezőjének megtalálására használják.

Alapfogalmak

Egy X egész szám osztója egy másik Y egész szám, amellyel X maradék nélkül osztható. Például 4 osztója 2, 36 pedig 4, 6, 9. Az X egész szám többszöröse egy Y szám, amely maradék nélkül osztható X-szel. Például a 3 a 15 többszöröse, a 6 pedig a 12 többszöröse.

Bármely számpárhoz megtalálhatjuk közös osztójukat és többszöröseiket. Például 6-ra és 9-re a közös többszörös 18, a közös osztó pedig 3. Nyilvánvaló, hogy a pároknak több osztója és többszöröse is lehet, így a számításokhoz a GCD legnagyobb osztóját és az LCM legkisebb többszörösét használjuk. .

A legkisebb osztónak nincs értelme, mivel bármely szám esetén mindig egy. A legnagyobb többszörös is értelmetlen, mivel a többszörösek sorozata a végtelenbe hajlik.

GCD keresése

Számos módszer létezik a legnagyobb közös osztó megtalálására, amelyek közül a leghíresebbek:

• osztók szekvenciális felsorolása, közösek kiválasztása egy párhoz és a legnagyobb keresése;
• a számok felosztása oszthatatlan tényezőkre;
• Euklidész algoritmusa;
• bináris algoritmus.

Ma az oktatási intézményekben a prímtényezőkre való bontás legnépszerűbb módszerei és az euklideszi algoritmus. Ez utóbbit pedig a diofantini egyenletek megoldásában használják: a GCD keresése szükséges ahhoz, hogy ellenőrizzük az egyenlet egész számokban való feloldásának lehetőségét.

A NOC megtalálása

A legkisebb közös többszöröst is pontosan meghatározza az iteratív felsorolás vagy oszthatatlan faktorokká alakítás. Ezenkívül könnyű megtalálni az LCM-et, ha a legnagyobb osztó már meghatározásra került. Az X és Y számok esetében az LCM és a GCD a következő összefüggéssel függ össze:

LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).

Például, ha gcd(15,18) = 3, akkor LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Az LCM legkézenfekvőbb használata a közös nevező megtalálása, amely a legkisebb közös többszöröse. adott törtek.

Második prímszámok

Ha egy számpárnak nincs közös osztója, akkor az ilyen párokat koprímnek nevezzük. Az ilyen párok GCM-je mindig egyenlő eggyel, és az osztók és többszörösek összekapcsolása alapján a koprím GCM-je megegyezik a szorzatukkal. Például a 25 és 28 számok koprímek, mert nincs közös osztójuk, és LCM(25, 28) = 700, ami megfelel a szorzatuknak. Bármely két oszthatatlan szám mindig másodprím lesz.

Közös osztó és többszörös számológép

Számológépünkkel tetszőleges számú számhoz kiszámolhatja a GCD-t és az LCM-et. A közös osztók és többszörösek kiszámítására szolgáló feladatok az 5. és 6. osztályos aritmetikában találhatók, azonban a GCD és az LCM a matematika kulcsfogalmai, és a számelméletben, a planimetriában és a kommunikációs algebrában használatosak.

Példák az életből

Törtek közös nevezője

A legkisebb közös többszöröst több tört közös nevezőjének megtalálásakor használjuk. Tegyük fel, hogy egy aritmetikai feladatban 5 törtet kell összeadni:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Törtek hozzáadásához a kifejezést közös nevezőre kell redukálni, ami az LCM megtalálásának problémájává redukálódik. Ehhez válasszon ki 5 számot a számológépben, és írja be a nevező értékeit a megfelelő cellákba. A program kiszámítja az LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360 értéket. Most minden törthez további tényezőket kell kiszámítania, amelyek az LCM és a nevező arányaként vannak meghatározva. Tehát az extra szorzók így néznek ki:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Ezt követően az összes törtet megszorozzuk a megfelelő kiegészítő tényezővel, és megkapjuk:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Könnyen összeadhatjuk az ilyen törteket, és az eredményt 159/360 formában kapjuk meg. Csökkentjük a törtet 3-mal, és látjuk a végső választ - 53/120.

Lineáris diofantin egyenletek megoldása

A lineáris diofantin egyenletek ax + by = d alakú kifejezések. Ha a d / gcd(a, b) arány egész szám, akkor az egyenlet egész számokban megoldható. Nézzünk meg néhány egyenletet az egész megoldás lehetőségére. Először ellenőrizze a 150x + 8y = 37 egyenletet. Számológép segítségével azt találjuk, hogy gcd (150,8) = 2. Osztás 37/2 = 18,5. A szám nem egész szám, ezért az egyenletnek nincs egész gyöke.

Ellenőrizzük az 1320x + 1760y = 10120 egyenletet. Számológép segítségével keressük meg a gcd(1320, 1760) = 440 értéket. Oszd meg 10120/440 = 23. Ennek eredményeként egész számot kapunk, tehát a Diofantin együttható kiegyenlíthető együtthatója .

Következtetés

NOD és NOC játék nagy szerepet a számelméletben, magukat a fogalmakat pedig széles körben használják a matematika különböző területein. Számításhoz használja kalkulátorunkat legnagyobb osztóiés tetszőleges számú szám legkisebb többszörösei.