Hogyan találjuk meg a legkisebb közös többszöröst. Miért érdemes bevezetni a „legnagyobb közös osztó (GCD)” és a „legkisebb közös többszörös (LCM)” fogalmát egy iskolai matematika tanfolyamon?

Tekintsük a következő probléma megoldását. A fiú lépése 75 cm, a lányé 60 cm Meg kell találni azt a legkisebb távolságot, amelyen mindketten egész számú lépést tesznek meg.

Döntés. Az egész utat, amelyen a srácok végigmennek, oszthatónak kell lennie 60-nal és 70-nel maradék nélkül, mivel mindegyiküknek egész számú lépést kell megtennie. Más szavakkal, a válasznak 75 és 60 többszörösének kell lennie.

Először kiírjuk a 75-ös szám összes többszörösét.

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Most írjuk ki azokat a számokat, amelyek 60 többszörösei lesznek.

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Most megtaláljuk azokat a számokat, amelyek mindkét sorban vannak.

• A számok közös többszörösei a számok, 300, 600 stb.

Közülük a legkisebb a 300. Ebben az esetben a 75 és 60 számok legkisebb közös többszörösének nevezzük.

Visszatérve a probléma feltételére, a legkisebb távolság, amelyen a srácok egész számú lépést tesznek meg, 300 cm lesz, a fiú 4 lépésben, a lánynak 5 lépésben kell megtennie ezt az utat.

A legkisebb közös többszörös megtalálása

• Két a és b természetes szám legkisebb közös többszöröse az a legkisebb természetes szám, amely a és b többszöröse.

Ahhoz, hogy megtaláljuk két szám legkisebb közös többszörösét, nem szükséges ezeknek a számoknak az összes többszörösét egymás után felírni.

A következő módszert használhatja.

Hogyan találjuk meg a legkisebb közös többszöröst

Először is fel kell bontania ezeket a számokat prímtényezőkre.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Most írjuk fel mindazokat a tényezőket, amelyek az első szám (2,2,3,5) kiterjesztésében szerepelnek, és adjuk hozzá a második szám (5) bővítéséből származó összes hiányzó tényezőt.

Ennek eredményeként prímszámok sorozatát kapjuk: 2,2,3,5,5. Ezeknek a számoknak a szorzata lesz a legkevésbé gyakori tényező ezeknél a számoknál. 2*2*3*5*5 = 300.

Általános séma a legkisebb közös többszörös megtalálására

• 1. Bontsa fel a számokat prímtényezőkre.
• 2. Írja le az egyik legfontosabb tényezőt!
• 3. Add hozzá mindazokat a tényezőkhöz, amelyek a többi bontásában szerepelnek, de a kiválasztottban nem.
• 4. Keresse meg az összes kiírt tényező szorzatát!

Ez a módszer univerzális. Használható tetszőleges számú természetes szám legkisebb közös többszörösének megtalálására.

Lancinova Aisa

Letöltés:

Előnézet:

A prezentációk előnézetének használatához hozzon létre egy Google-fiókot (fiókot), és jelentkezzen be: https://accounts.google.com

Diák feliratai:

Feladatok a GCD-hez és a számok LCM-éhez Az MKOU "Kamyshovskaya OOSh" 6. osztályos diákjának munkája Lantsinova Aisa Felügyelő Gorjajeva Zoja Erdnigorjajevna, matematikatanár p. Kamyshovo, 2013

Példa az 50, 75 és 325 számok GCD-jének megtalálására. 1) Bontsuk fel az 50, 75 és 325 számokat prímtényezőkre. 50 = 2 ∙ 5 ∙ 5 75 = 3 ∙ 5 ∙ 5 325 = 5 ∙ 5 ∙ 13 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 oszd meg maradék nélkül az a és b számokat e számok legnagyobb közös osztójának nevezzük.

Példa a 72, 99 és 117 számok LCM-jének megtalálására. 1) Tényezőzzük a 72, 99 és 117 számokat. Írjuk fel a 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​számok egyikének bővítésében szereplő tényezőket. ∙ 3, és add hozzá a fennmaradó számok hiányzó tényezőit. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Határozza meg a kapott tényezők szorzatát! 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Válasz: LCM (72, 99 és 117) = 10296 Az a és b természetes számok legkisebb közös többszöröse a legkisebb természetes szám, amely a többszöröse és b.

Egy kartonlap téglalap alakú, amelynek hossza 48 cm, szélessége 40 cm. Ezt a lapot hulladék nélkül egyenlő négyzetekre kell vágni. Melyek a legnagyobb négyzetek, amelyek ebből a lapból nyerhetők, és hány? Megoldás: 1) S = a ∙ b a téglalap területe. S \u003d 48 ∙ 40 = 1960 cm². a karton területe. 2) a - a négyzet oldala 48: a - a karton hosszában elhelyezhető négyzetek száma. 40: a - a karton szélességében elhelyezhető négyzetek száma. 3) GCD (40 és 48) \u003d 8 (cm) - a négyzet oldala. 4) S \u003d a² - egy négyzet területe. S \u003d 8² \u003d 64 (cm².) - egy négyzet területe. 5) 1960: 64 = 30 (négyzetek száma). Válasz: 30 négyzet, egyenként 8 cm-es oldallal. Feladatok a GCD-hez

A szobában lévő kandallót négyzet alakú befejező csempével kell kirakni. Hány csempe kell egy 195 ͯ 156 cm-es kandallóhoz, és mik azok legnagyobb méretek csempe? Megoldás: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm ²) - S a kandalló felületétől. 2) GCD (195 és 156) = 39 (cm) - a csempe oldala. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) - 1 csempe területe. 4) 30420: = 20 (darab). Válasz: 20 db 39 ͯ 39 (cm) méretű lapka. Feladatok a GCD-hez

A kerület mentén 54 × 48 m nagyságú kerti telket be kell keríteni, ehhez rendszeres időközönként betonoszlopokat kell elhelyezni. Hány oszlopot kell hozni a helyszínre, és az oszlopok egymástól milyen maximális távolságra állnak? Megoldás: 1) P = 2(a + b) – telephely kerülete. P \u003d 2 (54 + 48) \u003d 204 m. 2) GCD (54 és 48) \u003d 6 (m) - az oszlopok közötti távolság. 3) 204: 6 = 34 (pillérek). Válasz: 34 pillér, 6 m távolságra GCD feladatok

210 bordóból 126 fehér, 294 vörös rózsa csokor gyűlt össze, és minden csokorban egyenlő az azonos színű rózsák száma. Melyik a legnagyobb számban ezekből a rózsákból készült csokrok és hány rózsa van egy csokorban minden színből? Megoldás: 1) GCD (210, 126 és 294) = 42 (csokrok). 2) 210:42 = 5 (bordó rózsa). 3) 126:42 = 3 (fehér rózsák). 4) 294:42 = 7 (vörös rózsák). Válasz: 42 csokor: 5 bordó, 3 fehér, 7 piros rózsa minden csokorban. Feladatok a GCD-hez

Tanya és Masha ugyanannyi postafiókot vásárolt. Tanya 90 rubelt fizetett, Masha pedig 5 rubelt. több. Mennyibe kerül egy szett? Hány készletet vettek mindegyik? Megoldás: 1) Masha 90 + 5 = 95 (rubelt) fizetett. 2) GCD (90 és 95) = 5 (rubel) - 1 készlet ára. 3) 980: 5 = 18 (szett) - Tanya vásárolta. 4) 95: 5 = 19 (készletek) - Mása vásárolt. Válasz: 5 rubel, 18 készlet, 19 készlet. Feladatok a GCD-hez

A kikötővárosban három turistahajó-kirándulás indul, amelyek közül az első 15, a második 20, a harmadik pedig 12 napig tart. A kikötőbe visszatérve a hajók ugyanazon a napon ismét útra indulnak. Ma mindhárom útvonalon motorhajók hagyták el a kikötőt. Hány nap múlva hajóznak először együtt? Hány utat tesz meg egy hajó? Megoldás: 1) NOC (15.20 és 12) = 60 (nap) - találkozási idő. 2) 60: 15 = 4 (utak) - 1 hajó. 3) 60: 20 = 3 (utazás) - 2 motoros hajó. 4) 60: 12 = 5 (utazás) - 3 motoros hajó. Válasz: 60 nap, 4 repülés, 3 repülés, 5 repülés. Feladatok a NOC számára

Masha tojást vásárolt a Medvének a boltban. Az erdő felé vezető úton rájött, hogy a tojások száma osztható 2, 3, 5, 10 és 15-tel. Hány tojást vett Masha? Megoldás: LCM (2;3;5;10;15) = 30 (tojás) Válasz: Masha vett 30 tojást. Feladatok a NOC számára

A 16 × 20 cm-es dobozok egymásra rakásához négyszögletes fenekű dobozt kell készíteni, melyik legyen a négyzet alakú fenék legrövidebb oldala, hogy a dobozok szorosan illeszkedjenek a dobozba? Megoldás: 1) NOC (16 és 20) = 80 (dobozok). 2) S = a ∙ b 1 doboz területe. S \u003d 16 ∙ 20 \u003d 320 (cm ²) - 1 doboz aljának területe. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (cm ²) - négyzet alakú alsó terület. 4) S \u003d a² \u003d a ∙ a 25600 \u003d 160 ∙ 160 - a doboz méretei. Válasz: 160 cm a négyzet alakú alsó oldala. Feladatok a NOC számára

A K ponttól induló út mentén 45 méterenként villanyoszlopok találhatók, és úgy döntöttek, hogy ezeket az oszlopokat cserélik ki, egymástól 60 m távolságra. Hány rúd volt és hányan fognak állni? Megoldás: 1) NOK (45 és 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 - oszlopok voltak. 3) 180: 60 = 3 - voltak oszlopok. Válasz: 4 oszlop, 3 pillér. Feladatok a NOC számára

Hány katona vonul fel a felvonulási területen, ha 12 fős alakulatban vonulnak fel egy sorban, és egy sorban 18 fős oszloppá változnak? Megoldás: 1) NOC (12 és 18) = 36 (fő) - menetelés. Válasz: 36 fő. Feladatok a NOC számára

A természetes számok oszthatóságának jelei.

A 2-vel maradék nélkül osztható számokat nevezzükmég .

A 2-vel egyenlőtlenül nem osztható számokat nevezzükpáratlan .

2-vel oszthatóság jele

Ha egy természetes szám rekordja páros számjegyre végződik, akkor ez a szám osztható 2-vel maradék nélkül, és ha egy szám rekordja páratlan számjegyre végződik, akkor ez a szám nem osztható 2-vel maradék nélkül.

Például a 6-os számok0 , 30 8 , 8 4 maradék nélkül oszthatóak 2-vel, a számok pedig 5-tel1 , 8 5 , 16 7 maradék nélkül nem oszthatók 2-vel.

3-mal oszthatóság jele

Ha egy szám számjegyeinek összege osztható 3-mal, akkor a szám is osztható 3-mal; Ha egy szám számjegyeinek összege nem osztható 3-mal, akkor a szám nem osztható 3-mal.

Például nézzük meg, hogy a 2772825 szám osztható-e 3-mal. Ehhez kiszámoljuk ennek a számnak a számjegyeinek összegét: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - osztható 3-mal. Tehát a 2772825 szám osztható 3-mal.

5-tel oszthatóság jele

Ha egy természetes szám rekordja 0-ra vagy 5-re végződik, akkor ez a szám maradék nélkül osztható 5-tel Ha egy szám rekordja más számjeggyel végződik, akkor a szám nem osztható 5-tel maradék nélkül.

Például az 1-es számok5 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 maradék nélkül oszthatók 5-tel, a számok pedig 1-gyel7 , 37 8 , 9 1 ne ossza meg.

9-cel oszthatóság jele

Ha egy szám számjegyeinek összege osztható 9-cel, akkor a szám osztható 9-cel is; Ha egy szám számjegyeinek összege nem osztható 9-cel, akkor a szám nem osztható 9-cel.

Például nézzük meg, hogy az 5402070 szám osztható-e 9-cel. Ehhez kiszámoljuk ennek a számnak a számjegyeinek összegét: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - nem osztható 9. Ez azt jelenti, hogy az 5402070 szám nem osztható 9-cel.

10-zel való oszthatóság jele

Ha egy természetes szám rekordja 0-ra végződik, akkor ez a szám maradék nélkül osztható 10-zel. Ha egy természetes szám rekordja egy másik számjeggyel végződik, akkor az nem osztható 10-zel maradék nélkül.

Például a 4-es számok0 , 17 0 , 1409 0 maradék nélkül oszthatóak 10-el, a számok pedig 1-gyel7 , 9 3 , 1430 7 - ne oszd meg.

A legnagyobb közös osztó (gcd) megtalálásának szabálya.

Megtalálni a legnagyobbat közös osztó több természetes számra van szüksége:

2) az egyik ilyen szám bővítésében szereplő tényezők közül törölje azokat, amelyek nem szerepelnek a többi szám bővítésében;

3) keresse meg a fennmaradó tényezők szorzatát.

Példa. Keressük a GCD-t (48;36). Használjuk a szabályt.

1. A 48-as és 36-os számokat prímtényezőkre bontjuk.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. A 48-as szám bővítésében szereplő tényezők közül töröljük azokat, amelyek nem szerepelnek a 36-os szám bővítésében.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Vannak 2, 2 és 3 faktorok.

3. Szorozzuk meg a fennmaradó tényezőket, és kapjunk 12-t. Ez a szám a 48 és 36 számok legnagyobb közös osztója.

GCD (48; 36) = 2· 2 · 3 = 12.

A legkisebb közös többszörös (LCM) megtalálásának szabálya.

Számos természetes szám legkisebb közös többszörösének megtalálásához a következőket kell tennie:

1) bontsa fel őket prímtényezőkre;

2) írja ki az egyik szám bővítésében szereplő tényezőket;

3) add hozzá a hiányzó tényezőket a fennmaradó számok bővítéséből;

4) keresse meg a kapott tényezők szorzatát.

Példa. Keressük az LCM-et (75;60). Használjuk a szabályt.

1. A 75 és 60 számokat prímtényezőkre bontjuk.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Írja fel a 75-ös szám bővítésében szereplő tényezőket: 3, 5, 5!

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Adjuk hozzá a 60-as szám dekompozíciójából hiányzó tényezőket, azaz. 2, 2.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Keresse meg a kapott tényezők szorzatát!

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

Egy szám többszöröse olyan szám, amely maradék nélkül osztható egy adott számmal. Egy számcsoport legkisebb közös többszöröse (LCM) az a legkisebb szám, amely egyenletesen osztható a csoport minden számával. A legkisebb közös többszörös megtalálásához meg kell találni az adott számok prímtényezőit. Ezenkívül az LCM számos más módszerrel is kiszámítható, amelyek két vagy több számból álló csoportokra alkalmazhatók.

Lépések

Többszörösök sorozata

Nézd meg ezeket a számokat. Az itt leírt módszer a legjobb, ha két olyan számot adunk meg, amelyek mindketten kisebbek 10-nél. Ha nagy számokat adunk meg, használjunk másik módszert.

• Például keresse meg az 5 és 8 számok legkisebb közös többszörösét. Ezek kis számok, így ez a módszer használható.

1. Egy szám többszöröse olyan szám, amely maradék nélkül osztható egy adott számmal. A szorzótáblában több szám is megtalálható.

   • Például azok a számok, amelyek 5 többszörösei: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Írjon fel egy olyan számsort, amely az első szám többszöröse. Tegye ezt az első szám többszöröse alatt a két számsor összehasonlításához.

   • Például azok a számok, amelyek a 8 többszörösei: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 és 64.

3. Keresse meg a legkisebb számot, amely mindkét többszörös sorozatban megjelenik. Lehetséges, hogy a többszörösek hosszú sorozatát kell írnia, hogy megtalálja teljes szám. A legkisebb szám, amely mindkét többszörös sorozatban megjelenik, a legkisebb közös többszörös.

   • Például, a legkisebb szám, amely 5 és 8 többszöröseinek sorozatában szerepel, a 40. Ezért a 40 az 5 és 8 számok legkisebb közös többszöröse.

   Prímfaktorizálás

   1. Nézd meg ezeket a számokat. Az itt leírt módszer a legjobb, ha két olyan számot ad meg, amelyek mindkettő nagyobb 10-nél. Ha kisebb számokat ad meg, használjon másik módszert.

      • Például keresse meg a 20 és 84 számok legkisebb közös többszörösét. Mindegyik szám nagyobb 10-nél, így ez a módszer használható.

   2. Tényezősítse az első számot. Azaz ilyen prímszámokat kell találni, szorozva egy adott számot kapunk. Miután megtalálta a prímtényezőket, írja le őket egyenlőségként.

      • Például, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20)és 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Így a 20-as szám prímtényezői a 2-es, 2-es és 5-ös számok. Írd le kifejezésként: .

   3. Tényező a második számot prímtényezőkké. Tegye ezt ugyanúgy, ahogy az első számot faktorálta, vagyis keressen olyan prímszámokat, amelyek szorzásakor ezt a számot kapják.

      • Például, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42)és 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Így a 84-es szám prímtényezői a 2, 7, 3 és 2 számok. Írd le kifejezésként: .

   4. Írja le mindkét számban közös tényezőket!Írjon ilyen tényezőket szorzási műveletként! Miközben az egyes tényezőket felírja, húzza át mindkét kifejezésben (olyan kifejezésekben, amelyek a számok prímtényezőkre való felosztását írják le).

      • Például mindkét szám közös tényezője 2, ezért írjon 2 × (\displaystyle 2\times)és mindkét kifejezésben húzd át a 2-t.
      • Mindkét szám közös tényezője egy másik 2-es tényező, ezért írjon 2 × 2 (\displaystyle 2\x 2)és mindkét kifejezésben húzd át a második 2-t.

   5. Adja hozzá a fennmaradó tényezőket a szorzási művelethez. Ezek olyan tényezők, amelyek nincsenek áthúzva mindkét kifejezésben, vagyis olyan tényezők, amelyek nem közösek mindkét számban.

      • Például a kifejezésben 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\x 2\x 5) mindkét kettő (2) át van húzva, mert közös tényezők. Az 5-ös tényező nincs áthúzva, ezért írja be a szorzási műveletet a következőképpen: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\x 2\x 5)
      • A kifejezésben 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\x 7\x 3\x 2) mindkét kettes (2) szintén át van húzva. A 7-es és 3-as faktor nincs áthúzva, ezért írja be a szorzási műveletet a következőképpen: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\xx 2\x 5\x 7\x 3).

   6. Számítsa ki a legkisebb közös többszöröst! Ehhez szorozza meg a számokat az írott szorzási műveletben.

      • Például, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\megjelenítési stílus 2\x 2\x 5\x 7\x 3 = 420). Tehát 20 és 84 legkisebb közös többszöröse 420.

   Közös osztók keresése

   1. Rajzolj rácsot, mint egy tic-tac-toe játékhoz. Egy ilyen rács két párhuzamos egyenesből áll, amelyek (derékszögben) metszik egymást két másik párhuzamos egyenessel. Ez három sort és három oszlopot eredményez (a rács nagyon hasonlít a # jelre). Írja be az első számot az első sorba és a második oszlopba! Írja be a második számot az első sorba és a harmadik oszlopba!

      • Például keresse meg 18 és 30 legkisebb közös többszörösét. Írjon 18-at az első sorba és a második oszlopba, és írjon 30-at az első sorba és a harmadik oszlopba.

   2. Keresse meg mindkét szám közös osztóját!Írja le az első sorba és az első oszlopba. Jobb, ha prímosztókat keresünk, de ez nem előfeltétel.

      • Például 18 és 30 páros számok, így közös osztójuk 2. Írjon tehát 2-t az első sorba és az első oszlopba.

   3. Minden számot el kell osztani az első osztóval.Írjon minden hányadost a megfelelő szám alá! A hányados két szám elosztásának eredménye.

      • Például, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), tehát 9-et írj 18 alá.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), tehát 15-öt írj 30 alá.

   4. Keress mindkét hányadosra közös osztót! Ha nincs ilyen osztó, hagyja ki a következő két lépést. Ellenkező esetben írja le az osztót a második sorba és az első oszlopba.

      • Például a 9 és a 15 osztható 3-mal, ezért írjon 3-at a második sorba és az első oszlopba.

   5. Minden hányadost el kell osztani a második osztóval.Írja be az egyes osztási eredményeket a megfelelő hányados alá!

      • Például, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), tehát 9 alá írjon 3-at.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), ezért írj 5-öt 15 alá.

   6. Ha szükséges, egészítse ki a rácsot további cellákkal. Addig ismételjük a fenti lépéseket, amíg a hányadosoknak közös osztója nem lesz.

   7. Karikázd be a rács első oszlopában és utolsó sorában lévő számokat! Ezután szorzási műveletként írja be a kiemelt számokat.

      • Például a 2-es és 3-as számok az első oszlopban, a 3-as és 5-ös számok pedig az utolsó sorban vannak, ezért írja be a szorzási műveletet a következőképpen: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\x 3\x 3\x 5).

   8. Keresse meg a számok szorzásának eredményét! Ez kiszámítja a két megadott szám legkisebb közös többszörösét.

      • Például, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\x 3\x 3\x 5 = 90). Tehát 18 és 30 legkisebb közös többszöröse 90.

   Euklidész algoritmusa

   1. Ne feledje az osztási művelethez kapcsolódó terminológiát. Az osztalék az a szám, amelyet felosztanak. Az osztó az a szám, amellyel osztani kell. A hányados két szám elosztásának eredménye. A maradék az a szám, amely két szám felosztása után marad.

      • Például a kifejezésben 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) pihenés. 3:
        15 az osztható
        6 az osztó
        2 privát
        3 a maradék.

Az alábbiakban bemutatott anyag logikus folytatása az LCM - legkisebb közös többszörös, definíció, példák, kapcsolat az LCM és a GCD között című cikkben található elméletnek. Itt fogunk beszélni a legkisebb közös többszörös megtalálása (LCM), és fordítson különös figyelmet a példák megoldására. Először is mutassuk meg, hogyan számítják ki két szám LCM-jét e számok GCD-je alapján. Ezután fontolja meg a legkisebb közös többszörös megtalálását úgy, hogy a számokat prímtényezőkké alakítja. Ezt követően három vagy több szám LCM-jének megkeresésére összpontosítunk, és figyelmet fordítunk a negatív számok LCM-jének kiszámítására is.

Oldalnavigáció.

A legkisebb közös többszörös (LCM) kiszámítása a gcd-n keresztül

A legkisebb közös többszörös megtalálásának egyik módja az LCM és a GCD közötti kapcsolat. Az LCM és a GCD közötti kapcsolat lehetővé teszi két pozitív egész legkisebb közös többszörösének kiszámítását az ismert legnagyobb közös osztón keresztül. A megfelelő képletnek van formája LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Tekintsen példákat az LCM megtalálására a fenti képlet szerint.

Példa.

Határozzuk meg a 126 és 70 két szám legkisebb közös többszörösét!

Döntés.

Ebben a példában a=126 , b=70 . Használjuk az LCM és a GCD közötti összefüggést a képlettel kifejezve LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Vagyis először meg kell találnunk a 70 és 126 számok legnagyobb közös osztóját, ami után az írott képlet alapján ki tudjuk számítani ezeknek a számoknak az LCM-jét.

Keresse meg a gcd(126, 70) értéket Euklidész algoritmusával: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , ebből következően gcd(126, 70)=14 .

Most megtaláljuk a szükséges legkisebb közös többszöröst: LCM(126,70)=126,70: GCM(126,70)= 126 70:14=630 .

Válasz:

LCM(126,70)=630.

Példa.

Mi az LCM(68, 34)?

Döntés.

Mint 68 egyenletesen osztható 34 -gyel, akkor gcd(68, 34)=34 . Most kiszámítjuk a legkisebb közös többszöröst: LCM(68,34)=6834: LCM(68,34)= 68 34:34=68 .

Válasz:

LCM(68,34)=68.

Megjegyzendő, hogy az előző példa megfelel a következő szabálynak az a és b pozitív egész számok LCM-jének meghatározására: ha az a szám osztható b -vel, akkor ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a.

Az LCM megkeresése a számok prímtényezőkbe való faktorálásával

A legkisebb közös többszörös megtalálásának másik módja a számok prímtényezőkbe való faktorálása. Ha ezeknek a számoknak az összes prímtényezőjéből szorzatot készítünk, majd ebből a szorzatból kizárunk minden olyan gyakori prímtényezőt, amely e számok kiterjesztésében jelen van, akkor a kapott szorzat egyenlő lesz e számok legkisebb közös többszörösével.

Az LCM megtalálásának meghirdetett szabálya az egyenlőségből következik LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Valójában az a és b számok szorzata egyenlő az a és b számok kiterjesztésében részt vevő összes tényező szorzatával. A gcd(a, b) viszont egyenlő minden olyan prímtényező szorzatával, amelyek egyidejűleg jelen vannak az a és b számok kiterjesztésében (amelyet a gcd megtalálása a számok prímtényezőkre történő felosztásával című részben ismertetünk ).

Vegyünk egy példát. Tudjuk, hogy 75=3 5 5 és 210=2 3 5 7 . Állítsa össze ezen bővítések összes tényezőjének szorzatát: 2 3 3 5 5 5 7 . Most kizárjuk ebből a szorzatból mindazokat a tényezőket, amelyek mind a 75-ös szám kiterjesztésében, mind a 210-es szám kiterjesztésében jelen vannak (ilyenek a 3-as és az 5-ös tényezők), akkor a szorzat 2 3 5 5 7 alakot vesz fel. Ennek a szorzatnak az értéke egyenlő a 75 és 210 számok legkisebb közös többszörösével, azaz LCM(75; 210) = 2 3 5 5 7 = 1 050.

Példa.

Miután a 441-et és a 700-at prímtényezőkké alakította, keresse meg e számok legkisebb közös többszörösét.

Döntés.

Bontsuk fel a 441 és 700 számokat prímtényezőkre:

441=3 3 7 7 és 700=2 2 5 5 7 kapjuk.

Most készítsünk egy szorzatot az összes tényezőből, amely részt vesz ezeknek a számoknak a bővítésében: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Zárjuk ki ebből a szorzatból mindazokat a tényezőket, amelyek mindkét bővítésben egyidejűleg jelen vannak (egyetlen ilyen tényező van - ez a 7-es szám): 2 2 3 3 5 5 7 7 . És így, LCM(441; 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Válasz:

LCM(441; 700) = 44 100 .

Az LCM megtalálásának szabálya a számok prímtényezőkre történő felbontásával egy kicsit másképp is megfogalmazható. Ha összeadjuk a b szám kibővítéséből hiányzó tényezőket az a szám bontásából származó tényezőkkel, akkor a kapott szorzat értéke egyenlő lesz az a és b szám legkisebb közös többszörösével..

Például vegyük ugyanazokat a 75-ös és 210-es számokat, prímtényezőkre való kiterjesztéseik a következők: 75=3 5 5 és 210=2 3 5 7 . A 75-ös szám bontásából származó 3-as, 5-ös és 5-ös faktorokhoz hozzáadjuk a 210-es szám dekompozíciójából hiányzó 2-es és 7-es faktorokat, így a 2 3 5 5 7 szorzatot kapjuk, melynek értéke LCM(75 , 210) .

Példa.

Keresse meg 84 és 648 legkisebb közös többszörösét.

Döntés.

Először megkapjuk a 84 és 648 számok prímtényezőkre való felosztását. Így néznek ki: 84=2 2 3 7 és 648=2 2 2 3 3 3 3. A 84-es szám bontásából származó 2, 2, 3 és 7 faktorokhoz hozzáadjuk a 648-as szám dekompozíciójából hiányzó 2, 3, 3 és 3 faktorokat, így a 2 2 2 3 3 3 3 7 szorzatot kapjuk, ami egyenlő 4 536 . Így a 84 és 648 számok kívánt legkisebb közös többszöröse 4536.

Válasz:

LCM(84,648)=4536.

Három vagy több szám LCM-jének megkeresése

Három vagy több szám legkisebb közös többszöröse úgy található meg, hogy egymás után megkeresi két szám LCM-jét. Idézzük fel a megfelelő tételt, amely lehetőséget ad három vagy több szám LCM-jének megtalálására.

Tétel.

Legyenek adottak pozitív egészek a 1 , a 2 , …, a k, ezeknek a számoknak az m k legkisebb közös többszöröse megtalálható a szekvenciális számításban m 2 = LCM (a 1, a 2) , m 3 = LCM (m 2, a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Tekintsük ennek a tételnek az alkalmazását négy szám legkisebb közös többszörösének megtalálásának példáján.

Példa.

Keresse meg a négy szám 140, 9, 54 és 250 LCM-jét.

Döntés.

Ebben a példában a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Először megtaláljuk m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Ehhez az euklideszi algoritmus segítségével meghatározzuk a gcd(140, 9) , 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , ezért gcd( 140, 9)=1 , honnan LCM(140,9)=1409: LCM(140,9)= 140 9:1=1 260 . Azaz m 2 =1 260 .

Most megtaláljuk m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Számítsuk ki a gcd(1 260, 54) -en keresztül, amit szintén az Euklidész algoritmus határoz meg: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Ekkor gcd(1 260, 54)=18 , ahonnan LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Vagyis m 3 \u003d 3 780.

Balra találni m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Ehhez az Euklidész algoritmus segítségével megtaláljuk a GCD(3 780, 250) értéket: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Ezért gcd(3 780, 250)=10 , ahonnan gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Vagyis m 4 \u003d 94 500.

Tehát az eredeti négy szám legkisebb közös többszöröse 94 500.

Válasz:

LCM(140;9;54;250)=94500.

Sok esetben három vagy több szám legkisebb közös többszöröse kényelmesen megtalálható adott számok prímtényezőivel. Ebben az esetben a következő szabályt kell követni. Több szám legkisebb közös többszöröse egyenlő a szorzattal, amely a következőképpen épül fel: a második szám bővítéséből hiányzó tényezőket hozzáadjuk az első szám bővítéséből származó összes tényezőhöz, a hiányzó tényezőket az első szám bővítéséből. a harmadik számot hozzáadjuk a kapott tényezőkhöz, és így tovább.

Tekintsünk egy példát a legkisebb közös többszörös megtalálására a számok prímtényezőkre történő felosztásával.

Példa.

Határozzuk meg öt szám legkisebb közös többszörösét: 84, 6, 48, 7, 143.

Döntés.

Először megkapjuk ezeknek a számoknak a prímtényezőkre való kiterjesztését: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 prímtényezők) és 143=11 13 .

Ezen számok LCM-jének megtalálásához az első 84-es szám faktoraihoz (ezek 2 , 2 , 3 és 7 ) hozzá kell adni a 6 második szám bővítéséből hiányzó tényezőket. A 6-os szám bővítése nem tartalmaz hiányzó tényezőket, hiszen az első 84-es szám bővítésében már a 2-es és a 3-as is jelen van. A 2-es, 2-es, 3-as és 7-es faktorokhoz hozzáadjuk a 48-as harmadik szám bővítéséből a hiányzó 2-es és 2-es faktorokat, így a 2, 2, 2, 2, 3 és 7 faktorok halmazát kapjuk. Ehhez a halmazhoz a következő lépésben nem kell faktorokat hozzáadni, mivel a 7 már benne van. Végül a 2 , 2 , 2 , 2 , 3 és 7 faktorokhoz hozzáadjuk a 143 szám bővítéséből hiányzó 11 és 13 faktorokat. A 2 2 2 2 3 7 11 13 szorzatot kapjuk, ami egyenlő 48 048-cal.