A tört alaptulajdonsága. Szabályok. Az algebrai tört fő tulajdonsága. Különböző nevezőjű törtek kivonása. Közönséges törtek összeadása és kivonása

Az óra tartalma

Azonos nevezőjű törtek összeadása

A törtek hozzáadásának két típusa van:

1. Azonos nevezőjű törtek összeadása
2. Különböző nevezőjű törtek összeadása

Kezdjük az azonos nevezőjű törtek összeadásával. Itt minden egyszerű. Az azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, és a nevezőt változatlanul kell hagyni. Például vegyük össze a törteket és a . Hozzáadjuk a számlálókat, és a nevezőt változatlanul hagyjuk:

Ez a példa könnyen érthető, ha egy négy részre osztott pizzára gondolunk. Ha pizzát adsz a pizzához, akkor pizzát kapsz:

2. példa Adjunk hozzá törteket és .

A válasz egy helytelen tört. Ha eljön a feladat vége, akkor szokás a helytelen törtektől megszabadulni. Ahhoz, hogy megszabaduljon egy nem megfelelő törttől, ki kell választania az egész részt. Esetünkben az egész rész könnyen kiosztható - kettő osztva kettővel egyenlő eggyel:

Ez a példa könnyen érthető, ha egy két részre osztott pizzára gondolunk. Ha több pizzát adsz a pizzához, egy egész pizzát kapsz:

3. példa. Adjunk hozzá törteket és .

Adja hozzá ismét a számlálókat, és hagyja változatlanul a nevezőt:

Ez a példa könnyen érthető, ha egy három részre osztott pizzára gondolunk. Ha több pizzát adsz a pizzához, akkor pizzákat kapsz:

4. példa Keresse meg egy kifejezés értékét

Ez a példa pontosan ugyanúgy van megoldva, mint az előzőek. A számlálókat hozzá kell adni, a nevezőt pedig változatlanul kell hagyni:

Próbáljuk meg egy kép segítségével ábrázolni a megoldásunkat. Ha pizzát ad hozzá egy pizzához, és további pizzákat ad hozzá, 1 egész pizzát és még több pizzát kap.

Amint látja, az azonos nevezővel rendelkező törtek hozzáadása nem nehéz. Elég megérteni a következő szabályokat:

1. Az azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, és a nevezőt változatlanul kell hagyni;

Különböző nevezőjű törtek összeadása

Most megtanuljuk, hogyan adjunk hozzá különböző nevezőkkel rendelkező törteket. Törtek összeadásakor a törtek nevezőinek azonosaknak kell lenniük. De nem mindig ugyanazok.

Például törtek adhatók hozzá, mert ugyanazok a nevezők.

De a törteket nem lehet egyszerre összeadni, mert ezeknek a törteknek más a nevezője. Ilyen esetekben a törteket ugyanarra a (közös) nevezőre kell redukálni.

Többféle módon is csökkenthetjük a törteket ugyanarra a nevezőre. Ma csak az egyiket vizsgáljuk meg, mivel a többi módszer bonyolultnak tűnhet egy kezdő számára.

A módszer lényege abban rejlik, hogy mindkét tört nevezői közül az elsőt (LCM) keressük. Ezután az LCM-et elosztjuk az első tört nevezőjével, és megkapjuk az első további tényezőt. Ugyanezt teszik a második törttel is - az LCM-et elosztják a második tört nevezőjével, és megkapják a második további tényezőt.

Ekkor a törtek számlálóit és nevezőit megszorozzuk további tényezőivel. Ezen műveletek eredményeként a különböző nevezővel rendelkező törtek azonos nevezővel rendelkező törtekké alakulnak. És már tudjuk, hogyan kell ilyen törteket összeadni.

1. példa. Adjunk hozzá törteket és

Először is megtaláljuk mindkét tört nevezőjének legkisebb közös többszörösét. Az első tört nevezője a 3, a másodiké pedig a 2. Ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a 6

LCM (2 és 3) = 6

Most térjünk vissza a törtekhez és . Először elosztjuk az LCM-et az első tört nevezőjével, és megkapjuk az első további tényezőt. Az LCM a 6-os szám, az első tört nevezője pedig a 3. A 6-ot elosztjuk 3-mal, 2-t kapunk.

A kapott 2-es szám az első további tényező. Leírjuk az első törtre. Ehhez egy kis ferde vonalat készítünk a tört fölé, és felírjuk a talált további tényezőt fölé:

Ugyanezt tesszük a második törttel is. Az LCM-et elosztjuk a második tört nevezőjével, és megkapjuk a második járulékos tényezőt. Az LCM a 6-os szám, a második tört nevezője pedig a 2. A 6-ot elosztjuk 2-vel, 3-at kapunk.

A kapott 3-as szám a második kiegészítő tényező. A második törtbe írjuk. Ismét készítünk egy kis ferde vonalat a második tört fölé, és fölé írjuk a talált további tényezőt:

Most már készen állunk a hozzáadásra. Továbbra is meg kell szorozni a törtek számlálóit és nevezőit további tényezőkkel:

Nézze meg alaposan, mire jutottunk. Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezővel rendelkező törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek azonos nevezője volt. És már tudjuk, hogyan kell ilyen törteket összeadni. Fejezzük be ezt a példát a végére:

Ezzel a példa véget ér. Hozzáadni kiderül.

Próbáljuk meg egy kép segítségével ábrázolni a megoldásunkat. Ha pizzát adsz egy pizzához, akkor egy egész pizzát és egy pizza másik hatodát kapod:

A törtek azonos (közös) nevezőre való redukálása kép segítségével is ábrázolható. A és a törteket közös nevezőre hozva megkapjuk a és a törteket. Ezt a két frakciót ugyanazok a pizzaszeletek képviselik. Az egyetlen különbség az lesz, hogy ezúttal egyenlő részekre osztják őket (azonos nevezőre csökkentve).

Az első rajzon egy töredék látható (hatból négy darab), a második képen pedig egy töredék (hatból három darab). Ezeket a darabokat összerakva (hatból hét darabot) kapunk. Ez a tört helytelen, ezért kiemeltük benne az egész részt. Az eredmény az lett (egy egész pizza és egy másik hatodik pizza).

Vegye figyelembe, hogy ezt a példát túlságosan részletesen festettük le. Az oktatási intézményekben nem szokás ilyen részletesen írni. Gyorsan meg kell találnia mindkét nevező és a hozzájuk tartozó további tényezők LCM-jét, valamint gyorsan meg kell szoroznia a számlálói és nevezői által talált további tényezőket. Az iskolában ezt a példát a következőképpen kell leírnunk:

De van az érem másik oldala is. Ha a matematika tanulmányozásának első szakaszában nem készülnek részletes feljegyzések, akkor ilyen jellegű kérdések „Honnan jön ez a szám?”, „Miért válnak a törtek hirtelen teljesen más törtté? «.

A különböző nevezőkkel rendelkező törtek összeadásának megkönnyítése érdekében kövesse az alábbi lépésenkénti utasításokat:

1. Keresse meg a törtek nevezőinek LCM-jét;
2. Ossza el az LCM-et az egyes törtek nevezőjével, és kapjon további szorzót minden törtre;
3. Szorozzuk meg a törtek számlálóit és nevezőit további tényezőikkel;
4. Adjon hozzá azonos nevezővel rendelkező törteket;
5. Ha a válasz helytelen törtnek bizonyult, válassza ki a teljes részét;

2. példa Keresse meg egy kifejezés értékét .

Használjuk a fenti utasításokat.

1. lépés. Keresse meg a törtek nevezőinek LCM-jét

Keresse meg mindkét tört nevezőinek LCM-jét! A törtek nevezői a 2, 3 és 4 számok

2. lépés: Ossza el az LCM-et az egyes törtek nevezőjével, és kapjon további szorzót minden törthez

Ossza el az LCM-et az első tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, az első tört nevezője pedig a 2. A 12-t elosztjuk 2-vel, így 6-ot kapunk. Az első további 6-os tényezőt kaptuk. Az első tört fölé írjuk:

Most elosztjuk az LCM-et a második tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, a második tört nevezője pedig a 3. A 12-t elosztjuk 3-mal, így 4-et kapunk. A második további 4-es tényezőt kaptuk. A második tört fölé írjuk:

Most elosztjuk az LCM-et a harmadik tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, a harmadik tört nevezője pedig a 4. A 12-t elosztjuk 4-gyel, így 3-at kapunk. A harmadik 3-as további tényezőt kaptuk. A harmadik tört fölé írjuk:

3. lépés. Szorozzuk meg a törtek számlálóit és nevezőit a további tényezőkkel

A számlálókat és a nevezőket megszorozzuk további tényezőinkkel:

4. lépés: Adjon hozzá azonos nevezővel rendelkező törteket

Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyek azonos (közös) nevezővel rendelkeznek. Ezeket a frakciókat kell hozzáadni. Összeadni:

Az összeadás nem fért egy sorba, ezért a fennmaradó kifejezést áthelyeztük a következő sorba. Ez a matematikában megengedett. Ha egy kifejezés nem fér el egy sorba, akkor átkerül a következő sorba, és egyenlőségjelet (=) kell tenni az első sor végére és az új sor elejére. A második sorban lévő egyenlőségjel azt jelzi, hogy ez az első sorban lévő kifejezés folytatása.

5. lépés: Ha a válasz helytelen törtnek bizonyult, válassza ki benne a teljes részt

A válaszunk egy helytelen tört. Ki kell emelnünk az egész részét. Kiemeljük:

Megvan a válasz

Azonos nevezőjű törtek kivonása

Kétféle törtkivonás létezik:

1. Azonos nevezőjű törtek kivonása
2. Különböző nevezőjű törtek kivonása

Először is, tanuljuk meg, hogyan kell kivonni az azonos nevezővel rendelkező törteket. Itt minden egyszerű. Ha egy törtből egy másikat szeretne kivonni, ki kell vonnia a második tört számlálóját az első tört számlálójából, és a nevezőt változatlannak kell hagynia.

Például keressük meg a kifejezés értékét. A példa megoldásához ki kell vonni a második tört számlálóját az első tört számlálójából, és a nevezőt változatlanul kell hagyni. Csináljuk:

Ez a példa könnyen érthető, ha egy négy részre osztott pizzára gondolunk. Ha pizzát vágsz ki egy pizzából, akkor pizzát kapsz:

2. példa Keresse meg a kifejezés értékét.

Ismét az első tört számlálójából vonja ki a második tört számlálóját, és hagyja változatlanul a nevezőt:

Ez a példa könnyen érthető, ha egy három részre osztott pizzára gondolunk. Ha pizzát vágsz ki egy pizzából, akkor pizzát kapsz:

3. példa Keresse meg egy kifejezés értékét

Ez a példa pontosan ugyanúgy van megoldva, mint az előzőek. Az első tört számlálójából ki kell vonni a fennmaradó törtek számlálóit:

Mint látható, nincs semmi bonyolult az azonos nevezőjű törtek kivonásában. Elég megérteni a következő szabályokat:

1. Ha egy törtből egy másikat szeretne kivonni, ki kell vonnia a második tört számlálóját az első tört számlálójából, és a nevezőt változatlanul kell hagynia;
2. Ha a válasz helytelen törtnek bizonyult, akkor ki kell választania a teljes részt benne.

Különböző nevezőjű törtek kivonása

Például egy tört kivonható egy törtből, mivel ezeknek a törteknek ugyanaz a nevezője. De a tört nem vonható ki a törtből, mivel ezeknek a törteknek más a nevezője. Ilyen esetekben a törteket ugyanarra a (közös) nevezőre kell redukálni.

A közös nevezőt ugyanazon elv alapján találjuk meg, amelyet a különböző nevezőjű törtek összeadásakor használtunk. Először is keresse meg mindkét tört nevezőinek LCM-jét. Ezután az LCM-et elosztjuk az első tört nevezőjével, és megkapjuk az első további tényezőt, amelyet az első tört fölé írunk. Hasonlóképpen, az LCM-et elosztjuk a második tört nevezőjével, és egy második további tényezőt kapunk, amelyet a második tört fölé írunk.

A törteket ezután megszorozzuk további tényezőikkel. E műveletek eredményeként a különböző nevezővel rendelkező törtek azonos nevezővel rendelkező törtekké alakulnak. És már tudjuk, hogyan kell kivonni az ilyen törteket.

1. példa Keresse meg egy kifejezés értékét:

Ezeknek a törteknek különböző nevezői vannak, ezért ugyanarra a (közös) nevezőre kell hozni őket.

Először is megtaláljuk mindkét tört nevezőjének LCM-jét. Az első tört nevezője a 3, a másodiké pedig a 4. Ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a 12

LCM (3 és 4) = 12

Most vissza a törtekhez és

Keressünk egy további tényezőt az első törthez. Ehhez elosztjuk az LCM-et az első tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, az első tört nevezője pedig a 3. A 12-t elosztjuk 3-mal, így 4-et kapunk. Az első tört fölé írjuk a négyet:

Ugyanezt tesszük a második törttel is. Az LCM-et elosztjuk a második tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, a második tört nevezője pedig a 4. Oszd el a 12-t 4-gyel, így 3-at kapunk. Írj hármast a második törtre:

Most már készen állunk a kivonásra. Továbbra is meg kell szorozni a törteket további tényezőikkel:

Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezővel rendelkező törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek azonos nevezője volt. És már tudjuk, hogyan kell kivonni az ilyen törteket. Fejezzük be ezt a példát a végére:

Megvan a válasz

Próbáljuk meg egy kép segítségével ábrázolni a megoldásunkat. Ha pizzát vágsz egy pizzából, akkor pizzát kapsz.

Ez a megoldás részletes változata. Iskolai lévén ezt a példát rövidebben kellene megoldanunk. Egy ilyen megoldás így nézne ki:

A törtek és a közös nevezőre való redukálás kép segítségével is ábrázolható. Ezeket a törteket közös nevezőre hozva megkapjuk a és a törteket. Ezeket a törtrészeket ugyanazok a pizzaszeletek képviselik, de ezúttal ugyanazokra a törtekre lesznek felosztva (azonos nevezőre redukálva):

Az első rajzon egy töredék látható (nyolc darab a tizenkettőből), a második képen pedig egy töredék (három darab a tizenkettőből). Ha nyolc darabból három darabot levágunk, a tizenkettőből öt darabot kapunk. A tört ezt az öt darabot írja le.

2. példa Keresse meg egy kifejezés értékét

Ezeknek a törteknek különböző nevezői vannak, ezért először ugyanarra a (közös) nevezőre kell hozni őket.

Keresse meg e törtek nevezőinek LCM-jét.

A törtek nevezői a 10, 3 és 5 számok. Ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a 30

LCM(10;3;5) = 30

Most minden törthez további tényezőket találunk. Ehhez elosztjuk az LCM-et az egyes törtek nevezőjével.

Keressünk egy további tényezőt az első törthez. Az LCM a 30-as szám, az első tört nevezője pedig a 10. A 30-at elosztva 10-zel kapjuk az első további 3-as tényezőt. Az első tört fölé írjuk:

Most találunk egy további tényezőt a második törthez. Ossza el az LCM-et a második tört nevezőjével. Az LCM a 30-as szám, a második tört nevezője pedig a 3. A 30-at elosztva 3-mal kapjuk a második további 10-es tényezőt. A második tört fölé írjuk:

Most találunk egy további tényezőt a harmadik törthez. Ossza el az LCM-et a harmadik tört nevezőjével. Az LCM a 30-as szám, a harmadik tört nevezője pedig az 5. A 30-at elosztva 5-tel kapjuk a harmadik további 6-os tényezőt. A harmadik tört fölé írjuk:

Most minden készen áll a kivonásra. Továbbra is meg kell szorozni a törteket további tényezőikkel:

Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyek azonos (közös) nevezővel rendelkeznek. És már tudjuk, hogyan kell kivonni az ilyen törteket. Fejezzük be ezt a példát.

A példa folytatása nem fog elférni egy sorba, ezért a folytatást áthelyezzük a következő sorba. Ne feledkezzünk meg az egyenlőségjelről (=) az új sorban:

A válasz helyes törtnek bizonyult, és úgy tűnik, minden megfelel nekünk, de túl nehézkes és csúnya. Meg kellene könnyítenünk. Mit lehet tenni? Csökkentheti ezt a részt.

A tört csökkentéséhez el kell osztania a számlálót és a nevezőt (gcd) a 20 és 30 számokkal.

Tehát megtaláljuk a 20 és 30 számok GCD-jét:

Most visszatérünk példánkhoz, és elosztjuk a tört számlálóját és nevezőjét a talált GCD-vel, azaz 10-zel

Megvan a válasz

Tört szorzása számmal

Egy tört számmal való szorzásához meg kell szorozni az adott tört számlálóját ezzel a számmal, és a nevezőt változatlannak kell hagyni.

1. példa. Szorozzuk meg a törtet 1-gyel.

Szorozzuk meg a tört számlálóját 1-gyel

A bejegyzés félig 1 idő alatt érthető. Például, ha egyszer pizzát veszel, akkor pizzát kapsz

A szorzás törvényeiből tudjuk, hogy ha a szorzót és a szorzót felcseréljük, akkor a szorzat nem változik. Ha a kifejezést így írjuk, akkor a szorzat továbbra is egyenlő lesz. Ismét működik az egész szám és a tört szorzásának szabálya:

Ez a bejegyzés úgy értelmezhető, hogy az egység felét elveszi. Például, ha van 1 egész pizza és a felét kivesszük, akkor pizzánk lesz:

2. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét

Szorozzuk meg a tört számlálóját 4-gyel

A válasz egy helytelen tört. Vegyünk egy egész részt:

A kifejezés úgy értelmezhető, hogy 4-szer kétnegyedet vesz. Például, ha 4-szer veszel pizzát, akkor két egész pizzát kapsz.

És ha a szorzót és a szorzót helyeken felcseréljük, megkapjuk a kifejezést. Ez is egyenlő lesz 2-vel. Ez a kifejezés úgy értelmezhető, hogy négy egész pizzából két pizzát veszünk:

Törtek szorzása

A törtek szorzásához meg kell szorozni a számlálójukat és a nevezőiket. Ha a válasz helytelen tört, akkor a teljes részt ki kell jelölnie benne.

1. példa Keresse meg a kifejezés értékét.

Megvan a válasz. Kívánatos ezt a részt csökkenteni. A tört 2-vel csökkenthető. Ekkor a végső oldat a következő formát ölti:

A kifejezés úgy értelmezhető, hogy egy fél pizzából pizzát veszünk. Tegyük fel, hogy van egy fél pizza:

Hogyan lehet ebből a feléből kivenni a kétharmadot? Először ezt a felét három egyenlő részre kell osztania:

És ebből a három darabból vegyél kettőt:

Hozunk pizzát. Ne feledje, hogyan néz ki egy pizza három részre osztva:

Ebből a pizzából egy szelet és az általunk vett két szelet azonos méretű lesz:

Más szóval, azonos pizzaméretről beszélünk. Ezért a kifejezés értéke az

2. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét

Szorozzuk meg az első tört számlálóját a második tört számlálójával, az első tört nevezőjét pedig a második tört nevezőjével:

A válasz egy helytelen tört. Vegyünk egy egész részt:

3. példa Keresse meg egy kifejezés értékét

Szorozzuk meg az első tört számlálóját a második tört számlálójával, az első tört nevezőjét pedig a második tört nevezőjével:

A válasz helyes törtnek bizonyult, de jó lesz, ha csökkentik. Ennek a törtnek a csökkentéséhez el kell osztania ennek a törtnek a számlálóját és nevezőjét a legnagyobbkal közös osztó(gcd) 105 és 450 számok.

Tehát keressük meg a 105 és 450 számok GCD-jét:

Most elosztjuk a most megtalált GCD-re adott válaszunk számlálóját és nevezőjét, azaz 15-tel

Egy egész szám törtként való ábrázolása

Bármely egész szám ábrázolható törtként. Például az 5-ös szám ábrázolható . Ettől kezdve az öt nem fogja megváltoztatni a jelentését, mivel a kifejezés azt jelenti, hogy „az ötös szám osztva eggyel”, és ez, mint tudod, egyenlő öttel:

Fordított számok

Most egy nagyon érdekes témával fogunk megismerkedni a matematikában. Ezt "fordított számoknak" hívják.

Meghatározás. Fordítva a számhoza az a szám, amivel megszorozvaa egységet ad.

Változó helyett helyettesítsük ezt a definíciót a az 5-ös számot, és próbálja meg elolvasni a definíciót:

Fordítva a számhoz 5 az a szám, amivel megszorozva 5 egységet ad.

Lehet-e találni olyan számot, amelyet 5-tel megszorozva egyet adunk? Kiderült, hogy lehet. Képzeljük el az ötöt törtként:

Ezután szorozza meg ezt a törtet önmagával, csak cserélje fel a számlálót és a nevezőt. Más szóval, szorozzuk meg a törtet önmagával, csak fordítva:

Mi lesz ennek az eredménye? Ha folytatjuk a példa megoldását, egyet kapunk:

Ez azt jelenti, hogy az 5-ös szám inverze a szám, mivel ha 5-öt megszorozzuk eggyel, akkor egyet kapunk.

A reciprok bármely más egész számra is megtalálható.

Megtalálhatja bármely más tört reciprokát is. Ehhez elég megfordítani.

Tört osztása számmal

Tegyük fel, hogy van egy fél pizza:

Osszuk el egyenlő arányban kettő között. Hány pizzát kap egyenként?

Látható, hogy a pizza felének felosztása után két egyforma darabot kaptunk, amelyek egy-egy pizzát alkotnak. Szóval mindenki kap egy pizzát.

A törtek felosztása reciprok segítségével történik. A reciprok lehetővé teszi, hogy az osztást szorzással helyettesítse.

Ha egy törtet el szeretne osztani egy számmal, ezt a törtet meg kell szoroznia az osztó reciprokával.

Ezt a szabályt alkalmazva felírjuk a pizzafelünk felosztását két részre.

Tehát el kell osztani a törtet a 2-vel. Itt az osztalék tört, az osztó pedig 2.

Ha el szeretne osztani egy tört 2-vel, ezt a törtet meg kell szoroznia a 2 osztó reciprokával. A 2 osztó reciproka egy tört. Tehát szorozni kell vele

A törtek közönséges számok, összeadhatók és kivonhatók is. De mivel van nevezőjük, itt összetettebb szabályokra van szükség, mint az egész számokhoz.

Tekintsük a legegyszerűbb esetet, amikor két azonos nevezővel rendelkező tört van. Akkor:

Azonos nevezőjű törtek hozzáadásához adja hozzá a számlálóikat, és hagyja változatlanul a nevezőt.

Az azonos nevezőjű törtek kivonásához ki kell vonni a második számlálóját az első tört számlálójából, és ismét változatlanul hagyni kell a nevezőt.

Az egyes kifejezéseken belül a törtek nevezői egyenlőek. A törtek összeadása és kivonása definíciójával a következőket kapjuk:

Amint látja, semmi bonyolult: csak össze kell adni vagy ki kell vonni a számlálókat – és ennyi.

De még ilyenben is egyszerű műveletek az embereknek sikerül hibázni. Leggyakrabban elfelejtik, hogy a nevező nem változik. Például amikor hozzáadják őket, akkor is elkezdenek összeadni, és ez alapvetően rossz.

Megszabadul rossz szokás A nevezők hozzáadása elég egyszerű. Próbáld meg ugyanezt tenni a kivonáskor is. Ennek eredményeként a nevező nulla lesz, és a tört (hirtelen!) értelmét veszti.

Ezért ne feledjük egyszer s mindenkorra: összeadáskor és kivonáskor a nevező nem változik!

Ezenkívül sokan hibáznak több negatív tört hozzáadásakor. Zavar a jelekkel: hol kell mínuszt tenni, és hol - pluszt.

Ez a probléma is nagyon könnyen megoldható. Elég megjegyezni, hogy a törtjel előtti mínusz mindig átvihető a számlálóba - és fordítva. És persze ne felejts el két egyszerű szabályt:

1. Pluszszorok mínusz mínuszt ad;
2. Két negatívum igenlővé tesz.

Elemezzük mindezt konkrét példákkal:

Egy feladat. Keresse meg a kifejezés értékét:

Az első esetben minden egyszerű, a másodikban mínuszokat adunk a törtek számlálóihoz:

Mi van, ha a nevezők eltérőek

Nem adhat hozzá közvetlenül különböző nevezőjű törteket. Ez a módszer legalábbis számomra ismeretlen. Az eredeti törtek azonban mindig átírhatók, így a nevezők azonosakká válnak.

A törtek átszámításának számos módja van. Ezek közül hármat a „Törtek közös nevezőre hozása” című leckében tárgyalunk, ezért itt nem foglalkozunk velük. Nézzünk néhány példát:

Egy feladat. Keresse meg a kifejezés értékét:

Az első esetben a törteket a "keresztirányú" módszerrel közös nevezőre hozzuk. A másodikban az LCM-et fogjuk keresni. Vegye figyelembe, hogy 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. Ezekben a bővítésekben az utolsó tényezők egyenlőek, az elsők pedig koprímek. Ezért LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.

Mi van akkor, ha a törtnek egész része van

A kedvedre tehetek: a törtek különböző nevezői nem a legnagyobb rossz. Sokkal több hiba történik, ha a teljes részt kiemeli a tört tagokban.

Természetesen az ilyen törtek számára vannak saját összeadási és kivonási algoritmusok, de ezek meglehetősen bonyolultak és hosszú tanulmányozást igényelnek. Jobb használat egyszerű áramkör lent:

1. Konvertálja az egész részt tartalmazó törteket nem megfelelővé. Normál tagokat kapunk (még ha különböző nevezőkkel is), amelyek kiszámítása a fent tárgyalt szabályok szerint történik;
2. Valójában számítsa ki a kapott törtek összegét vagy különbségét. Ennek eredményeként gyakorlatilag meg fogjuk találni a választ;
3. Ha a feladatban csak ennyi kellett, akkor végrehajtjuk az inverz transzformációt, azaz. megszabadulunk a helytelen törttől, kiemelve benne az egész részt.

A helytelen törtekre való váltás és az egész rész kiemelésének szabályait a „Mi a numerikus tört” című leckében részletesen ismertetjük. Ha nem emlékszik, feltétlenül ismételje meg. Példák:

Egy feladat. Keresse meg a kifejezés értékét:

Itt minden egyszerű. Az egyes kifejezéseken belüli nevezők egyenlőek, így marad az összes tört helytelenné alakítása és számolás. Nekünk van:

A számítások egyszerűsítése érdekében az utolsó példákban kihagytam néhány nyilvánvaló lépést.

Egy kis megjegyzés az utolsó két példához, ahol a kiemelt egész részt tartalmazó törteket kivonjuk. A második tört előtti mínusz azt jelenti, hogy a teljes tört kivonásra kerül, és nem csak a teljes része.

Olvasd el újra ezt a mondatot, nézd meg a példákat, és gondolkozz el rajta. Ezt a kezdők megengedik nagy mennyiség hibákat. Szeretnek ilyen feladatokat adni ellenőrzési munka. Ismételten találkozni fog velük ennek a leckének a tesztjein is, amelyeket hamarosan közzétesznek.

Összefoglalás: A számítástechnika általános sémája

Befejezésül adok egy általános algoritmust, amely segít megtalálni két vagy több tört összegét vagy különbségét:

1. Ha egy egész rész egy vagy több törtben kiemelve van, alakítsa át ezeket a törteket nem megfelelő törtekké;
2. Hozd az összes tört közös nevezőt az Ön számára megfelelő módon (kivéve persze, ha a problémák összeállítói ezt tették);
3. Adja össze vagy vonja ki a kapott számokat az azonos nevezőjű törtek összeadási és kivonási szabályai szerint;
4. Ha lehetséges, csökkentse az eredményt. Ha a tört hibásnak bizonyult, válassza ki a teljes részt.

Ne feledje, hogy jobb, ha az egész részt kiemeli a feladat legvégén, közvetlenül a válasz megírása előtt.

Egyezzünk meg abban, hogy a leckénkben a „törtekkel végzett műveletek” közönséges törtekkel végzett műveletek alatt értendők. A tört olyan tört, amelynek olyan attribútumai vannak, mint a számláló, a törtvonal és a nevező. Ez különbözteti meg a közönséges törtet a tizedes törttől, amelyet úgy kapunk meg a közönséges törttől, hogy a nevezőt 10 többszörösére csökkentjük. A tizedes tört vesszővel írható, amely elválasztja az egész részt a törttől. A közönséges törtekkel végzett műveletekről fogunk beszélni, mivel ezek okozzák a legnagyobb nehézségeket azoknak a diákoknak, akik elfelejtették ennek a témának az alapjait, amelyeket az iskolai matematika tanfolyam első felében tárgyaltunk. Ugyanakkor a magasabb matematikai kifejezések átalakításakor elsősorban a közönséges törtekkel végzett műveleteket használják. A törtek egyes rövidítései érnek valamit! A tizedes törtek nem okoznak nagy nehézséget. Szóval hajrá!

Két tört és egyenlőnek nevezzük, ha .

Például azért, mert

A és (ince ), és (ince ) törtek is egyenlők.

Nyilvánvaló, hogy mind a tört és a tört egyenlő. Ez azt jelenti, hogy ha egy adott tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk vagy elosztjuk ugyanazzal a természetes számmal, akkor az adott törtszámot kapjuk:.

Ezt a tulajdonságot a tört alaptulajdonságának nevezzük.

A tört alaptulajdonsága a tört számlálójának és nevezőjének előjelét megváltoztathatja. Ha a tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk -1-gyel, akkor azt kapjuk. Ez azt jelenti, hogy a tört értéke nem változik, ha a számláló és a nevező előjelét egyszerre változtatjuk. Ha csak a számláló vagy csak a nevező előjelét változtatja meg, akkor a tört megváltoztatja az előjelét:

Frakciócsökkentés

A tört alaptulajdonságát felhasználva egy adott törtet helyettesíthetünk egy másik törttel, amely megegyezik az adott törttel, de kisebb számlálóval és nevezővel. Ezt a helyettesítést frakciócsökkentésnek nevezzük.

Legyen például megadva egy tört. A 36 és 48 számok legnagyobb közös osztója 12. Akkor

.

Általános esetben a törtcsökkentés mindig lehetséges, ha a számláló és a nevező nem másodprím számok. Ha a számláló és a nevező viszonylag prímszámok, akkor a törtet irreducibilisnek nevezzük.

Tehát a tört csökkentése azt jelenti, hogy a tört számlálóját és nevezőjét elosztjuk egy közös tényezővel. A fentiek mindegyike vonatkozik a változókat tartalmazó törtkifejezésekre.

1. példa Csökkentse a frakciót

Megoldás. A számláló tényezõkké tétele, miután korábban bemutatta a monomot - 5 xyösszegként - 2 xy - 3xy, kapunk

A nevező faktorizálásához a négyzetek különbségi képletét használjuk:

Ennek eredményeként

.

Törtek közös nevezőre hozása

Legyen két tört és adott. Különböző nevezőik vannak: 5 és 7. A tört alapvető tulajdonságát felhasználva ezeket a törteket helyettesítheti velük azonos törtekkel, és így a kapott törtek azonos nevezőt kapnak. A tört számlálóját és nevezőjét 7-tel megszorozva kapjuk

A számlálót és a nevezőt 5-tel megszorozva kapjuk

Tehát a törteket közös nevezőre redukáljuk:

.

De nem ez az egyetlen megoldás a problémára: például ezeket a törteket is le lehet redukálni 70-es közös nevezőre:

,

és általában bármely 5-tel és 7-tel osztható nevezőre.

Nézzünk még egy példát: csökkentsük a törtet és egy közös nevezőre. Az előző példához hasonlóan érvelve azt kapjuk

,

.

De ebben az esetben a törteket közös nevezőre hozhatja, kevesebb, mint e törtek nevezőinek szorzata. Keresse meg 24 és 30 legkisebb közös többszörösét: LCM(24, 30) = 120 .

Mivel 120:4=5, a 120-as nevezőjű tört felírásához a számlálót és a nevezőt is meg kell szorozni 5-tel, ezt a számot járulékos tényezőnek nevezzük. Eszközök .

Továbbá 120:30=4-et kapunk. A tört számlálóját és nevezőjét további 4-gyel megszorozva kapjuk .

Tehát ezek a törtek közös nevezőre redukálódnak.

E törtek nevezőinek legkisebb közös többszöröse a lehető legkisebb közös nevező.

A változókat tartalmazó törtkifejezéseknél a közös nevező egy olyan polinom, amely osztható az egyes törtek nevezőjével.

2. példa Keresse meg az és a törtek közös nevezőjét.

Megoldás. E törtek közös nevezője egy polinom, mivel osztható mindkettővel és -el. Azonban nem ez a polinom az egyetlen, amely e törtek közös nevezője lehet. Lehet polinom is , és polinom , és polinom stb. Általában olyan közös nevezőt vesznek fel, hogy bármely más közös nevező maradék nélkül osztható a választottal. Az ilyen nevezőt a legkisebb közös nevezőnek nevezzük.

Példánkban a legkisebb közös nevező a . Kapott:

;

.

Sikerült a legkisebb közös nevezőig törteket hozni. Ez úgy történt, hogy az első tört számlálóját és nevezőjét megszoroztuk -vel, a második tört számlálóját és nevezőjét pedig -vel. A és polinomokat további tényezőknek nevezzük az első és a második törthez.

Törtek összeadása és kivonása

A frakciók hozzáadásának meghatározása a következő:

.

Például,

.

Ha egy b = d, akkor

.

Ez azt jelenti, hogy az azonos nevezőjű törtek összeadásához elegendő a számlálókat összeadni, és a nevezőt változatlannak hagyni. Például,

.

Ha különböző nevezőjű törteket adunk össze, akkor a törteket általában a legkisebb közös nevezőre redukáljuk, majd hozzáadjuk a számlálókat. Például,

.

Most nézzünk meg egy példát a változókkal rendelkező törtkifejezések hozzáadására.

3. példa Konvertálja a kifejezést egy törtté

.

Megoldás. Keressük a legkisebb közös nevezőt. Ehhez először faktorizáljuk a nevezőket.

A cikkben megmutatjuk hogyan kell a törteket megoldani egyszerű világos példákkal. Értsük meg, mi a tört, és gondoljuk át törtek megoldása!

koncepció törtek középiskola 6. osztályától kerül be a matematika tantárgyba.

A törtek így néznek ki: ±X / Y, ahol Y a nevező, azt mutatja meg, hogy az egész hány részre lett felosztva, X a számláló pedig azt, hogy hány ilyen részt vettek fel. Az érthetőség kedvéért vegyünk egy példát egy tortával:

Az első esetben a tortát egyformán felvágták, és az egyik felét vették, i.e. 1/2. A második esetben a tortát 7 részre vágták, ebből 4 részt vettek, i.e. 4/7.

Ha az egyik szám egy másikkal való osztásának része nem egész szám, akkor törtként írjuk le.

Például a 4:2 \u003d 2 kifejezés egész számot ad, de a 4:7 nem teljesen osztható, ezért ezt a kifejezést 4/7 törtként írjuk.

Más szavakkal töredék egy kifejezés, amely két szám vagy kifejezés felosztását jelöli, és amelyet perjellel írnak.

Ha a számláló kisebb, mint a nevező, akkor a tört helyes, ha fordítva, akkor helytelen. Egy tört egész számot tartalmazhat.

Például 5 egész 3/4.

Ez a bejegyzés azt jelenti, hogy a teljes 6 megszerzéséhez nem elég a négyből egy rész.

Ha emlékezni akarsz hogyan kell törteket megoldani a 6. osztály számára ezt meg kell értened törtek megoldása alapvetően néhány egyszerű dolog megértése.

• A tört lényegében egy tört kifejezése. Vagyis annak numerikus kifejezése, hogy egy adott érték melyik részből származik egy egészből. Például a 3/5 tört azt fejezi ki, hogy ha valami egészet 5 részre osztunk, és ennek az egésznek a részei vagy részei három.
• Egy tört lehet kisebb is, mint 1, például 1/2 (vagy lényegében fele), akkor helyes. Ha a tört nagyobb, mint 1, például 3/2 (három fél vagy másfél), akkor ez hibás, és a megoldás egyszerűsítése érdekében jobb, ha a teljes részt választjuk ki 3/2= 1 egész 1 /2.
• A törtek ugyanazok a számok, mint az 1, 3, 10, sőt 100 is, csak a számok nem egészek, hanem törtek. Ezekkel ugyanazokat a műveleteket hajthatja végre, mint a számokkal. A törtek számolása nem bonyolultabb, a továbbiakban ezt konkrét példákkal mutatjuk be.

Hogyan oldjuk meg a törteket. Példák.

A törtekre számos aritmetikai művelet alkalmazható.

Tört közös nevezőre hozása

Például össze kell hasonlítania a 3/4 és 4/5 törteket.

A feladat megoldásához először keressük meg a legkisebb közös nevezőt, azaz. legkisebb szám, amely maradék nélkül osztható a törtek mindegyik nevezőjével

A legkisebb közös nevező(4,5) = 20

Ezután mindkét tört nevezője a legkisebb közös nevezőre csökken

Válasz: 15/20

Törtek összeadása és kivonása

Ha két tört összegét kell kiszámítani, először közös nevezőre hozzuk, majd a számlálókat összeadjuk, miközben a nevező változatlan marad. A törtek különbségét hasonló módon vesszük figyelembe, az egyetlen különbség az, hogy a számlálókat kivonjuk.

Például meg kell találnia az 1/2 és 1/3 törtek összegét

Most keresse meg a különbséget az 1/2 és 1/4 törtek között

Törtek szorzása és osztása

Itt a törtek megoldása egyszerű, itt minden nagyon egyszerű:

• Szorzás - a törtek számlálóit és nevezőit megszorozzák egymás között;
• Osztás - először egy törtet kapunk, a második tört reciproka, azaz. felcseréljük a számlálóját és a nevezőjét, ami után a kapott törteket megszorozzuk.

Például:

Ezen kb hogyan kell a törteket megoldani, összes. Ha bármilyen kérdése van a törtek megoldása, valami nem világos, akkor írd meg a megjegyzésekben, és válaszolunk.

Ha Ön tanár, a prezentáció letölthető Általános Iskola(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) hasznos lesz.

Aritmetikai műveletek közönséges törtekkel

1. Kiegészítés.

Ha azonos nevezőjű törteket szeretne hozzáadni, adja hozzá a számlálóikat, és hagyja ugyanazt a nevezőt.

Példa. .

Különböző nevezőjű törtek hozzáadásához a legkisebb közös nevezőre kell hozni őket, majd össze kell adni a kapott számlálókat, és alá kell írni a közös nevezőt az összeg alá.

Példa.

Röviden így leírva:

Vegyes számok hozzáadásához külön meg kell találnia az egész számok összegét és a tört részek összegét. A művelet így van leírva:

2. Kivonás.

Az azonos nevezőjű törtek kivonásához ki kell vonni a kivont számlálóját a minuend számlálójából, és meg kell hagyni ugyanazt a nevezőt. A művelet így van leírva:

A különböző nevezőjű törtek kivonásához először a legkisebb közös nevezőre kell hozni őket, majd ki kell vonni a rész számlálóját a minuend számlálójából, és a közös nevezőt a különbségük alá kell írni. A művelet így van leírva:

Ha ki kell vonni egy vegyes számot egy másik vegyes számból, akkor lehetőség szerint a törtből vonjon ki egy törtet, az egészből pedig egy egészet. A művelet így van leírva:

Ha a részrész törtrésze nagyobb, mint a minuend törtrésze, akkor a minuend egész számából egy egységet veszünk, ezt felosztjuk a megfelelő részekre és hozzáadjuk a minuend törtrészéhez, majd a leírtak szerint járnak el. felett. A művelet így van leírva:

Tegye ugyanezt, ha törtszámot kell kivonnia egy egész számból.

Példa. .

3. Az összeadás és kivonás tulajdonságainak kiterjesztése törtszámokra.A természetes számok összeadásának és kivonásának minden törvénye és tulajdonsága törtszámokra is érvényes. Használatuk sok esetben nagymértékben leegyszerűsíti a számítási folyamatot.

4. Szorzás.

Egy tört törttel való szorzásához meg kell szoroznia a számlálót a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel, és az első szorzatot kell számlálóvá, a második szorzatot nevezővé tenni.

Szorzáskor (ha lehetséges) csökkenteni kell.

Példa. .

Ha figyelembe vesszük, hogy egy egész szám 1-es nevezőjű tört, akkor egy tört egész számmal és egy egész szám törtszámmal való szorzata ugyanezen szabály szerint hajtható végre.

Példák.

5. Vegyes számok szorzása.

A vegyes számok szorzásához először át kell alakítani azokat nem megfelelő törtekké, majd a törtek szorzásának szabálya szerint szorozni.

Példa. .

6. Tört osztása törttel.

Egy tört törttel való osztásához meg kell szorozni az első tört számlálóját a második nevezőjével, az első nevezőjét pedig a második számlálójával, és az első szorzatot számlálóként, a másodikat meg kell szoroznia a nevező.

Példa. .

Ugyanezen szabály szerint eloszthat egy törtet egész számmal és egy egész számot törttel, ha egy egész számot 1-es nevezőjű törtként ábrázol.

Példák.

7. Vegyes számok felosztása.

A vegyes számok osztásának végrehajtásához először hibás törtekké alakítják át őket, majd osztják a törtosztás szabálya szerint.

Példa. .

8. Osztás helyettesítése szorzással.

Ha bármelyik törtben felcseréli a számlálót és a nevezőt, akkor egy új törtet kap, az adott reciprokát. Például egy töredékrea kölcsönös az lesz.

Nyilvánvaló, hogy két reciprok szorzata 1.

1. Egy szám törtrészének megtalálása.

Sok olyan probléma van, amelyben meg kell találni egy adott szám egy részét vagy töredékét. Az ilyen problémákat szorzással oldják meg.

Egy feladat. A háziasszonynak 20 rubel volt;vásárlásra használta őket. Mennyibe kerülnek a vásárlások?

Itt meg kell találni20. Ezt a következőképpen teheti meg:

Válasz. A háziasszony 8 rubelt költött.

Példák. Keresés a 30. Megoldás. .

Keresés innen. Megoldás. .

1. Szám keresése történek ismert értéke alapján.

Néha meg kell határozni az egész számot a szám ismert részéből és az ezt kifejező törtből. Az ilyen feladatokat felosztással oldják meg.

Egy feladat. Az osztályban 12 komszomol tag van, amiaz osztály összes tanulójának egy része. Hány diák van az osztályban?

Megoldás. .

Válasz. 20 diák.

Példa. Keressen egy számotami a 34.

Megoldás. .

Válasz. A kívánt szám.

1. Két szám arányának meghatározása.

Nézzük a problémát: Egy munkás 40 alkatrészt készített egy nap alatt. A havi feladat melyik részét végezte el a dolgozó, ha a havi terv 400 részből áll?

Megoldás. .

Válasz. Munkás végzetta havi terv része.

Ebben az esetben a részt (40 rész) az egész (400 rész) töredékeként fejezzük ki. Azt is elmondják, hogy a napi legyártott alkatrészek számának a havi tervhez viszonyított arányát sikerült megtalálni.

1. Tizedesjegy átalakítása közönséges törtté.

A tizedes törtté alakításához nevezővel kell írni, és ha lehetséges, rövidíteni:

Példák.

1. Tört tizedesjegyre konvertálása.

A közönséges tört tizedesvesszővé alakításának többféle módja van.

Első út. A tört tizedesjegyre konvertálásához el kell osztania a számlálót a nevezővel.

Példák. .

A második út. Ha egy közönséges törtből tizedesvesszőt szeretne változtatni, meg kell szoroznia ennek a törtnek a számlálóját és nevezőjét olyan számmal, hogy a nevező egy legyen nullákkal (ha lehetséges).

Példa.

1. Hasonlítsa össze a tizedesjegyeket nagyságrend szerint. Ahhoz, hogy megtudja, a két tizedes tört közül melyik a nagyobb, össze kell hasonlítania az egész részeket, tizedeket, századokat stb. Ha az egész részek egyenlőek, a több tizedes tört nagyobb; ha az egész és a tizedesjegy egyenlő, akkor a több századdal rendelkező nagyobb stb.

Példa. Három frakcióból 2,432; A 2,41 és a 2,4098 a legnagyobb első, mivel ebben van a legtöbb század, és az egész és a tized minden törtben megegyezik.

Műveletek tizedesjegyekkel

1. Tizedesjegy szorzása és osztása 10-zel, 100-zal, 1000-zel stb.

Egy tizedesjegy szorzata 10, 100, 1000 stb. a vesszőt kell mozgatni egy, kettő, három stb. jele jobbra. Ha ugyanakkor nincs elég jel a számhoz, akkor nullákat rendelünk hozzá.

Példa. 15,45 10 = 154,5; 32,3 100 = 3230.

Ha egy tizedesjegyet el szeretne osztani 10-zel, 100-zal, 1000-rel stb., a vesszőt egy, kettő, három stb. értékre kell mozgatnia. tábla balra. Ha nincs elég jel a vessző mozgatásához, a számuk kiegészül a megfelelő számú nullával a bal oldalon.

Példák. 184,35: 100 = 1,8435; 3,5: 100 = 0,035.

1. Tizedes törtek összeadása és kivonása.

A tizedesek összeadása és kivonása ugyanúgy történik, mint a természetes számok összeadása és kivonása. A számjegy a számjegy alá, a vessző a vessző alá kerül

Példák.

1. Tizedesjegyek szorzása.

Két tizedes tört szorzásához elegendő a vesszők figyelmen kívül hagyása nélkül megszorozni őket egész számként, és a szorzatban a jobb oldalon vesszővel elválasztani annyi tizedesjegyet, amennyi a szorzóban és a faktorban együtt volt.

1. példa 2,064 0,05.

Megszorozzuk az egész számokat 2064 5 = 10320. Az első tényező három tizedesjegyből állt, a második kettő. A szorzatnak öt tizedesjegynek kell lennie. Elválasztjuk őket a jobb oldalon, és 0,10320-at kapunk. A végén lévő nulla eldobható: 2,064 0,05 = 0,1032.

2. példa 1,125 0,08; 1125 8 = 9000.

A tizedesjegyek száma 3 + 2 = 5 legyen. A 9000 (009000) bal oldalához nullákat rendelünk, jobbról pedig öt karaktert választunk el. 1,125 0,08 = 0,09000 = 0,09 kapunk.

1. Tizedesjegyek osztása.

A tizedes törtek maradék nélküli felosztásának két esetét vizsgáljuk: 1) tizedes tört osztása egész számmal; 2) egy szám (egész vagy tört) elosztása tizedes törttel.

A tizedesjegy egész számmal való elosztása ugyanaz, mint az egész számok elosztása; a kapott maradékokat egymás után kisebb tizedes részekre osztjuk, és az osztás addig folytatódik, amíg a maradék nulla lesz.

Példák.

Egy szám (egész vagy tört) elosztása tizedessel minden esetben egész számmal való osztáshoz vezet. Ehhez növelje meg az osztót 10, 100, 1000 stb. alkalommal, és hogy a hányados ne változzon, az osztalékot ugyanannyiszor növeljük, majd elosztjuk egy egész számmal (mint az első esetben).

Példa. 47,04: 0,0084 = 470400: 84 = 5600;

1. Példák közös cselekvésekre közönséges és tizedes törtekkel.

Tekintsünk először egy példát minden tizedes törttel végzett műveletre.

1. példa Számítsa ki:

Itt az osztalék és az osztó egész számra való csökkentését használják, figyelembe véve, hogy a hányados nem változik. Akkor nálunk van:

A közönséges és tizedes törtekkel végzett közös cselekvésekre vonatkozó példák megoldása során a műveletek egy része tizedes törtben, mások pedig közönséges törtekkel hajthatók végre. Szem előtt kell tartani, hogy a közönséges tört nem mindig fordítható végső tizedes törtté. Ezért a tizedes törtként való írás csak akkor lehetséges, ha bebizonyosodott, hogy az ilyen átalakítás lehetséges.

2. példa Számítsa ki:

Érdeklődés

Az érdeklődés fogalma.Egy szám százaléka ennek a számnak a századrésze. Például ahelyett, hogy azt mondaná, hogy „hazánk összes lakosának 54 százaléka nő”, azt mondhatja, hogy „hazánk összes lakosának 54 százaléka nő”. A "százalék" szó helyett a% jelet is írják, például a 35% 35 százalékot jelent.

Mivel a százalék százas, ebből az következik, hogy a százalék egy 100-as nevezővel rendelkező tört. Ezért a tört 0,49, ill., 49 százalékként olvasható, nevező nélkül írva pedig 49%. Általánosságban elmondható, hogy miután meghatároztuk, hogy hány század van egy adott tizedes törtben, könnyen leírható százalékban. Ehhez használja a szabályt: egy tizedes tört százalékos írásához a tört vesszőjét két tizedesjegygel jobbra kell mozgatni.

Példák. 0,33 = 33%; 1,25 = 125%; 0,002 = 0,2%; 21 = 2100%.

És fordítva: 7% = 0,07; 24,5% = 0,245; 0,1% = 0,001; 200% = 2.

1. Adott szám százalékos arányának megkeresése

Egy feladat. A terv szerint a traktoros csapatnak 9 tonna üzemanyagot kell felhasználnia. A traktorosok társadalmi kötelezettséget vállaltak az üzemanyag 20%-os megtakarítására. Határozza meg az üzemanyag-megtakarítást tonnában.

Ha ebben a feladatban 20% helyett 0,2-t írunk fel vele egyenlő számmal, akkor azt a feladatot kapjuk, hogy megtaláljuk egy szám törtrészét. És az ilyen problémákat szorzással oldják meg. Innen jön a megoldás:

20% = 0,2; 9 0,2 = 1,8 (m).

A számításokat így is felírhatjuk:

(m)

Egy adott szám néhány százalékának megtalálásához elegendő az adott számot elosztani 100-zal, és az eredményt megszorozni a százalékok számával.

Egy feladat. Egy munkás 1963-ban havi 90 rubelt kapott, 1964-ben pedig 30%-kal többet kapott. Mennyit keresett 1964-ben?

Megoldás (első módszer).

1) Hány rubelt kapott még a munkás?

(dörzsölés.)

90 + 27 = 117 (dörzsölje).

A második út.

1) Korábbi keresetének hány százalékát kapta a dolgozó 1964-ben?

100% + 30% = 130%.

2) Mennyi volt egy munkás havi fizetése 1964-ben?

(dörzsölés.)

2. Szám keresése százalékának adott értékéből.

Egy feladat. A kolhozban 280 hektáron vetettek kukoricát, ami a teljes vetésterület 14%-a. Határozza meg a kolhoz vetésterületét.

Ha ebben a feladatban 14% helyett 0,14 ill, akkor azt a feladatot kapjuk, hogy egy számot történek ismert értékével keressünk. És az ilyen problémákat felosztással oldják meg.

Megoldás. 14% = 0,14; 280: 0,14 = 2000 (ha). Ezt a döntést így hozhatja meg:

(Ha)

Ahhoz, hogy egy adott értékhez egy számot találjunk, amelynek több százaléka, elegendő ezt az értéket elosztani a százalékok számával, és az eredményt megszorozni 100-zal.

Egy feladat. Márciusban az üzem 125,4 olvadt t fém, 4,5%-kal túlteljesítve a tervet. Hány tonna fémet kellett volna az üzemnek beolvasztania márciusban a tervek szerint?

Megoldás.

1) Hány százalékban teljesítette az üzem a tervet márciusban?

100% + 4,5% = 104,5%.

2) Hány tonna fémet kellett az üzemnek megolvasztania?

(Ha)

1. Két szám százalékos arányának meghatározása.

Egy feladat. 300 hektár földet kell felszántani. Az első napon 120 hektárt szántottak fel. A feladat hány százalékát szántották az első napon?

Megoldás.

Első út. 300 ha 100%, ami azt jelenti, hogy 1% 3 ha-t tesz ki. Miután meghatároztuk, hogy 120 hektárban hányszor van 3 hektár, ami 1%, megtudjuk, hogy a munka hány százalékát szántották az első napon.

120: 3 = 40(%).

A második út. Miután meghatároztuk, hogy a föld mely részét szánták az első napon, ezt a hányadot százalékban fejezzük ki.

Írjuk fel a számítást:

Szám százalékos arányának kiszámítása a-ból b számba , meg kell találni az arányt a-tól b-ig és szorozd meg 100-zal.