Πώς να λύσετε τριπλά κλάσματα. Πολύπλοκες εκφράσεις με κλάσματα. Διαδικασία

Ας πάμε στη μάχη με τα μαθηματικά! Ο εχθρός είναι απείθαρχα κλάσματα. Πρόγραμμα 5ης τάξης. Ένα στρατηγικά σημαντικό καθήκον είναι να εξηγήσετε τα κλάσματα στο παιδί. Ας αλλάξουμε ρόλους με τον δάσκαλο και ας προσπαθήσουμε να το κάνουμε με «λίγο αίμα», χωρίς νεύρα και μέσα προσιτή μορφή. Είναι πολύ πιο εύκολο να εκπαιδεύσεις έναν στρατιώτη παρά έναν λόχο...

ria.ru

Πώς να εξηγήσετε τα κλάσματα σε ένα παιδί

Μην περιμένετε μέχρι το παιδί σας να πάει στην 5η δημοτικού και να συναντήσει κλάσματα στις σελίδες ενός σχολικού βιβλίου μαθηματικών. Συνιστούμε να αναζητήσετε την απάντηση στην ερώτηση "Πώς να εξηγήσετε τα κλάσματα σε ένα παιδί" στην κουζίνα! Και κάντε το αμέσως τώρα! Ακόμα κι αν το παιδί σας είναι μόλις 4-5 ετών, μπορεί να καταλάβει την έννοια της έννοιας «κλάσματα» και μπορεί ακόμη και να μάθει τις πιο απλές ενέργειες με κλάσματα.

Μοιραστήκαμε ένα πορτοκάλι.
Είμαστε πολλοί και αυτός είναι ένας
Αυτή η φέτα για έναν σκαντζόχοιρο, αυτή η φέτα για ένα σιτάρι...
Και για λύκο - φλούδα.

Θυμάστε το ποίημα; Εδώ είναι το πιο ενδεικτικό παράδειγμα και το πιο αποτελεσματική ηγεσίαστη δράση! Είναι πιο εύκολο να εξηγήσετε τα κλάσματα σε ένα παιδί χρησιμοποιώντας το φαγητό ως παράδειγμα: κόβουμε ένα μήλο στη μέση και στα τέταρτα, μοιράζουμε την πίτσα μεταξύ των μελών της οικογένειας, κόβουμε ένα καρβέλι ψωμί πριν το δείπνο, κ.λπ. Το πιο σημαντικό, πριν φάτε το «οπτικό βοήθημα» μην ξεχάσετε να φωνάξετε ποιο μέρος του συνόλου «καταστρέφετε».

• Εισαγάγετε την έννοια του "μεριδίου".

Τονίστε ότι ένα ΟΛΟΚΛΗΡΟ πορτοκάλι (μήλο, μπάρα σοκολάτας, καρπούζι κ.λπ.) είναι 1 (σημειώνεται με τον αριθμό 1).

• Εισαγάγετε την έννοια του "κλάσμα".

Χωρίζουμε ένα πορτοκάλι ή μια σοκολάτα, μπορείτε επίσης να πείτε "συνθλίβετε" σε πολλά μέρη.

Δείξτε στο παιδί σας ένα γνωστό αντικείμενο - έναν χάρακα. Εξηγήστε ότι υπάρχουν ενδιάμεσες τιμές μεταξύ αριθμών - τμημάτων.

i.ytimg.com

• Εξηγήστε πώς γράφετε τα κλάσματα: τι σημαίνει ο αριθμητής και τι δείχνει ο παρονομαστής.

Η έννοια της έννοιας «κλάσματα» και η σωστή σημειογραφία μπορούν εύκολα να φανούν χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ενός κατασκευαστή. Στον αριθμητή ΠΑΝΩ από τη γραμμή γράφουμε ποιο μέρος, και στον παρονομαστή ΚΑΤΩ από τη γραμμή - σε πόσα τέτοια μέρη χωρίστηκε το σύνολο.

gladtolearn.ru

spacemath.xyz

Φροντίστε να χρησιμοποιήσετε ένα καλό παράδειγμα για να δείξετε τη διαφορά μεταξύ κλασμάτων με τον ίδιο αριθμητή αλλά διαφορετικούς παρονομαστές.

gladtolearn.ru

Χρησιμοποιώντας το παράδειγμα 4 τετραγώνων ίδιου μεγέθους, δείξτε πώς μπορείτε να τα χωρίσετε σε ίδιο / διαφορετικό αριθμό τμημάτων. Αφήστε το παιδί να κόψει τα κενά χαρτιού με ψαλίδι και, στη συνέχεια, σημειώστε τα αποτελέσματα χρησιμοποιώντας κλάσματα.

gladtolearn.ru

• Εξηγήστε πώς να γράψετε ένα σύνολο ως κλάσμα.

Θυμηθείτε το τετράγωνο και πώς το χωρίσαμε σε 4 μέρη. Ένα τετράγωνο είναι ένα σύνολο, μπορούμε να το γράψουμε ως 1. Πώς όμως να το γράψουμε ως κλάσμα: τι είναι στον αριθμητή, τι είναι στον παρονομαστή; Αν χωρίσουμε το τετράγωνο σε 4 μέρη, τότε ολόκληρο το τετράγωνο είναι 4/4. Αν χωρίσουμε το τετράγωνο σε 8 μέρη, τότε ολόκληρο το τετράγωνο είναι 8/8. Αλλά εξακολουθεί να είναι ένα τετράγωνο, δηλ. 1. Και τα 4/4 και τα 8/8 είναι μια μονάδα, ένα σύνολο!

Πώς να εξηγήσετε τα κλάσματα σε ένα παιδί: κάντε τις ΣΩΣΤΕΣ ερωτήσεις

Για να κατανοήσει ένας μαθητής της 5ης τάξης το θέμα "Κλάσματα" και να μάθει πώς να εκτελεί υπολογισμούς με κλάσματα, ας δούμε τη μεθοδολογία. Είναι σημαντικό για εμάς, γονείς, να καταλάβουμε πώς ο δάσκαλος στο σχολείο εξηγεί τα κλάσματα στα παιδιά, διαφορετικά μπορούμε να μπερδέψουμε εντελώς τον «στρατιώτη» μας.

Κλάσμα είναι ένας αριθμός που είναι μέρος ενός ολόκληρου αντικειμένου. Είναι πάντα λιγότερο από ένα.

Παράδειγμα 1Ένα μήλο είναι ένα ολόκληρο και το μισό είναι ένα δευτερόλεπτο. Είναι μικρότερο από ένα ολόκληρο μήλο; Χωρίστε ξανά τα μισά στη μέση. Κάθε φέτα είναι το ένα τέταρτο ενός ολόκληρου μήλου και είναι λιγότερο από το μισό.

Κλάσμα είναι ο αριθμός των μερών ενός συνόλου.

Παράδειγμα 2Για παράδειγμα, ένα νέο προϊόν μεταφέρθηκε σε ένα κατάστημα ρούχων: 30 πουκάμισα. Οι πωλητές κατάφεραν να απλώσουν και να κρεμάσουν μόνο το ένα τρίτο όλων των πουκάμισων από τη νέα συλλογή. Πόσα πουκάμισα κρέμασαν;
Το παιδί εύκολα θα υπολογίσει προφορικά ότι ένα τρίτο (το ένα τρίτο) είναι 10 πουκάμισα, δηλ. 10 κρεμάστηκαν και οδηγήθηκαν στον πάγκο συναλλαγών και άλλα 20 παρέμειναν στην αποθήκη.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ:Οτιδήποτε μπορεί να μετρηθεί με κλάσματα, όχι μόνο φέτες πίτσας, αλλά και λίτρα σε βαρέλια, ο αριθμός των άγριων ζώων στο δάσος, η περιοχή κ.λπ.

Φέρτε τα περισσότερα διαφορετικά παραδείγματααπό τη ζωή, έτσι ώστε ένα παιδί της 5ης τάξης να κατανοήσει την ΟΥΣΙΑ των κλασμάτων: αυτό θα βοηθήσει στο μέλλον στην επίλυση προβλημάτων και στην εκτέλεση υπολογισμών με σωστά και ακατάλληλα κλάσματα και η μάθηση στην 5η τάξη δεν θα είναι βάρος, αλλά χαρά.

Πώς να βεβαιωθείτε ότι το παιδί έχει μάθει ότι στην καταγραφή των κλασμάτων συμβολίζονται οι αριθμοί στον αριθμητή και στον παρονομαστή;

Παράδειγμα 3Ρωτήστε τι σημαίνει το 5 στο κλάσμα 4/5;

- Σε πόσα μέρη χωρίστηκε.
- Τι σημαίνει 4;
- Τόσο πήραν.

Η σύγκριση κλασμάτων είναι ίσως το πιο δύσκολο θέμα.

Παράδειγμα 4Προσκαλέστε το παιδί να πει ποιο κλάσμα είναι μεγαλύτερο: 3/10 ή 3/20; Φαίνεται ότι αφού το 10 είναι λιγότερο από το 20, τότε η απάντηση είναι προφανής, αλλά δεν είναι! Θυμηθείτε τα τετράγωνα που κόψαμε σε κομμάτια. Εάν κοπούν δύο τετράγωνα ίδιου μεγέθους - το ένα σε 10, το δεύτερο σε 20 μέρη - είναι προφανής η απάντηση; Ποιο κλάσμα λοιπόν είναι μεγαλύτερο;

Ενέργειες με κλάσματα

Αν δείτε ότι το παιδί έχει κατακτήσει καλά το νόημα της γραφής με τη μορφή κλάσματος, μπορείτε να προχωρήσετε σε απλές αριθμητικές πράξεις με κλάσματα. Στο παράδειγμα του κατασκευαστή, μπορείτε να το κάνετε αυτό πολύ καθαρά.

Παράδειγμα 5

edinstvennaya.ua

Παράδειγμα 6Μαθηματικό λότο με θέμα "Κλάσματα".

www.kakprosto.ru

Αγαπητοί αναγνώστες, αν γνωρίζετε άλλους αποτελεσματικές μεθόδουςπώς να εξηγήσετε τα κλάσματα σε ένα παιδί, μοιραστείτε στα σχόλια. Είμαστε στην ευχάριστη θέση να αναπληρώσουμε τον κουμπαρά μας με πρακτικές σχολικές συμβουλές.

Ενέργειες με κλάσματα. Σε αυτό το άρθρο, θα αναλύσουμε παραδείγματα, όλα είναι λεπτομερή με επεξηγήσεις. Θα εξετάσουμε συνηθισμένα κλάσματα. Στο μέλλον, θα αναλύσουμε τα δεκαδικά. Προτείνω να παρακολουθήσετε ολόκληρο και να μελετήσετε διαδοχικά.

1. Άθροισμα κλασμάτων, διαφορά κλασμάτων.

Κανόνας: όταν προσθέτουμε κλάσματα με ίσους παρονομαστές, το αποτέλεσμα είναι ένα κλάσμα - ο παρονομαστής του οποίου παραμένει ο ίδιος και ο αριθμητής του θα είναι ίσος με το άθροισμα των αριθμητών των κλασμάτων.

Κανόνας: όταν υπολογίζουμε τη διαφορά των κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές, παίρνουμε ένα κλάσμα - ο παρονομαστής παραμένει ο ίδιος και ο αριθμητής του δεύτερου αφαιρείται από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος.

Τυπική σημειογραφία του αθροίσματος και της διαφοράς των κλασμάτων με ίσους παρονομαστές:

Παραδείγματα (1):

Είναι σαφές ότι όταν δίνονται συνηθισμένα κλάσματα, τότε όλα είναι απλά, αλλά αν αναμειγνύονται; Τίποτα περίπλοκο...

Επιλογή 1- μπορείτε να τα μετατρέψετε σε συνηθισμένα και μετά να τα υπολογίσετε.

Επιλογή 2- μπορείτε να "δουλέψετε" χωριστά με τα ακέραια και τα κλασματικά μέρη.

Παραδείγματα (2):

Ακόμη:

Και αν δίνεται η διαφορά δύο μικτών κλασμάτων και ο αριθμητής του πρώτου κλάσματος είναι μικρότερος από τον αριθμητή του δεύτερου; Μπορεί επίσης να γίνει με δύο τρόπους.

Παραδείγματα (3):

* Μεταφράστηκε σε συνηθισμένα κλάσματα, υπολόγισε τη διαφορά, μετέτρεψε το ακατάλληλο κλάσμα που προέκυψε σε μικτό.

* Διαιρέθηκε σε ακέραια και κλασματικά μέρη, πήρε τρία, μετά παρουσιάστηκε το 3 ως άθροισμα του 2 και του 1, με τη μονάδα να παρουσιάζεται ως 11/11, στη συνέχεια βρέθηκε η διαφορά μεταξύ 11/11 και 7/11 και υπολόγισε το αποτέλεσμα. Το νόημα των παραπάνω μετασχηματισμών είναι να πάρουμε (επιλέξουμε) μια μονάδα και να την παρουσιάσουμε ως κλάσμα με τον παρονομαστή που χρειαζόμαστε, τότε από αυτό το κλάσμα μπορούμε ήδη να αφαιρέσουμε ένα άλλο.

Ενα άλλο παράδειγμα:

Συμπέρασμα: υπάρχει μια καθολική προσέγγιση - για να υπολογίσετε το άθροισμα (διαφορά) μικτών κλασμάτων με ίσους παρονομαστές, μπορούν πάντα να μετατραπούν σε ακατάλληλα και στη συνέχεια να εκτελέσετε την απαραίτητη ενέργεια. Μετά από αυτό, εάν ως αποτέλεσμα πάρουμε ένα ακατάλληλο κλάσμα, το μεταφράζουμε σε μικτό.

Παραπάνω, εξετάσαμε παραδείγματα με κλάσματα που έχουν ίσους παρονομαστές. Τι γίνεται αν οι παρονομαστές διαφέρουν; Στην περίπτωση αυτή, τα κλάσματα μειώνονται στον ίδιο παρονομαστή και εκτελείται η καθορισμένη ενέργεια. Για την αλλαγή (μετατροπή) ενός κλάσματος, χρησιμοποιείται η κύρια ιδιότητα του κλάσματος.

Εξετάστε απλά παραδείγματα:

Σε αυτά τα παραδείγματα, βλέπουμε αμέσως πώς ένα από τα κλάσματα μπορεί να μετατραπεί για να πάρει ίσους παρονομαστές.

Εάν ορίσουμε τρόπους μείωσης των κλασμάτων σε έναν παρονομαστή, τότε αυτός θα ονομάζεται ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΡΩΤΗ.

Δηλαδή, αμέσως όταν "αξιολογείτε" το κλάσμα, πρέπει να καταλάβετε εάν μια τέτοια προσέγγιση θα λειτουργήσει - ελέγχουμε αν ο μεγαλύτερος παρονομαστής διαιρείται με τον μικρότερο. Και αν διαιρεθεί, τότε εκτελούμε τον μετασχηματισμό - πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή έτσι ώστε οι παρονομαστές και των δύο κλασμάτων να γίνουν ίσοι.

Τώρα δείτε αυτά τα παραδείγματα:

Αυτή η προσέγγιση δεν ισχύει για αυτούς. Υπάρχουν άλλοι τρόποι για να μειώσετε τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή, εξετάστε τους.

Μέθοδος ΔΕΥΤΕΡΗ.

Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου και τον αριθμητή και τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος με τον παρονομαστή του πρώτου:

*Μάλιστα, φέρνουμε τα κλάσματα στη μορφή όταν οι παρονομαστές γίνονται ίσοι. Στη συνέχεια, χρησιμοποιούμε τον κανόνα της προσθήκης δειλά με ίσους παρονομαστές.

Παράδειγμα:

*Αυτή η μέθοδος μπορεί να ονομαστεί καθολική και λειτουργεί πάντα. Το μόνο αρνητικό είναι ότι μετά τους υπολογισμούς, μπορεί να προκύψει ένα κλάσμα που θα πρέπει να μειωθεί περαιτέρω.

Εξετάστε ένα παράδειγμα:

Φαίνεται ότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής διαιρούνται με το 5:

Μέθοδος ΤΡΙΤΗ.

Βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) των παρονομαστών. Αυτός θα είναι ο κοινός παρονομαστής. Ποιος είναι αυτός ο αριθμός; Αυτός είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός που διαιρείται με κάθε έναν από τους αριθμούς.

Κοιτάξτε, εδώ είναι δύο αριθμοί: 3 και 4, υπάρχουν πολλοί αριθμοί που διαιρούνται με αυτούς - αυτοί είναι 12, 24, 36, ... Ο μικρότερος από αυτούς είναι το 12. Ή το 6 και το 15, το 30, το 60, το 90 είναι διαιρείται με αυτά .... Τουλάχιστον 30. Ερώτηση - πώς να προσδιορίσετε αυτό το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο;

Υπάρχει ένας σαφής αλγόριθμος, αλλά συχνά αυτό μπορεί να γίνει αμέσως χωρίς υπολογισμούς. Για παράδειγμα, σύμφωνα με τα παραπάνω παραδείγματα (3 και 4, 6 και 15), δεν χρειάζεται αλγόριθμος, πήραμε μεγάλους αριθμούς (4 και 15), τους διπλασιάσαμε και είδαμε ότι διαιρούνται με τον δεύτερο αριθμό, αλλά ζεύγη αριθμών μπορεί να είναι άλλα, όπως 51 και 119.

Αλγόριθμος. Για να προσδιορίσετε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο πολλών αριθμών, πρέπει:

- να αποσυνθέσετε κάθε έναν από τους αριθμούς σε ΑΠΛΟΥΣ παράγοντες

- γράψτε την αποσύνθεση των ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΩΝ από αυτά

- πολλαπλασιάστε το με τους συντελεστές που λείπουν άλλων αριθμών

Εξετάστε παραδείγματα:

50 και 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

στην επέκταση ενός μεγαλύτερου αριθμού λείπει το ένα πέντε

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 και 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

στην επέκταση μεγαλύτερου αριθμού λείπουν δύο και τρία

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο πρώτων αριθμών είναι ίσο με το γινόμενο τους

Ερώτηση! Και γιατί είναι χρήσιμο να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο, επειδή μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη δεύτερη μέθοδο και απλά να μειώσετε το κλάσμα που προκύπτει; Ναι, μπορείτε, αλλά δεν είναι πάντα βολικό. Δείτε ποιος θα είναι ο παρονομαστής για τους αριθμούς 48 και 72 αν απλώς τους πολλαπλασιάσετε 48∙72 = 3456. Συμφωνήστε ότι είναι πιο ευχάριστο να δουλεύετε με μικρότερους αριθμούς.

Εξετάστε παραδείγματα:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

στην επέκταση ενός μεγαλύτερου αριθμού λείπει ένα τριπλό

=> LCM(51.119) = 3∙7∙17

Και τώρα εφαρμόζουμε την πρώτη μέθοδο:

* Κοιτάξτε τη διαφορά στους υπολογισμούς, στην πρώτη περίπτωση υπάρχει ένα ελάχιστο από αυτά και στη δεύτερη πρέπει να εργαστείτε ξεχωριστά σε ένα κομμάτι χαρτί και ακόμη και το κλάσμα που πήρατε πρέπει να μειωθεί. Η εύρεση του LCM απλοποιεί σημαντικά την εργασία.

Περισσότερα παραδείγματα:

* Στο δεύτερο παράδειγμα είναι ξεκάθαρο ότι μικρότερος αριθμός, το οποίο διαιρείται με το 40 και το 60 είναι ίσο με 120.

ΣΥΝΟΛΟ! ΓΕΝΙΚΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ!

- φέρνουμε κλάσματα στα συνηθισμένα, αν υπάρχει ακέραιο μέρος.

- φέρνουμε τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή (πρώτα κοιτάμε να δούμε αν ένας παρονομαστής διαιρείται με έναν άλλο, αν διαιρείται, στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του άλλου κλάσματος, αν δεν διαιρείται, ενεργούμε χρησιμοποιώντας το άλλες μεθόδους που αναφέρονται παραπάνω).

- έχοντας λάβει κλάσματα με ίσους παρονομαστές, εκτελούμε ενέργειες (πρόσθεση, αφαίρεση).

- αν χρειαστεί, μειώνουμε το αποτέλεσμα.

- εάν είναι απαραίτητο, επιλέξτε ολόκληρο το τμήμα.

2. Γινόμενο κλασμάτων.

Ο κανόνας είναι απλός. Κατά τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων, οι αριθμητές και οι παρονομαστές τους πολλαπλασιάζονται:

Παραδείγματα:

Μια εργασία. Στη βάση μεταφέρθηκαν 13 τόνοι λαχανικών. Οι πατάτες αποτελούν τα ¾ όλων των εισαγόμενων λαχανικών. Πόσα κιλά πατάτες έφεραν στη βάση;

Ας τελειώσουμε με τη δουλειά.

*Σας υποσχέθηκα νωρίτερα να δώσω μια επίσημη εξήγηση της κύριας ιδιότητας του κλάσματος μέσω του γινόμενου, παρακαλώ:

3. Διαίρεση κλασμάτων.

Η διαίρεση των κλασμάτων ανάγεται στον πολλαπλασιασμό τους. Είναι σημαντικό να θυμάστε εδώ ότι το κλάσμα που είναι διαιρέτης (αυτό που διαιρείται με) ανατρέπεται και η ενέργεια αλλάζει σε πολλαπλασιασμό:

Αυτή η ενέργεια μπορεί να γραφτεί ως το λεγόμενο κλάσμα τεσσάρων ιστοριών, επειδή η ίδια η διαίρεση ":" μπορεί επίσης να γραφτεί ως κλάσμα:

Παραδείγματα:

Αυτό είναι όλο! Καλή σου τύχη!

Με εκτίμηση, Alexander Krutitskikh.

Σχεδόν κάθε μαθητής της πέμπτης δημοτικού μετά την πρώτη γνωριμία με τα συνηθισμένα κλάσματα βρίσκεται σε ένα μικρό σοκ. Όχι μόνο χρειάζεται ακόμα να κατανοήσετε την ουσία των κλασμάτων, αλλά πρέπει ακόμα να εκτελέσετε αριθμητικές πράξεις με αυτά. Μετά από αυτό, οι μικροί μαθητές θα ανακρίνουν συστηματικά τον δάσκαλό τους, θα ανακαλύψουν πότε θα εξαντληθούν αυτά τα κλάσματα.

Για να αποφύγετε τέτοιες καταστάσεις, αρκεί απλώς να εξηγήσετε αυτό το δύσκολο θέμα στα παιδιά όσο πιο απλά γίνεται και κατά προτίμηση με παιχνιδιάρικο τρόπο.

Η ουσία του κλάσματος

Πριν μάθετε τι είναι κλάσμα, το παιδί πρέπει να εξοικειωθεί με την έννοια μερίδιο . Εδώ η συσχετιστική μέθοδος ταιριάζει καλύτερα.

Φανταστείτε ένα ολόκληρο κέικ που έχει χωριστεί σε πολλά ίσα μέρη, ας πούμε τέσσερα. Τότε κάθε κομμάτι της τούρτας μπορεί να ονομαστεί μερίδιο. Εάν πάρετε ένα από τα τέσσερα κομμάτια του κέικ, τότε θα είναι το ένα τέταρτο του μεριδίου.

Οι μετοχές είναι διαφορετικές, γιατί το σύνολο μπορεί να χωριστεί σε εντελώς διαφορετικό αριθμό μερών. Όσο περισσότερες μετοχές γενικά, τόσο μικρότερες είναι και το αντίστροφο.

Για να μπορέσουν να προσδιοριστούν οι μετοχές, κατέληξαν σε μια τέτοια μαθηματική ιδέα όπως κοινό κλάσμα. Το κλάσμα θα μας επιτρέψει να καταγράψουμε όσες μετοχές χρειαζόμαστε.

Τα συστατικά ενός κλάσματος είναι ο αριθμητής και ο παρονομαστής, τα οποία χωρίζονται με κλασματική ράβδο ή κάθετο. Πολλά παιδιά δεν καταλαβαίνουν τη σημασία τους και επομένως η ουσία του κλάσματος δεν τους είναι ξεκάθαρη. Η κλασματική γραμμή υποδεικνύει διαίρεση, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο εδώ.

Συνηθίζεται να γράφετε τον παρονομαστή παρακάτω, κάτω από την κλασματική γραμμή ή στα δεξιά της γραμμής επικάλυψης. Δείχνει τον αριθμό των μερών του συνόλου. Ο αριθμητής, που γράφεται πάνω από την κλασματική γραμμή ή στα αριστερά της πλάγιας γραμμής, καθορίζει πόσες μετοχές λήφθηκαν. Για παράδειγμα, το κλάσμα 4/7. Σε αυτήν την περίπτωση, το 7 είναι ο παρονομαστής, δείχνει ότι υπάρχουν μόνο 7 μετοχές και ο αριθμητής 4 υποδηλώνει ότι ελήφθησαν τέσσερις από τις επτά μετοχές.

Οι κύριες μετοχές και το ρεκόρ τους σε κλάσματα:

Εκτός από το συνηθισμένο, υπάρχει και ένα δεκαδικό κλάσμα.

Ενέργειες με κλάσματα Βαθμός 5

Στην πέμπτη τάξη μαθαίνουν να εκτελούν όλες τις αριθμητικές πράξεις με κλάσματα.

Όλες οι ενέργειες με κλάσματα εκτελούνται σύμφωνα με τους κανόνες και δεν αξίζει να ελπίζουμε ότι χωρίς να μάθετε τον κανόνα όλα θα αποδειχθούν από μόνα τους. Επομένως, μην παραμελείτε το προφορικό μέρος εργασία για το σπίτιμαθηματικά.

Έχουμε ήδη καταλάβει ότι τα δεκαδικά και τα συνηθισμένα κλάσματα είναι διαφορετικά, επομένως, οι αριθμητικές πράξεις θα εκτελούνται διαφορετικά. Οι ενέργειες με συνηθισμένα κλάσματα εξαρτώνται από τους αριθμούς που βρίσκονται στον παρονομαστή και σε δεκαδικό, μετά την υποδιαστολή στα δεξιά.

Για τα κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές, ο αλγόριθμος πρόσθεσης και αφαίρεσης είναι πολύ απλός. Οι ενέργειες εκτελούνται μόνο με αριθμητές.

Για κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, βρείτε Ελάχιστος κοινός παρονομαστής (LCD). Αυτός είναι ο αριθμός που θα διαιρεθεί χωρίς υπόλοιπο με όλους τους παρονομαστές και θα είναι ο μικρότερος από αυτούς τους αριθμούς, αν υπάρχουν αρκετοί από αυτούς.

Για να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε δεκαδικά ψηφία, πρέπει να τα γράψετε σε μια στήλη, κόμμα κάτω από κόμμα και να εξισώσετε τον αριθμό των δεκαδικών ψηφίων εάν είναι απαραίτητο.

Για να πολλαπλασιάσετε τα συνηθισμένα κλάσματα, απλά βρείτε το γινόμενο των αριθμητών και των παρονομαστών. Ένας πολύ απλός κανόνας.

Η διαίρεση γίνεται σύμφωνα με τον ακόλουθο αλγόριθμο:

1. Μέρισμα να γραφτεί χωρίς αλλαγή
2. Η διαίρεση μετατρέπεται σε πολλαπλασιασμό
3. Αναποδογυρίστε τον διαιρέτη (γράψτε το αντίστροφο του διαιρέτη)
4. Εκτελέστε πολλαπλασιασμό

Πρόσθεση κλασμάτων, επεξήγηση

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στον τρόπο προσθήκης κοινών και δεκαδικών κλασμάτων.

Όπως μπορείτε να δείτε στην παραπάνω εικόνα, τα κλάσματα το ένα τρίτο και τα δύο τρίτα έχουν έναν κοινό παρονομαστή τρία. Άρα απαιτείται να προσθέσετε μόνο τους αριθμητές ένα και δύο και να αφήσετε αμετάβλητο τον παρονομαστή. Το αποτέλεσμα είναι τρία τρίτα. Μια τέτοια απάντηση, όταν ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος είναι ίσοι, μπορεί να γραφεί ως 1, αφού 3:3 = 1.

Απαιτείται να βρεθεί το άθροισμα των κλασμάτων δύο τρίτα και δύο ένατα. Σε αυτήν την περίπτωση, οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί, 3 και 9. Για να εκτελέσετε την πρόσθεση, πρέπει να βρείτε ένα κοινό. Υπάρχει ένας πολύ απλός τρόπος. Επιλέγουμε τον μεγαλύτερο παρονομαστή, αυτός είναι το 9. Ελέγχουμε αν διαιρείται με το 3. Επειδή 9:3 = 3 χωρίς υπόλοιπο, επομένως το 9 είναι κατάλληλο ως κοινός παρονομαστής.

Το επόμενο βήμα είναι να βρείτε πρόσθετους παράγοντες για κάθε αριθμητή. Για να γίνει αυτό, διαιρούμε τον κοινό παρονομαστή 9 με τη σειρά του με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος, θα προστεθούν οι αριθμοί που προκύπτουν. πληθυντικός Για το πρώτο κλάσμα: 9:3 \u003d 3, προσθέτουμε το 3 στον αριθμητή του πρώτου κλάσματος. Για το δεύτερο κλάσμα: 9:9 \u003d 1, δεν μπορεί να προστεθεί, αφού όταν πολλαπλασιαστεί με αυτό, ο ίδιος αριθμός θα αποκτηθεί.

Τώρα πολλαπλασιάζουμε τους αριθμητές με τους συμπληρωματικούς συντελεστές τους και προσθέτουμε τα αποτελέσματα. Το ποσό που προκύπτει είναι ένα κλάσμα των οκτώ ένατων.

Η πρόσθεση δεκαδικών αριθμών ακολουθεί τους ίδιους κανόνες με την πρόσθεση φυσικών αριθμών. Σε μια στήλη, η εκκένωση αναγράφεται κάτω από την εκκένωση. Η μόνη διαφορά είναι ότι στα δεκαδικά κλάσματα, πρέπει να βάλετε σωστά κόμμα στο αποτέλεσμα. Για να γίνει αυτό, τα κλάσματα γράφονται με κόμμα κάτω από το κόμμα και στο άθροισμα απαιτείται μόνο η μεταφορά του κόμματος προς τα κάτω.

Ας βρούμε το άθροισμα των κλασμάτων 38, 251 και 1, 56. Για να κάνουμε πιο βολική την εκτέλεση των ενεργειών, ισοπεδώσαμε τον αριθμό των δεκαδικών ψηφίων στα δεξιά προσθέτοντας 0.

Προσθέτοντας κλάσματα, αγνοώντας το κόμμα. Και στο ποσό που προκύπτει, απλώς αφήστε το κόμμα κάτω. Απάντηση: 39, 811.

Αφαίρεση κλασμάτων, επεξήγηση

Για να βρείτε τη διαφορά μεταξύ των κλασμάτων των δύο τρίτων και του ενός τρίτου, πρέπει να υπολογίσετε τη διαφορά μεταξύ των αριθμητών 2-1 = 1 και να αφήσετε αμετάβλητο τον παρονομαστή. Στην απάντηση παίρνουμε διαφορά του ενός τρίτου.

Βρείτε τη διαφορά μεταξύ πέντε έκτων και επτά δέκατων. Βρίσκουμε έναν κοινό παρονομαστή. Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο επιλογής, από το 6 και το 10, το μεγαλύτερο είναι το 10. Ελέγχουμε: Το 10: 6 δεν διαιρείται χωρίς υπόλοιπο. Προσθέτουμε άλλα 10, βγαίνει 20:6, επίσης δεν μπορεί να διαιρεθεί χωρίς υπόλοιπο. Και πάλι αυξάνουμε κατά 10, έχουμε 30:6 = 5. Ο κοινός παρονομαστής είναι 30. Το NOZ μπορεί επίσης να βρεθεί από τον πίνακα πολλαπλασιασμού.

Βρίσκουμε επιπλέον παράγοντες. 30:6 = 5 - για το πρώτο κλάσμα. 30:10 = 3 - για το δεύτερο. Πολλαπλασιάζουμε τους αριθμητές και τον πρόσθετο πολλαπλασιαστή τους. Παίρνουμε 25/30 μειωμένο και 21/30 αφαιρούμενο. Στη συνέχεια, αφαιρούμε τους αριθμητές και αφήνουμε αμετάβλητο τον παρονομαστή.

Το αποτέλεσμα είναι μια διαφορά 4/30. Το κλάσμα συντομεύεται. Διαιρέστε το με το 2. Η απάντηση είναι 2/15.

Διαίρεση δεκαδικών κλασμάτων Βαθμός 5

Υπάρχουν δύο επιλογές για αυτό το θέμα:

Πολλαπλασιασμός δεκαδικών κλασμάτων Βαθμός 5

Θυμηθείτε πώς πολλαπλασιάζετε τους φυσικούς αριθμούς, με τον ίδιο ακριβώς τρόπο που βρίσκετε το γινόμενο των δεκαδικών κλασμάτων. Αρχικά, ας υπολογίσουμε πώς να πολλαπλασιάσουμε ένα δεκαδικό κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό. Για αυτό:

Όταν πολλαπλασιάζουμε ένα δεκαδικό με ένα δεκαδικό, ενεργούμε με τον ίδιο τρόπο.

Μικτά κλάσματα Βαθμός 5

Οι μαθητές της πενταετίας θέλουν να αποκαλούν τέτοια κλάσματα όχι μικτά, αλλά<<смешные>> μάλλον πιο εύκολο να θυμάστε. Τα μικτά κλάσματα ονομάζονται έτσι γιατί προκύπτουν από το συνδυασμό ενός ακέραιου φυσικού αριθμού και ενός συνηθισμένου κλάσματος.

Ένα μικτό κλάσμα αποτελείται από ένα ακέραιο μέρος και ένα κλασματικό μέρος.

Κατά την ανάγνωση τέτοιων κλασμάτων, καλείται πρώτα ολόκληρο το μέρος και μετά το κλασματικό μέρος: ένα ολόκληρο δύο τρίτα, δύο ολόκληρα ένα πέμπτο, τρία ολόκληρα δύο πέμπτα, τέσσερα σημεία τρία τέταρτα.

Πώς λαμβάνονται, αυτά τα μικτά κλάσματα; Όλα είναι αρκετά απλά. Όταν παίρνουμε ένα ακατάλληλο κλάσμα στην απάντηση (κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή), πρέπει πάντα να το μετατρέπουμε σε μικτό. Απλώς διαιρέστε τον αριθμητή με τον παρονομαστή. Αυτή η ενέργεια ονομάζεται εξαγωγή του ακέραιου μέρους:

Η μετατροπή ενός μικτού κλάσματος σε ακατάλληλο είναι επίσης εύκολη:

Παραδείγματα με δεκαδικά ψηφία 5η ​​τάξη με επεξήγηση

Πολλές ερωτήσεις στα παιδιά προκαλούνται από παραδείγματα πολλών ενεργειών. Ας δούμε μερικά τέτοια παραδείγματα.

(0,4 8,25 - 2,025) : 0,5 =

Το πρώτο βήμα είναι να βρείτε το γινόμενο των αριθμών 8,25 και 0,4. Πραγματοποιούμε τον πολλαπλασιασμό σύμφωνα με τον κανόνα. Στην απάντηση μετράμε από δεξιά προς τα αριστερά τρεις χαρακτήρες και βάζουμε κόμμα.

Η δεύτερη ενέργεια βρίσκεται στο ίδιο σημείο σε αγκύλες, αυτή είναι η διαφορά. Αφαιρέστε 2.025 από 3.300. Γράφουμε τη δράση σε μια στήλη, ένα κόμμα κάτω από ένα κόμμα.

Η τρίτη δράση είναι η διαίρεση. Η διαφορά που προκύπτει στη δεύτερη ενέργεια διαιρείται με 0,5. Το κόμμα μεταφέρεται από έναν χαρακτήρα. Αποτέλεσμα 2.55.

Απάντηση: 2,55.

(0, 93 + 0, 07) : (0, 93 — 0, 805) =

Η πρώτη ενέργεια είναι το άθροισμα σε αγκύλες.Το βάζουμε σε μια στήλη, θυμηθείτε ότι το κόμμα είναι κάτω από το κόμμα. Παίρνουμε την απάντηση 1,00.

Η δεύτερη ενέργεια είναι η διαφορά από τη δεύτερη παρένθεση. Επειδή το minuend έχει λιγότερα δεκαδικά ψηφία από το subtrahend, προσθέτουμε αυτό που λείπει. Το αποτέλεσμα της αφαίρεσης είναι 0,125.

Το τρίτο βήμα είναι να διαιρέσουμε το άθροισμα με τη διαφορά. Το κόμμα μεταφέρεται σε τρία ψηφία. Το αποτέλεσμα ήταν μια διαίρεση του 1000 με το 125.

Απάντηση: 8.

Παραδείγματα με συνηθισμένα κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές Βαθμός 5 με επεξήγηση

Κατά την πρώτηΓια παράδειγμα, βρίσκουμε το άθροισμα των κλασμάτων 5/8 και 3/7. Ο κοινός παρονομαστής θα είναι ο αριθμός 56. Βρίσκουμε πρόσθετους πολλαπλασιαστές, διαιρούμε 56:8 \u003d 7 και 56:7 \u003d 8. Τους προσθέτουμε στο πρώτο και το δεύτερο κλάσματα, αντίστοιχα. Πολλαπλασιάζουμε τους αριθμητές και τους συντελεστές τους, παίρνουμε το άθροισμα των κλασμάτων 35/56 και 24/56. Πήραμε το άθροισμα 59/56. Το κλάσμα είναι λάθος, το μεταφράζουμε σε μικτό αριθμό Τα υπόλοιπα παραδείγματα λύνονται με παρόμοιο τρόπο.

Παραδείγματα με κλάσματα βαθμού 5 για εκπαίδευση

Για ευκολία, μετατρέψτε τα μικτά κλάσματα σε ακατάλληλα και ακολουθήστε τα βήματα.

Πώς να μάθετε σε ένα παιδί να λύνει εύκολα κλάσματα με Lego

Με τη βοήθεια ενός τέτοιου κατασκευαστή, μπορείτε όχι μόνο να αναπτύξετε καλά τη φαντασία του παιδιού, αλλά και να εξηγήσετε ξεκάθαρα με παιχνιδιάρικο τρόπο τι είναι ένα κλάσμα και ένα κλάσμα.

Η παρακάτω εικόνα δείχνει ότι ένα μέρος με οκτώ κύκλους είναι ένα σύνολο. Έτσι, παίρνοντας ένα παζλ με τέσσερις κύκλους, παίρνετε το μισό ή το 1/2. Η εικόνα δείχνει ξεκάθαρα πώς να λύσετε παραδείγματα με Lego, αν μετρήσετε τους κύκλους στις λεπτομέρειες.

Μπορείτε να κατασκευάσετε πυργίσκους από έναν ορισμένο αριθμό εξαρτημάτων και να βάλετε ετικέτα σε καθένα από αυτά, όπως στην παρακάτω εικόνα. Για παράδειγμα, πάρτε έναν πυργίσκο από επτά μέρη. Κάθε τμήμα του πράσινου κατασκευαστή θα είναι 1/7. Εάν προσθέσετε δύο ακόμη σε ένα τέτοιο μέρος, θα έχετε 3/7. Οπτική επεξήγηση του παραδείγματος 1/7+2/7 = 3/7.

Για να αποκτήσετε Α στα μαθηματικά, μην ξεχάσετε να μάθετε τους κανόνες και να τους εξασκήσετε.

Οι μαθητές εισάγονται στα κλάσματα της Ε' τάξης. Παλαιότερα, οι άνθρωποι που ήξεραν πώς να εκτελούν ενέργειες με κλάσματα θεωρούνταν πολύ έξυπνοι. Το πρώτο κλάσμα ήταν 1/2, δηλαδή το μισό, μετά εμφανίστηκε το 1/3 κ.ο.κ. Για αρκετούς αιώνες, τα παραδείγματα θεωρούνταν πολύ περίπλοκα. Τώρα έχουν αναπτυχθεί λεπτομερείς κανόνες για τη μετατροπή κλασμάτων, πρόσθεση, πολλαπλασιασμό και άλλες ενέργειες. Αρκεί να κατανοήσουμε λίγο το υλικό, και η λύση θα δοθεί εύκολα.

Ένα συνηθισμένο κλάσμα, που ονομάζεται απλό κλάσμα, γράφεται ως διαίρεση δύο αριθμών: m και n.

Μ είναι το μέρισμα, δηλαδή ο αριθμητής του κλάσματος και ο διαιρέτης n ονομάζεται παρονομαστής.

Επιλέξτε τα σωστά κλάσματα (m< n) а также неправильные (m >ιδ).

Ένα σωστό κλάσμα είναι μικρότερο από ένα (για παράδειγμα, 5/6 - αυτό σημαίνει ότι λαμβάνονται 5 μέρη από ένα· 2/8 - 2 μέρη λαμβάνονται από ένα). Ένα ακατάλληλο κλάσμα είναι ίσο ή μεγαλύτερο από 1 (8/7 - η μονάδα θα είναι 7/7 και ένα επιπλέον μέρος λαμβάνεται ως συν).

Άρα, μονάδα είναι όταν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ταιριάζουν (3/3, 12/12, 100/100 και άλλα).

Ενέργειες με συνηθισμένα κλάσματα Βαθμός 6

Με απλά κλάσματα, μπορείτε να κάνετε τα εξής:

• Αναπτύξτε το κλάσμα. Εάν πολλαπλασιάσετε το πάνω και το κάτω μέρος του κλάσματος με οποιονδήποτε ίδιο αριθμό (αλλά όχι με το μηδέν), τότε η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει (3/5 = 6/10 (απλώς πολλαπλασιάζεται με 2).
• Η μείωση των κλασμάτων είναι παρόμοια με την επέκταση, αλλά εδώ διαιρούνται με έναν αριθμό.
• Συγκρίνω. Αν δύο κλάσματα έχουν τον ίδιο αριθμητή, τότε το κλάσμα με τον μικρότερο παρονομαστή θα είναι μεγαλύτερο. Αν οι παρονομαστές είναι ίδιοι, τότε το κλάσμα με τον μεγαλύτερο αριθμητή θα είναι μεγαλύτερο.
• Εκτελέστε πρόσθεση και αφαίρεση. Με τους ίδιους παρονομαστές, αυτό είναι εύκολο να γίνει (αθροίζουμε τα πάνω μέρη και το κάτω μέρος δεν αλλάζει). Για διαφορετικά, θα πρέπει να βρείτε έναν κοινό παρονομαστή και πρόσθετους παράγοντες.
• Πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασμάτων.

Παραδείγματα πράξεων με κλάσματα εξετάζονται παρακάτω.

Μειωμένα κλάσματα Βαθμός 6

Μείωση σημαίνει να διαιρέσουμε το πάνω και το κάτω μέρος ενός κλάσματος με κάποιο ίσο αριθμό.

Το σχήμα δείχνει απλά παραδείγματα μείωσης. Στην πρώτη επιλογή, μπορείτε αμέσως να μαντέψετε ότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής διαιρούνται με το 2.

Σε μια σημείωση! Αν ο αριθμός είναι άρτιος, τότε διαιρείται με το 2 με οποιονδήποτε τρόπο.Οι ζυγοί είναι 2, 4, 6 ... 32 8 (λήγει σε ζυγή) κ.λπ.

Στη δεύτερη περίπτωση, όταν διαιρούμε το 6 με το 18, είναι αμέσως σαφές ότι οι αριθμοί διαιρούνται με το 2. Διαιρώντας, παίρνουμε 3/9. Αυτό το κλάσμα διαιρείται επίσης με το 3. Τότε η απάντηση είναι 1/3. Αν πολλαπλασιάσετε και τους δύο διαιρέτες: 2 επί 3, τότε θα βγει το 6. Αποδεικνύεται ότι το κλάσμα διαιρέθηκε με το έξι. Αυτή η σταδιακή διαίρεση ονομάζεται διαδοχική μείωση του κλάσματος κατά κοινούς διαιρέτες.

Κάποιος θα διαιρέσει αμέσως με το 6, κάποιος θα χρειαστεί διαίρεση με μέρη. Το κύριο πράγμα είναι ότι στο τέλος υπάρχει ένα κλάσμα που δεν μπορεί να μειωθεί με κανέναν τρόπο.

Σημειώστε ότι εάν ο αριθμός αποτελείται από ψηφία, η πρόσθεση των οποίων θα έχει ως αποτέλεσμα έναν αριθμό που διαιρείται με το 3, τότε το πρωτότυπο μπορεί επίσης να μειωθεί κατά 3. Παράδειγμα: ο αριθμός 341. Προσθέστε τους αριθμούς: 3 + 4 + 1 = 8 ( Το 8 δεν διαιρείται με το 3, επομένως ο αριθμός 341 δεν μπορεί να μειωθεί κατά 3 χωρίς υπόλοιπο). Άλλο παράδειγμα: 264. Προσθέστε: 2 + 6 + 4 = 12 (διαιρούμενο με 3). Παίρνουμε: 264: 3 = 88. Αυτό θα απλοποιήσει τη μείωση των μεγάλων αριθμών.

Εκτός από τη μέθοδο της διαδοχικής αναγωγής ενός κλάσματος σε κοινούς διαιρέτες, υπάρχουν και άλλοι τρόποι.

Το GCD είναι ο μεγαλύτερος διαιρέτης για έναν αριθμό. Έχοντας βρει το GCD για τον παρονομαστή και τον αριθμητή, μπορείτε να μειώσετε αμέσως το κλάσμα κατά τον επιθυμητό αριθμό. Η αναζήτηση πραγματοποιείται με σταδιακή διαίρεση κάθε αριθμού. Στη συνέχεια, εξετάζουν ποιοι διαιρέτες ταιριάζουν, εάν υπάρχουν αρκετοί από αυτούς (όπως στην παρακάτω εικόνα), τότε πρέπει να πολλαπλασιαστείτε.

Μικτά κλάσματα βαθμού 6

Όλα τα ακατάλληλα κλάσματα μπορούν να μετατραπούν σε μικτά κλάσματα απομονώνοντας ολόκληρο το μέρος σε αυτά. Ο ακέραιος είναι γραμμένος στα αριστερά.

Συχνά πρέπει να κάνετε έναν μικτό αριθμό από ένα ακατάλληλο κλάσμα. Η διαδικασία μετατροπής στο παρακάτω παράδειγμα: 22/4 = 22 διαιρούμενο με 4, παίρνουμε 5 ακέραιους αριθμούς (5 * 4 = 20). 22 - 20 = 2. Παίρνουμε 5 ακέραιους και 2/4 (ο παρονομαστής δεν αλλάζει). Δεδομένου ότι το κλάσμα μπορεί να μειωθεί, διαιρούμε το πάνω και το κάτω μέρος με 2.

Είναι εύκολο να μετατρέψετε έναν μικτό αριθμό σε ακατάλληλο κλάσμα (αυτό είναι απαραίτητο κατά τη διαίρεση και τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων). Για να το κάνετε αυτό: πολλαπλασιάστε τον ακέραιο αριθμό με το κάτω μέρος του κλάσματος και προσθέστε τον αριθμητή σε αυτό. Ετοιμος. Ο παρονομαστής δεν αλλάζει.

Υπολογισμοί με κλάσματα Βαθμός 6

Μπορούν να προστεθούν μικτοί αριθμοί. Εάν οι παρονομαστές είναι ίδιοι, τότε αυτό είναι εύκολο να γίνει: αθροίστε τα ακέραια μέρη και τους αριθμητές, ο παρονομαστής παραμένει στη θέση του.

Όταν προσθέτουμε αριθμούς με διαφορετικούς παρονομαστές, η διαδικασία είναι πιο περίπλοκη. Αρχικά, φέρνουμε τους αριθμούς σε έναν μικρότερο παρονομαστή (NOD).

Στο παρακάτω παράδειγμα, για τους αριθμούς 9 και 6, ο παρονομαστής θα είναι 18. Μετά από αυτό, χρειάζονται πρόσθετοι παράγοντες. Για να τα βρείτε, θα πρέπει να διαιρέσετε το 18 με το 9, ώστε να βρεθεί ένας επιπλέον αριθμός - 2. Τον πολλαπλασιάζουμε με τον αριθμητή 4, παίρνουμε το κλάσμα 8/18). Το ίδιο γίνεται και με το δεύτερο κλάσμα. Ήδη προσθέτουμε τα κλάσματα που έχουν μετατραπεί (ακολούθους αριθμούς και αριθμητές χωριστά, δεν αλλάζουμε τον παρονομαστή). Στο παράδειγμα, η απάντηση έπρεπε να μετατραπεί σε σωστό κλάσμα (αρχικά, ο αριθμητής ήταν μεγαλύτερος από τον παρονομαστή).

Σημειώστε ότι με τη διαφορά των κλασμάτων, ο αλγόριθμος των ενεργειών είναι ο ίδιος.

Κατά τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων, είναι σημαντικό να τοποθετούνται και τα δύο κάτω από την ίδια ευθεία. Αν ο αριθμός είναι μεικτός, τότε τον μετατρέπουμε σε απλό κλάσμα. Στη συνέχεια, πολλαπλασιάστε το πάνω και το κάτω μέρος και σημειώστε την απάντηση. Εάν είναι σαφές ότι τα κλάσματα μπορούν να μειωθούν, τότε μειώνουμε αμέσως.

Σε αυτό το παράδειγμα, δεν χρειάστηκε να κόψουμε τίποτα, απλώς σημειώσαμε την απάντηση και τονίσαμε ολόκληρο το μέρος.

Σε αυτό το παράδειγμα, έπρεπε να μειώσω τους αριθμούς κάτω από μία γραμμή. Αν και είναι δυνατό να μειωθεί και η έτοιμη απάντηση.

Κατά τη διαίρεση, ο αλγόριθμος είναι σχεδόν ο ίδιος. Πρώτα, μετατρέπουμε το μικτό κλάσμα σε ακατάλληλο, μετά γράφουμε τους αριθμούς κάτω από μια γραμμή, αντικαθιστώντας τη διαίρεση με πολλαπλασιασμό. Μην ξεχάσετε να ανταλλάξετε το πάνω και το κάτω μέρος του δεύτερου κλάσματος (αυτός είναι ο κανόνας για τη διαίρεση των κλασμάτων).

Αν χρειαστεί μειώνουμε τους αριθμούς (στο παρακάτω παράδειγμα το μείωσαν κατά πέντε και δύο). Μετασχηματίζουμε το ακατάλληλο κλάσμα επισημαίνοντας το ακέραιο μέρος.

Βασικές εργασίες για κλάσματα Βαθμός 6

Το βίντεο δείχνει μερικές ακόμη εργασίες. Για λόγους σαφήνειας, χρησιμοποιούνται γραφικές εικόνες λύσεων για να βοηθήσουν στην οπτικοποίηση των κλασμάτων.

Παραδείγματα πολλαπλασιασμού κλασμάτων Βαθμός 6 με επεξηγήσεις

Τα κλάσματα πολλαπλασιασμού γράφονται κάτω από μια γραμμή. Μετά από αυτό, μειώνονται διαιρώντας με τους ίδιους αριθμούς (για παράδειγμα, το 15 στον παρονομαστή και το 5 στον αριθμητή μπορεί να διαιρεθεί με το πέντε).

Σύγκριση κλασμάτων Βαθμός 6

Για να συγκρίνετε τα κλάσματα, πρέπει να θυμάστε δύο απλούς κανόνες.

Κανόνας 1. Αν οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί

Κανόνας 2. Όταν οι παρονομαστές είναι ίδιοι

Για παράδειγμα, ας συγκρίνουμε τα κλάσματα 7/12 και 2/3.

1. Κοιτάμε τους παρονομαστές, δεν ταιριάζουν. Πρέπει λοιπόν να βρείτε ένα κοινό.
2. Για τα κλάσματα, ο κοινός παρονομαστής είναι 12.
3. Διαιρούμε πρώτα το 12 με το κάτω μέρος του πρώτου κλάσματος: 12: 12 = 1 (αυτός είναι ένας πρόσθετος παράγοντας για το 1ο κλάσμα).
4. Τώρα διαιρούμε το 12 με το 3, παίρνουμε 4 - προσθέτουμε. πολλαπλασιαστής του 2ου κλάσματος.
5. Πολλαπλασιάζουμε τους αριθμούς που προκύπτουν με αριθμητές για να μετατρέψουμε τα κλάσματα: 1 x 7 \u003d 7 (πρώτο κλάσμα: 7/12). 4 x 2 = 8 (δεύτερο κλάσμα: 8/12).
6. Τώρα μπορούμε να συγκρίνουμε: 7/12 και 8/12. Αποδείχθηκε: 7/12< 8/12.

Για να αναπαραστήσετε καλύτερα τα κλάσματα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε σχέδια για σαφήνεια, όπου ένα αντικείμενο χωρίζεται σε μέρη (για παράδειγμα, ένα κέικ). Αν θέλετε να συγκρίνετε τα 4/7 και τα 2/3, τότε στην πρώτη περίπτωση, το κέικ χωρίζεται σε 7 μέρη και επιλέγονται 4 από αυτά. Στο δεύτερο χωρίζονται σε 3 μέρη και παίρνουν 2. Με γυμνό μάτι θα φανεί ότι τα 2/3 θα είναι περισσότερα από 4/7.

Παραδείγματα με κλάσματα βαθμού 6 για εκπαίδευση

Ως άσκηση, μπορείτε να εκτελέσετε τις ακόλουθες εργασίες.

• Συγκρίνετε κλάσματα

• κάνε τον πολλαπλασιασμό

Συμβουλή: εάν είναι δύσκολο να βρείτε τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή των κλασμάτων (ειδικά αν οι τιμές τους είναι μικρές), τότε μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή του πρώτου και του δεύτερου κλασμάτων. Παράδειγμα: 2/8 και 5/9. Η εύρεση του παρονομαστή τους είναι απλή: πολλαπλασιάστε το 8 με το 9, θα πάρετε 72.

Επίλυση εξισώσεων με κλάσματα 6η τάξη

Κατά την επίλυση εξισώσεων, πρέπει να θυμάστε τις ενέργειες με τα κλάσματα: πολλαπλασιασμό, διαίρεση, αφαίρεση και πρόσθεση. Εάν ένας από τους παράγοντες είναι άγνωστος, τότε το γινόμενο (σύνολο) διαιρείται με τον γνωστό παράγοντα, δηλαδή πολλαπλασιάζονται τα κλάσματα (ο δεύτερος αναποδογυρίζεται).

Εάν το μέρισμα είναι άγνωστο, τότε ο παρονομαστής πολλαπλασιάζεται με τον διαιρέτη και για να βρείτε τον διαιρέτη, πρέπει να διαιρέσετε το μέρισμα με το πηλίκο.

Ας φανταστούμε απλά παραδείγματα επίλυσης εξισώσεων:

Εδώ απαιτείται μόνο η παραγωγή της διαφοράς των κλασμάτων, χωρίς να οδηγεί σε κοινό παρονομαστή.

Η διαίρεση με το 1/2 αντικαταστάθηκε από τον πολλαπλασιασμό με το 2 (το κλάσμα αντιστράφηκε).

Προσθέτοντας 1/2 και 3/4, καταλήξαμε σε κοινό παρονομαστή το 4. Ταυτόχρονα, χρειαζόταν επιπλέον συντελεστής 2 για το πρώτο κλάσμα, 2/4 βγήκαν από το 1/2.

Προστέθηκαν 2/4 και 3/4 - πήραν 5/4.

Δεν ξεχάσαμε να πολλαπλασιάσουμε το 5/4 με το 2. Μειώνοντας το 2 και το 4 πήραμε 5/2.

Η απάντηση είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα. Μπορεί να μετατραπεί σε 1 ολόκληρο και 3/5.

Στη δεύτερη μέθοδο, ο αριθμητής και ο παρονομαστής πολλαπλασιάστηκαν επί 4 για να συντομεύσουν το κάτω μέρος αντί να αναστρέψουν τον παρονομαστή.

Μια από τις σημαντικότερες επιστήμες, η εφαρμογή της οποίας μπορεί να παρατηρηθεί σε κλάδους όπως η χημεία, η φυσική, ακόμη και η βιολογία, είναι τα μαθηματικά. Η μελέτη αυτής της επιστήμης σας επιτρέπει να αναπτύξετε ορισμένες ψυχικές ιδιότητες, να βελτιώσετε την ικανότητα συγκέντρωσης. Ένα από τα θέματα που αξίζουν ιδιαίτερης προσοχής στο μάθημα «Μαθηματικά» είναι η πρόσθεση και η αφαίρεση των κλασμάτων. Πολλοί μαθητές δυσκολεύονται να μελετήσουν. Ίσως το άρθρο μας θα βοηθήσει στην καλύτερη κατανόηση αυτού του θέματος.

Πώς να αφαιρέσετε τα κλάσματα των οποίων οι παρονομαστές είναι ίδιοι

Τα κλάσματα είναι οι ίδιοι αριθμοί με τους οποίους μπορείτε να εκτελέσετε διάφορες ενέργειες. Η διαφορά τους από τους ακέραιους έγκειται στην παρουσία ενός παρονομαστή. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο όταν εκτελείτε ενέργειες με κλάσματα, πρέπει να μελετήσετε ορισμένα από τα χαρακτηριστικά και τους κανόνες τους. Η πιο απλή περίπτωση είναι η αφαίρεση συνηθισμένα κλάσματα, των οποίων οι παρονομαστές αντιπροσωπεύονται ως ο ίδιος αριθμός. Δεν θα είναι δύσκολο να εκτελέσετε αυτήν την ενέργεια εάν γνωρίζετε έναν απλό κανόνα:

• Για να αφαιρέσουμε το δεύτερο από ένα κλάσμα, είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε τον αριθμητή του κλάσματος που πρόκειται να αφαιρεθεί από τον αριθμητή του μειωμένου κλάσματος. Γράφουμε αυτόν τον αριθμό στον αριθμητή της διαφοράς και αφήνουμε τον παρονομαστή τον ίδιο: k / m - b / m = (k-b) / m.

Παραδείγματα αφαίρεσης κλασμάτων των οποίων οι παρονομαστές είναι ίδιοι

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Από τον αριθμητή του μειωμένου κλάσματος "7" αφαιρούμε τον αριθμητή του αφαιρούμενου κλάσματος "3", παίρνουμε "4". Γράφουμε αυτόν τον αριθμό στον αριθμητή της απάντησης και βάζουμε στον παρονομαστή τον ίδιο αριθμό που ήταν στους παρονομαστές του πρώτου και του δεύτερου κλάσματος - "19".

Η παρακάτω εικόνα δείχνει μερικά ακόμη τέτοια παραδείγματα.

Εξετάστε ένα πιο σύνθετο παράδειγμα όπου αφαιρούνται κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Από τον αριθμητή του μειωμένου κλάσματος "29" αφαιρώντας με τη σειρά τους τους αριθμητές όλων των επόμενων κλασμάτων - "3", "8", "2", "7". Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε το αποτέλεσμα "9", το οποίο γράφουμε στον αριθμητή της απάντησης και στον παρονομαστή γράφουμε τον αριθμό που βρίσκεται στους παρονομαστές όλων αυτών των κλασμάτων - "47".

Πρόσθεση κλασμάτων με τον ίδιο παρονομαστή

Η πρόσθεση και η αφαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων πραγματοποιείται σύμφωνα με την ίδια αρχή.

• Για να προσθέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές. Ο αριθμός που προκύπτει είναι ο αριθμητής του αθροίσματος και ο παρονομαστής παραμένει ο ίδιος: k/m + b/m = (k + b)/m.

Ας δούμε πώς φαίνεται σε ένα παράδειγμα:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Στον αριθμητή του πρώτου όρου του κλάσματος - "1" - προσθέτουμε τον αριθμητή του δεύτερου όρου του κλάσματος - "2". Το αποτέλεσμα - "3" - γράφεται στον αριθμητή του ποσού και ο παρονομαστής παραμένει ο ίδιος με αυτόν που υπήρχε στα κλάσματα - "4".

Κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές και η αφαίρεση τους

Έχουμε ήδη εξετάσει την ενέργεια με κλάσματα που έχουν τον ίδιο παρονομαστή. Όπως βλέπουμε, γνωρίζοντας απλούς κανόνες, είναι αρκετά εύκολο να λυθούν τέτοια παραδείγματα. Τι γίνεται όμως αν χρειαστεί να εκτελέσετε μια ενέργεια με κλάσματα που έχουν διαφορετικούς παρονομαστές; Πολλοί μαθητές γυμνασίου μπερδεύονται με τέτοια παραδείγματα. Αλλά και εδώ, αν γνωρίζετε την αρχή της λύσης, τα παραδείγματα δεν θα σας δυσκολεύουν πλέον. Υπάρχει επίσης ένας κανόνας εδώ, χωρίς τον οποίο η λύση τέτοιων κλασμάτων είναι απλά αδύνατη.

Για να αφαιρεθούν κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, πρέπει να μειωθούν στον ίδιο μικρότερο παρονομαστή.



Θα μιλήσουμε λεπτομερέστερα για το πώς να το κάνουμε αυτό.

Ιδιότητα κλάσματος

Για να αναγάγετε πολλά κλάσματα στον ίδιο παρονομαστή, πρέπει να χρησιμοποιήσετε την κύρια ιδιότητα του κλάσματος στη λύση: αφού διαιρέσετε ή πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό, παίρνετε ένα κλάσμα ίσο με το δεδομένο.

Έτσι, για παράδειγμα, το κλάσμα 2/3 μπορεί να έχει παρονομαστές όπως «6», «9», «12» κ.λπ., δηλαδή μπορεί να μοιάζει με οποιονδήποτε αριθμό που είναι πολλαπλάσιο του «3». Αφού πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το "2", παίρνουμε κλάσμα 4/6. Αφού πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του αρχικού κλάσματος με το "3", παίρνουμε 6/9 και αν κάνουμε παρόμοια ενέργεια με τον αριθμό "4", παίρνουμε 8/12. Σε μια εξίσωση, αυτό μπορεί να γραφτεί ως εξής:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Πώς να φέρετε πολλά κλάσματα στον ίδιο παρονομαστή

Σκεφτείτε πώς να μειώσετε πολλά κλάσματα στον ίδιο παρονομαστή. Για παράδειγμα, πάρτε τα κλάσματα που φαίνονται στην παρακάτω εικόνα. Πρώτα πρέπει να προσδιορίσετε ποιος αριθμός μπορεί να γίνει παρονομαστής για όλους. Για να το κάνουμε πιο εύκολο, ας αποσυνθέσουμε τους διαθέσιμους παρονομαστές σε παράγοντες.

Ο παρονομαστής του κλάσματος 1/2 και του κλάσματος 2/3 δεν μπορούν να συνυπολογιστούν. Ο παρονομαστής του 7/9 έχει δύο παράγοντες 7/9 = 7/(3 x 3), τον παρονομαστή του κλάσματος 5/6 = 5/(2 x 3). Τώρα πρέπει να καθορίσετε ποιοι παράγοντες θα είναι οι μικρότεροι και για αυτά τα τέσσερα κλάσματα. Εφόσον το πρώτο κλάσμα έχει τον αριθμό "2" στον παρονομαστή, σημαίνει ότι πρέπει να υπάρχει σε όλους τους παρονομαστές, στο κλάσμα 7/9 υπάρχουν δύο τριάδες, που σημαίνει ότι πρέπει να υπάρχουν και στον παρονομαστή. Με βάση τα παραπάνω, προσδιορίζουμε ότι ο παρονομαστής αποτελείται από τρεις παράγοντες: 3, 2, 3 και ισούται με 3 x 2 x 3 = 18.



Θεωρήστε το πρώτο κλάσμα - 1/2. Ο παρονομαστής του περιέχει το "2", αλλά δεν υπάρχει ούτε ένα "3", αλλά θα πρέπει να υπάρχουν δύο. Για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή με δύο τριπλάσια, αλλά, σύμφωνα με την ιδιότητα του κλάσματος, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή με δύο τριπλάσια:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Ομοίως, εκτελούμε ενέργειες με τα υπόλοιπα κλάσματα.

• 2/3 - ένα τρία και ένα δύο λείπουν στον παρονομαστή:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 ή 7/(3 x 3) - λείπουν δύο από τον παρονομαστή:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 ή 5/(2 x 3) - στον παρονομαστή λείπει ένα τριπλό:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Όλα μαζί μοιάζει με αυτό:



Πώς να αφαιρέσετε και να προσθέσετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, για να προστεθούν ή να αφαιρεθούν κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, πρέπει να αναχθούν στον ίδιο παρονομαστή και στη συνέχεια να χρησιμοποιηθούν οι κανόνες για την αφαίρεση κλασμάτων με τον ίδιο παρονομαστή, που έχουν ήδη περιγραφεί.

Σκεφτείτε το με ένα παράδειγμα: 4/18 - 3/15.

Εύρεση πολλαπλασίων του 18 και του 15:

• Ο αριθμός 18 αποτελείται από 3 x 2 x 3.
• Ο αριθμός 15 αποτελείται από 5 x 3.
• Το κοινό πολλαπλάσιο θα αποτελείται από τους ακόλουθους παράγοντες 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Αφού βρεθεί ο παρονομαστής, είναι απαραίτητο να υπολογιστεί ένας παράγοντας που θα είναι διαφορετικός για κάθε κλάσμα, δηλαδή ο αριθμός με τον οποίο θα χρειαστεί να πολλαπλασιαστεί όχι μόνο ο παρονομαστής, αλλά και ο αριθμητής. Για να γίνει αυτό, διαιρούμε τον αριθμό που βρήκαμε (κοινό πολλαπλάσιο) με τον παρονομαστή του κλάσματος για το οποίο πρέπει να καθοριστούν πρόσθετοι παράγοντες.

• 90 διαιρούμενο με 15. Ο αριθμός "6" που προκύπτει θα είναι πολλαπλασιαστής για το 3/15.
• 90 διαιρούμενο με 18. Ο αριθμός "5" που προκύπτει θα είναι πολλαπλασιαστής για το 4/18.

Το επόμενο βήμα στη λύση μας είναι να φέρουμε κάθε κλάσμα στον παρονομαστή "90".

Έχουμε ήδη συζητήσει πώς γίνεται αυτό. Ας δούμε πώς γράφεται αυτό σε ένα παράδειγμα:

(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Εάν τα κλάσματα με μικρούς αριθμούς, τότε μπορείτε να προσδιορίσετε τον κοινό παρονομαστή, όπως στο παράδειγμα που φαίνεται στην παρακάτω εικόνα.



Παράγεται παρόμοια και έχει διαφορετικούς παρονομαστές.

Αφαίρεση και έχοντας ακέραια μέρη

Η αφαίρεση των κλασμάτων και η πρόσθεσή τους, έχουμε ήδη αναλύσει λεπτομερώς. Αλλά πώς να αφαιρέσετε εάν το κλάσμα έχει ένα ακέραιο μέρος; Και πάλι, ας χρησιμοποιήσουμε μερικούς κανόνες:

• Να μετατρέψετε όλα τα κλάσματα που έχουν ακέραιο μέρος σε ακατάλληλα. ομιλία με απλά λόγια, αφαιρέστε ολόκληρο το τμήμα. Για να γίνει αυτό, ο αριθμός του ακέραιου μέρους πολλαπλασιάζεται με τον παρονομαστή του κλάσματος, το προκύπτον γινόμενο προστίθεται στον αριθμητή. Ο αριθμός που θα ληφθεί μετά από αυτές τις ενέργειες είναι ο αριθμητής ενός ακατάλληλου κλάσματος. Ο παρονομαστής παραμένει αμετάβλητος.
• Εάν τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, θα πρέπει να μειωθούν στον ίδιο.
• Εκτελέστε πρόσθεση ή αφαίρεση με τους ίδιους παρονομαστές.
• Όταν λαμβάνετε ένα ακατάλληλο κλάσμα, επιλέξτε ολόκληρο το τμήμα.



Υπάρχει ένας άλλος τρόπος με τον οποίο μπορείτε να προσθέσετε και να αφαιρέσετε κλάσματα με ακέραια μέρη. Για αυτό, οι ενέργειες εκτελούνται χωριστά με ακέραια μέρη και χωριστά με κλάσματα και τα αποτελέσματα καταγράφονται μαζί.



Το παραπάνω παράδειγμα αποτελείται από κλάσματα που έχουν τον ίδιο παρονομαστή. Στην περίπτωση που οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί, πρέπει να μειωθούν στους ίδιους και στη συνέχεια να ακολουθήσετε τα βήματα όπως φαίνεται στο παράδειγμα.

Αφαίρεση κλασμάτων από έναν ακέραιο αριθμό

Μια άλλη από τις ποικιλίες ενεργειών με κλάσματα είναι η περίπτωση που το κλάσμα πρέπει να αφαιρεθεί από Εκ πρώτης όψεως, ένα τέτοιο παράδειγμα φαίνεται δύσκολο να λυθεί. Ωστόσο, όλα είναι πολύ απλά εδώ. Για να το λύσουμε, είναι απαραίτητο να μετατρέψουμε έναν ακέραιο σε κλάσμα και με τέτοιο παρονομαστή, ο οποίος βρίσκεται στο κλάσμα που πρέπει να αφαιρεθεί. Στη συνέχεια, εκτελούμε μια αφαίρεση παρόμοια με την αφαίρεση με τους ίδιους παρονομαστές. Για παράδειγμα, μοιάζει με αυτό:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Η αφαίρεση των κλασμάτων που δίνονται σε αυτό το άρθρο (Βαθμός 6) είναι η βάση για την επίλυση περισσότερων δύσκολα παραδείγματαπου θα συζητηθούν σε επόμενες τάξεις. Η γνώση αυτού του θέματος χρησιμοποιείται στη συνέχεια για την επίλυση συναρτήσεων, παραγώγων και ούτω καθεξής. Επομένως, είναι πολύ σημαντικό να κατανοήσουμε και να κατανοήσουμε τις ενέργειες με τα κλάσματα που συζητήθηκαν παραπάνω.