Πώς να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο. Γιατί να εισαγάγετε τις έννοιες «Μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης (GCD)» και «Λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο (LCM)» των αριθμών σε ένα σχολικό μάθημα μαθηματικών

Εξετάστε τη λύση του παρακάτω προβλήματος. Το βήμα του αγοριού είναι 75 εκ. και το βήμα του κοριτσιού είναι 60 εκ. Είναι απαραίτητο να βρείτε τη μικρότερη απόσταση στην οποία και οι δύο θα κάνουν έναν ακέραιο αριθμό βημάτων.

Απόφαση.Ολόκληρο το μονοπάτι που θα περάσουν τα παιδιά πρέπει να διαιρείται με το 60 και το 70 χωρίς υπόλοιπο, αφού πρέπει το καθένα να κάνει έναν ακέραιο αριθμό βημάτων. Με άλλα λόγια, η απάντηση πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 75 και του 60.

Αρχικά, θα γράψουμε όλα τα πολλαπλάσια, για τον αριθμό 75. Παίρνουμε:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Τώρα ας γράψουμε τους αριθμούς που θα είναι πολλαπλάσιο του 60. Παίρνουμε:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Τώρα βρίσκουμε τους αριθμούς που βρίσκονται και στις δύο σειρές.

• Τα κοινά πολλαπλάσια των αριθμών θα είναι οι αριθμοί, 300, 600 κ.λπ.

Ο μικρότερος από αυτούς είναι ο αριθμός 300. Σε αυτήν την περίπτωση, θα ονομαστεί το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 75 και 60.

Επιστρέφοντας στην κατάσταση του προβλήματος, η μικρότερη απόσταση στην οποία τα αγόρια κάνουν έναν ακέραιο αριθμό βημάτων θα είναι 300 εκ. Το αγόρι θα ακολουθήσει αυτόν τον τρόπο σε 4 βήματα και το κορίτσι θα χρειαστεί να κάνει 5 βήματα.

Εύρεση του ελάχιστου κοινού πολλαπλού

• Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο φυσικών αριθμών a και b είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός που είναι πολλαπλάσιο και του a και του b.

Για να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο αριθμών, δεν είναι απαραίτητο να γράψετε όλα τα πολλαπλάσια για αυτούς τους αριθμούς στη σειρά.

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ακόλουθη μέθοδο.

Πώς να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο

Αρχικά, πρέπει να αποσυνθέσετε αυτούς τους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Ας γράψουμε τώρα όλους τους παράγοντες που βρίσκονται στην επέκταση του πρώτου αριθμού (2,2,3,5) και ας προσθέσουμε σε αυτόν όλους τους παράγοντες που λείπουν από την επέκταση του δεύτερου αριθμού (5).

Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε μια σειρά από πρώτους αριθμούς: 2,2,3,5,5. Το γινόμενο αυτών των αριθμών θα είναι ο λιγότερο κοινός παράγοντας για αυτούς τους αριθμούς. 2*2*3*5*5 = 300.

Γενικό σχήμα για την εύρεση του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου

• 1. Διασπάστε τους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες.
• 2. Γράψτε τους πρώτους παράγοντες που αποτελούν μέρος ενός από αυτούς.
• 3. Προσθέστε σε αυτούς τους παράγοντες όλους αυτούς που βρίσκονται στην αποσύνθεση των υπολοίπων, αλλά όχι στον επιλεγμένο.
• 4. Βρείτε το γινόμενο όλων των παραγόντων που γράφτηκαν.

Αυτή η μέθοδος είναι καθολική. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βρει το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο οποιουδήποτε αριθμού φυσικών αριθμών.

Lancinova Aisa

Κατεβάστε:

Προεπισκόπηση:

Για να χρησιμοποιήσετε την προεπισκόπηση των παρουσιάσεων, δημιουργήστε έναν λογαριασμό Google (λογαριασμό) και συνδεθείτε: https://accounts.google.com

Λεζάντες διαφανειών:

Εργασίες για GCD και LCM αριθμών Η εργασία ενός μαθητή της 6ης τάξης του MKOU "Kamyshovskaya OOSh" Lantsinova Aisa Επόπτης Goryaeva Zoya Erdnigoryaevna, δασκάλα μαθηματικών σελ. Kamyshovo, 2013

Παράδειγμα εύρεσης του GCD των αριθμών 50, 75 και 325. 1) Ας αποσυνθέσουμε τους αριθμούς 50, 75 και 325 σε πρώτους παράγοντες. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 διαιρέστε χωρίς υπόλοιπο τους αριθμούς a και b λέγονται ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης αυτών των αριθμών.

Παράδειγμα εύρεσης του LCM των αριθμών 72, 99 και 117. 1) Ας παραγοντοποιήσουμε τους αριθμούς 72, 99 και 117. Γράψτε τους παράγοντες που περιλαμβάνονται στην επέκταση ενός από τους αριθμούς 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 και προσθέστε σε αυτούς τους συντελεστές που λείπουν από τους υπόλοιπους αριθμούς. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Βρείτε το γινόμενο των παραγόντων που προκύπτουν. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Απάντηση: LCM (72, 99 και 117) = 10296 Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των φυσικών αριθμών a και b είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός που είναι πολλαπλάσιο ενός και β.

Ένα φύλλο χαρτονιού έχει σχήμα ορθογωνίου, του οποίου το μήκος είναι 48 εκ. και το πλάτος 40 εκ. Αυτό το φύλλο πρέπει να κοπεί χωρίς απορρίμματα σε ίσα τετράγωνα. Ποια είναι τα μεγαλύτερα τετράγωνα που μπορούν να ληφθούν από αυτό το φύλλο και πόσα; Λύση: 1) S = a ∙ b είναι το εμβαδόν του ορθογωνίου. S \u003d 48 ∙ 40 \u003d 1960 cm². είναι η περιοχή του χαρτονιού. 2) α - η πλευρά του τετραγώνου 48: α - ο αριθμός των τετραγώνων που μπορούν να τοποθετηθούν κατά μήκος του χαρτονιού. 40: α - ο αριθμός των τετραγώνων που μπορούν να τοποθετηθούν σε όλο το πλάτος του χαρτονιού. 3) GCD (40 και 48) \u003d 8 (cm) - η πλευρά του τετραγώνου. 4) S \u003d a² - η περιοχή ενός τετραγώνου. S \u003d 8² \u003d 64 (cm².) - το εμβαδόν ενός τετραγώνου. 5) 1960: 64 = 30 (αριθμός τετραγώνων). Απάντηση: 30 τετράγωνα με πλευρά 8 cm το καθένα. Εργασίες για GCD

Το τζάκι στο δωμάτιο πρέπει να είναι τοποθετημένο με πλακάκια φινιρίσματος σε σχήμα τετραγώνου. Πόσα πλακάκια θα χρειαστούν για ένα τζάκι 195 ͯ 156 cm και ποια είναι μεγαλύτερες διαστάσειςπλακάκια; Λύση: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm ²) - S της επιφάνειας του τζακιού. 2) GCD (195 και 156) = 39 (cm) - πλευρά του πλακιδίου. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) - εμβαδόν 1 πλακιδίου. 4) 30420: = 20 (τεμάχια). Απάντηση: 20 πλακάκια διαστάσεων 39 ͯ 39 (cm). Εργασίες για GCD

Ένα οικόπεδο κήπου διαστάσεων 54 ͯ 48 m περιμετρικά πρέπει να είναι περιφραγμένο, γι' αυτό πρέπει να τοποθετούνται τσιμεντένιες κολώνες σε τακτά χρονικά διαστήματα. Πόσοι στύλοι πρέπει να φέρουν για την τοποθεσία και σε ποια μέγιστη απόσταση μεταξύ τους θα στέκονται οι στύλοι; Λύση: 1) P = 2(a + b) – περίμετρος τοποθεσίας. P \u003d 2 (54 + 48) \u003d 204 m. 2) GCD (54 και 48) \u003d 6 (m) - η απόσταση μεταξύ των πυλώνων. 3) 204: 6 = 34 (κολώνες). Απάντηση: 34 πυλώνες, σε απόσταση 6 μ. Εργασίες για GCD

Από 210 μπορντό, συγκεντρώθηκαν 126 λευκά, 294 κόκκινα τριαντάφυλλα, μπουκέτα και σε κάθε μπουκέτο ο αριθμός των τριαντάφυλλων του ίδιου χρώματος είναι ίσος. Οι οποίες ο μεγαλύτερος αριθμόςμπουκέτα φτιαγμένα από αυτά τα τριαντάφυλλα και πόσα τριαντάφυλλα από κάθε χρώμα υπάρχουν σε ένα μπουκέτο; Λύση: 1) GCD (210, 126 και 294) = 42 (μπουκέτα). 2) 210: 42 = 5 (μπορντό τριαντάφυλλα). 3) 126: 42 = 3 (λευκά τριαντάφυλλα). 4) 294: 42 = 7 (κόκκινα τριαντάφυλλα). Απάντηση: 42 μπουκέτα: 5 μπορντό, 3 λευκά, 7 κόκκινα τριαντάφυλλα σε κάθε μπουκέτο. Εργασίες για GCD

Η Τάνια και η Μάσα αγόρασαν τον ίδιο αριθμό γραμματοκιβωτίων. Η Τάνια πλήρωσε 90 ρούβλια και η Μάσα 5 ρούβλια. περισσότερο. Πόσο κοστίζει ένα σετ; Πόσα σετ αγόρασε το καθένα; Λύση: 1) Η Μάσα πλήρωσε 90 + 5 = 95 (ρούβλια). 2) GCD (90 και 95) = 5 (ρούβλια) - η τιμή του 1 σετ. 3) 980: 5 = 18 (σετ) - αγοράστηκε από την Tanya. 4) 95: 5 = 19 (σετ) - Η Μάσα αγόρασε. Απάντηση: 5 ρούβλια, 18 σετ, 19 σετ. Εργασίες για GCD

Τρεις τουριστικές εκδρομές με σκάφος ξεκινούν στην πόλη του λιμανιού, εκ των οποίων το πρώτο διαρκεί 15 ημέρες, το δεύτερο - 20 και το τρίτο - 12 ημέρες. Επιστρέφοντας στο λιμάνι, τα πλοία την ίδια μέρα ξεκινούν πάλι ταξίδι. Μηχανοκίνητα πλοία έφυγαν σήμερα από το λιμάνι και στα τρία δρομολόγια. Σε πόσες μέρες θα πλεύσουν μαζί για πρώτη φορά; Πόσα ταξίδια θα κάνει κάθε πλοίο; Λύση: 1) NOC (15.20 και 12) = 60 (ημέρες) - χρόνος συνάντησης. 2) 60: 15 = 4 (ταξίδια) - 1 πλοίο. 3) 60: 20 = 3 (ταξίδια) - 2 μηχανοκίνητο πλοίο. 4) 60: 12 = 5 (ταξίδια) - 3 μηχανοκίνητο πλοίο. Απάντηση: 60 ημέρες, 4 πτήσεις, 3 πτήσεις, 5 πτήσεις. Καθήκοντα για το NOC

Η Μάσα αγόρασε αυγά για την Αρκούδα στο κατάστημα. Στο δρόμο προς το δάσος, συνειδητοποίησε ότι ο αριθμός των αυγών διαιρείται με το 2,3,5,10 και 15. Πόσα αυγά αγόρασε η Μάσα; Λύση: LCM (2;3;5;10;15) = 30 (αυγά) Απάντηση: Η Μάσα αγόρασε 30 αυγά. Καθήκοντα για το NOC

Απαιτείται να φτιάξετε ένα κουτί με τετράγωνο πάτο για στοίβαξη κουτιών διαστάσεων 16 ͯ 20 εκ. Ποια πρέπει να είναι η μικρότερη πλευρά του τετράγωνου πάτου για να χωρέσουν σφιχτά τα κουτιά στο κουτί; Λύση: 1) NOC (16 και 20) = 80 (κουτιά). 2) S = a ∙ b είναι το εμβαδόν 1 κουτιού. S \u003d 16 ∙ 20 \u003d 320 (cm ²) - η περιοχή του κάτω μέρους 1 κουτιού. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (cm ²) - τετράγωνο εμβαδόν πυθμένα. 4) S \u003d a² \u003d a ∙ a 25600 \u003d 160 ∙ 160 - οι διαστάσεις του κουτιού. Απάντηση: 160 cm είναι η πλευρά του τετράγωνου πυθμένα. Καθήκοντα για το NOC

Κατά μήκος του δρόμου από το σημείο Κ υπάρχουν στύλοι ηλεκτρικού ρεύματος κάθε 45 μ. Αποφασίστηκε να αντικατασταθούν αυτοί οι στύλοι με άλλους, τοποθετώντας τους σε απόσταση 60 μ. ο ένας από τον άλλο. Πόσοι στύλοι ήταν και πόσοι θα σταθούν; Λύση: 1) ΝΟΚ (45 και 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 - υπήρχαν κολώνες. 3) 180: 60 = 3 - υπήρχαν κολώνες. Απάντηση: 4 πυλώνες, 3 πυλώνες. Καθήκοντα για το NOC

Πόσοι στρατιώτες βαδίζουν στον χώρο της παρέλασης αν βαδίσουν σε σχηματισμό 12 ατόμων σε μια σειρά και μετατραπούν σε μια στήλη 18 ατόμων σε μια σειρά; Λύση: 1) NOC (12 και 18) = 36 (άτομα) - πορεία. Απάντηση: 36 άτομα. Καθήκοντα για το NOC

Σημάδια διαιρετότητας φυσικών αριθμών.

Οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 χωρίς υπόλοιπο καλούνταιακόμη και .

Οι αριθμοί που δεν διαιρούνται ομοιόμορφα με το 2 ονομάζονταιΠεριττός .

Σήμα διαιρετότητας με το 2

Εάν η εγγραφή ενός φυσικού αριθμού τελειώνει με ένα ζυγό ψηφίο, τότε αυτός ο αριθμός διαιρείται με το 2 χωρίς υπόλοιπο, και εάν η εγγραφή ενός αριθμού τελειώνει με ένα περιττό ψηφίο, τότε αυτός ο αριθμός δεν διαιρείται με το 2 χωρίς υπόλοιπο.

Για παράδειγμα, οι αριθμοί 60 , 30 8 , 8 4 διαιρούνται χωρίς υπόλοιπο με το 2 και οι αριθμοί με το 51 , 8 5 , 16 7 δεν διαιρούνται με το 2 χωρίς υπόλοιπο.

Σήμα διαιρετότητας με το 3

Αν το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού διαιρείται με το 3, τότε ο αριθμός διαιρείται επίσης με το 3. Αν το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού δεν διαιρείται με το 3, τότε ο αριθμός δεν διαιρείται με το 3.

Για παράδειγμα, ας μάθουμε αν ο αριθμός 2772825 διαιρείται με το 3. Για να γίνει αυτό, υπολογίζουμε το άθροισμα των ψηφίων αυτού του αριθμού: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - διαιρείται με το 3 Άρα, ο αριθμός 2772825 διαιρείται με το 3.

Σήμα διαιρετότητας με το 5

Εάν η εγγραφή ενός φυσικού αριθμού τελειώνει με τον αριθμό 0 ή 5, τότε αυτός ο αριθμός διαιρείται χωρίς υπόλοιπο με το 5. Εάν η εγγραφή ενός αριθμού τελειώνει με διαφορετικό ψηφίο, τότε ο αριθμός χωρίς υπόλοιπο δεν διαιρείται με το 5.

Για παράδειγμα, οι αριθμοί 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 διαιρούνται χωρίς υπόλοιπο με το 5 και οι αριθμοί 17 , 37 8 , 9 1 μη μοιράζεσαι.

Σήμα διαιρετότητας με το 9

Εάν το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού διαιρείται με το 9, τότε ο αριθμός διαιρείται επίσης με το 9. Αν το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού δεν διαιρείται με το 9, τότε ο αριθμός δεν διαιρείται με το 9.

Για παράδειγμα, ας μάθουμε αν ο αριθμός 5402070 διαιρείται με το 9. Για να γίνει αυτό, υπολογίζουμε το άθροισμα των ψηφίων αυτού του αριθμού: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - δεν διαιρείται με το 9. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός 5402070 δεν διαιρείται με το 9.

Σήμα διαιρετότητας με το 10

Αν η εγγραφή ενός φυσικού αριθμού τελειώνει με το ψηφίο 0, τότε αυτός ο αριθμός διαιρείται με το 10 χωρίς υπόλοιπο. Εάν η εγγραφή ενός φυσικού αριθμού τελειώνει με ένα άλλο ψηφίο, τότε δεν διαιρείται με το 10 χωρίς υπόλοιπο.

Για παράδειγμα, οι αριθμοί 40 , 17 0 , 1409 0 διαιρούνται χωρίς υπόλοιπο με το 10 και οι αριθμοί 17 , 9 3 , 1430 7 - μην μοιράζεστε.

Ο κανόνας για την εύρεση του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη (gcd).

Για να βρείτε το μεγαλύτερο κοινός διαιρέτηςαρκετούς φυσικούς αριθμούς, χρειάζεστε:

2) από τους παράγοντες που περιλαμβάνονται στην επέκταση ενός από αυτούς τους αριθμούς, διαγράψτε αυτούς που δεν περιλαμβάνονται στην επέκταση άλλων αριθμών.

3) βρείτε το γινόμενο των υπόλοιπων παραγόντων.

Παράδειγμα. Ας βρούμε το GCD (48;36). Ας χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα.

1. Αποσυνθέτουμε τους αριθμούς 48 και 36 σε πρώτους παράγοντες.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Από τους παράγοντες που περιλαμβάνονται στην επέκταση του αριθμού 48, διαγράφουμε αυτούς που δεν περιλαμβάνονται στην επέκταση του αριθμού 36.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Υπάρχουν παράγοντες 2, 2 και 3.

3. Πολλαπλασιάστε τους υπόλοιπους συντελεστές και λάβετε 12. Αυτός ο αριθμός είναι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών 48 και 36.

GCD (48; 36) = 2· 2 · 3 = 12.

Ο κανόνας για την εύρεση του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου (LCM).

Για να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο πολλών φυσικών αριθμών, πρέπει:

1) να τους αποσυνθέσετε σε πρώτους παράγοντες.

2) γράψτε τους παράγοντες που περιλαμβάνονται στην επέκταση ενός από τους αριθμούς.

3) προσθέστε σε αυτούς τους παράγοντες που λείπουν από τις επεκτάσεις των υπόλοιπων αριθμών.

4) βρείτε το γινόμενο των παραγόντων που προκύπτουν.

Παράδειγμα.Ας βρούμε το LCM (75;60). Ας χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα.

1. Αποσυνθέτουμε τους αριθμούς 75 και 60 σε πρώτους παράγοντες.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Γράψτε τους παράγοντες που περιλαμβάνονται στην επέκταση του αριθμού 75: 3, 5, 5.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Προσθέστε σε αυτούς τους παράγοντες που λείπουν από την αποσύνθεση του αριθμού 60, δηλ. 2, 2.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Να βρείτε το γινόμενο των παραγόντων που προκύπτουν

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

Πολλαπλάσιο ενός αριθμού είναι ένας αριθμός που διαιρείται με έναν δεδομένο αριθμό χωρίς υπόλοιπο. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) μιας ομάδας αριθμών είναι ο μικρότερος αριθμός που διαιρείται ομοιόμορφα με κάθε αριθμό της ομάδας. Για να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, πρέπει να βρείτε τους πρώτους παράγοντες των δεδομένων αριθμών. Επίσης, το LCM μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας έναν αριθμό άλλων μεθόδων που ισχύουν για ομάδες δύο ή περισσότερων αριθμών.

Βήματα

Μια σειρά από πολλαπλάσια

Δείτε αυτούς τους αριθμούς.Η μέθοδος που περιγράφεται εδώ χρησιμοποιείται καλύτερα όταν δίνονται δύο αριθμοί που ο καθένας είναι μικρότερος από 10. Εάν δίνονται μεγάλοι αριθμοί, χρησιμοποιήστε διαφορετική μέθοδο.

• Για παράδειγμα, βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 5 και 8. Αυτοί είναι μικροί αριθμοί, επομένως μπορεί να χρησιμοποιηθεί αυτή η μέθοδος.

1. Πολλαπλάσιο ενός αριθμού είναι ένας αριθμός που διαιρείται με έναν δεδομένο αριθμό χωρίς υπόλοιπο. Πολλαπλοί αριθμοί μπορούν να βρεθούν στον πίνακα πολλαπλασιασμού.

   • Για παράδειγμα, οι αριθμοί που είναι πολλαπλάσιοι του 5 είναι: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Γράψτε μια σειρά αριθμών που είναι πολλαπλάσια του πρώτου αριθμού.Κάντε το κάτω από τα πολλαπλάσια του πρώτου αριθμού για να συγκρίνετε δύο σειρές αριθμών.

   • Για παράδειγμα, οι αριθμοί που είναι πολλαπλάσιοι του 8 είναι: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 και 64.

3. Βρείτε τον μικρότερο αριθμό που εμφανίζεται και στις δύο σειρές πολλαπλών.Ίσως χρειαστεί να γράψετε μεγάλες σειρές πολλαπλών για να βρείτε συνολικός αριθμός. Ο μικρότερος αριθμός που εμφανίζεται και στις δύο σειρές πολλαπλών είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο.

   • Για παράδειγμα, ο μικρότερος αριθμός, που εμφανίζεται στη σειρά των πολλαπλασίων του 5 και του 8, είναι ο αριθμός 40. Επομένως, το 40 είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 5 και 8.

   Πρωταρχική παραγοντοποίηση

   1. Δείτε αυτούς τους αριθμούς.Η μέθοδος που περιγράφεται εδώ χρησιμοποιείται καλύτερα όταν δίνονται δύο αριθμοί που είναι και οι δύο μεγαλύτεροι από 10. Εάν δίνονται μικρότεροι αριθμοί, χρησιμοποιήστε διαφορετική μέθοδο.

      • Για παράδειγμα, βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 20 και 84. Καθένας από τους αριθμούς είναι μεγαλύτερος από το 10, επομένως μπορεί να χρησιμοποιηθεί αυτή η μέθοδος.

   2. Παραγοντοποιήστε τον πρώτο αριθμό.Δηλαδή, πρέπει να βρείτε τέτοιους πρώτους αριθμούς, όταν πολλαπλασιαστούν, παίρνετε έναν δεδομένο αριθμό. Έχοντας βρει τους πρώτους παράγοντες, καταγράψτε τους ως ισότητα.

      • Για παράδειγμα, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\φορές 10=20)και 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Έτσι, οι πρώτοι παράγοντες του αριθμού 20 είναι οι αριθμοί 2, 2 και 5. Να τους γράψετε ως έκφραση: .

   3. Υπολογίστε τον δεύτερο αριθμό σε πρώτους παράγοντες.Κάντε το με τον ίδιο τρόπο που συνυπολογίσατε τον πρώτο αριθμό, δηλαδή βρείτε τέτοιους πρώτους αριθμούς που, όταν πολλαπλασιαστούν, θα λάβετε αυτόν τον αριθμό.

      • Για παράδειγμα, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\φορές 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\φορές 6=42)και 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Έτσι, οι πρώτοι παράγοντες του αριθμού 84 είναι οι αριθμοί 2, 7, 3 και 2. Γράψτε τους ως έκφραση: .

   4. Καταγράψτε τους κοινούς παράγοντες και στους δύο αριθμούς.Γράψτε τέτοιους παράγοντες ως πράξη πολλαπλασιασμού. Καθώς καταγράφετε κάθε παράγοντα, διαγράψτε τον και στις δύο παραστάσεις (εκφράσεις που περιγράφουν την αποσύνθεση των αριθμών σε πρώτους παράγοντες).

      • Για παράδειγμα, ο κοινός παράγοντας και για τους δύο αριθμούς είναι 2, οπότε γράψτε 2 × (\displaystyle 2\φορές)και διαγράψτε το 2 και στις δύο εκφράσεις.
      • Ο κοινός παράγοντας και για τους δύο αριθμούς είναι ένας άλλος παράγοντας του 2, οπότε γράψτε 2 × 2 (\splaystyle 2\φορές 2)και διαγράψτε το δεύτερο 2 και στις δύο εκφράσεις.

   5. Προσθέστε τους υπόλοιπους παράγοντες στην πράξη πολλαπλασιασμού.Πρόκειται για παράγοντες που δεν διαγράφονται και στις δύο εκφράσεις, δηλαδή παράγοντες που δεν είναι κοινοί και στους δύο αριθμούς.

      • Για παράδειγμα, στην έκφραση 20 = 2 × 2 × 5 (\style display 20=2\φορές 2\φορές 5)και τα δύο (2) διαγράφονται επειδή είναι κοινοί παράγοντες. Ο παράγοντας 5 δεν είναι διαγραμμένος, οπότε γράψτε την πράξη πολλαπλασιασμού ως εξής: 2 × 2 × 5 (\style display 2\φορές 2\φορές 5)
      • Στην έκφραση 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\φορές 7\φορές 3\φορές 2)και τα δύο δυάρια (2) διαγράφονται επίσης. Οι συντελεστές 7 και 3 δεν διαγράφονται, οπότε γράψτε την πράξη πολλαπλασιασμού ως εξής: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\ στυλ εμφάνισης 2 \ φορές 2 \ φορές 5 \ φορές 7 \ φορές 3).

   6. Υπολογίστε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο.Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε τους αριθμούς στη γραπτή πράξη πολλαπλασιασμού.

      • Για παράδειγμα, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\προβολή στυλ 2\ φορές 2\ φορές 5\ φορές 7\ φορές 3=420). Άρα το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 20 και του 84 είναι το 420.

   Εύρεση κοινών διαιρετών

   1. Σχεδιάστε ένα πλέγμα όπως θα κάνατε για ένα παιχνίδι τικ-τακ.Ένα τέτοιο πλέγμα αποτελείται από δύο παράλληλες ευθείες που τέμνονται (σε ​​ορθή γωνία) με δύο άλλες παράλληλες ευθείες. Αυτό θα έχει ως αποτέλεσμα τρεις σειρές και τρεις στήλες (το πλέγμα μοιάζει πολύ με το σύμβολο #). Γράψτε τον πρώτο αριθμό στην πρώτη σειρά και στη δεύτερη στήλη. Γράψτε τον δεύτερο αριθμό στην πρώτη σειρά και στην τρίτη στήλη.

      • Για παράδειγμα, βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 18 και του 30. Γράψτε το 18 στην πρώτη γραμμή και τη δεύτερη στήλη και γράψτε το 30 στην πρώτη γραμμή και την τρίτη στήλη.

   2. Βρείτε τον διαιρέτη κοινό και στους δύο αριθμούς.Γράψτε το στην πρώτη γραμμή και την πρώτη στήλη. Είναι καλύτερα να αναζητήσετε πρώτους διαιρέτες, αλλά αυτό δεν είναι προαπαιτούμενο.

      • Για παράδειγμα, το 18 και το 30 είναι ζυγοί αριθμοί, άρα ο κοινός τους διαιρέτης είναι το 2. Γράψτε λοιπόν το 2 στην πρώτη σειρά και την πρώτη στήλη.

   3. Διαιρέστε κάθε αριθμό με τον πρώτο διαιρέτη.Γράψτε κάθε πηλίκο κάτω από τον αντίστοιχο αριθμό. Το πηλίκο είναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης δύο αριθμών.

      • Για παράδειγμα, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), οπότε γράψτε 9 κάτω από 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), οπότε γράψτε 15 κάτω από 30.

   4. Βρείτε έναν διαιρέτη κοινό και στα δύο πηλίκα.Εάν δεν υπάρχει τέτοιος διαιρέτης, παραλείψτε τα επόμενα δύο βήματα. Διαφορετικά, σημειώστε τον διαιρέτη στη δεύτερη γραμμή και την πρώτη στήλη.

      • Για παράδειγμα, το 9 και το 15 διαιρούνται με το 3, οπότε γράψτε το 3 στη δεύτερη σειρά και την πρώτη στήλη.

   5. Διαιρέστε κάθε πηλίκο με τον δεύτερο διαιρέτη.Γράψτε κάθε αποτέλεσμα διαίρεσης κάτω από το αντίστοιχο πηλίκο.

      • Για παράδειγμα, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), οπότε γράψτε 3 κάτω από 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), οπότε γράψτε 5 κάτω από 15.

   6. Εάν είναι απαραίτητο, συμπληρώστε το πλέγμα με επιπλέον κελιά.Επαναλάβετε τα παραπάνω βήματα μέχρι τα πηλίκα να έχουν κοινό διαιρέτη.

   7. Κυκλώστε τους αριθμούς στην πρώτη στήλη και την τελευταία σειρά του πλέγματος.Στη συνέχεια, γράψτε τους επισημασμένους αριθμούς ως λειτουργία πολλαπλασιασμού.

      • Για παράδειγμα, οι αριθμοί 2 και 3 βρίσκονται στην πρώτη στήλη και οι αριθμοί 3 και 5 βρίσκονται στην τελευταία σειρά, οπότε γράψτε την πράξη πολλαπλασιασμού ως εξής: 2 × 3 × 3 × 5 (\προβολή στυλ 2\ φορές 3\ φορές 3\ φορές 5).

   8. Βρείτε το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού των αριθμών.Αυτό θα υπολογίσει το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των δύο δεδομένων αριθμών.

      • Για παράδειγμα, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\προβολή στυλ 2\ φορές 3\ φορές 3\ φορές 5=90). Άρα το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 18 και του 30 είναι το 90.

   Ο αλγόριθμος του Ευκλείδη

   1. Θυμηθείτε την ορολογία που σχετίζεται με τη λειτουργία διαίρεσης.Το μέρισμα είναι ο αριθμός που διαιρείται. Ο διαιρέτης είναι ο αριθμός με τον οποίο διαιρείται. Το πηλίκο είναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης δύο αριθμών. Το υπόλοιπο είναι ο αριθμός που απομένει όταν διαιρεθούν δύο αριθμοί.

      • Για παράδειγμα, στην έκφραση 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2)υπόλοιπο. 3:
        Το 15 είναι το διαιρετό
        Το 6 είναι ο διαιρέτης
        2 είναι ιδιωτικό
        3 είναι το υπόλοιπο.

Το υλικό που παρουσιάζεται παρακάτω είναι μια λογική συνέχεια της θεωρίας από το άρθρο κάτω από την επικεφαλίδα LCM - ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, ορισμός, παραδείγματα, σχέση μεταξύ LCM και GCD. Εδώ θα μιλήσουμε για βρίσκοντας το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM), και δώστε ιδιαίτερη προσοχή στην επίλυση παραδειγμάτων. Ας δείξουμε πρώτα πώς υπολογίζεται το LCM δύο αριθμών ως προς το GCD αυτών των αριθμών. Στη συνέχεια, εξετάστε το ενδεχόμενο να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο παραγοντοποιώντας τους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες. Μετά από αυτό, θα επικεντρωθούμε στην εύρεση του LCM τριών ή περισσότερων αριθμών και επίσης θα δώσουμε προσοχή στον υπολογισμό του LCM των αρνητικών αριθμών.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Υπολογισμός του ελάχιστου κοινού πολλαπλού (LCM) μέσω gcd

Ένας τρόπος για να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο βασίζεται στη σχέση μεταξύ LCM και GCD. Η υπάρχουσα σχέση μεταξύ LCM και GCD σάς επιτρέπει να υπολογίσετε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο θετικών ακεραίων μέσω του γνωστού μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη. Ο αντίστοιχος τύπος έχει τη μορφή LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Εξετάστε παραδείγματα εύρεσης του LCM σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο.

Παράδειγμα.

Βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των δύο αριθμών 126 και 70 .

Απόφαση.

Σε αυτό το παράδειγμα a=126 , b=70 . Ας χρησιμοποιήσουμε τη σχέση μεταξύ LCM και GCD που εκφράζεται με τον τύπο LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Δηλαδή, πρώτα πρέπει να βρούμε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη των αριθμών 70 και 126, μετά τον οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε το LCM αυτών των αριθμών σύμφωνα με τον γραπτό τύπο.

Βρείτε το gcd(126, 70) χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο του Ευκλείδη: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , άρα gcd(126, 70)=14 .

Τώρα βρίσκουμε το απαιτούμενο ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .

Απάντηση:

LCM(126, 70)=630.

Παράδειγμα.

Τι είναι το LCM(68, 34) ;

Απόφαση.

Οπως και Το 68 διαιρείται ομοιόμορφα με το 34, τότε το gcd(68, 34)=34. Τώρα υπολογίζουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

Απάντηση:

LCM(68, 34)=68 .

Σημειώστε ότι το προηγούμενο παράδειγμα ταιριάζει στον ακόλουθο κανόνα για την εύρεση του LCM για θετικούς ακέραιους αριθμούς a και b: εάν ο αριθμός a διαιρείται με το b, τότε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το a.

Εύρεση του LCM με παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες

Ένας άλλος τρόπος για να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο βασίζεται στην παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες. Εάν κάνουμε ένα γινόμενο όλων των πρώτων παραγόντων αυτών των αριθμών, μετά από το οποίο εξαιρέσουμε από αυτό το γινόμενο όλους τους κοινούς πρώτους παράγοντες που υπάρχουν στις επεκτάσεις αυτών των αριθμών, τότε το γινόμενο που προκύπτει θα είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών.

Ο ανακοινωμένος κανόνας για την εύρεση του LCM προκύπτει από την ισότητα LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Πράγματι, το γινόμενο των αριθμών a και b είναι ίσο με το γινόμενο όλων των παραγόντων που εμπλέκονται στις επεκτάσεις των αριθμών a και b. Με τη σειρά του, το gcd(a, b) είναι ίσο με το γινόμενο όλων των πρώτων παραγόντων που υπάρχουν ταυτόχρονα στις επεκτάσεις των αριθμών a και b (που περιγράφεται στην ενότητα για την εύρεση του gcd χρησιμοποιώντας την αποσύνθεση αριθμών σε πρώτους παράγοντες ).

Ας πάρουμε ένα παράδειγμα. Ας ξέρουμε ότι 75=3 5 5 και 210=2 3 5 7 . Να συνθέσετε το γινόμενο όλων των παραγόντων αυτών των επεκτάσεων: 2 3 3 5 5 5 7 . Τώρα αποκλείουμε από αυτό το προϊόν όλους τους παράγοντες που υπάρχουν τόσο στην επέκταση του αριθμού 75 όσο και στην επέκταση του αριθμού 210 (αυτοί οι παράγοντες είναι 3 και 5), τότε το γινόμενο θα πάρει τη μορφή 2 3 5 5 7 . Η τιμή αυτού του γινόμενου είναι ίση με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 75 και 210, δηλαδή LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Παράδειγμα.

Αφού συνυπολογίσετε τους αριθμούς 441 και 700 σε πρώτους παράγοντες, βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών.

Απόφαση.

Ας αποσυνθέσουμε τους αριθμούς 441 και 700 σε πρώτους παράγοντες:

Παίρνουμε 441=3 3 7 7 και 700=2 2 5 5 7 .

Ας κάνουμε τώρα ένα γινόμενο όλων των παραγόντων που εμπλέκονται στις επεκτάσεις αυτών των αριθμών: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Ας εξαιρέσουμε από αυτό το προϊόν όλους τους παράγοντες που υπάρχουν ταυτόχρονα και στις δύο επεκτάσεις (υπάρχει μόνο ένας τέτοιος παράγοντας - αυτός είναι ο αριθμός 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Ετσι, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Απάντηση:

LCM(441, 700)= 44 100 .

Ο κανόνας για την εύρεση του LCM χρησιμοποιώντας την αποσύνθεση αριθμών σε πρώτους παράγοντες μπορεί να διατυπωθεί λίγο διαφορετικά. Αν προσθέσουμε τους συντελεστές που λείπουν από τη διεύρυνση του αριθμού b στους συντελεστές από την αποσύνθεση του αριθμού a, τότε η τιμή του προϊόντος που προκύπτει θα είναι ίση με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών a και b..

Για παράδειγμα, ας πάρουμε όλους τους ίδιους αριθμούς 75 και 210, οι επεκτάσεις τους σε πρώτους παράγοντες είναι οι εξής: 75=3 5 5 και 210=2 3 5 7 . Στους παράγοντες 3, 5 και 5 από την επέκταση του αριθμού 75, προσθέτουμε τους συντελεστές 2 και 7 που λείπουν από την επέκταση του αριθμού 210, παίρνουμε το γινόμενο 2 3 5 5 7 , η τιμή του οποίου είναι LCM(75 , 210).

Παράδειγμα.

Βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 84 και του 648.

Απόφαση.

Λαμβάνουμε πρώτα την αποσύνθεση των αριθμών 84 και 648 σε πρώτους παράγοντες. Μοιάζουν με 84=2 2 3 7 και 648=2 2 2 3 3 3 3 . Στους παράγοντες 2 , 2 , 3 και 7 από την επέκταση του αριθμού 84 προσθέτουμε τους παράγοντες 2 , 3 , 3 και 3 που λείπουν από την επέκταση του αριθμού 648 , παίρνουμε το γινόμενο 2 2 2 3 3 3 3 7 , που ισούται με 4 536 . Έτσι, το επιθυμητό ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 84 και 648 είναι 4.536.

Απάντηση:

LCM(84, 648)=4 536.

Εύρεση του LCM τριών ή περισσότερων αριθμών

Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο τριών ή περισσότερων αριθμών μπορεί να βρεθεί βρίσκοντας διαδοχικά το LCM δύο αριθμών. Θυμηθείτε το αντίστοιχο θεώρημα, το οποίο δίνει έναν τρόπο να βρείτε το LCM τριών ή περισσότερων αριθμών.

Θεώρημα.

Έστω θετικοί ακέραιοι a 1 , a 2 , …, a k, το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο m k αυτών των αριθμών βρίσκεται στον διαδοχικό υπολογισμό m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Εξετάστε την εφαρμογή αυτού του θεωρήματος στο παράδειγμα της εύρεσης του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου τεσσάρων αριθμών.

Παράδειγμα.

Βρείτε το LCM των τεσσάρων αριθμών 140 , 9 , 54 και 250 .

Απόφαση.

Σε αυτό το παράδειγμα a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Πρώτα βρίσκουμε m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο, προσδιορίζουμε gcd(140, 9) , έχουμε 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , επομένως, gcd( 140, 9)=1, από όπου LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Δηλαδή m 2 =1 260 .

Τώρα βρίσκουμε m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Ας το υπολογίσουμε μέσω του gcd(1 260, 54) , το οποίο προσδιορίζεται επίσης από τον αλγόριθμο του Ευκλείδη: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Τότε gcd(1 260, 54)=18 , από όπου LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Δηλαδή, m 3 \u003d 3 780.

Έμεινε για να βρεις m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε το GCD(3 780, 250) χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο Ευκλείδη: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Επομένως, gcd(3 780, 250)=10, από όπου gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Δηλαδή, m 4 \u003d 94 500.

Άρα το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των αρχικών τεσσάρων αριθμών είναι το 94.500.

Απάντηση:

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

Σε πολλές περιπτώσεις, το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο τριών ή περισσότερων αριθμών βρίσκεται εύκολα με χρήση πρώτων παραγοντοποιήσεων δεδομένων αριθμών. Σε αυτή την περίπτωση, θα πρέπει να ακολουθηθεί ο ακόλουθος κανόνας. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο πολλών αριθμών είναι ίσο με το γινόμενο, το οποίο αποτελείται ως εξής: οι παράγοντες που λείπουν από την επέκταση του δεύτερου αριθμού προστίθενται σε όλους τους παράγοντες από την επέκταση του πρώτου αριθμού, οι συντελεστές που λείπουν από την επέκταση του ο τρίτος αριθμός προστίθεται στους λαμβανόμενους παράγοντες κ.ο.κ.

Εξετάστε ένα παράδειγμα εύρεσης του λιγότερου κοινού πολλαπλάσιου χρησιμοποιώντας την αποσύνθεση αριθμών σε πρώτους παράγοντες.

Παράδειγμα.

Βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των πέντε αριθμών 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Απόφαση.

Αρχικά, λαμβάνουμε τις επεκτάσεις αυτών των αριθμών σε πρώτους παράγοντες: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 πρώτους παράγοντες) και 143=11 13 .

Για να βρείτε το LCM αυτών των αριθμών, στους συντελεστές του πρώτου αριθμού 84 (είναι 2 , 2 , 3 και 7 ) πρέπει να προσθέσετε τους παράγοντες που λείπουν από την επέκταση του δεύτερου αριθμού 6 . Η επέκταση του αριθμού 6 δεν περιέχει παράγοντες που λείπουν, αφού και το 2 και το 3 είναι ήδη παρόντα στην επέκταση του πρώτου αριθμού 84 . Πέρα από τους παράγοντες 2 , 2 , 3 και 7 προσθέτουμε τους παράγοντες 2 και 2 που λείπουν από την επέκταση του τρίτου αριθμού 48 , παίρνουμε ένα σύνολο παραγόντων 2 , 2 , 2 , 2 , 3 και 7 . Δεν χρειάζεται να προσθέσετε παράγοντες σε αυτό το σύνολο στο επόμενο βήμα, καθώς το 7 περιέχεται ήδη σε αυτό. Τέλος, στους παράγοντες 2 , 2 , 2 , 2 , 3 και 7 προσθέτουμε τους συντελεστές 11 και 13 που λείπουν από την επέκταση του αριθμού 143 . Παίρνουμε το γινόμενο 2 2 2 2 3 7 11 13 , το οποίο ισούται με 48 048 .