Mai întâi, încercați să găsiți domeniul funcției:

Te-ai descurcat? Să comparăm răspunsurile:

Este totul în regulă? Bine făcut!

Acum să încercăm să găsim intervalul de valori al funcției:

L-ai găsit? Să comparăm:

Am înţeles? Bine făcut!

Să lucrăm din nou cu grafice, doar că acum este puțin mai complicat - găsiți atât domeniul de definire al funcției, cât și domeniul de valori al funcției.

Cum să găsiți atât domeniul, cât și domeniul unei funcții (avansat)

Iată ce s-a întâmplat:

Cred că ți-ai dat seama de grafice. Acum să încercăm să găsim domeniul de definire al unei funcții în conformitate cu formulele (dacă nu știți cum să faceți acest lucru, citiți secțiunea despre):

Te-ai descurcat? Să verificăm răspunsuri:

1. , deoarece expresia radicală trebuie să fie mai mare sau egală cu zero.
2. , deoarece nu puteți împărți la zero și expresia radicală nu poate fi negativă.
3. , întrucât, respectiv, pentru toți.
4. , deoarece nu puteți împărți la zero.

Cu toate acestea, mai avem încă un punct fără răspuns...

Voi repeta definiția încă o dată și o voi sublinia:

ai observat? Cuvântul „singur” este un element foarte, foarte important al definiției noastre. Voi încerca să vă explic cu degetele mele.

Să presupunem că avem o funcție definită de o linie dreaptă. . La, substituim această valoare în „regula” noastră și obținem asta. O valoare corespunde unei singure valori. Putem chiar să facem un tabel cu diferitele valori și să graficăm această funcție pentru a vedea singuri.

"Uite! - spui, „“ apare de două ori!” Deci poate o parabolă nu este o funcție? Nu, este!

Faptul că „ ” apare de două ori nu este un motiv pentru a acuza parabola de ambiguitate!

Faptul este că, la calculul pentru, am primit un joc. Și când calculăm cu, am primit un joc. Deci, așa este, o parabolă este o funcție. Uită-te la grafic:

Am înţeles? Dacă nu, iată un exemplu de viață care este foarte departe de matematică!

Să presupunem că avem un grup de solicitanți care s-au întâlnit în timp ce depuneau documente, fiecare dintre ei spunând într-o conversație unde locuiește:

De acord, este foarte posibil ca mai mulți bărbați să locuiască într-un oraș, dar este imposibil ca o persoană să trăiască în mai multe orașe în același timp. Aceasta este ca o reprezentare logică a „parabolei” noastre - Mai multe X-uri diferite corespund aceluiași joc.

Acum să venim cu un exemplu în care dependența nu este o funcție. Să presupunem că aceiași tipi ne-au spus pentru ce specialități au aplicat:

Aici avem o situație complet diferită: o persoană poate depune cu ușurință documente pentru una sau mai multe direcții. Adică un element seturile sunt puse în corespondență mai multe elemente mulţimi. Respectiv, aceasta nu este o funcție.

Să-ți testăm cunoștințele în practică.

Determinați din imagini ce este o funcție și ce nu este:

Am înţeles? Și iată-l răspunsuri:

• Funcția este - B, E.
• Funcția nu este - A, B, D, D.

Te intrebi de ce? Da, iată de ce:

In toate pozele cu exceptia ÎN)Şi E) Sunt mai multe pentru unul!

Sunt sigur că acum puteți distinge cu ușurință o funcție de o non-funcție, să spuneți ce este un argument și ce este o variabilă dependentă și, de asemenea, să determinați intervalul de valori permise ale unui argument și domeniul de definire a unei funcții . Să trecem la următoarea secțiune - cum să setăm o funcție?

Metode pentru specificarea unei funcții

Ce crezi că înseamnă cuvintele? "setare functie"? Așa e, asta înseamnă să explici tuturor în ce funcție este în acest caz, există un discurs. Și explică-l în așa fel încât toată lumea să te înțeleagă corect și graficele de funcții desenate de oameni pe baza explicației tale să fie aceleași.

Cum se poate face acest lucru? Cum se setează o funcție? Cea mai simplă metodă, care a fost deja folosită de mai multe ori în acest articol, este folosind formula. Scriem o formulă și, substituind o valoare în ea, calculăm valoarea. Și după cum vă amintiți, o formulă este o lege, o regulă prin care devine clar pentru noi și pentru o altă persoană cum un X se transformă într-un Y.

De obicei, acest lucru este exact ceea ce fac ei - în sarcini vedem funcții gata făcute specificate de formule, cu toate acestea, există și alte modalități de a seta o funcție de care toată lumea uită și, prin urmare, întrebarea „cum altfel poți seta o funcție?” deflectoare. Să înțelegem totul în ordine și să începem cu metoda analitică.

Metodă analitică de specificare a unei funcții

Metoda analitică este de a specifica o funcție folosind o formulă. Aceasta este metoda cea mai universală, cuprinzătoare și lipsită de ambiguitate. Dacă aveți o formulă, atunci știți absolut totul despre o funcție - puteți face un tabel de valori din ea, puteți construi un grafic, puteți determina unde crește funcția și unde scade, în general, studiați-o în întregime.

Să luăm în considerare funcția. Care este diferența?

"Ce înseamnă?" - întrebi tu. Voi explica acum.

Permiteți-mi să vă reamintesc că în notație expresia dintre paranteze se numește argument. Și acest argument poate fi orice expresie, nu neapărat simplă. În consecință, oricare ar fi argumentul (expresia dintre paranteze), îl vom scrie în schimb în expresie.

În exemplul nostru va arăta astfel:

Să luăm în considerare o altă sarcină legată de metoda analitică de specificare a unei funcții, pe care o vei avea la examen.

Găsiți valoarea expresiei la.

Sunt sigur că la început te-ai speriat când ai văzut o astfel de expresie, dar nu este absolut nimic înfricoșător în asta!

Totul este la fel ca în exemplul anterior: oricare ar fi argumentul (expresia dintre paranteze), îl vom scrie în schimb în expresie. De exemplu, pentru o funcție.

Ce trebuie făcut în exemplul nostru? În schimb, trebuie să scrieți și în schimb -:

scurtați expresia rezultată:

Asta este!

Munca independentă

Acum încercați să găsiți singur sensul următoarelor expresii:

1. , Dacă
2. , Dacă

Te-ai descurcat? Să comparăm răspunsurile noastre: Suntem obișnuiți cu faptul că funcția are forma

Chiar și în exemplele noastre, definim funcția exact în acest fel, dar analitic este posibil să definim funcția într-o formă implicită, de exemplu.

Încercați să construiți singur această funcție.

Te-ai descurcat?

Așa l-am construit.

Ce ecuație am derivat în cele din urmă?

Corect! Liniar, ceea ce înseamnă că graficul va fi o linie dreaptă. Să facem un tabel pentru a determina ce puncte aparțin liniei noastre:

Exact despre asta vorbeam... Unul corespunde mai multor.

Să încercăm să desenăm ce s-a întâmplat:

Este ceea ce avem o funcție?

Așa e, nu! De ce? Încercați să răspundeți la această întrebare cu ajutorul unui desen. Ce ai primit?

„Pentru că o singură valoare corespunde mai multor valori!”

Ce concluzie putem trage din asta?

Așa este, o funcție nu poate fi întotdeauna exprimată în mod explicit, iar ceea ce este „deghizat” ca funcție nu este întotdeauna o funcție!

Metodă tabelară de specificare a unei funcții

După cum sugerează și numele, această metodă este un semn simplu. Da, da. Ca cea pe care tu și eu am făcut-o deja. De exemplu:

Aici ați observat imediat un model - Y este de trei ori mai mare decât X. Și acum sarcina de a „gândi foarte atent”: crezi că o funcție dată sub formă de tabel este echivalentă cu o funcție?

Să nu mai vorbim multă vreme, dar să desenăm!

Aşa. Desenăm funcția specificată de tapet în următoarele moduri:

Vedeți diferența? Nu totul e vorba de punctele marcate! Aruncă o privire mai atentă:

L-ai văzut acum? Când definim o funcție în mod tabelar, afișăm pe grafic doar acele puncte pe care le avem în tabel și linia (ca și în cazul nostru) trece doar prin ele. Când definim o funcție analitic, putem lua orice puncte, iar funcția noastră nu se limitează la ele. Aceasta este particularitatea. Ține minte!

Metodă grafică de construire a unei funcții

Metoda grafică de construire a unei funcții nu este mai puțin convenabilă. Ne desenăm funcția și o altă persoană interesată poate găsi cu ce este egală y la un anumit x și așa mai departe. Metodele grafice și analitice sunt printre cele mai comune.

Cu toate acestea, aici trebuie să vă amintiți despre ce am vorbit la început - nu fiecare „squiggle” desenat în sistemul de coordonate este o funcție! Vă amintiți? Pentru orice eventualitate, voi copia aici definiția a ceea ce este o funcție:

De regulă, oamenii numesc de obicei exact cele trei moduri de a specifica o funcție despre care am discutat - analitică (folosind o formulă), tabelară și grafică, uitând complet că o funcție poate fi descrisă verbal. Cum este asta? Da, foarte simplu!

Descrierea verbală a funcției

Cum să descrii o funcție verbal? Să luăm exemplul nostru recent - . Această funcție poate fi descrisă ca „fiecare valoare reală a lui x corespunde valorii sale triple”. Asta e tot. Nimic complicat. Desigur, veți obiecta - „există funcții atât de complexe încât este pur și simplu imposibil de specificat verbal!” Da, există astfel, dar există funcții care sunt mai ușor de descris verbal decât de definit cu o formulă. De exemplu: „toată lumea valoare naturală x corespunde diferenței dintre cifrele din care constă, în timp ce minuendul este considerat cea mai mare cifră conținută în înregistrarea numărului.” Acum să ne uităm la modul în care descrierea noastră verbală a funcției este implementată în practică:

Cea mai mare cifră dintr-un număr dat este, respectiv, minuend, apoi:

Principalele tipuri de funcții

Acum să trecem la partea cea mai interesantă - să ne uităm la principalele tipuri de funcții cu care ai lucrat/lucrezi și vei lucra în cursul matematicii școlii și facultății, adică să le cunoaștem, ca să spunem așa , și dă-le scurtă descriere. Citiți mai multe despre fiecare funcție în secțiunea corespunzătoare.

Funcția liniară

O funcție de forma unde, sunt numere reale.

Graficul acestei funcții este o linie dreaptă, așa că construirea unei funcții liniare se reduce la găsirea coordonatele a două puncte.

Poziția dreptei pe planul de coordonate depinde de coeficientul unghiular.

Domeniul de aplicare al unei funcții (denumit și domeniul valorilor argumentelor valide) este .

Gama de valori - .

Funcția pătratică

Funcția formei, unde

Graficul funcției este o parabolă când ramurile parabolei sunt îndreptate în jos, când ramurile sunt îndreptate în sus.

Multe proprietăți ale unei funcții pătratice depind de valoarea discriminantului. Discriminantul se calculează folosind formula

Poziția parabolei pe planul de coordonate în raport cu valoarea și coeficientul este prezentată în figură:

Domeniul definiției

Gama de valori depinde de extremul funcției date (punctul vârf al parabolei) și de coeficient (direcția ramurilor parabolei)

Proporționalitate inversă

Funcția dată de formula, unde

Numărul se numește coeficient de proporționalitate inversă. În funcție de valoare, ramurile hiperbolei sunt în pătrate diferite:

Domeniul de aplicare - .

Gama de valori - .

REZUMAT ȘI FORMULE DE BAZĂ

1. O funcție este o regulă conform căreia fiecare element al unei mulțimi este asociat cu un singur element al mulțimii.

• - aceasta este o formulă care denotă o funcție, adică dependența unei variabile de alta;
• - valoare variabilă, sau argument;
• - cantitate dependentă - se modifică atunci când argumentul se schimbă, adică după orice formulă specifică care reflectă dependența unei cantități de alta.

2. Valorile argumentelor valide, sau domeniul unei funcții, este ceea ce este asociat cu posibilitățile în care funcția are sens.

3. Gama de funcții- acestea sunt valorile necesare, având în vedere valori acceptabile.

4. Există 4 moduri de a seta o funcție:

• analitice (folosind formule);
• tabular;
• grafic
• descriere verbală.

5. Principalele tipuri de funcții:

• : , unde, sunt numere reale;
• : , Unde;
• : , Unde.

Funcția de construire

Oferim atenției dumneavoastră un serviciu de realizare a graficelor de funcții online, toate drepturile cărora le aparțin companiei Desmos. Utilizați coloana din stânga pentru a introduce funcții. Puteți introduce manual sau folosind tastatura virtuală din partea de jos a ferestrei. Pentru a mări fereastra cu graficul, puteți ascunde atât coloana din stânga, cât și tastatura virtuală.

Beneficiile graficelor online

• Afișarea vizuală a funcțiilor introduse
• Construirea de grafice foarte complexe
• Construcția graficelor specificate implicit (de exemplu, elipsa x^2/9+y^2/16=1)
• Posibilitatea de a salva diagrame și de a primi un link către ele, care devine disponibil pentru toată lumea de pe Internet
• Controlul scalei, culoarea liniei
• Posibilitatea de a trasa grafice pe puncte, folosind constante
• Trasarea mai multor grafice de funcții simultan
• Trasarea în coordonate polare (utilizați r și θ(\theta))

Cu noi este ușor să construiți grafice de complexitate variată online. Construcția se face instantaneu. Serviciul este solicitat pentru găsirea punctelor de intersecție ale funcțiilor, pentru reprezentarea graficelor pentru a le muta în continuare într-un document Word ca ilustrații atunci când rezolvați probleme și pentru analiza caracteristicilor comportamentale ale graficelor de funcții. Browserul optim pentru lucrul cu grafice pe această pagină de site este Google Chrome. Funcționarea corectă nu este garantată atunci când utilizați alte browsere.

Una dintre cele mai cunoscute funcții exponențiale din matematică este exponentul. Reprezintă numărul Euler ridicat la puterea specificată. În Excel există un operator separat care vă permite să îl calculați. Să vedem cum poate fi folosit în practică.

Exponentul este numărul Euler ridicat la o putere dată. Numărul Euler în sine este de aproximativ 2,718281828. Uneori este numit și numărul Napier. Funcția exponent arată astfel:

unde e este numărul Euler și n este gradul de ridicare.

Pentru a calcula acest indicator în Excel, se folosește un operator separat - EXP. În plus, această funcție poate fi afișată sub formă de grafic. Vom vorbi în continuare despre lucrul cu aceste instrumente.

Metoda 1: Calculați exponentul introducând manual funcția

EXP(număr)

Adică această formulă conține un singur argument. Este tocmai puterea la care trebuie ridicat numărul Euler. Acest argument poate fi fie o valoare numerică, fie o referință la o celulă care conține un exponent.

Metoda 2: Utilizarea Expertului Funcție

Deși sintaxa pentru calcularea exponentului este extrem de simplă, unii utilizatori preferă să o folosească Expertul de funcții. Să vedem cum se face acest lucru cu un exemplu.

Dacă o referință de celulă care conține un exponent este folosită ca argument, atunci trebuie să plasați cursorul în câmp "Număr"și pur și simplu selectați acea celulă de pe foaie. Coordonatele sale vor fi afișate imediat în câmp. După aceasta, pentru a calcula rezultatul, faceți clic pe butonul "BINE".

Metoda 3: complot

În plus, în Excel este posibil să construiți un grafic folosind ca bază rezultatele obținute din calcularea exponentului. Pentru a construi un grafic, foaia trebuie să aibă deja valori calculate ale exponentului diferitelor puteri. Ele pot fi calculate folosind una dintre metodele descrise mai sus.

Dat material metodologic este doar pentru referință și se aplică unei game largi de subiecte. Articolul oferă o prezentare generală a graficelor funcțiilor elementare de bază și abordează cea mai importantă problemă - cum să construiți un grafic corect și RAPID. În cursul studierii matematicii superioare fără cunoașterea graficelor funcțiilor elementare de bază, va fi dificil, așa că este foarte important să ne amintim cum arată graficele unei parabole, hiperbole, sinus, cosinus etc. și amintiți-vă câteva a semnificaţiilor funcţiilor. Asemenea vom vorbi despre unele proprietăți ale funcțiilor de bază.

Nu pretind completitatea și temeinicia științifică a materialelor se va pune accent, în primul rând, pe practică - acele lucruri cu care se întâlnește literalmente la fiecare pas, în orice subiect de matematică superioară. Grafice pentru manechine? S-ar putea spune așa.

Datorită numeroaselor solicitări din partea cititorilor cuprins pe care se poate face clic:

În plus, există un rezumat ultra-scurt pe această temă
– stăpânește 16 tipuri de diagrame studiind șase pagini!

Serios, șase, până și eu am fost surprins. Acest rezumat conține grafică îmbunătățită și este disponibil pentru o taxă nominală, puteți vizualiza versiunea demo. Este convenabil să imprimați fișierul, astfel încât graficele să fie întotdeauna la îndemână. Vă mulțumim pentru susținerea proiectului!

Și să începem imediat:

Cum se construiesc corect axele de coordonate?

În practică, testele sunt aproape întotdeauna finalizate de către elevi în caiete separate, aliniate într-un pătrat. De ce ai nevoie de marcaje în carouri? La urma urmei, munca, în principiu, se poate face pe coli A4. Și cușca este necesară doar pentru proiectarea de înaltă calitate și precisă a desenelor.

Orice desen al unui grafic de funcții începe cu axe de coordonate.

Desenele pot fi bidimensionale sau tridimensionale.

Să luăm mai întâi în considerare cazul bidimensional Sistemul de coordonate carteziene dreptunghiulare:

1) Desenați axele de coordonate. Axa se numește axa x , iar axa este axa y . Întotdeauna încercăm să le desenăm îngrijită și nu strâmbă. De asemenea, săgețile nu ar trebui să semene cu barba lui Papa Carlo.

2) Semnăm axele cu litere mari „X” și „Y”. Nu uitați să etichetați axele.

3) Setați scara de-a lungul axelor: trageți un zero și doi uni. Când faceți un desen, scara cea mai convenabilă și folosită frecvent este: 1 unitate = 2 celule (desen din stânga) - dacă este posibil, rămâneți de ea. Totuși, din când în când se întâmplă ca desenul să nu încapă pe foaia caietului - atunci reducem scara: 1 unitate = 1 celulă (desen din dreapta). Este rar, dar se întâmplă ca scara desenului să fie redusă (sau mărită) și mai mult

NU ESTE NEVOIE să „mitralieră” …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Pentru plan de coordonate nu este un monument al lui Descartes, iar studentul nu este un porumbel. punem zeroŞi două unități de-a lungul axelor. Uneori în loc de unități, este convenabil să „marcați” alte valori, de exemplu, „două” pe axa absciselor și „trei” pe axa ordonatelor - și acest sistem (0, 2 și 3) va defini, de asemenea, în mod unic grila de coordonate.

Este mai bine să estimați dimensiunile estimate ale desenului ÎNAINTE de a construi desenul. Deci, de exemplu, dacă sarcina necesită desenarea unui triunghi cu vârfuri , , , atunci este complet clar că scara populară de 1 unitate = 2 celule nu va funcționa. De ce? Să ne uităm la punctul - aici va trebui să măsurați cincisprezece centimetri mai jos și, evident, desenul nu se va potrivi (sau abia se va potrivi) pe o foaie de caiet. Prin urmare, selectăm imediat o scară mai mică: 1 unitate = 1 celulă.

Apropo, despre centimetri și celule de notebook. Este adevărat că 30 de celule de notebook conțin 15 centimetri? Pentru distracție, măsurați 15 centimetri în caiet cu o riglă. În URSS, s-ar putea să fi fost adevărat... Este interesant de observat că dacă măsurați acești centimetri pe orizontală și pe verticală, rezultatele (în celule) vor fi diferite! Strict vorbind, caietele moderne nu sunt în carouri, ci dreptunghiulare. Acest lucru poate părea o prostie, dar desenarea, de exemplu, a unui cerc cu o busolă în astfel de situații este foarte incomod. Sincer să fiu, în astfel de momente începi să te gândești la corectitudinea tovarășului Stalin, care a fost trimis în lagăre pentru muncă de hack în producție, ca să nu mai vorbim de industria auto autohtonă, căderea avioanelor sau exploziile centralelor electrice.

Apropo de calitate, sau o scurtă recomandare despre papetărie. Astăzi, majoritatea caietelor aflate în vânzare sunt, cel puțin, o porcărie completă. Din motivul că se udă, și nu numai de la pixurile cu gel, ci și de la pixurile cu bilă! Economisesc bani pe hârtie. Pentru înregistrare teste Recomand să folosiți caiete de la Fabrica de celuloză și hârtie din Arkhangelsk (18 coli, pătrat) sau „Pyaterochka”, deși este mai scump. Este indicat să alegeți un pix cu gel, chiar și cea mai ieftină umplutură de gel chinezească este mult mai bună decât un pix, care fie pătează, fie rupe hârtia. Singurul pix „competitiv” pe care mi-l amintesc este Erich Krause. Ea scrie clar, frumos și consecvent – ​​fie cu miezul plin, fie cu unul aproape gol.

În plus: Viziunea unui sistem de coordonate dreptunghiulare prin ochii geometriei analitice este acoperită în articol Dependența liniară (non) a vectorilor. Baza vectorilor, informații detaliate despre sferturile de coordonate pot fi găsite în al doilea paragraf al lecției Inegalități liniare.

carcasă 3D

Aici este aproape la fel.

1) Desenați axele de coordonate. Standard: axa aplicate – îndreptată în sus, axa – îndreptată spre dreapta, axa – îndreptată în jos spre stânga strict la un unghi de 45 de grade.

2) Etichetați axele.

3) Setați scara de-a lungul axelor. Scara de-a lungul axei este de două ori mai mică decât scara de-a lungul celorlalte axe. De asemenea, rețineți că în desenul din dreapta am folosit o „crestătură” non-standard de-a lungul axei (această posibilitate a fost deja menționată mai sus). Din punctul meu de vedere, acest lucru este mai precis, mai rapid și mai plăcut din punct de vedere estetic - nu este nevoie să căutați mijlocul celulei la microscop și să „sculptați” o unitate apropiată de originea coordonatelor.

Când faceți un desen 3D, acordați din nou prioritate la scară
1 unitate = 2 celule (desen din stânga).

Pentru ce sunt toate aceste reguli? Regulile sunt făcute pentru a fi încălcate. Asta voi face acum. Cert este că desenele ulterioare ale articolului vor fi făcute de mine în Excel, iar axele de coordonate vor arăta incorect din punctul de vedere al designului corect. Aș putea desena toate graficele manual, dar este de fapt înfricoșător să le desenezi, deoarece Excel este reticent să le deseneze mult mai precis.

Grafice și proprietăți de bază ale funcțiilor elementare

O funcție liniară este dată de ecuație. Graficul funcțiilor liniare este direct. Pentru a construi o linie dreaptă este suficient să cunoaștem două puncte.

Exemplul 1

Construiți un grafic al funcției. Să găsim două puncte. Este avantajos să alegeți zero ca unul dintre puncte.

Dacă, atunci

Să luăm un alt punct, de exemplu, 1.

Dacă, atunci

La finalizarea sarcinilor, coordonatele punctelor sunt de obicei rezumate într-un tabel:

Și valorile însele sunt calculate oral sau pe o schiță, un calculator.

Au fost găsite două puncte, să facem desenul:

Când pregătim un desen, semnăm întotdeauna grafica.

Ar fi util să amintim cazuri speciale ale unei funcții liniare:

Observați cum am pus semnăturile, semnăturile nu trebuie să permită discrepanțe la studierea desenului. În acest caz, a fost extrem de nedorit să se pună o semnătură lângă punctul de intersecție al liniilor, sau în dreapta jos între grafice.

1) O funcție liniară de forma () se numește proporționalitate directă. De exemplu, . Un grafic de proporționalitate directă trece întotdeauna prin origine. Astfel, construirea unei linii drepte este simplificată - este suficient să găsiți doar un punct.

2) O ecuație de formă specifică o linie dreaptă paralelă cu axa, în special, axa însăși este dată de ecuație. Graficul funcției se construiește imediat, fără a găsi niciun punct. Adică, intrarea trebuie înțeleasă după cum urmează: „y este întotdeauna egal cu –4, pentru orice valoare a lui x”.

3) O ecuație de formă specifică o linie dreaptă paralelă cu axa, în special, axa însăși este dată de ecuație. Graficul funcției este de asemenea trasat imediat. Intrarea ar trebui să fie înțeleasă după cum urmează: „x este întotdeauna, pentru orice valoare a lui y, egal cu 1”.

Unii se vor întreba, de ce să-ți amintești de clasa a VI-a?! Așa este, poate așa este, dar de-a lungul anilor de practică am întâlnit o duzină bună de studenți care au fost derutați de sarcina de a construi un grafic ca sau.

Construirea unei linii drepte este cea mai comună acțiune la realizarea desenelor.

Linia dreaptă este discutată în detaliu în cursul geometriei analitice, iar cei interesați se pot referi la articol Ecuația unei drepte pe un plan.

Graficul unei funcții pătratice, cubice, graficul unui polinom

Parabolă. Graficul unei funcții pătratice () reprezintă o parabolă. Luați în considerare celebrul caz:

Să ne amintim câteva proprietăți ale funcției.

Deci, soluția ecuației noastre: – în acest punct se află vârful parabolei. De ce este așa poate fi găsit în articolul teoretic despre derivată și lecția despre extremele funcției. Între timp, să calculăm valoarea „Y” corespunzătoare:

Astfel, vârful este în punct

Acum găsim alte puncte, în timp ce folosim cu nerăbdare simetria parabolei. Trebuie remarcat faptul că funcția – nu este chiar, dar, cu toate acestea, nimeni nu a anulat simetria parabolei.

În ce ordine să găsim punctele rămase, cred că va fi clar din masa finală:

Acest algoritm de construcție poate fi numit în mod figurat „navetă” sau principiul „înainte și înapoi” cu Anfisa Cehova.

Să facem desenul:

Din graficele examinate, îmi vine în minte o altă caracteristică utilă:

Pentru o funcție pătratică () următoarele este adevărată:

Dacă , atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus.

Dacă , atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în jos.

Cunoștințe aprofundate despre curbă pot fi obținute în lecția Hiperbolă și parabolă.

O parabolă cubică este dată de funcție. Iată un desen cunoscut de la școală:

Să enumerăm principalele proprietăți ale funcției

Graficul unei funcții

Reprezintă una dintre ramurile unei parabole. Să facem desenul:

Principalele proprietăți ale funcției:

În acest caz, axa este asimptotă verticală pentru graficul unei hiperbole la .

Voinţă MARE greseala, dacă, la întocmirea unui desen, permiteți neglijent ca graficul să se intersecteze cu o asimptotă.

De asemenea, limitele unilaterale ne spun că hiperbola nelimitat de susŞi nelimitat de jos.

Să examinăm funcția la infinit: , adică dacă începem să ne mișcăm de-a lungul axei la stânga (sau la dreapta) la infinit, atunci „jocurile” vor fi un pas ordonat infinit de aproape se apropie de zero și, în consecință, de ramurile hiperbolei infinit de aproape se apropie de ax.

Deci axa este asimptotă orizontală pentru graficul unei funcții, dacă „x” tinde spre plus sau minus infinit.

Funcția este ciudat, și, prin urmare, hiperbola este simetrică față de origine. Acest fapt este evident din desen, în plus, este ușor de verificat analitic: .

Graficul unei funcții de forma () reprezintă două ramuri ale unei hiperbole.

Dacă , atunci hiperbola este situată în primul și al treilea trimestru de coordonate(vezi poza de mai sus).

Dacă , atunci hiperbola este situată în al doilea și al patrulea trimestru de coordonate.

Modelul indicat al rezidenței hiperbolei este ușor de analizat din punctul de vedere al transformărilor geometrice ale graficelor.

Exemplul 3

Construiți ramura dreaptă a hiperbolei

Folosim metoda de construcție punctuală și este avantajos să selectăm valorile astfel încât să fie divizibile cu un întreg:

Să facem desenul:

Nu va fi dificil să construiți ramura stângă a hiperbolei, ciudatenia funcției va ajuta aici. Aproximativ, în tabelul de construcție punct cu punct, adăugăm mental un minus fiecărui număr, punem punctele corespunzătoare și desenăm a doua ramură.

Informații geometrice detaliate despre linia considerată pot fi găsite în articolul Hiperbolă și parabolă.

Graficul unei funcții exponențiale

În această secțiune, voi lua în considerare imediat funcția exponențială, deoarece în problemele de matematică superioară în 95% din cazuri apare exponențialul.

Permiteți-mi să vă reamintesc că acesta este un număr irațional: , acesta va fi necesar la construirea unui grafic, pe care, de fapt, îl voi construi fără ceremonie. Trei puncte sunt probabil suficiente:

Să lăsăm graficul funcției deocamdată, mai multe despre el mai târziu.

Principalele proprietăți ale funcției:

Graficele de funcții etc., arată fundamental la fel.

Trebuie să spun că al doilea caz apare mai rar în practică, dar apare, așa că am considerat că este necesar să îl includ în acest articol.

Graficul unei funcții logaritmice

Luați în considerare o funcție cu un logaritm natural.
Să facem un desen punct cu punct:

Dacă ați uitat ce este un logaritm, vă rugăm să consultați manualele școlare.

Principalele proprietăți ale funcției:

Domeniul definiției:

Interval de valori: .

Funcția nu este limitată de mai sus: , deși încet, dar ramura logaritmului urcă până la infinit.
Să examinăm comportamentul funcției aproape de zero din dreapta: . Deci axa este asimptotă verticală pentru graficul unei funcții ca „x” tinde spre zero din dreapta.

Este imperativ să cunoașteți și să vă amintiți valoarea tipică a logaritmului: .

În principiu, graficul logaritmului la bază arată la fel: , , (logaritmul zecimal la baza 10), etc. Mai mult, cu cât baza este mai mare, cu atât graficul va fi mai plat.

Nu vom lua în considerare cazul; nu-mi amintesc ultima dată când am construit un grafic pe o astfel de bază. Iar logaritmul pare a fi un invitat foarte rar în problemele de matematică superioară.

La sfârșitul acestui paragraf voi mai spune un fapt: Funcția exponențială și funcția logaritmică– acestea sunt două funcții reciproc inverse. Dacă te uiți îndeaproape la graficul logaritmului, poți vedea că acesta este același exponent, doar că este situat puțin diferit.

Grafice ale funcțiilor trigonometrice

De unde începe chinul trigonometric la școală? Corect. Din sinus

Să diagramăm funcția

Această linie se numește sinusoid.

Permiteți-mi să vă reamintesc că „pi” este un număr irațional: , iar în trigonometrie vă face ochii orbitori.

Principalele proprietăți ale funcției:

Această funcție este periodic cu punct . Ce înseamnă? Să ne uităm la segment. În stânga și în dreapta acestuia, exact aceeași bucată a graficului se repetă la nesfârșit.

Domeniul definiției: , adică pentru orice valoare a lui „x” există o valoare sinus.

Interval de valori: . Funcția este limitat: , adică toți „jucătorii” stau strict în segmentul .
Acest lucru nu se întâmplă: sau, mai precis, se întâmplă, dar aceste ecuații nu au o soluție.

Pe domeniul de definire al funcției de putere y = x p avem următoarele formule:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Proprietățile funcțiilor de putere și graficele acestora

Funcția de putere cu exponent egal cu zero, p = 0

Dacă exponentul funcției de putere y = x p este egal cu zero, p = 0, atunci funcția de putere este definită pentru toate x ≠ 0 și este o constantă egală cu unu:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Funcția de putere cu exponent natural impar, p = n = 1, 3, 5, ...

Se consideră o funcție de putere y = x p = x n cu un exponent natural impar n = 1, 3, 5, ... .

Acest indicator poate fi scris și sub forma: n = 2k + 1, unde k = 0, 1, 2, 3, ... este un întreg nenegativ. Mai jos sunt proprietățile și graficele unor astfel de funcții.

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Domeniu de aplicare: -∞ < y < ∞
Sensuri multiple: Paritate:
impar, y(-x) = - y(x) Monoton:
crește monoton Extreme:
Nu
Convex:< x < 0 выпукла вверх
la -∞< x < ∞ выпукла вниз
la 0 Puncte de inflexiune:
Puncte de inflexiune:
x = 0, y = 0
;
Limite:
Valori private:
la x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
la x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
pentru n = 1, funcția este inversa ei: x = y
pentru n ≠ 1, funcția inversă este rădăcina gradului n:

Funcția de putere cu exponent natural par, p = n = 2, 4, 6, ...

Se consideră o funcție de putere y = x p = x n cu un exponent natural par n = 2, 4, 6, ... .

Acest indicator poate fi scris și sub forma: n = 2k, unde k = 1, 2, 3, ... - natural. Proprietățile și graficele acestor funcții sunt prezentate mai jos.

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Domeniu de aplicare: Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent natural par pentru diferite valori ale exponentului n = 2, 4, 6, ....< ∞
Sensuri multiple: 0 ≤ y
impar, y(-x) = - y(x)
par, y(-x) = y(x)
pentru x ≤ 0 scade monoton
crește monoton pentru x ≥ 0 crește monoton
Nu minim, x = 0, y = 0
la 0 Extreme:
convex în jos Puncte de inflexiune:
x = 0, y = 0
;
Limite:
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: la x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
la x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
pentru n = 2, rădăcină pătrată:

pentru n ≠ 2, rădăcină de grad n:

Funcție de putere cu exponent întreg negativ, p = n = -1, -2, -3, ...

Se consideră o funcție de putere y = x p = x n cu un exponent întreg negativ n = -1, -2, -3, ... .

Dacă punem n = -k, unde k = 1, 2, 3, ... este un număr natural, atunci acesta poate fi reprezentat ca:

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent întreg negativ pentru diferite valori ale exponentului n = -1, -2, -3, ....

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... Exponent impar, n = -1, -3, -5, ...
Domeniu de aplicare: Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu un exponent negativ impar n = -1, -3, -5, ....
Sensuri multiple: Paritate:
impar, y(-x) = - y(x) x ≠ 0
crește monoton Extreme:
Nu
y ≠ 0< 0 : выпукла вверх
scade monoton
la 0 Extreme:
convex în jos Extreme:
la x
y ≠ 0< 0, y < 0
pentru x > 0: convex în jos
x = 0, y = 0
; ; ;
Limite:
la x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Semn:
pentru x > 0, y > 0< -2 ,

când n = -1,

la n

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... Exponent impar, n = -1, -3, -5, ...
Domeniu de aplicare: Exponent par, n = -2, -4, -6, ...
Sensuri multiple: 0 ≤ y
impar, y(-x) = - y(x)
y ≠ 0< 0 : монотонно возрастает
Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu exponent negativ par n = -2, -4, -6, ....
crește monoton Extreme:
Nu minim, x = 0, y = 0
la 0 Extreme:
convex în jos Extreme:
la x Exponent par, n = -2, -4, -6, ...
x = 0, y = 0
; ; ;
Limite:
la x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
y > 0
pentru x > 0, y > 0< -2 ,

pentru x > 0: scade monoton

la n = -2, Funcția de putere cu exponent rațional (fracțional)..

Considerăm o funcție de putere y = x p cu un exponent rațional (fracțional), unde n este un număr întreg, m > 1 este un număr natural. Mai mult, n, m nu au

divizori comuni

Numitorul indicatorului fracționar este impar< 0

Fie numitorul exponentului fracționar impar: m = 3, 5, 7, ... . În acest caz, funcția de putere x p este definită atât pentru valorile pozitive, cât și pentru cele negative ale argumentului x.

Grafice ale funcțiilor de putere cu un exponent negativ rațional pentru diferite valori ale exponentului, unde m = 3, 5, 7, ... - impar.

Numător impar, n = -1, -3, -5, ...

Prezentăm proprietățile funcției de putere y = x p cu un exponent negativ rațional, unde n = -1, -3, -5, ... este un număr întreg negativ impar, m = 3, 5, 7 ... este un întreg natural impar.

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... Exponent impar, n = -1, -3, -5, ...
Domeniu de aplicare: Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu un exponent negativ impar n = -1, -3, -5, ....
Sensuri multiple: Paritate:
impar, y(-x) = - y(x) x ≠ 0
crește monoton Extreme:
Nu
y ≠ 0< 0 : выпукла вверх
scade monoton
la 0 Extreme:
convex în jos Extreme:
la x
y ≠ 0< 0, y < 0
pentru x > 0: convex în jos
x = 0, y = 0
; ; ;
Limite:
la x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
la x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1

Numător par, n = -2, -4, -6, ...

Proprietățile funcției de putere y = x p cu un exponent rațional negativ, unde n = -2, -4, -6, ... este un întreg negativ par, m = 3, 5, 7 ... este un întreg natural impar .

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... Exponent impar, n = -1, -3, -5, ...
Domeniu de aplicare: Exponent par, n = -2, -4, -6, ...
Sensuri multiple: 0 ≤ y
impar, y(-x) = - y(x)
y ≠ 0< 0 : монотонно возрастает
Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu exponent negativ par n = -2, -4, -6, ....
crește monoton Extreme:
Nu minim, x = 0, y = 0
la 0 Extreme:
convex în jos Extreme:
la x Exponent par, n = -2, -4, -6, ...
x = 0, y = 0
; ; ;
Limite:
la x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
la x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1

Valoarea p este pozitivă, mai mică de unu, 0< p < 1

Graficul unei funcții de putere cu exponent rațional (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Numător impar, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < +∞
Domeniu de aplicare: -∞ < y < +∞
Sensuri multiple: Paritate:
impar, y(-x) = - y(x) Monoton:
crește monoton Extreme:
Nu
y ≠ 0< 0 : выпукла вниз
pentru x > 0: convex în sus
la 0 Puncte de inflexiune:
convex în jos Puncte de inflexiune:
la x
y ≠ 0< 0, y < 0
pentru x > 0: convex în jos
x = 0, y = 0
;
Limite:
la x = -1, y(-1) = -1
la x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1

Numător par, n = 2, 4, 6, ...

Sunt prezentate proprietățile funcției de putere y = x p cu un exponent rațional în 0< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < +∞
Domeniu de aplicare: Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent natural par pentru diferite valori ale exponentului n = 2, 4, 6, ....< +∞
Sensuri multiple: 0 ≤ y
impar, y(-x) = - y(x)
y ≠ 0< 0 : монотонно убывает
pentru x > 0: crește monoton
crește monoton minim la x = 0, y = 0
Nu convex în sus pentru x ≠ 0
la 0 Extreme:
convex în jos Puncte de inflexiune:
la x pentru x ≠ 0, y > 0
x = 0, y = 0
;
Limite:
la x = -1, y(-1) = 1
la x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1

Indicele p este mai mare decât unu, p > 1

Graficul unei funcții de putere cu un exponent rațional (p > 1) pentru diferite valori ale exponentului, unde m = 3, 5, 7, ... - impar.

Numător impar, n = 5, 7, 9, ...

Proprietăţi ale funcţiei de putere y = x p cu un exponent raţional mai mare de unu: .

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Domeniu de aplicare: -∞ < y < ∞
Sensuri multiple: Paritate:
impar, y(-x) = - y(x) Monoton:
crește monoton Extreme:
Nu
Convex:< x < 0 выпукла вверх
la -∞< x < ∞ выпукла вниз
la 0 Puncte de inflexiune:
convex în jos Puncte de inflexiune:
x = 0, y = 0
;
Limite:
la x = -1, y(-1) = -1
la x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1

Unde n = 5, 7, 9, ... - impar natural, m = 3, 5, 7 ... - impar natural.

Numător par, n = 4, 6, 8, ...

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Domeniu de aplicare: Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent natural par pentru diferite valori ale exponentului n = 2, 4, 6, ....< ∞
Sensuri multiple: 0 ≤ y
impar, y(-x) = - y(x)
y ≠ 0< 0 монотонно убывает
Proprietăţi ale funcţiei de putere y = x p cu un exponent raţional mai mare de unu: .
crește monoton minim la x = 0, y = 0
Nu minim, x = 0, y = 0
la 0 Extreme:
convex în jos Puncte de inflexiune:
x = 0, y = 0
;
Limite:
la x = -1, y(-1) = 1
la x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1

Unde n = 4, 6, 8, ... - natural par, m = 3, 5, 7 ... - natural impar.

pentru x > 0 crește monoton

Numitorul indicatorului fracționar este par

Fie numitorul exponentului fracționar par: m = 2, 4, 6, ... . În acest caz, funcția de putere x p nu este definită pentru valorile negative ale argumentului. Proprietățile sale coincid cu proprietățile unei funcții de putere cu un exponent irațional (vezi secțiunea următoare).

y = x p pentru diferite valori ale exponentului p.

Funcția de putere cu exponent negativ p< 0

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... x > 0
Domeniu de aplicare: Exponent par, n = -2, -4, -6, ...
impar, y(-x) = - y(x) x ≠ 0
Nu minim, x = 0, y = 0
la 0 Extreme:
convex în jos Extreme:
x = 0, y = 0 ;
Sens privat: Pentru x = 1, y(1) = 1 p = 1

Funcția de putere cu exponent pozitiv p > 0

Indicator mai mic de unu 0< p < 1

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... x ≥ 0
Domeniu de aplicare: y ≥ 0
impar, y(-x) = - y(x) Monoton:
Nu convex în sus
la 0 Extreme:
convex în jos Puncte de inflexiune:
x = 0, y = 0
Limite: Pentru x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Pentru x = 1, y(1) = 1 p = 1

Indicatorul este mai mare decât un p > 1

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... x ≥ 0
Domeniu de aplicare: y ≥ 0
impar, y(-x) = - y(x) Monoton:
Nu minim, x = 0, y = 0
la 0 Extreme:
convex în jos Puncte de inflexiune:
x = 0, y = 0
Limite: Pentru x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Pentru x = 1, y(1) = 1 p = 1

Literatura folosita:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.

Vezi și: