Metoda grafica de rezolvare a ecuatiilor si inegalitatilor. Rezolvarea grafică a ecuațiilor, inegalităților. Reprezentarea grafică a unei inegalități pătratice pe planul de coordonate

L.A. Kustova

profesor de matematică

Voronezh, MBOU Lyceum No. 5

Proiect

„Avantajele metodei grafice de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților”.

Clasă:

7-11

Lucru:

Matematică

Obiectiv de cercetare:

A-si da seamaavantajele unei metode grafice de rezolvare a ecuaţiilor şi inegalităţilor.

Ipoteză:

Unele ecuații și inegalități sunt mai ușor și mai plăcut din punct de vedere estetic de rezolvat grafic.

Etape de cercetare:

Comparați soluția analitică și graficăecuații și inegalități.

Familiarizați-vă cu cazurile în care metoda grafică are avantaje.

Luați în considerare rezolvarea ecuațiilor cu modul și parametru.

Rezultatele cercetării:

1. Frumusețea matematicii este o problemă filozofică.

2. La rezolvarea unor ecuaţii şi inegalităţi, metoda grafică de rezolvarecel mai practic și mai atractiv.

3. Puteți aplica atractivitatea matematicii la școală folosind o metodă de rezolvare graficăecuații și inegalități.

„Științele matematice din cele mai vechi timpuri au atras o atenție deosebită,

acum au primit și mai mult interes pentru influența lor asupra artei și industriei.

Pafnuty Lvovich Cebyshev.

Începând cu clasa a 7-a se au în vedere diverse modalități de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților, inclusiv grafică. Cine crede că matematica este o știință uscată, cred că se răzgândesc când văd cât de frumos pot fi rezolvate anumite tipuri.ecuații și inegalități. Aici sunt cateva exemple:

1).Rezolvați ecuația: = .

Puteți rezolva analitic, adică ridicați ambele părți ale ecuației la a treia putere și așa mai departe.

Metoda grafică este convenabilă pentru această ecuație dacă trebuie doar să indicați numărul de soluții.

Sarcini similare sunt adesea găsite la rezolvarea blocului „geometrie” al OGE de clasa a 9-a.

2).Rezolvați ecuația cu parametrul:

││ X│- 4│= A

Nu este cel mai complicat exemplu, dar dacă îl rezolvați analitic, va trebui să deschideți parantezele modulului de două ori și, pentru fiecare caz, luați în considerare posibilele valori ale parametrului. Grafic, totul este foarte simplu. Desenăm grafice ale funcțiilor și vedem că:

Surse:

program de calculatorgrapher avansat .

Una dintre cele mai convenabile metode de rezolvare a inegalităților pătratice este metoda grafică. În acest articol, vom analiza modul în care inegalitățile pătratice sunt rezolvate grafic. Mai întâi, să discutăm care este esența acestei metode. Și apoi dăm algoritmul și luăm în considerare exemple de rezolvare grafică a inegalităților pătratice.

Navigare în pagină.

Esența metodei grafice

În general mod grafic de rezolvare a inegalităților cu o variabilă este folosit nu numai pentru a rezolva inegalitățile pătrate, ci și inegalitățile de alte tipuri. Esența metodei grafice de rezolvare a inegalitățilorîn continuare: luați în considerare funcțiile y=f(x) și y=g(x) care corespund părților din stânga și din dreapta ale inegalității, construiți graficele lor în același sistem de coordonate dreptunghiulare și aflați la ce intervale graficul unuia dintre ele se află sub sau deasupra celuilalt. Acele intervale în care

• graficul funcției f deasupra graficului funcției g sunt soluții ale inegalității f(x)>g(x) ;
• graficul funcției f nu mai mic decât graficul funcției g sunt soluții ale inegalității f(x)≥g(x) ;
• graficul funcției f sub graficul funcției g sunt soluții ale inegalității f(x)
• graficul funcției f nu deasupra graficului funcției g sunt soluții ale inegalității f(x)≤g(x) .

Să mai spunem că abscisele punctelor de intersecție ale graficelor funcțiilor f și g sunt soluții ale ecuației f(x)=g(x) .

Să transferăm aceste rezultate în cazul nostru – pentru a rezolva inegalitatea pătratică a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

Introducem doua functii: prima y=a x 2 +b x+c (in acest caz f(x)=a x 2 +b x+c) corespunde laturii din stanga a inegalitatii patratice, a doua y=0 (in acest caz g (x)=0 ) corespunde laturii drepte a inegalității. programa funcţie pătratică f este o parabolă și graficul functie permanenta g este o linie dreaptă care coincide cu axa absciselor Ox .

În plus, conform metodei grafice de rezolvare a inegalităților, este necesar să analizăm la ce intervale se află graficul unei funcții deasupra sau sub cealaltă, ceea ce ne va permite să scriem soluția dorită a inegalității pătratice. În cazul nostru, trebuie să analizăm poziția parabolei față de axa Ox.

În funcție de valorile coeficienților a, b și c, sunt posibile următoarele șase opțiuni (pentru nevoile noastre, este suficientă o reprezentare schematică și este posibil să nu descriem axa Oy, deoarece poziția sa nu afectează soluția inegalității):

În acest desen, vedem o parabolă ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus și care intersectează axa Ox în două puncte, ale căror abscise sunt x 1 și x 2 . Acest desen corespunde variantei când coeficientul a este pozitiv (este responsabil pentru direcția ascendentă a ramurilor parabolei) și când valoarea este pozitivă discriminant al unui trinom pătrat a x 2 +b x + c (în acest caz, trinomul are două rădăcini, pe care le-am notat cu x 1 și x 2, și am presupus că x 1 0 , D=b 2 −4 a c=(−1) 2 −4 1 (−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

Pentru claritate, să desenăm cu roșu părțile parabolei situate deasupra axei absciselor și cu albastru - situate sub axa absciselor.


Acum să aflăm ce goluri corespund acestor părți. Următorul desen va ajuta la determinarea lor (în viitor, vom face mental astfel de selecții sub formă de dreptunghiuri):


Deci pe axa absciselor au fost evidențiate cu roșu două intervale (−∞, x 1) și (x 2, +∞), pe ele parabola este mai mare decât axa Ox, ele formând soluția inegalității pătratice a x 2 +b x+c>0 , iar intervalul (x 1 , x 2) este evidențiat cu albastru, pe el parabola este sub axa Ox , este o soluție a inegalității a x 2 + b x + c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

Și acum pe scurt: pentru a>0 și D=b 2 −4 a c>0 (sau D"=D/4>0 pentru un coeficient b)

• soluția inegalității pătratice a x 2 +b x+c>0 este (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) sau, în alt mod, x x2;
• soluția inegalității pătratice a x 2 +b x+c≥0 este (−∞, x 1 ]∪ sau în altă notație x 1 ≤x≤x 2 ,

unde x 1 și x 2 sunt rădăcinile trinomului pătrat a x 2 + b x + c și x 1


Aici vedem o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus și care atinge axa absciselor, adică are un punct comun cu ea, să notăm abscisa acestui punct ca x 0. Cazul prezentat corespunde a>0 (ramurile sunt îndreptate în sus) și D=0 (trinomul pătrat are o rădăcină x 0 ). De exemplu, putem lua funcția pătratică y=x 2 −4 x+4 , aici a=1>0 , D=(−4) 2 −4 1 4=0 și x 0 =2 .

Desenul arată clar că parabola este situată peste axa Ox peste tot, cu excepția punctului de contact, adică la intervalele (−∞, x 0) , (x 0 , ∞) . Pentru claritate, selectăm zone din desen prin analogie cu paragraful anterior.


Tragem concluzii: pentru a>0 și D=0

• soluția inegalității pătratice a x 2 +b x+c>0 este (−∞, x 0)∪(x 0 , +∞) sau în altă notație x≠x 0 ;
• soluția inegalității pătratice a x 2 +b x+c≥0 este (−∞, +∞) sau, în altă notație, x∈R ;
• inegalitatea pătratică a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• inegalitatea pătratică a x 2 +b x+c≤0 are o soluție unică x=x 0 (este dată de punctul tangent),

unde x 0 este rădăcina trinomului pătrat a x 2 + b x + c.


În acest caz, ramurile parabolei sunt îndreptate în sus și nu are puncte comune cu axa absciselor. Aici avem condițiile a>0 (ramurile sunt îndreptate în sus) și D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4 2 1=−8<0 .

Evident, parabola este situată deasupra axei Ox pe toată lungimea sa (nu există intervale în care să fie sub axa Ox, nu există punct de contact).


Astfel, pentru a>0 și D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 și a x 2 +b x+c≥0 este mulțimea tuturor numerelor reale, iar inegalitățile a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

Și există trei opțiuni pentru amplasarea parabolei cu ramuri îndreptate în jos, și nu în sus, în raport cu axa Ox. În principiu, acestea nu pot fi luate în considerare, deoarece înmulțirea ambelor părți ale inegalității cu −1 ne permite să trecem la o inegalitate echivalentă cu un coeficient pozitiv la x 2 . Cu toate acestea, nu strica să vă faceți o idee despre aceste cazuri. Raționamentul aici este similar, așa că notăm doar rezultatele principale.

Algoritm de rezolvare

Rezultatul tuturor calculelor anterioare este algoritm pentru rezolvarea grafică a inegalităților pătrate:

Se realizează un desen schematic pe planul de coordonate, care înfățișează axa Ox (nu este necesar să se înfățișeze axa Oy) și o schiță a unei parabole corespunzătoare unei funcții pătratice y=a x 2 +b x + c. Pentru a construi o schiță a unei parabole, este suficient să aflați două puncte:

• În primul rând, prin valoarea coeficientului a, se află unde sunt îndreptate ramurile sale (pentru a>0 - în sus, pentru a<0 – вниз).
• Și în al doilea rând, prin valoarea discriminantului trinomului pătrat a x 2 + b x + c, rezultă dacă parabola intersectează axa x în două puncte (pentru D> 0), o atinge într-un punct (pentru D= 0), sau nu are puncte comune cu axa Ox (pentru D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Când desenul este gata, pe el la a doua etapă a algoritmului

  • la rezolvarea inegalităţii pătratice a·x 2 +b·x+c>0 se determină intervalele la care parabola se află deasupra axei absciselor;
  • la rezolvarea inegalității a x 2 +b x+c≥0 se determină intervalele la care parabola este situată deasupra axei x și la acestea se adaugă abscisele punctelor de intersecție (sau abscisa punctului tangent);
  • la rezolvarea inegalităţii a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • în sfârșit, la rezolvarea unei inegalități pătratice de forma a x 2 +b x+c≤0, există intervale în care parabola este sub axa Ox și se adaugă abscisele punctelor de intersecție (sau abscisa punctului de tangență). lor;

  ele constituie soluția dorită a inegalității pătratice, iar dacă nu există astfel de intervale și nici puncte de contact, atunci inegalitatea pătratică originală nu are soluții.

Rămâne doar să rezolvăm câteva inegalități pătratice folosind acest algoritm.

Exemple cu soluții

Exemplu.

Rezolvați inegalitatea .

Decizie.

Trebuie să rezolvăm o inegalitate pătratică, vom folosi algoritmul din paragraful anterior. În primul pas, trebuie să desenăm o schiță a graficului funcției pătratice . Coeficientul la x 2 este 2, este pozitiv, prin urmare, ramurile parabolei sunt îndreptate în sus. Să aflăm și dacă parabola cu axa absciselor are puncte comune, pentru aceasta calculăm discriminantul trinomului pătrat . Noi avem . Discriminantul s-a dovedit a fi mai mare decât zero, prin urmare, trinomul are două rădăcini reale: și , adică x 1 =−3 și x 2 =1/3.

Din aceasta este clar că parabola intersectează axa Ox în două puncte cu abscisele −3 și 1/3. Vom reprezenta aceste puncte în desen ca puncte obișnuite, deoarece rezolvăm o inegalitate nestrictă. Conform datelor clarificate, obținem următorul desen (se potrivește cu primul șablon din primul paragraf al articolului):

Trecem la a doua etapă a algoritmului. Deoarece rezolvăm o inegalitate pătratică nestrictă cu semnul ≤, trebuie să determinăm intervalele la care parabola este situată sub axa absciselor și să le adăugăm abscisele punctelor de intersecție.

Din desen se vede că parabola se află sub abscisă în intervalul (−3, 1/3) și îi adăugăm abscisele punctelor de intersecție, adică numerele −3 și 1/3. Ca rezultat, ajungem la segmentul numeric [−3, 1/3] . Aceasta este soluția dorită. Se poate scrie ca o inegalitate dublă −3≤x≤1/3 .

Răspuns:

[−3, 1/3] sau −3≤x≤1/3 .

Exemplu.

Găsiți o soluție pentru inegalitatea pătratică −x 2 +16 x−63<0 .

Decizie.

Ca de obicei, începem cu un desen. Coeficientul numeric pentru pătratul variabilei este negativ, −1, prin urmare, ramurile parabolei sunt îndreptate în jos. Să calculăm discriminantul, sau mai bine, a patra parte a acestuia: D"=8 2 −(−1)(−63)=64−63=1. Valoarea sa este pozitivă, calculăm rădăcinile trinomului pătrat: și , x 1 =7 și x 2 =9. Deci parabola intersectează axa Ox în două puncte cu abscisele 7 și 9 (inegalitatea inițială este strictă, așa că vom reprezenta aceste puncte cu un centru gol). Acum putem face un desen schematic:

Deoarece rezolvăm o inegalitate pătratică cu semn strict<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Desenul arată că soluțiile inegalității pătratice originale sunt două intervale (−∞, 7) , (9, +∞) .

Răspuns:

(−∞, 7)∪(9, +∞) sau în altă notație x<7 , x>9 .

Când rezolvați inegalitățile pătrate, când discriminantul unui trinom pătrat de pe partea stângă este egal cu zero, trebuie să aveți grijă la includerea sau excluderea abscisei punctului tangent din răspuns. Depinde de semnul inegalității: dacă inegalitatea este strictă, atunci nu este o soluție a inegalității, iar dacă este nestrictă, atunci este.

Exemplu.

Are inegalitatea pătratică 10 x 2 −14 x+4.9≤0 cel puțin o soluție?

Decizie.

Să reprezentăm grafic funcția y=10 x 2 −14 x+4.9 . Ramurile sale sunt îndreptate în sus, deoarece coeficientul la x 2 este pozitiv și atinge abscisa în punctul cu abscisa 0,7, deoarece D "=(−7) 2 −10 4,9=0, de unde sau 0,7 ca zecimală. Schematic, arată astfel:

Deoarece rezolvăm o inegalitate pătratică cu semnul ≤, atunci soluția ei va fi intervalele la care parabola se află sub axa Ox, precum și abscisa punctului tangent. Din desen se poate observa că nu există un singur gol în care parabola ar fi sub axa Ox, prin urmare, soluția sa va fi doar abscisa punctului de contact, adică 0,7.

Răspuns:

această inegalitate are o soluție unică 0.7 .

Exemplu.

Rezolvați inegalitatea pătratică –x 2 +8 x−16<0 .

Decizie.

Acționăm conform algoritmului de rezolvare a inegalităților pătratice și începem prin a reprezenta un grafic. Ramurile parabolei sunt îndreptate în jos, deoarece coeficientul la x 2 este negativ, −1. Aflați discriminantul trinomului pătrat –x 2 +8 x−16 , avem D'=4 2 −(−1)(−16)=16−16=0și mai departe x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Deci, parabola atinge axa Ox în punctul cu abscisa 4 . Hai sa facem un desen:

Ne uităm la semnul inegalității originale, așa este<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

În cazul nostru, acestea sunt raze deschise (−∞, 4) , (4, +∞) . Separat, observăm că 4 - abscisa punctului tangent - nu este o soluție, deoarece în punctul tangent parabola nu este mai mică decât axa Ox.

Răspuns:

(−∞, 4)∪(4, +∞) sau în altă notație x≠4 .

Acordați o atenție deosebită cazurilor în care discriminantul trinomului pătrat din partea stângă a inegalității pătratului este mai mic decât zero. Nu este nevoie să ne grăbim aici și să spunem că inegalitatea nu are soluții (ne obișnuim să facem o astfel de concluzie pentru ecuațiile pătratice cu discriminant negativ). Ideea este că inegalitatea pătratică pentru D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Exemplu.

Aflați soluția inegalității pătratice 3 x 2 +1>0 .

Decizie.

Ca de obicei, începem cu un desen. Coeficientul a este 3, este pozitiv, prin urmare, ramurile parabolei sunt îndreptate în sus. Calculați discriminantul: D=0 2 −4 3 1=−12 . Deoarece discriminantul este negativ, parabola nu are puncte comune cu axa x. Informațiile obținute sunt suficiente pentru o diagramă schematică:

Rezolvăm o inegalitate pătratică strictă cu semnul >. Soluția sa vor fi toate intervalele în care parabola se află deasupra axei Ox. În cazul nostru, parabola se află deasupra axei x pe toată lungimea ei, deci soluția dorită va fi mulțimea tuturor numerelor reale.

Ox și, de asemenea, trebuie să adăugați abscisa punctelor de intersecție sau abscisa punctului de atingere. Dar desenul arată clar că nu există astfel de goluri (deoarece parabola este peste tot sub axa absciselor), precum și nu există puncte de intersecție, așa cum nu există puncte de contact. Prin urmare, inegalitatea pătratică originală nu are soluții.

Răspuns:

nu există soluții sau în altă notație ∅.

Bibliografie.

• Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebră: Clasa a 9-a: manual. pentru invatamantul general instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2009. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovich A. G. Algebră. clasa a 8-a. La 14:00 Partea 1. Un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovich A. G. Algebră. Clasa a 9-a La ora 14:00 Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a XIII-a, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovich A. G. Algebra și începutul analizei matematice. Clasa a 11a. La ora 14.00 Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ (nivel de profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a II-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.

Metoda grafică este una dintre principalele metode de rezolvare a inegalităților pătratice. În articol, vom prezenta un algoritm pentru aplicarea metodei grafice, apoi vom analiza cazuri speciale folosind exemple.

Esența metodei grafice

Metoda este aplicabilă pentru a rezolva orice inegalități, nu doar pătrate. Esența sa este următoarea: părțile din dreapta și din stânga ale inegalității sunt considerate ca două funcții separate y \u003d f (x) și y \u003d g (x), graficele lor sunt construite într-un sistem de coordonate dreptunghiular și se uită la care dintre ele. graficele se află deasupra celuilalt și pe care intervale. Intervalele sunt evaluate după cum urmează:

Definiția 1

• soluțiile inegalității f(x) > g(x) sunt intervalele în care graficul funcției f este mai mare decât graficul funcției g;
• soluțiile inegalității f (x) ≥ g (x) sunt intervalele în care graficul funcției f nu este mai mic decât graficul funcției g;
• soluții ale inegalității f (x)< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• soluțiile inegalității f (x) ≤ g (x) sunt intervalele în care graficul funcției f nu este mai mare decât graficul funcției g;
• abscisele punctelor de intersecție ale graficelor funcțiilor f și g sunt soluții ale ecuației f(x) = g(x) .

Luați în considerare algoritmul de mai sus cu un exemplu. Pentru a face acest lucru, luați inegalitatea pătratică a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥) și deducem două funcții din acesta. Partea stângă a inegalității va corespunde cu y = a x 2 + b x + c (în acest caz f (x) = a x 2 + b x + c), iar dreapta y = 0 (în acest caz g (x) = 0 ).

Graficul primei funcții este o parabolă, a doua este o linie dreaptă care coincide cu axa x. Să analizăm poziția parabolei în raport cu axa x. Pentru a face acest lucru, vom efectua un desen schematic.

Ramurile parabolei sunt îndreptate în sus. Intersectează axa x în puncte x 1și x2. Coeficientul a în acest caz este pozitiv, deoarece el este responsabil pentru direcția ramurilor parabolei. Discriminantul este pozitiv, indicând faptul că trinomul pătrat are două rădăcini. a x 2 + b x + c. Notăm rădăcinile trinomului ca x 1și x2, și s-a acceptat că x 1< x 2 , deoarece pe axa O x au reprezentat un punct cu o abscisă x 1 la stânga punctului cu abscisa x2.

Părțile parabolei situate deasupra axei O x sunt notate cu roșu, dedesubt - cu albastru. Acest lucru ne va permite să facem desenul mai vizual.

Să selectăm golurile care corespund acestor părți și să le marchem în figură cu câmpuri de o anumită culoare.

Am marcat cu roșu intervalele (− ∞, x 1) și (x 2, + ∞), pe ele parabola fiind deasupra axei O x. Ele sunt a x 2 + b x + c > 0 . Cu albastru, am marcat intervalul (x 1 , x 2) , care este soluția inegalității a x 2 + b x + c< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

Să notăm pe scurt soluția. Pentru a > 0 și D = b 2 − 4 a c > 0 (sau D " = D 4 > 0 pentru un coeficient par b) obținem:

• soluția inegalității pătratice a x 2 + b x + c > 0 este (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) sau în alt mod x< x 1 , x >x2;
• soluția inegalității pătratice a · x 2 + b · x + c ≥ 0 este (− ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞) sau în altă notație x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;
• soluția inegalității pătratice a x 2 + b x + c< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• soluția inegalității pătratice a x 2 + b x + c ≤ 0 este [ x 1 , x 2 ] sau în altă notație x 1 ≤ x ≤ x 2 ,

unde x 1 și x 2 sunt rădăcinile trinomului pătrat a x 2 + b x + c și x 1< x 2 .

În această figură, parabola atinge axa O x într-un singur punct, care este indicat ca x0 a > 0. D=0, prin urmare, trinomul pătrat are o rădăcină x0.

Parabola este situată complet deasupra axei O x, cu excepția punctului de contact al axei de coordonate. Colorează golurile (− ∞ , x 0) , (x 0 , ∞) .

Să notăm rezultatele. La a > 0și D=0:

• soluția inegalității pătratice a x 2 + b x + c > 0 este (− ∞ , x 0) ∪ (x 0 , + ∞) sau în altă notație x ≠ x0;
• soluția inegalității pătratice a x 2 + b x + c ≥ 0 este o (− ∞ , + ∞) sau în altă notație x ∈ R ;
• inegalitatea pătratului a x 2 + b x + c< 0 nu are soluții (nu există intervale în care parabola să fie situată sub axă O x);
• inegalitatea pătratului a x 2 + b x + c ≤ 0 are singura solutie x = x0(este dat de punctul de contact),

Unde x0- rădăcina unui trinom pătrat a x 2 + b x + c.

Luați în considerare al treilea caz, când ramurile parabolei sunt îndreptate în sus și nu ating axa O x. Ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, ceea ce înseamnă că a > 0. Trinomul pătrat nu are rădăcini reale deoarece D< 0 .

Nu există intervale pe grafic la care parabola ar fi sub axa x. Vom ține cont de acest lucru atunci când alegem o culoare pentru desenul nostru.

Se dovedește că atunci când a > 0și D< 0 soluția inegalităților pătrate a x 2 + b x + c > 0și a x 2 + b x + c ≥ 0 este mulțimea tuturor numerelor reale și a inegalităților a x 2 + b x + c< 0 și a x 2 + b x + c ≤ 0 nu au solutii.

Rămâne să luăm în considerare trei opțiuni atunci când ramurile parabolei sunt îndreptate în jos. Nu trebuie să ne oprim asupra acestor trei opțiuni, deoarece atunci când înmulțim ambele părți ale inegalității cu - 1, obținem o inegalitate echivalentă cu un coeficient pozitiv la x 2.

Luarea în considerare a secțiunii anterioare a articolului ne-a pregătit pentru percepția algoritmului de rezolvare a inegalităților folosind o metodă grafică. Pentru a efectua calcule, va trebui să folosim de fiecare dată un desen, care va arăta linia de coordonate O x și o parabolă care corespunde unei funcții pătratice y = a x 2 + b x + c. În cele mai multe cazuri, nu vom descrie axa O y, deoarece nu este necesară pentru calcule și va supraîncărca doar desenul.

Pentru a construi o parabolă, va trebui să știm două lucruri:

Definiția 2

• direcția ramurilor, care este determinată de valoarea coeficientului a ;
• prezența punctelor de intersecție ale parabolei și axei absciselor, care sunt determinate de valoarea discriminantului trinomului pătrat a · x 2 + b · x + c.

Punctele de intersecție și tangență le vom desemna în mod obișnuit atunci când rezolvăm inegalități nestricte și goale la rezolvarea celor stricte.

Având un desen terminat, vă permite să treceți la următorul pas al soluției. Constă în determinarea intervalelor la care parabola este situată deasupra sau sub axa O x. Golurile și punctele de intersecție sunt soluția inegalității pătratice. Dacă nu există puncte de intersecție sau de tangență și nici intervale, atunci se consideră că inegalitatea specificată în condițiile problemei nu are soluții.

Acum să rezolvăm câteva inegalități pătratice folosind algoritmul de mai sus.

Exemplul 1

Este necesar să se rezolve grafic inegalitatea 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2.

Decizie

Să desenăm un grafic al funcției pătratice y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 . Coeficientul la x2 pozitiv, pentru că 2 . Aceasta înseamnă că ramurile parabolei vor fi îndreptate în sus.

Calculăm discriminantul trinomului pătrat 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 pentru a afla dacă parabola are puncte comune cu axa x. Primim:

D \u003d 5 1 3 2 - 4 2 (- 2) \u003d 400 9

După cum puteți vedea, D este mai mare decât zero, prin urmare, avem două puncte de intersecție: x 1 \u003d - 5 1 3 - 400 9 2 2 și x 2 \u003d - 5 1 3 + 400 9 2 2, adică x 1 = − 3și x 2 = 1 3.

Rezolvăm o inegalitate nestrictă, prin urmare punem puncte obișnuite pe grafic. Desenăm o parabolă. După cum puteți vedea, desenul are același aspect ca în primul șablon pe care l-am revizuit.

Inegalitatea noastră are semnul ≤ . Prin urmare, trebuie să selectăm golurile de pe grafic unde parabola este situată sub axa O x și să le adăugăm puncte de intersecție.

Intervalul de care avem nevoie este − 3 , 1 3 . Adăugăm puncte de intersecție și obținem un segment numeric − 3 , 1 3 . Aceasta este soluția la problema noastră. Răspunsul poate fi scris ca o dublă inegalitate: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Răspuns:− 3 , 1 3 sau − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Exemplul 2

− x 2 + 16 x − 63< 0 metoda grafica.

Decizie

Pătratul variabilei are un coeficient numeric negativ, deci ramurile parabolei vor îndrepta în jos. Calculați a patra parte a discriminantului D" = 8 2 − (− 1) (− 63) = 64 − 63 = 1. Acest rezultat ne spune că vor exista două puncte de intersecție.

Să calculăm rădăcinile trinomului pătrat: x 1 \u003d - 8 + 1 - 1 și x 2 \u003d - 8 - 1 - 1, x 1 \u003d 7 și x2 = 9.

Se dovedește că parabola intersectează axa x în puncte 7 și 9 . Marcam aceste puncte pe grafic ca goale, deoarece lucrăm cu inegalități stricte. După aceea, desenăm o parabolă care intersectează axa O x în punctele marcate.

Ne vor interesa intervalele la care parabola se află sub axa O x. Marcați aceste intervale cu albastru.

Obținem răspunsul: soluția inegalității este intervalele (− ∞ , 7) , (9 , + ∞) .

Răspuns:(− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) sau în altă notație x< 7 , x > 9 .

În cazurile în care discriminantul unui trinom pătrat este zero, trebuie avut grijă să se ia în considerare dacă se include abscisa punctului tangent în răspuns. Pentru a lua decizia corectă este necesar să se țină cont de semnul inegalității. În inegalitățile stricte, punctul de contact al axei absciselor nu este o soluție a inegalității, în cele nestrictive este.

Exemplul 3

Rezolvați inegalitatea pătratică 10 x 2 − 14 x + 4 , 9 ≤ 0 metoda grafica.

Decizie

Ramurile parabolei în acest caz vor fi îndreptate în sus. Va atinge axa O x în punctul 0, 7, deoarece

Să diagramăm funcția y = 10 x 2 − 14 x + 4, 9. Ramurile sale sunt îndreptate în sus, deoarece coeficientul at x2 pozitiv și atinge axa x în punctul cu axa x 0 , 7 , la fel de D" = (− 7) 2 − 10 4 , 9 = 0, de unde x 0 = 7 10 sau 0 , 7 .

Să punem un punct și să desenăm o parabolă.

Rezolvăm o inegalitate nestrictă cu semnul ≤ . Prin urmare. Ne vor interesa intervalele la care parabola se află sub axa x și punctul de contact. Nu există intervale în figură care ne-ar satisface condițiile. Există doar un punct de atingere 0, 7. Aceasta este soluția dorită.

Răspuns: Inegalitatea are o singură soluție 0, 7.

Exemplul 4

Rezolvați inegalitatea pătratică – x 2 + 8 x − 16< 0 .

Decizie

Ramurile parabolei sunt îndreptate în jos. Discriminantul este zero. Punct de intersecție x0 = 4.

Marcam punctul de contact pe axa x și desenăm o parabolă.

Avem de-a face cu o inegalitate strictă. Prin urmare, ne interesează intervalele pe care parabola se află sub axa O x. Să le marchem cu albastru.

Punctul cu abscisa 4 nu este o soluție, deoarece parabola nu este situată sub axa O x la ea. Prin urmare, obținem două intervale (− ∞ , 4) , (4 , + ∞) .

Răspuns: (− ∞ , 4) ∪ (4 , + ∞) sau în altă notație x ≠ 4 .

Nu întotdeauna cu o valoare negativă a discriminantului, inegalitatea nu va avea soluții. Există cazuri când soluția va fi mulțimea tuturor numerelor reale.

Exemplul 5

Rezolvați grafic inegalitatea pătratică 3 · x 2 + 1 > 0.

Decizie

Coeficientul a este pozitiv. Discriminantul este negativ. Ramurile parabolei vor fi îndreptate în sus. Nu există puncte de intersecție ale parabolei cu axa O x. Să trecem la desen.

Lucrăm cu inegalitate strictă, care are semnul >. Aceasta înseamnă că ne interesează intervalele la care parabola este situată deasupra axei x. Acesta este exact cazul când răspunsul este mulțimea tuturor numerelor reale.

Răspuns:(− ∞ , + ∞) sau așa x ∈ R .

Exemplul 6

Este necesar să găsim o soluție la inegalitate − 2 x 2 − 7 x − 12 ≥ 0 mod grafic.

Decizie

Ramurile parabolei sunt îndreptate în jos. Discriminantul este negativ, prin urmare, nu există puncte comune ale parabolei și ale axei x. Să trecem la desen.

Lucrăm cu o inegalitate nestrictă cu semnul ≥ , prin urmare, ne interesează intervalele pe care se află parabola deasupra axei x. Judecând după program, nu există astfel de lacune. Aceasta înseamnă că inegalitatea dată în starea problemei nu are soluții.

Răspuns: Nu există soluții.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Multe sarcini pe care suntem obișnuiți să le calculăm pur algebric pot fi rezolvate mult mai ușor și mai rapid, folosind grafice de funcții ne vor ajuta în acest sens. Tu spui "cum asa?" să desenezi ceva și ce să desenezi? Crede-mă, uneori este mai convenabil și mai ușor. Putem incepe? Să începem cu ecuații!

Rezolvarea grafică a ecuațiilor

Rezolvarea grafică a ecuațiilor liniare

După cum știți deja, graficul unei ecuații liniare este o linie dreaptă, de unde și numele acestui tip. Ecuațiile liniare sunt destul de ușor de rezolvat algebric - transferăm toate necunoscutele într-o parte a ecuației, tot ceea ce știm - în cealaltă, și voila! Am găsit rădăcina. Acum vă voi arăta cum să o faceți mod grafic.

Deci ai o ecuație:

Cum să o rezolv?
Opțiunea 1, iar cel mai obișnuit este să mutați necunoscutele într-o parte, iar cunoscutul în cealaltă, obținem:

Și acum construim. Ce ai primit?

Care crezi că este rădăcina ecuației noastre? Așa este, coordonatele punctului de intersecție al graficelor:

Răspunsul nostru este

Aceasta este toată înțelepciunea soluției grafice. După cum puteți verifica cu ușurință, rădăcina ecuației noastre este un număr!

După cum am spus mai sus, aceasta este cea mai comună opțiune, aproape de soluția algebrică, dar o puteți rezolva în alt mod. Pentru a considera o soluție alternativă, să revenim la ecuația noastră:

De data aceasta nu vom muta nimic dintr-o parte în alta, ci vom construi grafice direct, așa cum sunt acum:

Construit? Uite!

Care este soluția de data asta? În regulă. Aceeași este coordonatele punctului de intersecție al graficelor:

Și, din nou, răspunsul nostru este .

După cum puteți vedea, cu ecuații liniare, totul este extrem de simplu. Este timpul să luăm în considerare ceva mai complicat... De exemplu, rezolvarea grafică a ecuațiilor pătratice.

Rezolvarea grafică a ecuațiilor pătratice

Deci, acum să începem să rezolvăm ecuația pătratică. Să presupunem că trebuie să găsiți rădăcinile acestei ecuații:

Desigur, acum poți începe să numeri prin discriminant, sau conform teoremei Vieta, dar mulți nervi fac greșeli la înmulțire sau la pătrat, mai ales dacă exemplul este cu numere mari și, după cum știi, nu vei avea un calculator la examen... Prin urmare, să încercăm să ne relaxăm puțin și să desenăm în timp ce rezolvăm această ecuație.

Grafic, soluțiile acestei ecuații pot fi găsite în diferite moduri. Luați în considerare diferitele opțiuni și dvs. veți alege pe care vă place cel mai mult.

Metoda 1. Direct

Construim doar o parabolă conform acestei ecuații:

Pentru a fi rapid, vă voi oferi un mic indiciu: este convenabil să începem construcția prin determinarea vârfului parabolei. Următoarele formule vor ajuta la determinarea coordonatelor vârfului parabolei:

Tu spui „Oprește-te! Formula pentru este foarte asemănătoare cu formula pentru găsirea discriminantului „da, este, iar acesta este un dezavantaj uriaș al „construirii directe” a unei parabole pentru a-și găsi rădăcinile. Cu toate acestea, haideți să numărăm până la final și apoi vă voi arăta cum să faceți totul (mult!) mai ușor!

ai numarat? Care sunt coordonatele vârfului parabolei? Să ne dăm seama împreună:

Exact acelasi raspuns? Foarte bine! Și acum știm deja coordonatele vârfului, iar pentru a construi o parabolă, avem nevoie de mai multe... puncte. Ce părere aveți, de câte puncte minime avem nevoie? Corect, .

Știți că o parabolă este simetrică față de vârful ei, de exemplu:

În consecință, avem nevoie de încă două puncte de-a lungul ramurii din stânga sau din dreapta a parabolei, iar în viitor vom reflecta aceste puncte în mod simetric pe partea opusă:

Ne întoarcem la parabola noastră. Pentru cazul nostru, ideea. Mai avem nevoie de două puncte, respectiv, putem lua unele pozitive, dar putem lua unele negative? Care sunt cele mai bune puncte pentru tine? Îmi este mai convenabil să lucrez cu cele pozitive, așa că voi calcula cu și.

Acum avem trei puncte și ne putem construi cu ușurință parabola reflectând ultimele două puncte din vârful ei:

Care crezi că este soluția ecuației? Așa este, punctele în care, adică și. Pentru că.

Și dacă spunem asta, atunci înseamnă că trebuie să fie și egală, sau.

Doar? Am terminat de rezolvat ecuația cu tine într-un mod grafic complex, sau vor fi mai multe!

Desigur, puteți verifica răspunsul nostru algebric - puteți calcula rădăcinile prin teorema Vieta sau prin discriminant. Ce ai primit? Aceeași? Vezi! Acum haideți să vedem o soluție grafică foarte simplă, sunt sigură că vă va plăcea foarte mult!

Metoda 2. Împărțit în mai multe funcții

Să luăm tot, de asemenea, ecuația noastră: , dar o scriem într-un mod puțin diferit și anume:

Putem scrie așa? Putem, deoarece transformarea este echivalentă. Să privim mai departe.

Să construim două funcții separat:

1. - graficul este o parabolă simplă, pe care o puteți construi cu ușurință chiar și fără a defini vârful folosind formule și a face un tabel pentru a determina alte puncte.
2. - graficul este o linie dreaptă, pe care o poți construi la fel de ușor estimând valorile și în capul tău, fără să apelezi măcar la un calculator.

Construit? Compara cu ce am primit:

Care credeți că este rădăcina ecuației în acest caz? Corect! Coordonatele prin, care se obțin prin încrucișarea a două grafice și, adică:

Prin urmare, soluția acestei ecuații este:

Ce zici? De acord, această metodă de rezolvare este mult mai ușoară decât cea anterioară și chiar mai ușoară decât a căuta rădăcini prin discriminant! Dacă da, încercați această metodă pentru a rezolva următoarea ecuație:

Ce ai primit? Să comparăm graficele noastre:

Graficele arată că răspunsurile sunt:

Ai reușit? Foarte bine! Acum să ne uităm la ecuații puțin mai complicate, și anume, soluția ecuațiilor mixte, adică a ecuațiilor care conțin funcții de diferite tipuri.

Rezolvarea grafică a ecuațiilor mixte

Acum să încercăm să rezolvăm următoarele:

Desigur, puteți aduce totul la un numitor comun, găsiți rădăcinile ecuației rezultate, fără a uita să luați în considerare ODZ, dar din nou, vom încerca să o rezolvăm grafic, așa cum am făcut în toate cazurile anterioare.

De data aceasta, să reprezentăm următoarele 2 grafice:

1. - graficul este o hiperbolă
2. - un grafic este o linie dreaptă pe care o poți construi cu ușurință prin estimarea valorilor și în capul tău, fără a apela măcar la un calculator.

Realizat? Acum începe să construiești.

Iată ce mi s-a întâmplat:

Privind această imagine, care sunt rădăcinile ecuației noastre?

Așa este, și. Iată confirmarea:

Încercați să ne conectați rădăcinile în ecuație. S-a întâmplat?

În regulă! De acord, rezolvarea grafică a unor astfel de ecuații este o plăcere!

Încercați să rezolvați singur ecuația grafic:

Vă dau un indiciu: mutați o parte a ecuației la dreapta, astfel încât ambele părți să aibă cele mai simple funcții de construit. Ai indiciu? Ia măsuri!

Acum să vedem ce ai:

Respectiv:

1. - parabola cubica.
2. - o linie dreaptă obișnuită.

Ei bine, construim:

După cum ați notat mult timp, rădăcina acestei ecuații este -.

După ce am rezolvat un număr atât de mare de exemple, sunt sigur că ați realizat cum puteți rezolva cu ușurință și rapid ecuații grafic. Este timpul să ne dăm seama cum să rezolvi sistemele în acest fel.

Soluția grafică a sistemelor

Soluția grafică a sistemelor nu este în esență diferită de soluția grafică a ecuațiilor. De asemenea, vom construi două grafice, iar punctele lor de intersecție vor fi rădăcinile acestui sistem. Un grafic este o ecuație, al doilea grafic este o altă ecuație. Totul este extrem de simplu!

Să începem cu cele mai simple - rezolvarea sistemelor de ecuații liniare.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare

Să presupunem că avem următorul sistem:

Pentru început, îl vom transforma în așa fel încât în ​​stânga să fie tot ceea ce este conectat, iar în dreapta - ceea ce este conectat. Cu alte cuvinte, scriem aceste ecuații ca o funcție în forma obișnuită pentru noi:

Și acum construim doar două linii drepte. Care este soluția în cazul nostru? Corect! Punctul de intersecție! Și aici trebuie să fii foarte, foarte atent! Gândește-te de ce? Vă dau un indiciu: avem de-a face cu un sistem: sistemul le are pe amândouă și... Ai înțeles?

În regulă! Când rezolvăm sistemul, trebuie să ne uităm la ambele coordonate, și nu numai, ca atunci când rezolvăm ecuații! Un alt punct important este să le notăm corect și să nu confundam unde avem valoarea și unde este valoarea! Înregistrate? Acum să comparăm totul în ordine:

Și răspunde: i. Faceți o verificare - înlocuiți rădăcinile găsite în sistem și asigurați-vă că am rezolvat-o corect într-un mod grafic?

Rezolvarea sistemelor de ecuații neliniare

Dar dacă în loc de o linie dreaptă, avem o ecuație pătratică? E in regula! Doar construiești o parabolă în loc de o linie dreaptă! Nu crede? Încercați să rezolvați următorul sistem:

Care este următorul nostru pas? Așa este, scrieți-l astfel încât să ne fie convenabil să construim grafice:

Și acum totul este despre lucrul mic - l-am construit rapid și iată soluția pentru tine! Clădire:

Grafica este aceeași? Acum marcați soluțiile sistemului din imagine și notați corect răspunsurile dezvăluite!

Am făcut totul? Comparați cu notele mele:

În regulă? Foarte bine! Faceți deja clic pe astfel de sarcini precum nuci! Și dacă da, să vă oferim un sistem mai complicat:

Ce facem? Corect! Scriem sistemul astfel încât să fie convenabil să construim:

Vă dau un mic indiciu, deoarece sistemul pare foarte complicat! Când construiți grafice, construiți-le „mai mult” și, cel mai important, nu fiți surprinși de numărul de puncte de intersecție.

Deci să mergem! Expirat? Acum începeți să construiți!

Ei bine, cum? Frumoasa? Câte puncte de intersecție ai obținut? Eu am trei! Să comparăm graficele noastre:

Același fel? Acum notați cu atenție toate soluțiile sistemului nostru:

Acum uită-te din nou la sistem:

Îți poți imagina că ai rezolvat-o în doar 15 minute? De acord, matematica este încă simplă, mai ales când te uiți la o expresie, nu ți-e frică să greșești, dar o iei și decizi! Ești un băiat mare!

Rezolvarea grafică a inegalităților

Rezolvarea grafică a inegalităților liniare

După ultimul exemplu, ești la înălțime! Acum expirați - în comparație cu secțiunile anterioare, aceasta va fi foarte, foarte ușor!

Începem, ca de obicei, cu o soluție grafică a unei inegalități liniare. De exemplu, acesta:

Pentru început, vom efectua cele mai simple transformări - vom deschide parantezele pătratelor perfecte și vom da termeni similari:

Inegalitatea nu este strictă, prin urmare - nu este inclusă în interval, iar soluția va fi toate punctele care sunt la dreapta, deoarece mai multe, mai multe și așa mai departe:

Răspuns:

Asta e tot! Uşor? Să rezolvăm o inegalitate simplă cu două variabile:

Să desenăm o funcție în sistemul de coordonate.

Ai o astfel de diagramă? Și acum ne uităm cu atenție la ceea ce avem în inegalitate? Mai mici? Deci, pictăm peste tot ce se află în stânga liniei noastre drepte. Dacă ar fi mai multe? Așa este, atunci ei ar picta peste tot ce este în dreapta liniei noastre drepte. Totul este simplu.

Toate soluțiile la această inegalitate sunt umbrite în portocaliu. Gata, inegalitatea cu două variabile este rezolvată. Aceasta înseamnă că coordonatele și orice punct din zona umbrită sunt soluțiile.

Rezolvarea grafică a inegalităților pătratice

Acum ne vom ocupa de cum să rezolvăm grafic inegalitățile pătratice.

Dar înainte de a ajunge direct la subiect, să recapitulăm câteva lucruri despre funcția pătrat.

De ce este responsabil discriminatorul? Așa este, pentru poziția graficului față de axă (dacă nu vă amintiți acest lucru, atunci citiți cu siguranță teoria despre funcțiile pătratice).

În orice caz, iată un mic memento pentru tine:

Acum că am reîmprospătat tot materialul din memoria noastră, să trecem la treabă - vom rezolva grafic inegalitatea.

Vă spun imediat că există două variante de rezolvare.

Opțiunea 1

Scriem parabola noastră ca funcție:

Folosind formulele, determinăm coordonatele vârfului parabolei (în același mod ca atunci când rezolvăm ecuații patratice):

ai numarat? Ce ai primit?

Acum să luăm încă două puncte diferite și să calculăm pentru ele:

Începem să construim o ramură a parabolei:

Ne reflectăm simetric punctele pe o altă ramură a parabolei:

Acum să revenim la inegalitatea noastră.

Trebuie să fie mai mic decât zero, respectiv:

Deoarece în inegalitatea noastră există un semn strict mai puțin, excludem punctele finale - „imităm”.

Răspuns:

Drum lung, nu? Acum vă voi arăta o versiune mai simplă a soluției grafice folosind aceeași inegalitate ca exemplu:

Opțiunea 2

Ne întoarcem la inegalitatea noastră și marchem intervalele de care avem nevoie:

De acord, este mult mai rapid.

Să scriem răspunsul acum:

Să luăm în considerare o altă metodă de soluție care simplifică partea algebrică, dar principalul lucru este să nu ne confuzi.

Înmulțiți părțile din stânga și din dreapta cu:

Încercați să rezolvați singur următoarea inegalitate pătratică în orice mod doriți: .

Ai reușit?

Vezi cum a iesit graficul meu:

Răspuns: .

Rezolvarea grafică a inegalităților mixte

Acum să trecem la inegalități mai complexe!

Cum iti place asta:

Îngrozitor, nu? Sincer, nu am idee cum să rezolv asta algebric... Dar, nu este necesar. Grafic, nu este nimic complicat în asta! Ochilor le este frică, dar mâinile fac!

Primul lucru cu care începem este să construim două grafice:

Nu voi scrie un tabel pentru toată lumea - sunt sigur că o poți face perfect pe cont propriu (desigur, sunt atât de multe exemple de rezolvat!).

Pictat? Acum construiți două grafice.

Să comparăm desenele noastre?

Ai la fel? Amenda! Acum să plasăm punctele de intersecție și să determinăm cu o culoare ce grafic ar trebui să avem, în teorie, ar trebui să fie mai mare, adică. Uite ce s-a întâmplat până la urmă:

Și acum ne uităm doar la unde graficul selectat este mai mare decât graficul? Simțiți-vă liber să luați un creion și să pictați peste această zonă! Va fi soluția la inegalitatea noastră complexă!

La ce intervale de-a lungul axei suntem mai sus? Dreapta, . Acesta este răspunsul!

Ei bine, acum poți gestiona orice ecuație și orice sistem și cu atât mai mult orice inegalitate!

SCURT DESPRE PRINCIPALA

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor folosind grafice de funcții:

1. Exprimați prin
2. Definiți tipul funcției
3. Să construim grafice ale funcțiilor rezultate
4. Găsiți punctele de intersecție ale graficelor
5. Notați corect răspunsul (ținând cont de semnele ODZ și de inegalitate)
6. Verificați răspunsul (înlocuiți rădăcinile în ecuație sau sistem)

Pentru mai multe informații despre trasarea graficelor de funcții, consultați subiectul „”.

RĂMĂSUL 2/3 ARTICOLE SUNT DISPONIBILE NUMAI STUDENTILOR YOUCLEVER!

Deveniți student la YouClever,

Pregătiți-vă pentru OGE sau USE în matematică la prețul „o ceașcă de cafea pe lună”,

Și, de asemenea, obțineți acces nelimitat la manualul „YouClever”, programul de instruire „100gia” (cartea de soluții), USE de probă nelimitată și OGE, 6000 de sarcini cu analiza soluțiilor și alte servicii YouClever și 100gia.

Elevul de clasa a X-a Yury Kotovchikhin

Elevii încep să studieze ecuațiile cu module deja din clasa a VI-a, studiază metoda standard de rezolvare folosind extinderea modulelor pe intervale de constanță a expresiilor submodulare. Am ales această temă anume pentru că cred că necesită un studiu mai profund și mai amănunțit, sarcinile cu modulul provoacă mari dificultăți studenților. În programa școlară există sarcini care conțin un modul ca sarcini de complexitate crescută și la examene, prin urmare, trebuie să fim pregătiți să întâlnim o astfel de sarcină.

Descarca:

Previzualizare:

Instituție de învățământ municipală

Școala Gimnazială №5

Lucrări de cercetare pe tema:

« Rezolvarea algebrică și grafică a ecuațiilor și inegalităților care conțin un modul»

Am facut treaba:

elev de clasa a X-a

Kotovcihin Yuri

supraveghetor:

Profesor de matematica

Shanta N.P.

Uryupinsk

1.Introducere………………………………………………………………….3

2. Concepte și definiții…………………………………………………….5

3.Demonstrarea teoremelor……………………………………………………..6

4. Metode de rezolvare a ecuaţiilor care conţin un modul…………...7

12

4.2 Utilizarea interpretării geometrice a modulului pentru rezolvarea ecuațiilor……………………………………………………………..14

4.3 Grafice ale celor mai simple funcții care conțin semnul valorii absolute.

………………………………………………………………………15

4.4.Rezolvarea ecuațiilor nestandard care conțin modulul .... 16

5.Concluzie………………………………………………………………….17

6. Lista literaturii utilizate………………………………………………………………………………………………………………18

Scopul lucrării: elevii încep să studieze ecuațiile cu module deja din clasa a VI-a, studiază metoda standard de rezolvare prin deschiderea modulelor pe intervale de semn constant al expresiilor submodulare. Am ales acest subiect anume pentru că cred că necesită un studiu mai profund și mai amănunțit, sarcinile cu modulul provoacă mari dificultăți studenților. În programa școlară există sarcini care conțin un modul ca sarcini de complexitate crescută și la examene, prin urmare, trebuie să fim pregătiți să întâlnim o astfel de sarcină.

1. Introducere:

Cuvântul „modul” provine din cuvântul latin „modulus”, care înseamnă „măsură”. Acesta este un cuvânt cu mai multe valori (omonim) care are multe semnificații și este folosit nu numai în matematică, ci și în arhitectură, fizică, inginerie, programare și alte științe exacte.

În arhitectură, aceasta este unitatea inițială de măsură stabilită pentru o anumită structură arhitecturală și utilizată pentru a exprima rapoartele multiple ale elementelor sale constitutive.

În inginerie, acesta este un termen folosit în diverse domenii ale tehnologiei care nu are un sens universal și servește pentru a desemna diferiți coeficienți și cantități, de exemplu, modulul de angajare, modulul de elasticitate etc.

Modulul de volum (în fizică) este raportul dintre efortul normal dintr-un material și alungirea.

2. Concepte și definiții

Modulul - valoarea absolută - a unui număr real A se notează cu |A|.

Pentru a studia acest subiect în profunzime, trebuie să vă familiarizați cu cele mai simple definiții de care voi avea nevoie:

O ecuație este o egalitate care conține variabile.

O ecuație cu un modul este o ecuație care conține o variabilă sub semnul valorii absolute (sub semnul modulului).

Rezolvarea unei ecuații înseamnă găsirea tuturor rădăcinilor acesteia sau demonstrarea faptului că nu există rădăcini.

3.Demonstrarea teoremelor

Teorema 1. Valoarea absolută a unui număr real este egală cu cea mai mare dintre cele două numere a sau -a.

Dovada

1. Dacă numărul a este pozitiv, atunci -a este negativ, adică -a

De exemplu, numărul 5 este pozitiv, apoi -5 este negativ și -5

În acest caz |a| = a, adică |a| se potrivește cu cea mai mare dintre cele două numere a și - a.

2. Dacă a este negativ, atunci -a este pozitiv și a

Consecinţă. Din teoremă rezultă că |-a| = |a|.

Într-adevăr, ambele și sunt egale cu cea mai mare dintre numerele -a și a și, prin urmare, sunt egale între ele.

Teorema 2. Valoarea absolută a oricărui număr real a este egală cu rădăcina pătrată aritmetică a lui A 2 .

Într-adevăr, dacă atunci, prin definiția modulului unui număr, vom avea lAl>0 Pe de altă parte, pentru A>0, atunci |a| = √A 2

În cazul în care un 2

Această teoremă face posibilă înlocuirea |a| pe

Geometric |a| înseamnă distanța pe linia de coordonate de la punctul care reprezintă numărul a până la origine.

Dacă atunci pe dreapta de coordonate sunt două puncte a și -a, echidistante de zero, ale căror module sunt egale.

Dacă a = 0, atunci pe linia de coordonate |a| reprezentat de punctul 0

4. Metode de rezolvare a ecuaţiilor care conţin un modul.

Pentru a rezolva ecuații care conțin semnul valorii absolute, ne vom baza pe definiția modulului numărului și proprietățile valorii absolute a numărului. Vom rezolva mai multe exemple în moduri diferite și vom vedea care este mai ușor de rezolvat ecuațiile care conțin modulul.

Exemplul 1. Rezolvăm analitic și grafic ecuația |x + 2| = 1.

Decizie

Soluție analitică

1-a cale

Vom raționa pe baza definiției unui modul. Dacă expresia de sub modul este nenegativă, adică x + 2 ≥0 , atunci va „părăsi” semnul modulului cu semnul plus și ecuația va lua forma: x + 2 = 1. Dacă valorile ale expresiei sub semnul modulului sunt negative, atunci, prin definiție, va fi egală cu: sau x + 2=-1

Astfel, obținem fie x + 2 = 1, fie x + 2 = -1. Rezolvând ecuațiile rezultate, găsim: X + 2 \u003d 1 sau X + 2 + -1

X=-1 X=3

Răspuns: -3; -1.

Acum putem concluziona: dacă modulul unei expresii este egal cu un număr pozitiv real a, atunci expresia de sub modul este fie a, fie -a.

Soluție grafică

O modalitate de a rezolva ecuațiile care conțin un modul este o metodă grafică. Esența acestei metode este de a construi grafice ale acestor funcții. Dacă graficele se intersectează, punctele de intersecție ale acestor grafice vor fi rădăcinile ecuației noastre. Dacă graficele nu se intersectează, putem concluziona că ecuația nu are rădăcini. Această metodă este probabil utilizată mai rar decât altele pentru rezolvarea ecuațiilor care conțin un modul, deoarece, în primul rând, necesită mult timp și nu este întotdeauna rațională, iar, în al doilea rând, rezultatele obținute la trasarea graficelor nu sunt întotdeauna exacte.

O altă modalitate de a rezolva ecuațiile care conțin un modul este împărțirea dreptei numerice în intervale. În acest caz, trebuie să împărțim linia numerică astfel încât, prin definiția modulului, semnul valorii absolute pe aceste intervale să poată fi eliminat. Apoi, pentru fiecare dintre goluri, va trebui să rezolvăm această ecuație și să tragem o concluzie cu privire la rădăcinile rezultate (dacă ne satisfac sau nu decalajul). Rădăcinile care satisfac golurile vor da răspunsul final.

a 2-a cale

Să stabilim, la ce valori ale lui x, modulul este egal cu zero: |X+2|=0 , X=2

Obținem două intervale, pe fiecare dintre ele rezolvăm ecuația:

Obținem două sisteme mixte:

(1) X+2 0

X-2=1 X+2=1

Să rezolvăm fiecare sistem:

X=-3 X=-1

Răspuns: -3; -1.

Soluție grafică

y= |X+2|, y= 1.

Soluție grafică

Pentru a rezolva grafic ecuația, este necesar să reprezentați grafic funcțiile și

Pentru a reprezenta un grafic al funcției, vom reprezenta un grafic al funcției - aceasta este o funcție care intersectează axa OX și axa OY în puncte.

Abcisele punctelor de intersecție ale graficelor de funcții vor da soluții ecuației.

Graficul direct al funcției y=1 sa intersectat cu graficul funcției y=|x + 2| la punctele cu coordonatele (-3; 1) și (-1; 1), prin urmare, soluțiile ecuației vor fi abscisele punctelor:

x=-3, x=-1

Răspuns: -3;-1

Exemplul 2. Rezolvați analitic și grafic ecuația 1 + |x| = 0,5.

Decizie:

Soluție analitică

Să transformăm ecuația: 1 + |x| = 0,5

|x| =0,5-1

|x|=-0,5

Este clar că în acest caz ecuația nu are soluții, deoarece, prin definiție, modulul este întotdeauna nenegativ.

Răspuns: Nu există soluții.

Soluție grafică

Să transformăm ecuația: : 1 + |x| = 0,5

|x| =0,5-1

|x|=-0,5

Graficul funcției este razele - bisectoarele unghiurilor de coordonate 1 și 2. Graficul funcției este o dreaptă paralelă cu axa OX și care trece prin punctul -0,5 de pe axa OY.

Graficele nu se intersectează, deci ecuația nu are soluții.

Răspuns: fără soluții.

Exemplul 3. Rezolvați analitic și grafic ecuația |-x + 2| = 2x + 1.

Decizie:

Soluție analitică

1-a cale

Mai întâi trebuie să setați intervalul de valori valide pentru variabilă. Se ridică o întrebare firească de ce în exemplele anterioare nu era nevoie să facem acest lucru, dar acum a apărut.

Faptul este că în acest exemplu, în partea stângă a ecuației, modulul unei expresii, iar în partea dreaptă nu este un număr, ci o expresie cu o variabilă - această circumstanță importantă este cea care distinge acest exemplu de cele anterioare.

Deoarece în partea stângă există un modul, iar în partea dreaptă, o expresie care conține o variabilă, este necesar să se ceară ca această expresie să fie nenegativă, adică, astfel, intervalul de valide

valorile modulelor

Acum putem raționa în același mod ca în exemplul 1, când era un număr pozitiv în partea dreaptă a egalității. Obținem două sisteme mixte:

(1) -X+2≥0 și (2) -X+2

X+2=2X+1; X-2=2X+1

Să rezolvăm fiecare sistem:

(1) intră în interval și este rădăcina ecuației.

X≤2

X=⅓

(2) X>2

X=-3

X = -3 nu este inclus în interval și nu este rădăcina ecuației.

Răspuns: ⅓.

4.1 Rezolvare folosind dependențele dintre numerele a și b, modulele acestora și pătratele acestor numere.

În plus față de metodele pe care le-am dat mai sus, există o anumită echivalență între numere și module ale numerelor date, precum și între pătrate și module ale numerelor date:

|a|=|b| a=b sau a=-b

A2=b2 a=b sau a=-b

De aici, la rândul nostru, obținem asta

|a|=|b| a 2 =b 2

Exemplul 4. Să rezolvăm ecuația |x + 1|=|2x - 5| în două moduri diferite.

1. Considerând relația (1), obținem:

X + 1=2x - 5 sau x + 1=-2x + 5

x - 2x=-5 - 1 x + 2x=5 - 1

X=-6|(:1) 3x=4

x=6 x=11/3

Rădăcina primei ecuații este x=6, rădăcina celei de-a doua ecuații este x=11/3

Astfel, rădăcinile ecuației originale x 1=6, x2=11/3

2. În virtutea relaţiei (2), obţinem

(x + 1)2=(2x - 5)2 sau x2 + 2x + 1=4x2 - 20x + 25

X2 - 4x2 +2x+1 + 20x - 25=0

3x2 + 22x - 24=0|(:-1)

3x2 - 22x + 24=0

D/4=121-3 24=121 - 72=49>0 ==> ecuația are 2 rădăcini diferite.

x 1 \u003d (11 - 7) / 3 \u003d 11/3

x 2 \u003d (11 + 7) / 3 \u003d 6

După cum arată soluția, rădăcinile acestei ecuații sunt și numerele 11/3 și 6

Răspuns: x 1 \u003d 6, x 2 \u003d 11/3

Exemplul 5. Rezolvați ecuația (2x + 3) 2 =(x - 1) 2 .

Ținând cont de relația (2), obținem că |2x + 3|=|x - 1|, de unde după modelul exemplului anterior (și conform relației (1)):

2x + 3=x - 1 sau 2x + 3=-x + 1

2x - x=-1 - 3 2x+ x=1 - 3

X=-4 x=-0,(6)

Astfel, rădăcinile ecuației sunt x1=-4 și x2=-0,(6)

Răspuns: x1 \u003d -4, x 2 \u003d 0, (6)

Exemplul 6. Să rezolvăm ecuația |x - 6|=|x2 - 5x + 9|

Folosind raportul, obținem:

x - 6 \u003d x2 - 5x + 9 sau x - 6 \u003d - (x2 - 5x + 9)

X2 + 5x + x - 6 - 9=0 |(-1) x - 6=-x2 + 5x - 9

x2 - 6x + 15=0 x2 - 4x + 3=0

D=36 - 4 15=36 - 60= -24 D=16 - 4 3=4 >0==>2 r.c.

==> nu există rădăcini.

X 1 \u003d (4- 2) / 2 \u003d 1

X 2 \u003d (4 + 2) / 2 \u003d 3

Verificați: |1 - 6|=|12 - 5 1 + 9| |3 - 6|=|32 - 5 3 + 9|

5 = 5(I) 3 = |9 - 15 + 9|

3 = 3(ȘI)

Răspuns: x 1 =1; x2=3

4.2 Utilizarea interpretării geometrice a modulului pentru rezolvarea ecuaţiilor.

Semnificația geometrică a modulului diferenței de mărime este distanța dintre ele. De exemplu, sensul geometric al expresiei |x - a | - lungimea segmentului axei de coordonate care leagă punctele cu abscisele a și x. Traducerea unei probleme algebrice într-un limbaj geometric face adesea posibilă evitarea soluțiilor greoaie.

Exemplul7. Să rezolvăm ecuația |x - 1| + |x - 2|=1 folosind interpretarea geometrică a modulului.

Vom argumenta astfel: pe baza interpretării geometrice a modulului, partea stângă a ecuației este suma distanțelor de la un punct al absciselor x la două puncte fixe cu abscisele 1 și 2. Atunci este evident că toate punctele cu abscisă din segment au proprietatea necesară, iar punctele situate în afara acestui segment - nr. De aici răspunsul: mulțimea soluțiilor ecuației este segmentul.

Răspuns:

Exemplul8. Să rezolvăm ecuația |x - 1| - |x - 2|=1 1 folosind interpretarea geometrică a modulului.

Vom argumenta în mod similar cu exemplul anterior și vom constata că diferența de distanțe față de punctele cu abscisele 1 și 2 este egală cu unu numai pentru punctele situate pe axa de coordonate din dreapta numărului 2. Prin urmare, soluția la această ecuație nu va fi segmentul dintre punctele 1 și 2 și o rază care iese din punctul 2 și îndreptată în direcția pozitivă a axei OX.

Răspuns: )