Cum să găsiți cel mai mic multiplu comun. De ce să introduceți conceptele de „Cel mai mare divizor comun (GCD)” și „Mel mai mic multiplu comun (LCM)” de numere într-un curs de matematică școlar

Luați în considerare soluția următoarei probleme. Pasul băiatului este de 75 cm, iar pasul fetei este de 60 cm. Este necesar să găsiți cea mai mică distanță la care amândoi vor face un număr întreg de pași.

Decizie.Întreaga cale pe care o vor parcurge băieții trebuie să fie divizibil cu 60 și 70 fără rest, deoarece fiecare trebuie să facă un număr întreg de pași. Cu alte cuvinte, răspunsul trebuie să fie un multiplu de 75 și 60.

Mai întâi, vom scrie toți multiplii, pentru numărul 75. Obținem:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Acum să scriem numerele care vor fi multiplu de 60. Obținem:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Acum găsim numerele care sunt în ambele rânduri.

• Multiplii comuni ai numerelor vor fi numere, 300, 600 etc.

Cel mai mic dintre ele este numărul 300. În acest caz, se va numi cel mai mic multiplu comun al numerelor 75 și 60.

Revenind la starea problemei, cea mai mică distanță la care băieții fac un număr întreg de pași va fi de 300 cm. Băiatul va merge în acest fel în 4 pași, iar fata va trebui să facă 5 pași.

Găsirea celui mai mic multiplu comun

• Cel mai mic multiplu comun al două numere naturale a și b este cel mai mic număr natural care este un multiplu atât al lui a cât și al lui b.

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun a două numere, nu este necesar să scrieți pe rând toți multiplii acestor numere.

Puteți folosi următoarea metodă.

Cum să găsiți cel mai mic multiplu comun

În primul rând, trebuie să descompuneți aceste numere în factori primi.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Acum să notăm toți factorii care sunt în expansiunea primului număr (2,2,3,5) și să adăugăm la ei toți factorii lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr (5).

Ca rezultat, obținem o serie de numere prime: 2,2,3,5,5. Produsul acestor numere va fi cel mai puțin comun factor pentru aceste numere. 2*2*3*5*5 = 300.

Schema generală pentru găsirea celui mai mic multiplu comun

• 1. Descompune numerele în factori primi.
• 2. Notați factorii primi care fac parte din unul dintre ei.
• 3. Adăugați la acești factori toți cei care se află în descompunerea restului, dar nu în cel selectat.
• 4. Aflați produsul tuturor factorilor notați.

Această metodă este universală. Poate fi folosit pentru a găsi cel mai mic multiplu comun al oricărui număr de numere naturale.

Lancinova Aisa

Descarca:

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizarea prezentărilor, creați un cont Google (cont) și conectați-vă: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

Sarcini pentru GCD și LCM de numere Lucrarea unui elev de clasa a VI-a a MKOU „Kamyshovskaya OOSh” Lantsinova Aisa Supervizor Goryaeva Zoya Erdnigoryaevna, profesor de matematică p. Kamyshovo, 2013

Un exemplu de găsire a MCD al numerelor 50, 75 și 325. 1) Să descompunem numerele 50, 75 și 325 în factori primi. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 împărțiți fără rest numerele a și b se numesc cel mai mare divizor comun al acestor numere.

Un exemplu de găsire a LCM a numerelor 72, 99 și 117. 1) Să factorizăm numerele 72, 99 și 117. Scrieți factorii incluși în expansiunea unuia dintre numerele 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 și adăugați la ei factorii lipsă ai numerelor rămase. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Aflați produsul factorilor rezultați. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Răspuns: LCM (72, 99 și 117) = 10296 Cel mai mic multiplu comun al numerelor naturale a și b se numește cel mai mic număr natural care este multiplu al a și b.

O foaie de carton are forma unui dreptunghi, lungimea căruia este de 48 cm și lățimea de 40 cm.Această foaie trebuie tăiată fără risipă în pătrate egale. Care sunt cele mai mari pătrate care se pot obține din această foaie și câte? Rezolvare: 1) S = a ∙ b este aria dreptunghiului. S \u003d 48 ∙ 40 \u003d 1960 cm². este zona cartonului. 2) a - latura pătratului 48: a - numărul de pătrate care pot fi așezate pe lungimea cartonului. 40: a - numărul de pătrate care pot fi așezate pe lățimea cartonului. 3) GCD (40 și 48) \u003d 8 (cm) - latura pătratului. 4) S \u003d a² - aria pătratului osos. S \u003d 8² \u003d 64 (cm².) - aria pătratului osos. 5) 1960: 64 = 30 (număr de pătrate). Răspuns: 30 de pătrate cu o latură de 8 cm fiecare. Sarcini pentru GCD

Șemineul din cameră trebuie să fie amenajat cu plăci de finisare în formă de pătrat. De câte plăci vor fi necesare pentru un șemineu de 195 ͯ 156 cm și care sunt dimensiunile cele mai mari gresie? Rezolvare: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm²) - S a suprafeței șemineului. 2) GCD (195 și 156) = 39 (cm) - latura plăcii. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) - suprafața unei plăci. 4) 30420: = 20 (bucați). Răspuns: 20 de plăci care măsoară 39 ͯ 39 (cm). Sarcini pentru GCD

Un teren de grădină care măsoară 54 ͯ 48 m în jurul perimetrului trebuie împrejmuit, pentru aceasta, stâlpi de beton trebuie plasați la intervale regulate. Câți stâlpi trebuie aduși pentru șantier și la ce distanță maximă unul de celălalt vor sta stâlpii? Rezolvare: 1) P = 2(a + b) – perimetrul amplasamentului. P \u003d 2 (54 + 48) \u003d 204 m. 2) GCD (54 și 48) \u003d 6 (m) - distanța dintre stâlpi. 3) 204: 6 = 34 (stâlpi). Raspuns: 34 de stalpi, la o distanta de 6 m. Sarcini pentru GCD

Din 210 visiniu s-au adunat 126 trandafiri albi, 294 rosii, buchete, iar in fiecare buchet numarul trandafirilor de aceeasi culoare este egal. Care cel mai mare număr buchete făcute din acești trandafiri și câți trandafiri de fiecare culoare sunt într-un buchet? Rezolvare: 1) GCD (210, 126 și 294) = 42 (buchete). 2) 210: 42 = 5 (trandafiri visinii). 3) 126: 42 = 3 (trandafiri albi). 4) 294: 42 = 7 (trandafiri rosii). Raspuns: 42 de buchete: 5 visiniu, 3 albi, 7 trandafiri rosii in fiecare buchet. Sarcini pentru GCD

Tanya și Masha au cumpărat același număr de cutii poștale. Tanya a plătit 90 de ruble, iar Masha a plătit 5 ruble. Mai Mult. Cât costă un set? Câte seturi a cumpărat fiecare? Soluție: 1) Masha a plătit 90 + 5 = 95 (ruble). 2) GCD (90 și 95) = 5 (ruble) - prețul unui set. 3) 980: 5 = 18 (seturi) - cumpărat de Tanya. 4) 95: 5 = 19 (seturi) - a cumpărat Masha. Răspuns: 5 ruble, 18 seturi, 19 seturi. Sarcini pentru GCD

În orașul-port încep trei excursii turistice cu barca, dintre care prima durează 15 zile, a doua - 20 și a treia - 12 zile. Întorcându-se în port, navele în aceeași zi pleacă din nou într-o călătorie. Navele cu motor au părăsit portul pe toate cele trei rute astăzi. În câte zile vor naviga împreună pentru prima dată? Câte călătorii va face fiecare navă? Rezolvare: 1) NOC (15.20 și 12) = 60 (zile) - ora întâlnirii. 2) 60: 15 = 4 (călătorii) - 1 navă. 3) 60: 20 = 3 (călătorii) - 2 nava cu motor. 4) 60: 12 = 5 (călătorii) - 3 navă cu motor. Răspuns: 60 de zile, 4 zboruri, 3 zboruri, 5 zboruri. Sarcini pentru NOC

Masha a cumpărat ouă pentru Urs din magazin. În drum spre pădure, și-a dat seama că numărul de ouă este divizibil cu 2,3,5,10 și 15. Câte ouă a cumpărat Masha? Soluție: LCM (2;3;5;10;15) = 30 (ouă) Răspuns: Masha a cumpărat 30 de ouă. Sarcini pentru NOC

Este necesar să se facă o cutie cu fundul pătrat pentru a stivui cutii de 16 ͯ 20 cm. Care ar trebui să fie cea mai scurtă latură a fundului pătrat pentru a încăpea cutiile strâns în cutie? Rezolvare: 1) NOC (16 și 20) = 80 (cutii). 2) S = a ∙ b este aria unei casete. S \u003d 16 ∙ 20 \u003d 320 (cm²) - aria din partea de jos a unei cutii. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (cm²) - suprafața inferioară pătrată. 4) S \u003d a² \u003d a ∙ a 25600 \u003d 160 ∙ 160 - dimensiunile cutiei. Răspuns: 160 cm este latura fundului pătrat. Sarcini pentru NOC

De-a lungul drumului din punctul K sunt stalpi de curent la fiecare 45 m. S-a decis inlocuirea acestor stalpi cu altii, asezand-i la o distanta de 60 m unul de altul. Câți stâlpi au fost și câți vor sta? Rezolvare: 1) NOK (45 și 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 - erau stâlpi. 3) 180: 60 = 3 - erau stâlpi. Răspuns: 4 stâlpi, 3 stâlpi. Sarcini pentru NOC

Câți soldați defilează pe terenul de paradă dacă mărșăluiesc în formație de 12 oameni pe rând și se schimbă într-o coloană de 18 persoane pe rând? Rezolvare: 1) NOC (12 și 18) = 36 (oameni) - marș. Răspuns: 36 de persoane. Sarcini pentru NOC

Semne de divizibilitate a numerelor naturale.

Se numesc numere divizibile cu 2 fără restchiar .

Se numesc numerele care nu sunt divizibile egal cu 2ciudat .

Semn de divizibilitate cu 2

Dacă înregistrarea unui număr natural se termină cu o cifră pară, atunci acest număr este divizibil cu 2 fără rest, iar dacă înregistrarea unui număr se termină cu o cifră impară, atunci acest număr nu este divizibil cu 2 fără rest.

De exemplu, numerele 60 , 30 8 , 8 4 sunt divizibile fără rest cu 2, iar numerele 51 , 8 5 , 16 7 nu sunt divizibile cu 2 fără rest.

Semn de divizibilitate cu 3

Dacă suma cifrelor unui număr este divizibilă cu 3, atunci numărul este și divizibil cu 3; Dacă suma cifrelor unui număr nu este divizibilă cu 3, atunci numărul nu este divizibil cu 3.

De exemplu, să aflăm dacă numărul 2772825 este divizibil cu 3. Pentru a face acest lucru, calculăm suma cifrelor acestui număr: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - este divizibil cu 3 Deci, numărul 2772825 este divizibil cu 3.

Semn de divizibilitate cu 5

Dacă înregistrarea unui număr natural se termină cu 0 sau 5, atunci acest număr este divizibil cu 5 fără rest. Dacă înregistrarea unui număr se termină cu o altă cifră, atunci numărul nu poate fi împărțit la 5 fără rest.

De exemplu, numerele 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 sunt divizibile fără rest cu 5, iar numerele 17 , 37 8 , 9 1 nu imparti.

Semn de divizibilitate cu 9

Dacă suma cifrelor unui număr este divizibilă cu 9, atunci numărul este și divizibil cu 9; Dacă suma cifrelor unui număr nu este divizibilă cu 9, atunci numărul nu este divizibil cu 9.

De exemplu, să aflăm dacă numărul 5402070 este divizibil cu 9. Pentru a face acest lucru, calculăm suma cifrelor acestui număr: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - nu este divizibil cu 9. Aceasta înseamnă că numărul 5402070 nu este divizibil cu 9.

Semn de divizibilitate cu 10

Dacă înregistrarea unui număr natural se termină cu cifra 0, atunci acest număr este divizibil fără rest cu 10. Dacă înregistrarea unui număr natural se termină cu o altă cifră, atunci nu este divizibil cu 10 fără rest.

De exemplu, numerele 40 , 17 0 , 1409 0 sunt divizibile fără rest cu 10, iar numerele 17 , 9 3 , 1430 7 - nu imparti.

Regula pentru găsirea celui mai mare divizor comun (mcd).

Pentru a găsi cel mai mare divizor comun mai multe numere naturale, aveți nevoie de:

2) dintre factorii incluși în extinderea unuia dintre aceste numere, bifați pe cei care nu sunt incluși în extinderea altor numere;

3) găsiți produsul factorilor rămași.

Exemplu. Să găsim GCD (48;36). Să folosim regula.

1. Descompunem numerele 48 și 36 în factori primi.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Din factorii incluși în extinderea numărului 48, îi ștergem pe cei care nu sunt incluși în extinderea numărului 36.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Există factori 2, 2 și 3.

3. Înmulțiți factorii rămași și obțineți 12. Acest număr este cel mai mare divizor comun al numerelor 48 și 36.

GCD (48; 36) = 2· 2 · 3 = 12.

Regula pentru găsirea celui mai mic multiplu comun (LCM).

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun al mai multor numere naturale, trebuie să:

1) descompuneți-le în factori primi;

2) scrieți factorii incluși în extinderea unuia dintre numere;

3) adăugați la ei factorii lipsă din expansiunile numerelor rămase;

4) găsiți produsul factorilor rezultați.

Exemplu. Să găsim LCM (75;60). Să folosim regula.

1. Descompunem numerele 75 și 60 în factori primi.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Notați factorii incluși în extinderea numărului 75: 3, 5, 5.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Adaugă la ei factorii lipsă din descompunerea numărului 60, adică. 2, 2.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Aflați produsul factorilor rezultați

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

Un multiplu al unui număr este un număr care este divizibil cu un număr dat fără rest. Cel mai mic multiplu comun (LCM) al unui grup de numere este cel mai mic număr care este divizibil egal cu fiecare număr din grup. Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun, trebuie să găsiți factorii primi ai numerelor date. De asemenea, LCM poate fi calculat folosind o serie de alte metode care sunt aplicabile la grupuri de două sau mai multe numere.

Pași

Un număr de multipli

Uită-te la aceste numere. Metoda descrisă aici este utilizată cel mai bine atunci când sunt date două numere care sunt ambele mai mici de 10. Dacă sunt date numere mari, utilizați o metodă diferită.

• De exemplu, găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor 5 și 8. Acestea sunt numere mici, așa că această metodă poate fi folosită.

1. Un multiplu al unui număr este un număr care este divizibil cu un număr dat fără rest. Numerele multiple pot fi găsite în tabelul înmulțirii.

   • De exemplu, numerele care sunt multipli ai lui 5 sunt: ​​5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Notează o serie de numere care sunt multipli ai primului număr. Faceți acest lucru sub multiplii primului număr pentru a compara două rânduri de numere.

   • De exemplu, numerele care sunt multipli ai lui 8 sunt: ​​8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 și 64.

3. Găsiți cel mai mic număr care apare în ambele serii de multipli. Poate fi necesar să scrieți serii lungi de multipli pentru a găsi numărul total. Cel mai mic număr care apare în ambele serii de multipli este cel mai mic multiplu comun.

   • De exemplu, cel mai mic număr, care apare în seria multiplilor lui 5 și 8, este numărul 40. Prin urmare, 40 este cel mai mic multiplu comun al numerelor 5 și 8.

   factorizare primara

   1. Uită-te la aceste numere. Metoda descrisă aici este utilizată cel mai bine atunci când sunt date două numere care sunt ambele mai mari decât 10. Dacă sunt date numere mai mici, utilizați o metodă diferită.

      • De exemplu, găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor 20 și 84. Fiecare dintre numere este mai mare decât 10, așa că această metodă poate fi folosită.

   2. Factorizați primul număr. Adică, trebuie să găsiți astfel de numere prime, atunci când sunt înmulțite, obțineți un număr dat. După ce ați găsit factorii primi, scrieți-i ca egalitate.

      • De exemplu, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20)și 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Astfel, factorii primi ai numărului 20 sunt numerele 2, 2 și 5. Notează-i ca expresie: .

   3. Factorizați al doilea număr în factori primi. Faceți acest lucru în același mod în care ați factorizat primul număr, adică găsiți astfel de numere prime care, atunci când sunt înmulțite, vor obține acest număr.

      • De exemplu, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42)și 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Astfel, factorii primi ai numărului 84 ​​sunt numerele 2, 7, 3 și 2. Notează-le ca expresie: .

   4. Notați factorii comuni ambelor numere. Scrieți factori precum o operație de înmulțire. Pe măsură ce notați fiecare factor, tăiați-l în ambele expresii (expresii care descriu descompunerea numerelor în factori primi).

      • De exemplu, factorul comun pentru ambele numere este 2, așa că scrieți 2 × (\displaystyle 2\times )și tăiați 2 în ambele expresii.
      • Factorul comun pentru ambele numere este un alt factor de 2, așa că scrieți 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2)și tăiați al doilea 2 în ambele expresii.

   5. Adăugați factorii rămași la operația de înmulțire. Aceștia sunt factori care nu sunt tăiați în ambele expresii, adică factori care nu sunt comuni ambelor numere.

      • De exemplu, în expresia 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5) ambele două (2) sunt tăiate deoarece sunt factori comuni. Factorul 5 nu este tăiat, așa că scrieți operația de înmulțire după cum urmează: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • În expresie 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2) ambii doi doi (2) sunt de asemenea barați. Factorii 7 și 3 nu sunt tăiați, așa că scrieți operația de înmulțire după cum urmează: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. Calculați cel mai mic multiplu comun. Pentru a face acest lucru, înmulțiți numerele în operația de înmulțire scrisă.

      • De exemplu, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Deci cel mai mic multiplu comun al lui 20 și 84 este 420.

   Găsirea divizorilor comuni

   1. Desenați o grilă așa cum ați face pentru un joc de tic-tac-toe. O astfel de grilă este formată din două linii paralele care se intersectează (în unghi drept) cu alte două linii paralele. Acest lucru va avea ca rezultat trei rânduri și trei coloane (grila seamănă mult cu semnul #). Scrieți primul număr în primul rând și a doua coloană. Scrieți al doilea număr în primul rând și a treia coloană.

      • De exemplu, găsiți cel mai mic multiplu comun al lui 18 și 30. Scrieți 18 în primul rând și a doua coloană și scrieți 30 în primul rând și a treia coloană.

   2. Aflați divizorul comun ambelor numere. Notează-l pe primul rând și pe prima coloană. Este mai bine să cauți divizori primi, dar aceasta nu este o condiție prealabilă.

      • De exemplu, 18 și 30 sunt numere pare, deci divizorul lor comun este 2. Așa că scrieți 2 în primul rând și prima coloană.

   3. Împărțiți fiecare număr la primul divizor. Scrieți fiecare coeficient sub numărul corespunzător. Coeficientul este rezultatul împărțirii a două numere.

      • De exemplu, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), deci scrie 9 sub 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), deci scrie 15 sub 30.

   4. Găsiți un divizor comun ambilor coeficienti. Dacă nu există un astfel de divizor, săriți peste următorii doi pași. În caz contrar, notați divizorul în al doilea rând și prima coloană.

      • De exemplu, 9 și 15 sunt divizibile cu 3, așa că scrieți 3 în al doilea rând și în prima coloană.

   5. Împărțiți fiecare coeficient la al doilea divizor. Scrieți fiecare rezultat al împărțirii sub câtul corespunzător.

      • De exemplu, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), deci scrie 3 sub 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), deci scrie 5 sub 15.

   6. Dacă este necesar, completați grila cu celule suplimentare. Repetați pașii de mai sus până când coeficientii au un divizor comun.

   7. Încercuiește numerele din prima coloană și ultimul rând al grilei. Apoi scrieți numerele evidențiate ca operație de înmulțire.

      • De exemplu, numerele 2 și 3 sunt în prima coloană, iar numerele 3 și 5 sunt în ultimul rând, așa că scrieți operația de înmulțire astfel: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

   8. Găsiți rezultatul înmulțirii numerelor. Acesta va calcula cel mai mic multiplu comun al celor două numere date.

      • De exemplu, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). Deci cel mai mic multiplu comun al lui 18 și 30 este 90.

   algoritmul lui Euclid

   1. Amintiți-vă terminologia asociată cu operațiunea de divizare. Dividendul este numărul care este împărțit. Divizorul este numărul cu care se împarte. Coeficientul este rezultatul împărțirii a două numere. Restul este numărul rămas când două numere sunt împărțite.

      • De exemplu, în expresia 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) odihnă. 3:
        15 este divizibilul
        6 este divizorul
        2 este privat
        3 este restul.

Materialul prezentat mai jos este o continuare logică a teoriei din articol la rubrica LCM - cel mai mic multiplu comun, definiție, exemple, relație dintre LCM și GCD. Aici vom vorbi despre găsirea celui mai mic multiplu comun (LCM), și acordați o atenție deosebită rezolvării exemplelor. Să arătăm mai întâi cum se calculează LCM a două numere în funcție de MCD-ul acestor numere. Apoi, luați în considerare găsirea celui mai mic multiplu comun prin factorizarea numerelor în factori primi. După aceea, ne vom concentra pe găsirea LCM a trei sau mai multe numere și, de asemenea, acordăm atenție calculului LCM a numerelor negative.

Navigare în pagină.

Calculul cel mai mic multiplu comun (LCM) prin mcd

O modalitate de a găsi cel mai mic multiplu comun se bazează pe relația dintre LCM și GCD. Relația existentă între LCM și GCD vă permite să calculați cel mai mic multiplu comun a două numere întregi pozitive prin cel mai mare divizor comun cunoscut. Formula corespunzătoare are forma LCM(a, b)=a b: MCM(a, b) . Luați în considerare exemple de găsire a LCM conform formulei de mai sus.

Exemplu.

Aflați cel mai mic multiplu comun al celor două numere 126 și 70.

Decizie.

În acest exemplu a=126, b=70. Să folosim relația dintre LCM și GCD exprimată prin formula LCM(a, b)=a b: MCM(a, b). Adică, mai întâi trebuie să găsim cel mai mare divizor comun al numerelor 70 și 126, după care putem calcula LCM-ul acestor numere conform formulei scrise.

Găsiți mcd(126, 70) folosind algoritmul lui Euclid: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , deci mcd(126, 70)=14 .

Acum găsim cel mai mic multiplu comun necesar: LCM(126; 70)=126 70: MCM(126; 70)= 126 70:14=630.

Răspuns:

LCM(126, 70)=630.

Exemplu.

Ce este LCM(68, 34)?

Decizie.

La fel de 68 este divizibil egal cu 34 , apoi mcd(68, 34)=34 . Acum calculăm cel mai mic multiplu comun: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68.

Răspuns:

LCM(68, 34)=68 .

Rețineți că exemplul anterior se potrivește cu următoarea regulă pentru găsirea LCM pentru numerele întregi pozitive a și b: dacă numărul a este divizibil cu b, atunci cel mai mic multiplu comun al acestor numere este a.

Găsirea LCM prin factorizarea numerelor în factori primi

O altă modalitate de a găsi cel mai mic multiplu comun se bazează pe factorizarea numerelor în factori primi. Dacă facem un produs al tuturor factorilor primi ai acestor numere, după care excludem din acest produs toți factorii primi comuni care sunt prezenți în expansiunile acestor numere, atunci produsul rezultat va fi egal cu cel mai mic multiplu comun al acestor numere.

Din egalitate rezultă regula anunțată pentru găsirea LCM LCM(a, b)=a b: MCM(a, b). Într-adevăr, produsul numerelor a și b este egal cu produsul tuturor factorilor implicați în expansiunile numerelor a și b. La rândul său, mcd(a, b) este egal cu produsul tuturor factorilor primi care sunt prezenți simultan în expansiunile numerelor a și b (care este descrisă în secțiunea despre găsirea mcd folosind descompunerea numerelor în factori primi). ).

Să luăm un exemplu. Să știm că 75=3 5 5 și 210=2 3 5 7 . Alcătuiți produsul tuturor factorilor acestor expansiuni: 2 3 3 5 5 5 7 . Acum excludem din acest produs toți factorii care sunt prezenți atât în ​​extinderea numărului 75, cât și în extinderea numărului 210 (acești factori sunt 3 și 5), atunci produsul va lua forma 2 3 5 5 7 . Valoarea acestui produs este egală cu cel mai mic multiplu comun al numerelor 75 și 210, adică LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Exemplu.

După descompunerea numerelor 441 și 700 în factori primi, găsește cel mai mic multiplu comun al acestor numere.

Decizie.

Să descompunem numerele 441 și 700 în factori primi:

Se obține 441=3 3 7 7 și 700=2 2 5 5 7 .

Acum să facem un produs al tuturor factorilor implicați în expansiunile acestor numere: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Să excludem din acest produs toți factorii care sunt prezenți simultan în ambele expansiuni (există un singur astfel de factor - acesta este numărul 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Prin urmare, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Răspuns:

LCM(441, 700)= 44 100 .

Regula pentru găsirea LCM folosind descompunerea numerelor în factori primi poate fi formulată puțin diferit. Dacă adunăm factorii lipsă din extinderea numărului b la factorii din descompunerea numărului a, atunci valoarea produsului rezultat va fi egală cu cel mai mic multiplu comun al numerelor a și b..

De exemplu, să luăm aceleași numere 75 și 210, expansiunile lor în factori primi sunt după cum urmează: 75=3 5 5 și 210=2 3 5 7 . La factorii 3, 5 și 5 din extinderea numărului 75, adăugăm factorii lipsă 2 și 7 din extinderea numărului 210, obținem produsul 2 3 5 5 7 , a cărui valoare este LCM(75 , 210).

Exemplu.

Aflați cel mai mic multiplu comun al lui 84 ​​și 648.

Decizie.

Obținem mai întâi descompunerea numerelor 84 și 648 în factori primi. Ele arată ca 84=2 2 3 7 și 648=2 2 2 3 3 3 3 . La factorii 2 , 2 , 3 și 7 din extinderea numărului 84 ​​adăugăm factorii lipsă 2 , 3 , 3 și 3 din extinderea numărului 648 , obținem produsul 2 2 2 3 3 3 3 7 , care este egal cu 4 536 . Astfel, cel mai mic multiplu comun dorit al numerelor 84 și 648 este 4.536.

Răspuns:

LCM(84, 648)=4 536 .

Găsirea LCM a trei sau mai multe numere

Cel mai mic multiplu comun a trei sau mai multe numere poate fi găsit prin găsirea succesivă a LCM a două numere. Amintiți-vă teorema corespunzătoare, care oferă o modalitate de a găsi LCM a trei sau mai multe numere.

Teorema.

Fie date numere întregi pozitive a 1 , a 2 , …, a k, cel mai mic multiplu comun m k dintre aceste numere se găsește în calculul secvenţial m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a). 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Luați în considerare aplicarea acestei teoreme pe exemplul găsirii celui mai mic multiplu comun al patru numere.

Exemplu.

Aflați LCM a celor patru numere 140, 9, 54 și 250.

Decizie.

În acest exemplu a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .

Mai întâi găsim m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Pentru a face acest lucru, folosind algoritmul euclidian, determinăm mcd(140, 9) , avem 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , prin urmare, mcd( 140, 9)=1, de unde LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1260. Adică m2 =1 260 .

Acum găsim m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Să o calculăm prin mcd(1 260, 54) , care este determinată și de algoritmul Euclid: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Atunci mcd(1 260, 54)=18 , de unde LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Adică m 3 \u003d 3 780.

Rămas de găsit m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Pentru a face acest lucru, găsim GCD(3 780, 250) folosind algoritmul Euclid: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Prin urmare, mcd(3 780, 250)=10, de unde mcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Adică m 4 \u003d 94 500.

Deci cel mai mic multiplu comun al celor patru numere originale este 94.500.

Răspuns:

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

În multe cazuri, cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere este găsit în mod convenabil utilizând descompunerea în factori primi a numerelor date. În acest caz, trebuie respectată următoarea regulă. Cel mai mic multiplu comun al mai multor numere este egal cu produsul, care se compune astfel: factorii lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr se adaugă la toți factorii din extinderea primului număr, factorii lipsă din expansiunea primului număr. al treilea număr se adaugă factorilor obținuți și așa mai departe.

Luați în considerare un exemplu de găsire a celui mai mic multiplu comun folosind descompunerea numerelor în factori primi.

Exemplu.

Aflați cel mai mic multiplu comun al cinci numere 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Decizie.

Mai întâi, obținem expansiunile acestor numere în factori primi: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 factori primi) și 143=11 13 .

Pentru a găsi LCM a acestor numere, la factorii primului număr 84 (sunt 2 , 2 , 3 și 7 ) trebuie să adăugați factorii lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr 6 . Extinderea numărului 6 nu conține factori lipsă, deoarece atât 2, cât și 3 sunt deja prezenți în extinderea primului număr 84 . În plus față de factorii 2 , 2 , 3 și 7 adăugăm factorii 2 și 2 lipsă din expansiunea celui de-al treilea număr 48 , obținem un set de factori 2 , 2 , 2 , 2 , 3 și 7 . Nu este nevoie să adăugați factori la acest set în pasul următor, deoarece 7 este deja conținut în el. În sfârșit, la factorii 2 , 2 , 2 , 2 , 3 și 7 adăugăm factorii 11 și 13 lipsă din expansiunea numărului 143 . Obținem produsul 2 2 2 2 3 7 11 13 , care este egal cu 48 048 .