طريقة رسومية لحل المعادلات والمتباينات. الحل البياني للمعادلات والمتباينات. تمثيل رسومي لمتباينة تربيعية على المستوى الإحداثي

Kustova

مدرس رياضيات

فورونيج ، مدرسة ثانوية MBOU رقم 5

مشروع

"مزايا الطريقة الرسومية لحل المعادلات وعدم المساواة".

فصل:

7-11

موضوعات:

رياضيات

أهداف البحث:

تجده في الخارجمزايا الطريقة الرسومية في حل المعادلات والمتباينات.

فرضية:

بعض المعادلات والمتباينات أسهل وأكثر إرضاء من الناحية الجمالية لحلها بيانيًا.

مراحل البحث:

قارن بين الحلول التحليلية والرسوم البيانيةالمعادلات وعدم المساواة.

تعرف على الحالات التي تتمتع فيها الطريقة الرسومية بمزايا.

ضع في اعتبارك حل المعادلات بالمعامل والمعامل.

نتائج البحث:

1. جمال الرياضيات مشكلة فلسفية.

2. عند حل بعض المعادلات والمتباينات ، الطريقة الرسومية لحلهاالأكثر عملية وجاذبية.

3. يمكنك تطبيق جاذبية الرياضيات في المدرسة باستخدام طريقة حل رسوميةالمعادلات وعدم المساواة.

"جذبت العلوم الرياضية من أقدم العصور اهتمامًا خاصًا ،

لقد تلقوا الآن اهتمامًا أكبر بتأثيرهم على الفن والصناعة.

بافنوتي لفوفيتش تشيبيشيف.

بدءًا من الصف السابع ، يتم النظر في طرق مختلفة لحل المعادلات وعدم المساواة ، بما في ذلك الرسوم البيانية. من يعتقد أن الرياضيات علم جاف ، أعتقد أنهم يغيرون رأيهم عندما يرون كيف يمكن حل أنواع معينة بشكل جميلالمعادلات وعدم المساواة. وهنا بعض الأمثلة:

1) -حل المعادلة: = .

يمكنك الحل تحليليًا ، أي رفع كلا طرفي المعادلة إلى القوة الثالثة ، وهكذا.

الطريقة الرسومية مناسبة لهذه المعادلة إذا كنت تحتاج فقط إلى الإشارة إلى عدد الحلول.

غالبًا ما يتم العثور على مهام مماثلة عند حل كتلة "الهندسة" من OGE للصف التاسع.

2) حل المعادلة بالمعامل:

││ x│- 4│= أ

ليس المثال الأكثر تعقيدًا ، ولكن إذا قمت بحله بشكل تحليلي ، فسيتعين عليك فتح أقواس الوحدة النمطية مرتين ، ولكل حالة مراعاة القيم المحتملة للمعامل. بيانيا ، كل شيء بسيط للغاية. نرسم الرسوم البيانية للوظائف ونرى ما يلي:

مصادر:

برنامج الحاسبغرافر متقدم .

إحدى الطرق الأكثر ملاءمة لحل المتباينات التربيعية هي الطريقة الرسومية. في هذه المقالة ، سنقوم بتحليل كيفية حل المتباينات التربيعية بيانياً. أولاً ، دعنا نناقش جوهر هذه الطريقة. ثم نعطي الخوارزمية وننظر في أمثلة لحل المتباينات التربيعية بيانيًا.

التنقل في الصفحة.

جوهر طريقة الرسم

عمومًا طريقة بيانية لحل التفاوتاتباستخدام متغير واحد ، ليس فقط لحل المتباينات المربعة ، ولكن أيضًا عدم المساواة من الأنواع الأخرى. جوهر الطريقة الرسومية لحل المتبايناتبعد ذلك: ضع في اعتبارك الدالتين y = f (x) و y = g (x) التي تتوافق مع الجزأين الأيمن والأيسر من المتباينة ، وقم ببناء الرسوم البيانية الخاصة بهم في نفس نظام إحداثيات المستطيل واكتشف الفواصل الزمنية للرسم البياني لأحد تقع تحت أو فوق الأخرى. تلك الفترات حيث

• يمثل الرسم البياني للدالة f أعلى الرسم البياني للدالة g حلولًا لعدم المساواة f (x)> g (x) ؛
• الرسم البياني للدالة f ليس أقل من الرسم البياني للدالة g هي حلول للتباين f (x) ≥g (x) ؛
• يمثل الرسم البياني للدالة f أسفل الرسم البياني للدالة g حلولًا للمتباينة f (x)
• التمثيل البياني للدالة f ليس فوق الرسم البياني للدالة g هي حلول للمتباينة f (x) ≤g (x).

لنفترض أيضًا أن حدود نقاط التقاطع في الرسوم البيانية للوظائف f و g هي حلول للمعادلة f (x) = g (x).

دعونا ننقل هذه النتائج إلى حالتنا - لحل المتباينة التربيعية a x 2 + b x + c<0 (≤, >, ≥).

نقدم دالتين: الأولى y = a x 2 + b x + c (في هذه الحالة f (x) = a x 2 + b x + c) تقابل الجانب الأيسر من المتباينة التربيعية ، والثانية y = 0 (في هذه الحالة g (x) = 0 تقابل الطرف الأيمن من المتراجحة. برنامج وظيفة من الدرجة الثانية f هو القطع المكافئ والرسم البياني وظيفة دائمة g هو خط مستقيم يتزامن مع محور الثور.

علاوة على ذلك ، وفقًا للطريقة الرسومية لحل المتباينات ، من الضروري تحليل الفواصل الزمنية التي يقع فيها الرسم البياني لوظيفة واحدة أعلى أو أسفل الأخرى ، مما سيسمح لنا بكتابة الحل المطلوب لعدم المساواة التربيعية. في حالتنا ، نحتاج إلى تحليل موضع القطع المكافئ بالنسبة لمحور الثور.

اعتمادًا على قيم المعاملات a و b و c ، تكون الخيارات الستة التالية ممكنة (التمثيل التخطيطي كافٍ لاحتياجاتنا ، ومن الممكن عدم تصوير محور Oy ، نظرًا لأن موضعه لا يؤثر على الحل من عدم المساواة):

في هذا الرسم ، نرى قطعًا مكافئًا تتجه فروعه لأعلى ويتقاطع مع محور الثور عند نقطتين ، وهما x 1 و x 2. يتوافق هذا الرسم مع المتغير عندما يكون المعامل a موجبًا (وهو مسؤول عن الاتجاه التصاعدي لفروع القطع المكافئ) وعندما تكون القيمة موجبة مميز لثلاثية الحدود التربيعية a x 2 + b x + c (في هذه الحالة ، للمثلثية جذرين ، نرمز إليهما بـ x 1 و x 2 ، وافترضنا أن x 1 0 , د = ب 2 −4 أ ج = (- 1) 2 4 1 (−6) = 25> 0، س 1 = -2 ، س 2 = 3.

من أجل الوضوح ، دعنا نرسم باللون الأحمر أجزاء القطع المكافئ الواقعة فوق محور الإحداثي ، وباللون الأزرق - الواقعة أسفل محور الإحداثي.


الآن دعنا نكتشف الفجوات التي تتوافق مع هذه الأجزاء. سيساعد الرسم التالي في تحديدها (في المستقبل ، سنقوم عقليًا بإجراء مثل هذه التحديدات في شكل مستطيلات):


لذلك على محور الإحداثي ، تم تمييز فترتين (−∞ ، x 1) و (x 2 ، +) باللون الأحمر ، حيث يكون القطع المكافئ أعلى من المحور Ox ، وهما يشكلان حل المتباينة التربيعية a x 2 + b x + c> 0 ، والفاصل الزمني (x 1، x 2) مظلل باللون الأزرق ، وعليه يوجد القطع المكافئ أسفل المحور Ox ، وهو حل للمتباينة a x 2 + b x + c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

والآن باختصار: لـ a> 0 و D = b 2 −4 a c> 0 (أو D "= D / 4> 0 لمعامل زوجي ب)

• حل المتباينة التربيعية a x 2 + b x + c> 0 هو (−∞، x 1) ∪ (x 2، + ∞) أو ​​بطريقة أخرى x x2 ؛
• حل المتباينة التربيعية a x 2 + b x + c≥0 هو (−∞، x 1] ∪ أو في طريقة أخرى x 1 ≤x≤x 2 ،

حيث x 1 و x 2 هي جذور المثلث التربيعي a x 2 + b x + c و x 1


هنا نرى قطعًا مكافئًا ، تتجه فروعه لأعلى ، ويلامس محور الإحداثية ، أي أنه يحتوي على نقطة مشتركة واحدة معه ، دعنا نشير إلى إحداثيات هذه النقطة على أنها x 0. تتوافق الحالة المعروضة مع a> 0 (يتم توجيه الفروع لأعلى) و D = 0 (يحتوي المربع ثلاثي الحدود على جذر واحد × 0). على سبيل المثال ، يمكننا أخذ الدالة التربيعية y = x 2 −4 x + 4 ، وهنا أ = 1> 0 ، D = (- 4) 2 −4 1 4 = 0 و x 0 = 2.

يوضح الرسم بوضوح أن القطع المكافئ يقع فوق محور الثور في كل مكان ، باستثناء نقطة الاتصال ، أي على الفواصل الزمنية (−∞ ، × 0) ، (× 0 ،). من أجل الوضوح ، نختار مناطق في الرسم بالقياس مع الفقرة السابقة.


نستخلص الاستنتاجات: لـ> 0 و D = 0

• حل المتباينة التربيعية a x 2 + b x + c> 0 هو (−∞، x 0) ∪ (x 0، + ∞) أو ​​بأي طريقة أخرى x ≠ x 0؛
• حل المتباينة التربيعية a x 2 + b x + c≥0 هو (−∞، + ∞) أو ​​، في طريقة أخرى ، x∈R ؛
• المتباينة التربيعية أ س 2 + ب س + ج<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• المتباينة التربيعية a x 2 + b x + c≤0 لها حل فريد x = x 0 (تُعطى بواسطة نقطة الظل) ،

حيث x 0 هو جذر المثلث التربيعي a x 2 + b x + c.


في هذه الحالة ، يتم توجيه فروع القطع المكافئ لأعلى ، وليس لها نقاط مشتركة مع محور الإحداثية. هنا لدينا الشروط a> 0 (يتم توجيه الفروع لأعلى) و D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0، د = 0 2 −4 2 1 = 8<0 .

من الواضح أن القطع المكافئ يقع فوق محور الثور طوال طوله بالكامل (لا توجد فترات زمنية حيث يكون أسفل محور الثور ، ولا توجد نقطة اتصال).


وهكذا ، ل> 0 و د<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 و a x 2 + b x + c≥0 هي مجموعة كل الأعداد الحقيقية والمتباينات a x 2 + b x + c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

وهناك ثلاثة خيارات لموقع القطع المكافئ مع وجود فروع موجهة لأسفل ، وليس لأعلى ، بالنسبة لمحور الثور. من حيث المبدأ ، قد لا يتم أخذها في الاعتبار ، نظرًا لأن ضرب كلا الجزأين من المتباينة في −1 يسمح لنا بالمرور إلى متباينة مكافئة بمعامل موجب عند x 2. ومع ذلك ، لا يضر الحصول على فكرة عن هذه الحالات. المنطق هنا متشابه ، لذلك نكتب النتائج الرئيسية فقط.

خوارزمية الحل

نتيجة جميع الحسابات السابقة هي خوارزمية لحل المتباينات المربعة بيانياً:

يتم تنفيذ رسم تخطيطي على مستوى الإحداثيات ، والذي يصور محور الثور (ليس من الضروري تصوير محور Oy) ورسم تخطيطي للقطع المكافئ المقابل للدالة التربيعية y = a x 2 + b x + c. لإنشاء رسم تخطيطي للقطع المكافئ ، يكفي اكتشاف نقطتين:

• أولاً ، من خلال قيمة المعامل a ، تم اكتشاف المكان الذي يتم توجيه فروعه فيه (لـ> 0 - أعلى ، لـ a<0 – вниз).
• وثانيًا ، من خلال قيمة مميز ثلاثي الحدود المربّع a x 2 + b x + c ، يتضح ما إذا كان القطع المكافئ يتقاطع مع المحور x عند نقطتين (بالنسبة إلى D> 0) ، يلامسها عند نقطة واحدة (بالنسبة إلى D = 0) ، أو ليس لديه نقاط مشتركة مع محور Ox (لـ D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• عندما يكون الرسم جاهزًا ، في الخطوة الثانية من الخوارزمية

  • عند حل المتباينة التربيعية a · x 2 + b · x + c> 0 ، يتم تحديد الفواصل الزمنية التي يقع فيها القطع المكافئ فوق محور الإحداثي ؛
  • عند حل المتباينة a x 2 + b x + c≥0 ، يتم تحديد الفواصل الزمنية التي يقع عندها القطع المكافئ فوق محور الإحداثي ويتم إضافة حدود نقاط التقاطع (أو حدود نقطة الظل) إليها ؛
  • عند حل المتباينة أ س 2 + ب س + ج<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • أخيرًا ، عند حل متباينة تربيعية بالصيغة a x 2 + b x + c≤0 ، توجد فترات يكون فيها القطع المكافئ أسفل محور الثور ويتم إضافة حدود نقاط التقاطع (أو حدود نقطة التماس) إليها ؛

  أنها تشكل الحل المرغوب من المتباينة التربيعية ، وإذا لم تكن هناك فترات ولا نقاط اتصال ، فإن المتباينة التربيعية الأصلية ليس لها حلول.

يبقى فقط حل بعض المتباينات التربيعية باستخدام هذه الخوارزمية.

أمثلة مع الحلول

مثال.

حل المتباينة .

المحلول.

نحتاج إلى حل متباينة تربيعية ، وسنستخدم الخوارزمية من الفقرة السابقة. في الخطوة الأولى ، نحتاج إلى رسم رسم بياني للدالة التربيعية . المعامل عند x 2 هو 2 ، وهو موجب ، لذلك يتم توجيه فروع القطع المكافئ لأعلى. دعونا نكتشف أيضًا ما إذا كان القطع المكافئ مع محور الإحداثي له نقاط مشتركة ، ولهذا نحسب مميز المربع ثلاثي الحدود . نملك . تبين أن المميز أكبر من الصفر ، لذلك فإن ثلاثي الحدود له جذرين حقيقيين: و ، أي x 1 = −3 و x 2 = 1/3.

من هذا يتضح أن القطع المكافئ يتقاطع مع محور الثور عند نقطتين مع abscissas −3 و 1/3. سنصور هذه النقاط في الرسم كنقاط عادية ، لأننا نحل متباينة غير صارمة. حسب البيانات الموضحة نحصل على الرسم التالي (يناسب القالب الأول من الفقرة الأولى من المقال):

ننتقل إلى الخطوة الثانية من الخوارزمية. نظرًا لأننا نحل متباينة تربيعية غير صارمة بعلامة ، فنحن بحاجة إلى تحديد الفواصل الزمنية التي يقع فيها القطع المكافئ أسفل محور الإحداثية وإضافة حدود نقاط التقاطع إليها.

يمكن أن نرى من الرسم أن القطع المكافئ أقل من الحد الأقصى في الفاصل الزمني (−3 ، 1/3) ونضيف إليه حدود نقاط التقاطع ، أي الأرقام −3 و 1/3. نتيجة لذلك ، نصل إلى الفترة العددية [3 ، 1/3]. هذا هو الحل المطلوب. يمكن كتابتها على أنها متباينة مزدوجة −3≤x≤1 / 3.

إجابه:

[−3 ، 1/3] أو −3≤x≤1 / 3.

مثال.

أوجد حلًا للمتباينة التربيعية −x 2 +16 x − 63<0 .

المحلول.

كالعادة نبدأ بالرسم. المعامل العددي لمربع المتغير سالب ، 1 ، لذلك يتم توجيه فروع القطع المكافئ إلى أسفل. دعونا نحسب المميز ، أو الأفضل ، الجزء الرابع: د "= 8 2 - (- 1) (- 63) = 64−63 = 1. قيمته موجبة ، نحسب جذور التربيع ثلاثي الحدود: و ، × 1 = 7 ، × 2 = 9. إذن ، يتقاطع القطع المكافئ مع محور الثور عند نقطتين مع المحورين 7 و 9 (المتباينة الأولية صارمة ، لذلك سنصور هذه النقاط بمركز فارغ). الآن يمكننا عمل رسم تخطيطي:

نظرًا لأننا نحل مشكلة تربيعية صارمة موقعة<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

يوضح الرسم أن حلول المتباينة التربيعية الأصلية عبارة عن فترتين (−∞ ، 7) ، (9 ، + ∞).

إجابه:

(−∞، 7) ∪ (9، + ∞) أو ​​في رمز آخر x<7 , x>9 .

عند حل المتباينات المربعة ، عندما يكون مميز مثلث ثلاثي الحدود على جانبه الأيسر يساوي صفرًا ، يجب أن تكون حريصًا عند تضمين أو استبعاد إحداثيات نقطة المماس من الإجابة. يعتمد ذلك على علامة عدم المساواة: إذا كانت المتباينة صارمة ، فهي ليست حلاً لعدم المساواة ، وإذا كانت غير صارمة ، فهي كذلك.

مثال.

هل المتباينة التربيعية 10 x 2 −14 x + 4.9≤0 لها حل واحد على الأقل؟

المحلول.

لنرسم الدالة y = 10 x 2 −14 x + 4.9. يتم توجيه فروعها لأعلى ، نظرًا لأن المعامل عند x 2 موجب ، ويلامس محور الإحداثي عند النقطة التي توجد بها حدود الإحداثية 0.7 ، نظرًا لأن D "= (- 7) 2 −10 4.9 = 0 ، من أين أو 0.7 كعلامة عشرية من الناحية الكيميائية ، يبدو كالتالي:

نظرًا لأننا نحل متباينة تربيعية بعلامة ≤ ، فسيكون حلها هو الفترات التي يكون فيها القطع المكافئ أسفل محور الثور ، وكذلك الحد الفاصل لنقطة المماس. يمكن أن نرى من الرسم أنه لا توجد فجوة واحدة حيث يكون القطع المكافئ أسفل محور الثور ، وبالتالي ، فإن حلها سيكون فقط حدود نقطة التلامس ، أي 0.7.

إجابه:

هذه المتباينة لها حل فريد 0.7.

مثال.

حل المتباينة التربيعية –x 2 +8 x − 16<0 .

المحلول.

نتصرف وفقًا للخوارزمية لحل المتباينات التربيعية ونبدأ بالتخطيط. يتم توجيه فروع القطع المكافئ لأسفل ، لأن المعامل عند x 2 هو سالب ، −1. أوجد مميز المربع ثلاثي الحدود –x 2 +8 x 16 ، لدينا د '= 4 2 - (- 1) (- 16) = 16−16 = 0وكذلك x 0 = −4 / (- 1) ، x 0 = 4. لذلك ، يلمس القطع المكافئ محور الثور عند النقطة مع الحد الفاصل 4. لنرسم رسمًا:

ننظر إلى علامة المتباينة الأصلية ، إنها<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

في حالتنا هذه هي أشعة مفتوحة (−∞ ، 4) ، (4 ، + ∞). بشكل منفصل ، نلاحظ أن 4 - حدود نقطة الظل - ليست حلاً ، لأن القطع المكافئ عند نقطة الظل ليس أقل من محور الثور.

إجابه:

(−∞، 4) ∪ (4، + ∞) أو ​​بأي طريقة أخرى x ≠ 4.

انتبه بشكل خاص للحالات التي يكون فيها تمييز المربع ثلاثي الحدود على الجانب الأيسر من المتباينة التربيعية أقل من الصفر. ليست هناك حاجة للتسرع هنا والقول إن عدم المساواة ليس لها حلول (نحن معتادون على التوصل إلى مثل هذا الاستنتاج للمعادلات التربيعية ذات التمييز السلبي). النقطة المهمة هي أن المتباينة التربيعية لـ D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

مثال.

أوجد حل المتباينة التربيعية 3 × 2 +1> 0.

المحلول.

كالعادة نبدأ بالرسم. المعامل a هو 3 ، وهو موجب ، لذلك يتم توجيه فروع القطع المكافئ لأعلى. احسب المميز: D = 0 2 −4 3 1 = −12. نظرًا لأن المميز سالب ، فليس للقطع المكافئ نقاط مشتركة مع المحور x. المعلومات التي تم الحصول عليها كافية لرسم تخطيطي:

نحن نحل مشكلة تربيعية صارمة بعلامة>. سيكون حلها هو جميع الفترات التي يكون فيها القطع المكافئ فوق محور الثور. في حالتنا ، يكون القطع المكافئ فوق المحور السيني بطوله بالكامل ، لذا فإن الحل المطلوب سيكون مجموعة جميع الأعداد الحقيقية.

Ox ، وتحتاج أيضًا إلى إضافة حد السيني لنقاط التقاطع أو حد نقطة اللمس إليها. لكن الرسم يُظهر بوضوح عدم وجود مثل هذه الفجوات (لأن القطع المكافئ يقع في كل مكان أسفل محور الإحداثيات) ، فضلاً عن عدم وجود نقاط تقاطع ، تمامًا كما لا توجد نقاط اتصال. لذلك ، لا توجد حلول للمتباينة التربيعية الأصلية.

إجابه:

لا توجد حلول أو في تدوين آخر ∅.

فهرس.

• الجبر:كتاب مدرسي لمدة 8 خلايا. تعليم عام المؤسسات / [Yu. ماكاريشيف ، إن جي مينديوك ، ك. آي نيشكوف ، إس بي سوفوروفا] ؛ إد. S. A. Telyakovsky. - الطبعة ال 16. - م: التربية والتعليم 2008. - 271 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-019243-9.
• الجبر:الصف التاسع: كتاب مدرسي. للتعليم العام المؤسسات / [Yu. ماكاريشيف ، إن جي مينديوك ، ك. آي نيشكوف ، إس بي سوفوروفا] ؛ إد. S. A. Telyakovsky. - الطبعة ال 16. - م: التربية 2009. - 271 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-021134-5.
• مردكوفيتش أ.الجبر. الصف 8. الساعة 2 بعد الظهر الجزء الأول. كتاب مدرسي لطلاب المؤسسات التعليمية / أ. ج. مردكوفيتش. - الطبعة الحادية عشرة ، ممحاة. - م: Mnemozina، 2009. - 215 ص: م. ردمك 978-5-346-01155-2.
• مردكوفيتش أ.الجبر. الصف 9 الساعة 2 بعد الظهر الجزء الأول. كتاب مدرسي لطلاب المؤسسات التعليمية / A. G. Mordkovich، P. V. Semenov. - الطبعة 13 ، الأب. - م: Mnemosyne، 2011. - 222 ص: مريض. ردمك 978-5-346-01752-3.
• مردكوفيتش أ.الجبر وبداية التحليل الرياضي. الصف 11. الساعة 2 ظهرًا الجزء الأول. كتاب مدرسي لطلاب المؤسسات التعليمية (مستوى الملف الشخصي) / A.G Mordkovich، P. V. Semenov. - الطبعة الثانية ، ممحاة. - م: Mnemosyne، 2008. - 287 ص: مريض. ردمك 978-5-346-01027-2.

الطريقة الرسومية هي إحدى الطرق الرئيسية لحل المتباينات التربيعية. في المقالة ، سنقدم خوارزمية لتطبيق الطريقة الرسومية ، ثم نأخذ بعين الاعتبار الحالات الخاصة باستخدام الأمثلة.

جوهر الطريقة الرسومية

هذه الطريقة قابلة للتطبيق لحل أي متباينات ، وليس فقط المتباينات التربيعية. جوهرها هو أن الأجزاء اليمنى واليسرى من عدم المساواة تعتبر وظيفتين منفصلتين y \ u003d f (x) و y \ u003d g (x) ، الرسوم البيانية الخاصة بهم مبنية في نظام إحداثيات مستطيل وهم ينظرون إلى أي من الرسوم البيانية تقع فوق الأخرى ، وفي أي فترات. يتم تقييم الفترات الزمنية على النحو التالي:

التعريف 1

• حلول عدم المساواة f (x)> g (x) هي الفترات التي يكون فيها الرسم البياني للدالة f أعلى من الرسم البياني للدالة g ؛
• حلول المتباينة f (x) ≥ g (x) هي الفترات التي لا يكون فيها الرسم البياني للدالة f أقل من الرسم البياني للدالة g ؛
• حلول المتباينة f (x)< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• حلول المتباينة f (x) ≤ g (x) هي الفترات التي لا يكون فيها الرسم البياني للدالة f أعلى من الرسم البياني للدالة g ؛
• إن حدود نقاط تقاطع الرسوم البيانية للوظائف f و g هي حلول للمعادلة f (x) = g (x).

ضع في اعتبارك الخوارزمية أعلاه مع مثال. للقيام بذلك ، خذ المتباينة التربيعية a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >، ≥) واشتق منه وظيفتين. الطرف الأيسر من المتباينة سوف يقابل y = a x 2 + b x + c (في هذه الحالة f (x) = a x 2 + b x + c) ، والجانب الأيمن y = 0 (في هذه الحالة g (x) = 0 ).

الرسم البياني للدالة الأولى عبارة عن قطع مكافئ ، والثاني عبارة عن خط مستقيم يتطابق مع المحور x. دعونا نحلل موضع القطع المكافئ بالنسبة لمحور x. للقيام بذلك ، سنقوم برسم تخطيطي.

يتم توجيه فروع القطع المكافئ لأعلى. يتقاطع مع المحور السيني عند النقاط × 1و x2. المعامل a في هذه الحالة موجب ، لأنه المسؤول عن اتجاه فروع القطع المكافئ. المميز موجب ، مما يشير إلى أن ثلاثي الحدود التربيعي له جذران. أ س 2 + ب س + ج. نشير إلى جذور ثلاثية الحدود × 1و x2، وتم قبول ذلك × 1< x 2 ، لأنهم على المحور O x يصورون نقطة مع حدود الإحداثية × 1على يسار النقطة التي بها حدود الإحداثية x2.

يتم الإشارة إلى أجزاء القطع المكافئ الواقعة فوق المحور O x باللون الأحمر ، أدناه - باللون الأزرق. سيسمح لنا هذا بجعل الرسم أكثر وضوحًا.

دعنا نختار الفجوات التي تتوافق مع هذه الأجزاء ونضع عليها علامات في الشكل بحقول ذات لون معين.

لقد حددنا الفواصل الزمنية (- ∞ ، × 1) و (× 2 ، + ∞) باللون الأحمر ، حيث يكون القطع المكافئ فوق محور O x. إنها a x 2 + b x + c> 0. باللون الأزرق ، حددنا الفترة (x 1، x 2) ، وهي حل المتباينة a x 2 + b x + c< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

دعنا نلاحظ الحل باختصار. بالنسبة إلى a> 0 و D = b 2-4 a c> 0 (أو D "= D 4> 0 لمعامل زوجي ب) نحصل على:

• حل المتباينة التربيعية a x 2 + b x + c> 0 هو (-، x 1) ∪ (x 2، + ∞) أو ​​بطريقة أخرى x< x 1 , x >x2 ؛
• حل المتباينة التربيعية a · x 2 + b · x + c ≥ 0 هو (-، x 1] ∪ [x 2، + ∞) أو ​​بأي طريقة أخرى x ≤ x 1، x ≥ x 2؛
• حل المتباينة التربيعية أ س 2 + ب س + ج< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• حل المتباينة التربيعية a x 2 + b x + c ≤ 0 هو [x 1، x 2] أو بأي طريقة أخرى x 1 ≤ x ≤ x 2 ،

حيث x 1 و x 2 هي جذور المثلث التربيعي a x 2 + b x + c و x 1< x 2 .

في هذا الشكل ، يلمس القطع المكافئ المحور O x عند نقطة واحدة فقط ، والتي يشار إليها على أنها × 0 أ> 0. د = 0لذلك ، فإن المثلث التربيعي له جذر واحد × 0.

يقع القطع المكافئ تمامًا فوق المحور O x ، باستثناء نقطة التلامس الخاصة بمحور الإحداثيات. لون الفجوات (- ∞ ، × 0) ، (× 0 ، ∞).

دعنا نكتب النتائج. في أ> 0و د = 0:

• حل عدم المساواة التربيعية أ س 2 + ب س + ج> 0هو (- ∞ ، س 0) ∪ (س 0 ، + ∞) أو ​​بأي طريقة أخرى س × × 0;
• حل عدم المساواة التربيعية أ س 2 + ب س + ج 0هو (− ∞ , + ∞) أو في تدوين آخر x ∈ R ؛
• عدم المساواة التربيعية أ س 2 + ب س + ج< 0 ليس له حلول (لا توجد فترات زمنية يقع عليها القطع المكافئ أسفل المحور يا س);
• عدم المساواة التربيعية أ س 2 + ب س + ج 0الحل الوحيد س = x0(تعطى عن طريق نقطة الاتصال) ،

أين × 0- جذر مربع ثلاثي الحدود أ س 2 + ب س + ج.

ضع في اعتبارك الحالة الثالثة ، عندما يتم توجيه فروع القطع المكافئ لأعلى ولا تلمس المحور يا س. تشير فروع القطع المكافئ إلى الأعلى ، مما يعني ذلك أ> 0. ثلاثي الحدود المربع ليس له جذور حقيقية لأن د< 0 .

لا توجد فترات زمنية على الرسم البياني يكون عندها القطع المكافئ أسفل المحور x. سنأخذ ذلك في الاعتبار عند اختيار لون لرسمنا.

اتضح أن متى أ> 0و د< 0 حل المتباينات التربيعية أ س 2 + ب س + ج> 0و أ س 2 + ب س + ج 0هي مجموعة جميع الأعداد الحقيقية والمتباينات أ س 2 + ب س + ج< 0 و أ س 2 + ب س + ج 0ليس لديك حلول.

يبقى لنا أن نفكر في ثلاثة خيارات عندما يتم توجيه فروع القطع المكافئ إلى أسفل. لا نحتاج إلى الخوض في هذه الخيارات الثلاثة ، لأنه عند ضرب كلا جزئي المتباينة في - 1 ، نحصل على متباينة مكافئة بمعامل موجب عند x 2.

أعدنا النظر في القسم السابق من المقالة لتصور الخوارزمية لحل التفاوتات باستخدام طريقة رسومية. لإجراء العمليات الحسابية ، سنحتاج إلى استخدام رسم في كل مرة ، والذي سيُظهر خط الإحداثيات O x والقطع المكافئ الذي يتوافق مع دالة تربيعية ص = أ س 2 + ب س + ج. في معظم الحالات ، لن نصور محور O y ، لأنه ليس ضروريًا للحسابات ولن يؤدي إلا إلى زيادة التحميل على الرسم.

لبناء القطع المكافئ ، سنحتاج إلى معرفة شيئين:

التعريف 2

• اتجاه الفروع ، والذي تحدده قيمة المعامل أ ؛
• وجود نقاط تقاطع للقطع المكافئ ومحور الإحداثيات ، والتي يتم تحديدها من خلال قيمة تمييز المربع ثلاثي الحدود أ · س 2 + ب · س + ج.

سنقوم بتعيين نقاط التقاطع والماس بالطريقة المعتادة عند حل التفاوتات غير الصارمة وإفراغها عند حل المتباينات الصارمة.

يتيح لك الرسم النهائي الانتقال إلى الخطوة التالية من الحل. يتضمن تحديد الفترات التي يقع فيها القطع المكافئ أعلى أو أسفل المحور O x. الفجوات ونقاط التقاطع هي حل المتباينة التربيعية. إذا لم يكن هناك نقاط تقاطع أو تماس ولا فترات زمنية ، فيُعتبر أن المتباينة المحددة في شروط المسألة ليس لها حلول.

لنحل الآن بعض المتباينات التربيعية باستخدام الخوارزمية أعلاه.

مثال 1

من الضروري حل المتباينة 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 بيانياً.

المحلول

لنرسم رسمًا بيانيًا للدالة التربيعية y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2. المعامل عند x2إيجابية لأن 2 . هذا يعني أن فروع القطع المكافئ سيتم توجيهها لأعلى.

نحسب مميز ثلاثي الحدود المربع 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 لمعرفة ما إذا كان القطع المكافئ له نقاط مشتركة مع المحور x. نحن نحصل:

د = 5 1 3 2-4 2 (- 2) = 400 9

كما ترى ، D أكبر من الصفر ، لذلك لدينا نقطتا تقاطع: x 1 \ u003d - 5 1 3-400 9 2 2 و x 2 \ u003d - 5 1 3 + 400 9 2 2 ، أي ، × 1 = - 3و س 2 = 1 3.

نحن نحل متباينة غير صارمة ، لذلك نضع النقاط العادية على التمثيل البياني. نرسم القطع المكافئ. كما ترى ، فإن الرسم له نفس المظهر كما في النموذج الأول الذي قمنا بمراجعته.

علامة المتباينة ≤. لذلك ، نحتاج إلى تحديد الفجوات على الرسم البياني حيث يقع القطع المكافئ أسفل المحور O x وإضافة نقاط التقاطع إليها.

الفترة التي نحتاجها هي - 3 ، 1 3. نضيف إليها نقاط التقاطع ونحصل على شريحة عددية - 3 ، 1 3. هذا هو الحل لمشكلتنا. يمكن كتابة الإجابة في صورة متباينة مزدوجة: - 3 ≤ x ≤ 1 3.

إجابه:- 3 أو 1 3 أو - 3 ≤ x ≤ 1 3.

مثال 2

- × 2 + 16 × - 63< 0 طريقة الرسم.

المحلول

مربع المتغير له معامل عددي سالب ، لذا فإن فروع القطع المكافئ سوف تشير إلى أسفل. احسب الجزء الرابع من المميز د "= 8 2 - (- 1) (- 63) = 64-63 = 1. تخبرنا هذه النتيجة أنه ستكون هناك نقطتا تقاطع.

لنحسب جذور المثلث التربيعي: x 1 \ u003d - 8 + 1-1 و x 2 \ u003d - 8-1-1 ، x 1 \ u003d 7 و س 2 = 9.

اتضح أن القطع المكافئ يتقاطع مع المحور x عند النقاط 7 و 9 . نضع علامة فارغة على هذه النقاط على التمثيل البياني ، لأننا نتعامل مع متباينة صارمة. بعد ذلك ، نرسم قطعًا مكافئًا يتقاطع مع محور O x عند النقاط المحددة.

سنكون مهتمين بالفترات التي يقع فيها القطع المكافئ أسفل المحور O x. ضع علامة على هذه الفترات باللون الأزرق.

نحصل على الإجابة: حل المتباينة هو الفواصل (- ∞ ، 7) ، (9 ، + ∞).

إجابه:(- ∞ ، 7) ∪ (9 ، + ∞) أو ​​بأي شكل آخر x< 7 , x > 9 .

في الحالات التي يكون فيها مميز ثلاثي الحدود المربع هو صفر ، يجب توخي الحذر للنظر فيما إذا كان سيتم تضمين حدودي نقطة الظل في الإجابة. من أجل اتخاذ القرار الصحيح ، من الضروري مراعاة علامة عدم المساواة. في حالات عدم المساواة الصارمة ، لا تعد نقطة التلامس لمحور الإحداثي حلاً لعدم المساواة ، بل هي كذلك في التفاوتات غير الصارمة.

مثال 3

حل المتباينة التربيعية ١٠ × ٢ - ١٤ × + ٤ ، ٩ × ٠طريقة الرسم.

المحلول

سيتم توجيه فروع القطع المكافئ في هذه الحالة لأعلى. سوف تلمس المحور O x عند النقطة 0 ، 7 ، منذ ذلك الحين

دعونا نرسم الدالة ص = 10 × 2-14 س + 4 ، 9. يتم توجيه فروعها لأعلى ، حيث يتم توجيه المعامل عند x2موجب ، ويلامس المحور x عند النقطة مع المحور x 0 , 7 ، لان د "= (- 7) 2-10 4 ، 9 = 0، من أين × 0 = 7 10 أو 0 , 7 .

دعونا نضع نقطة ونرسم القطع المكافئ.

نحن نحل متباينة غير صارمة بعلامة ≤. بالتالي. سنكون مهتمين بالفترات التي يقع فيها القطع المكافئ أسفل المحور السيني ونقطة الاتصال. لا توجد فترات في الشكل تفي بشروطنا. لا يوجد سوى نقطة اتصال 0 ، 7. هذا هو الحل المطلوب.

إجابه:المتباينة لها حل واحد فقط 0 ، 7.

مثال 4

حل المتباينة التربيعية - × 2 + 8 × - 16< 0 .

المحلول

تشير فروع القطع المكافئ إلى أسفل. المميز هو صفر. نقطة التقاطع س 0 = 4.

نحدد نقطة الاتصال على المحور السيني ونرسم القطع المكافئ.

نحن نتعامل مع عدم مساواة صارم. لذلك ، نحن مهتمون بالفترات التي يقع فيها القطع المكافئ أسفل المحور O x. دعنا نميزهم باللون الأزرق.

النقطة التي تحتوي على الإحداثيات 4 ليست حلاً ، لأن القطع المكافئ لا يقع أسفل المحور O x عندها. لذلك ، نحصل على فترتين (- ∞ ، 4) ، (4 ، + ∞).

إجابه: (- ∞ ، 4) ∪ (4 ، + ∞) أو ​​بأي طريقة أخرى x ≠ 4.

ليس دائمًا مع قيمة سالبة للمميز ، لن يكون للتفاوت حلول. هناك حالات يكون فيها الحل هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية.

مثال 5

حل المتباينة التربيعية 3 · x 2 + 1> 0 بيانياً.

المحلول

المعامل a موجب. المميز سلبي. سيتم توجيه فروع القطع المكافئ لأعلى. لا توجد نقاط تقاطع للقطع المكافئ مع المحور O x. دعنا ننتقل إلى الرسم.

نحن نعمل مع عدم المساواة الصارمة ، والتي لها علامة>. هذا يعني أننا مهتمون بالفترات التي يقع فيها القطع المكافئ فوق المحور x. هذا هو الحال بالضبط عندما تكون الإجابة هي مجموعة جميع الأرقام الحقيقية.

إجابه:(- ∞ ، + ∞) أو ​​نحو ذلك x ∈ R.

مثال 6

من الضروري إيجاد حل لعدم المساواة - 2 × 2 - 7 × - 12 0طريقة الرسم.

المحلول

تشير فروع القطع المكافئ إلى أسفل. المميز سالب ، لذلك لا توجد نقاط مشتركة للقطع المكافئ والمحور x. دعنا ننتقل إلى الرسم.

نحن نتعامل مع متباينة غير صارمة بعلامة ≥ ، لذلك فنحن مهتمون بالفواصل الزمنية التي يقع فيها القطع المكافئ فوق المحور x. اذا حكمنا من خلال الجدول الزمني ، لا توجد مثل هذه الثغرات. هذا يعني أن عدم المساواة المعطاة في حالة المشكلة ليس لها حلول.

إجابه:لا توجد حلول.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

يمكن حل العديد من المهام التي اعتدنا عليها في الحساب جبريًا بحتًا بشكل أسهل وأسرع ، وسيساعدنا استخدام الرسوم البيانية للوظائف في ذلك. أنت تقول "كيف ذلك؟" لرسم شيء ، وماذا ترسم؟ صدقني ، في بعض الأحيان يكون الأمر أكثر ملاءمة وأسهل. هل نبدأ؟ لنبدأ بالمعادلات!

حل المعادلات الرسومي

الحل الرسومي للمعادلات الخطية

كما تعلم ، الرسم البياني للمعادلة الخطية هو خط مستقيم ، ومن هنا جاء اسم هذا النوع. من السهل جدًا حل المعادلات الخطية جبريًا - فنحن ننقل جميع المجهول إلى جانب واحد من المعادلة ، وكل ما نعرفه - إلى الجانب الآخر ، وفويلا! لقد وجدنا الجذر. الآن سأوضح لك كيفية القيام بذلك طريقة الرسم.

إذن لديك معادلة:

كيف حلها؟
الخيار 1، والأكثر شيوعًا هو نقل المجهول إلى جانب ، والمعروف للآخر ، نحصل على:

والآن نحن نبني. على ماذا حصلت؟

ما رأيك هو جذر معادلتنا؟ هذا صحيح ، تنسيق نقطة تقاطع الرسوم البيانية:

جوابتنا هي

هذه هي الحكمة الكاملة للحل الرسومي. كما يمكنك التحقق بسهولة ، فإن جذر معادلتنا هو رقم!

كما قلت أعلاه ، هذا هو الخيار الأكثر شيوعًا ، بالقرب من الحل الجبري ، لكن يمكنك حله بطريقة أخرى. للنظر في حل بديل ، دعنا نعود إلى معادلتنا:

هذه المرة لن ننقل أي شيء من جانب إلى آخر ، لكننا سننشئ الرسوم البيانية مباشرة ، كما هي الآن:

مبني؟ نظرة!

ما الحل هذه المرة؟ حسنا. نفس الشيء هو إحداثيات نقطة تقاطع الرسوم البيانية:

ومرة أخرى ، إجابتنا هي.

كما ترى ، مع المعادلات الخطية ، كل شيء بسيط للغاية. حان الوقت للتفكير في أمر أكثر تعقيدًا ... على سبيل المثال ، الحل البياني للمعادلات التربيعية.

الحل الرسومي للمعادلات التربيعية

فلنبدأ الآن في حل المعادلة التربيعية. لنفترض أنك بحاجة إلى إيجاد جذور هذه المعادلة:

بالطبع ، يمكنك الآن البدء في العد من خلال المميز ، أو وفقًا لنظرية فيتا ، لكن العديد من الأعصاب ترتكب أخطاء عند الضرب أو التربيع ، خاصةً إذا كان المثال بأعداد كبيرة ، وكما تعلم ، لن يكون لديك آلة حاسبة في الامتحان ... لذلك ، دعونا نحاول الاسترخاء قليلاً والرسم أثناء حل هذه المعادلة.

بيانياً ، يمكن إيجاد حلول لهذه المعادلة بطرق مختلفة. ضع في اعتبارك الخيارات المختلفة ، وستختار بنفسك الخيار الذي تفضله.

الطريقة 1. مباشرة

نحن فقط نبني القطع المكافئ وفقًا لهذه المعادلة:

لتسريع الأمر ، سأعطيك تلميحًا صغيرًا: من الملائم بدء البناء عن طريق تحديد قمة القطع المكافئ.ستساعد الصيغ التالية في تحديد إحداثيات رأس القطع المكافئ:

أنت تقول "توقف! الصيغة الخاصة بـ تشبه إلى حد بعيد صيغة إيجاد المميز "نعم ، إنه كذلك ، وهذا عيب كبير في بناء القطع المكافئ" المباشر "للعثور على جذوره. ومع ذلك ، دعنا نعد حتى النهاية ، وبعد ذلك سأوضح لك كيف نجعل الأمر أسهل كثيرًا (كثيرًا!)!

هل تحسب؟ ما إحداثيات رأس القطع المكافئ؟ دعنا نفهمها معًا:

بالضبط نفس الجواب؟ أحسنت! والآن نعرف إحداثيات الرأس ، ولإنشاء القطع المكافئ ، نحتاج إلى المزيد من النقاط. ما رأيك ، كم عدد النقاط الدنيا التي نحتاجها؟ بشكل صحيح.

أنت تعلم أن القطع المكافئ متماثل حول رأسه ، على سبيل المثال:

وفقًا لذلك ، نحتاج إلى نقطتين إضافيتين على طول الفرع الأيسر أو الأيمن من القطع المكافئ ، وفي المستقبل سنعكس بشكل متماثل هذه النقاط على الجانب الآخر:

نعود إلى القطع المكافئ لدينا. لحالتنا ، النقطة. نحتاج إلى نقطتين إضافيتين ، على التوالي ، هل يمكننا أخذ نقاط موجبة ، لكن هل يمكننا أخذ النقاط السالبة؟ ما هي أفضل النقاط بالنسبة لك؟ من الملائم أكثر بالنسبة لي العمل مع الإيجابية ، لذلك سأحسب مع و.

لدينا الآن ثلاث نقاط ، ويمكننا بسهولة بناء القطع المكافئ من خلال عكس النقطتين الأخيرتين حول قمته:

ما رأيك في حل المعادلة؟ هذا صحيح ، النقاط التي عندها ، أي ، و. لان.

وإذا قلنا ذلك ، فهذا يعني أنه يجب أن يكون متساويًا أيضًا ، أو.

فقط؟ لقد انتهينا من حل المعادلة معك بطريقة رسومية معقدة ، أو سيكون هناك المزيد!

بالطبع ، يمكنك التحقق من إجابتنا جبريًا - يمكنك حساب الجذور من خلال نظرية فييتا أو التمييز. على ماذا حصلت؟ نفس؟ هنا ترى! الآن دعنا نرى حلاً رسوميًا بسيطًا للغاية ، أنا متأكد من أنك ستحبه كثيرًا!

الطريقة الثانية. تقسيمها إلى عدة وظائف

لنأخذ كل شيء أيضًا معادلتنا: لكننا نكتبها بطريقة مختلفة قليلاً ، وهي:

هل يمكننا كتابتها هكذا؟ نستطيع ، لأن التحول معادل. دعونا ننظر إلى أبعد من ذلك.

دعونا نبني وظيفتين بشكل منفصل:

1. - الرسم البياني عبارة عن قطع مكافئ بسيط ، يمكنك بناؤه بسهولة حتى بدون تحديد الرأس باستخدام الصيغ وإنشاء جدول لتحديد النقاط الأخرى.
2. - الرسم البياني عبارة عن خط مستقيم ، يمكنك بناؤه بسهولة عن طريق تقدير القيم وفي رأسك دون اللجوء إلى الآلة الحاسبة.

مبني؟ قارن مع ما حصلت عليه:

ما رأيك في جذر المعادلة في هذه الحالة؟ بشكل صحيح! الإحداثيات التي يتم الحصول عليها عن طريق عبور رسمين بيانيين ، وهذا هو:

وعليه فإن حل هذه المعادلة هو:

ماذا تقول؟ موافق ، طريقة الحل هذه أسهل بكثير من الطريقة السابقة وأسهل من البحث عن الجذور من خلال المميز! إذا كان الأمر كذلك ، فجرب هذه الطريقة لحل المعادلة التالية:

على ماذا حصلت؟ دعنا نقارن الرسوم البيانية لدينا:

توضح الرسوم البيانية أن الإجابات هي:

هل تستطيع فعلها؟ أحسنت! لنلقِ نظرة الآن على المعادلات أكثر تعقيدًا ، أي حل المعادلات المختلطة ، أي المعادلات التي تحتوي على وظائف من أنواع مختلفة.

الحل الرسومي للمعادلات المختلطة

لنحاول الآن حل ما يلي:

بالطبع ، يمكنك إحضار كل شيء إلى قاسم مشترك ، والعثور على جذور المعادلة الناتجة ، مع عدم نسيان مراعاة ODZ ، ولكن مرة أخرى ، سنحاول حلها بيانياً ، كما فعلنا في جميع الحالات السابقة.

هذه المرة دعنا نرسم الرسمين البيانيين التاليين:

1. - الرسم البياني عبارة عن قطع زائد
2. - الرسم البياني هو خط مستقيم يمكنك بناؤه بسهولة عن طريق تقدير القيم وفي رأسك دون اللجوء إلى الآلة الحاسبة.

أدرك؟ الآن ابدأ البناء.

هذا ما حدث لي:

بالنظر إلى هذه الصورة ، ما هي جذور معادلتنا؟

هذا صحيح ، و. هنا هو التأكيد:

حاول إدخال الجذور في المعادلة. حدث؟

حسنا! موافق ، حل مثل هذه المعادلات بيانيا هو متعة!

حاول حل المعادلة بنفسك بيانياً:

أعطيك تلميحًا: انقل جزءًا من المعادلة إلى اليمين بحيث يكون للطرفين أبسط الوظائف للبناء. فهمت التلميح؟ أبدي فعل!

الآن دعنا نرى ما حصلت عليه:

على التوالى:

1. - قطع مكافئ مكعب.
2. - خط مستقيم عادي.

حسنًا ، نحن نبني:

كما كتبت لفترة طويلة ، فإن جذر هذه المعادلة هو -.

بعد حل هذا العدد الكبير من الأمثلة ، أنا متأكد من أنك أدركت كيف يمكنك بسهولة وبسرعة حل المعادلات بيانياً. حان الوقت لمعرفة كيفية حل الأنظمة بهذه الطريقة.

الحل الجرافيكي للأنظمة

لا يختلف الحل الرسومي للأنظمة بشكل أساسي عن الحل الرسومي للمعادلات. سنقوم أيضًا ببناء رسمين بيانيين ، وستكون نقاط تقاطعهما هي جذور هذا النظام. يمثل الرسم البياني معادلة واحدة ، ويمثل الرسم البياني الثاني معادلة أخرى. كل شيء بسيط للغاية!

لنبدأ بأبسط أنظمة المعادلات الخطية.

حل أنظمة المعادلات الخطية

لنفترض أن لدينا النظام التالي:

بادئ ذي بدء ، سنقوم بتحويله بحيث يوجد على اليسار كل شيء متصل به ، وعلى اليمين - ما هو متصل به. بمعنى آخر ، نكتب هذه المعادلات كدالة بالصيغة المعتادة لنا:

والآن نبني خطين مستقيمين. ما هو الحل في حالتنا؟ بشكل صحيح! نقطة تقاطعهم! وهنا عليك أن تكون حذرا للغاية! فكر لماذا؟ سأعطيك تلميحًا: نحن نتعامل مع نظام: يحتوي النظام على كلا الأمرين ، و ... هل فهمت التلميح؟

حسنا! عند حل النظام ، يجب أن ننظر إلى كلا الإحداثيين ، وليس فقط ، كما هو الحال عند حل المعادلات! نقطة أخرى مهمة هي كتابتها بشكل صحيح وعدم الخلط بين أين لدينا القيمة وأين هي! مسجل؟ الآن دعنا نقارن كل شيء بالترتيب:

والأجوبة: i. قم بإجراء فحص - استبدل الجذور الموجودة في النظام وتأكد من أننا حللناها بشكل صحيح بطريقة بيانية؟

حل أنظمة المعادلات غير الخطية

ولكن ماذا لو كان لدينا معادلة تربيعية بدلاً من خط مستقيم واحد؟ حسنا! أنت فقط تبني قطعًا مكافئًا بدلاً من خط مستقيم! لا تثق؟ حاول حل النظام التالي:

ما هي خطوتنا التالية؟ هذا صحيح ، قم بتدوينه حتى يكون مناسبًا لنا لبناء الرسوم البيانية:

والآن الأمر كله يتعلق بالشيء الصغير - لقد أنشأته بسرعة وإليك الحل المناسب لك! مبنى:

هل الرسومات هي نفسها؟ الآن حدد حلول النظام في الصورة واكتب الإجابات التي تم الكشف عنها بشكل صحيح!

لقد فعلت كل شيء؟ قارن مع ملاحظاتي:

حسنا؟ أحسنت! لقد قمت بالفعل بالنقر فوق مثل هذه المهام مثل المكسرات! وإذا كان الأمر كذلك ، فلنقدم لك نظامًا أكثر تعقيدًا:

ماذا نفعل؟ بشكل صحيح! نكتب النظام بحيث يكون مناسبًا للبناء:

سأعطيكم تلميحًا بسيطًا ، لأن النظام يبدو معقدًا للغاية! عند بناء الرسوم البيانية ، قم ببنائها "أكثر" ، والأهم من ذلك ، لا تتفاجأ بعدد نقاط التقاطع.

إذا هيا بنا! زفير؟ الآن ابدأ البناء!

حسنا كيف؟ جميل؟ كم عدد نقاط التقاطع التي حصلت عليها؟ لدي ثلاثة! دعنا نقارن الرسوم البيانية لدينا:

نفس الطريقة؟ اكتب الآن بعناية جميع حلول نظامنا:

الآن انظر إلى النظام مرة أخرى:

هل يمكنك أن تتخيل أنك قمت بحلها في 15 دقيقة فقط؟ موافق ، الرياضيات لا تزال بسيطة ، خاصة عند النظر إلى تعبير ، فأنت لا تخشى ارتكاب خطأ ، لكنك تأخذه وتقرر! أنت فتى كبير!

الحل الرسومي لعدم المساواة

حل رسومي للمتباينات الخطية

بعد المثال الأخير ، أنت على مستوى المهمة! الزفير الآن - مقارنة بالأقسام السابقة ، سيكون هذا القسم سهلاً للغاية!

نبدأ ، كالعادة ، بحل رسومي لمتباينة خطية. على سبيل المثال ، هذا:

بادئ ذي بدء ، سنجري أبسط التحولات - سنفتح أقواس المربعات الكاملة ونعطي مصطلحات مماثلة:

المتباينة ليست صارمة ، لذلك - لا يتم تضمينها في الفترة ، والحل سيكون جميع النقاط الموجودة على اليمين ، لأن المزيد والمزيد وهكذا:

إجابه:

هذا كل شئ! بسهولة؟ لنحل متباينة بسيطة ذات متغيرين:

لنرسم دالة في نظام الإحداثيات.

هل لديك مثل هذا الرسم البياني؟ والآن ننظر بعناية إلى ما لدينا في عدم المساواة؟ أقل؟ لذلك ، نرسم كل شيء على يسار الخط المستقيم. ماذا لو كان هناك المزيد؟ هذا صحيح ، ثم يرسمون فوق كل شيء على يمين خطنا المستقيم. كل شيء بسيط.

كل حلول هذه المتباينة مظللة باللون البرتقالي. هذا كل شيء ، تم حل المتباينة ذات المتغيرين. هذا يعني أن الإحداثيات وأي نقطة من المنطقة المظللة هي الحلول.

حل رسومي لعدم المساواة التربيعية

الآن سنتعامل مع كيفية حل المتباينات التربيعية بيانياً.

لكن قبل أن نصل مباشرة إلى هذه النقطة ، دعنا نلخص بعض الأشياء عن دالة التربيع.

ما هي مسؤولية التمييز؟ هذا صحيح ، بالنسبة لموضع الرسم البياني بالنسبة للمحور (إذا كنت لا تتذكر ذلك ، فاقرأ النظرية حول الدوال التربيعية بالتأكيد).

على أي حال ، إليك تذكيرًا بسيطًا:

الآن بعد أن قمنا بتحديث كل المواد الموجودة في ذاكرتنا ، دعنا نبدأ العمل - سنحل المتباينة بيانياً.

سأخبرك على الفور أن هناك خيارين لحلها.

الخيار 1

نكتب القطع المكافئ الخاص بنا كدالة:

باستخدام الصيغ ، نحدد إحداثيات رأس القطع المكافئ (بنفس طريقة حل المعادلات التربيعية):

هل تحسب؟ على ماذا حصلت؟

الآن دعنا نأخذ نقطتين مختلفتين ونحسب لهما:

نبدأ في بناء فرع واحد من القطع المكافئ:

نعكس بشكل متماثل نقاطنا على فرع آخر من القطع المكافئ:

الآن نعود إلى عدم المساواة لدينا.

نحتاج أن يكون أقل من صفر ، على التوالي:

نظرًا لوجود علامة أقل في عدم المساواة لدينا ، فإننا نستبعد النقاط النهائية - "نخرج".

إجابه:

طريق طويل ، أليس كذلك؟ سأعرض لكم الآن نسخة أبسط من الحل الرسومي باستخدام نفس عدم المساواة كمثال:

الخيار 2

نعود إلى عدم المساواة لدينا ونحدد الفترات التي نحتاجها:

موافق ، إنه أسرع بكثير.

دعنا نكتب الإجابة الآن:

لنفكر في طريقة حل أخرى تبسط الجزء الجبري ، لكن الشيء الرئيسي هو عدم الخلط.

اضرب الجانبين الأيمن والأيسر بـ:

حاول حل عدم المساواة التربيعية التالية بنفسك بأي طريقة تريدها:.

هل تستطيع فعلها؟

انظر كيف تحول الرسم البياني الخاص بي:

إجابه: .

حل رسومي لعدم المساواة المختلطة

الآن دعنا ننتقل إلى متباينات أكثر تعقيدًا!

كيف تحب هذا:

فظيع ، أليس كذلك؟ بصراحة ، ليس لدي أي فكرة عن كيفية حل هذا جبريًا ... لكن هذا ليس ضروريًا. بيانيا ، لا يوجد شيء معقد في هذا! العيون خائفة ولكن الأيدي تفعل!

أول شيء نبدأ به هو بناء رسمين بيانيين:

لن أكتب جدولًا للجميع - أنا متأكد من أنه يمكنك القيام بذلك بمفردك (بالطبع ، هناك العديد من الأمثلة لحلها!).

رسم؟ الآن قم ببناء رسمين بيانيين.

دعونا نقارن رسوماتنا؟

هل لديك نفس الشيء؟ ممتاز! الآن دعونا نضع نقاط التقاطع ونحدد باللون الذي يجب أن يكون الرسم البياني الذي يجب أن يكون لدينا ، من الناحية النظرية ، أكبر ، أي. انظروا ماذا حدث في النهاية:

والآن ننظر فقط إلى المكان الذي يكون فيه المخطط الذي اخترناه أعلى من المخطط؟ لا تتردد في أخذ قلم رصاص والطلاء على هذه المنطقة! سيكون الحل لعدم المساواة المعقدة لدينا!

في أي فترات على طول المحور نحن أعلى من؟ الصحيح، . هذا هو الجواب!

حسنًا ، يمكنك الآن التعامل مع أي معادلة وأي نظام ، وأكثر من ذلك ، أي متباينة!

باختصار حول الرئيسي

خوارزمية لحل المعادلات باستخدام الرسوم البيانية للوظائف:

1. عبر عن طريق
2. حدد نوع الوظيفة
3. دعونا نبني الرسوم البيانية للوظائف الناتجة
4. أوجد نقاط تقاطع الرسوم البيانية
5. اكتب الإجابة بشكل صحيح (مع مراعاة علامات ODZ وعدم المساواة)
6. تحقق من الإجابة (استبدل الجذور في المعادلة أو النظام)

لمزيد من المعلومات حول رسم الرسوم البيانية للوظائف ، راجع الموضوع "".

المواد المتبقية 2/3 متاحة فقط للطلاب!

كن طالبًا في YouClever ،

استعد لـ OGE أو الاستخدام في الرياضيات بسعر "فنجان قهوة شهريًا" ،

واحصل أيضًا على وصول غير محدود إلى الكتاب المدرسي "YouClever" ، وبرنامج التدريب "100gia" (كتاب الحلول) ، والاستخدام التجريبي غير المحدود و OGE ، و 6000 مهمة مع تحليل الحلول وخدمات YouClever و 100gia الأخرى.

طالب الصف العاشر يوري كوتوفشيخين

يبدأ الطلاب في دراسة المعادلات بوحدات من الصف السادس بالفعل ، ويدرسون الطريقة القياسية للحل باستخدام توسيع الوحدات على فترات من ثبات التعبيرات شبه المعيارية. اخترت هذا الموضوع بالذات لأنني أعتقد أنه يتطلب دراسة أعمق وأكثر شمولاً ، فالمهام مع الوحدة تسبب صعوبات كبيرة للطلاب. في المناهج الدراسية ، هناك مهام تحتوي على وحدة كمهام ذات تعقيد متزايد وفي الاختبارات ، لذلك يجب أن نكون مستعدين لمواجهة مثل هذه المهمة.

تحميل:

معاينة:

مؤسسة تعليمية بلدية

المدرسة الثانوية №5

عمل بحثي في ​​الموضوع:

« حل جبري ورسمي للمعادلات والمتباينات التي تحتوي على معامل»

لقد أنجزت العمل:

طالب الصف العاشر

Kotovchikhin يوري

مشرف:

مدرس رياضيات

شانتا ن.

يوريوبينسك

1.مقدمة …………………………………………………………………… .3

2. المفاهيم والتعاريف ……………………………………………… .5

3. إثبات النظريات ……………………………………………… ..6

4. طرق حل المعادلات التي تحتوي على وحدة ………… ... 7

12

4.2. استخدام التفسير الهندسي للوحدة في حل المعادلات …………………………………………………………… .. 14

4.3 الرسوم البيانية لأبسط الدوال التي تحتوي على علامة القيمة المطلقة.

………………………………………………………………………15

4.4 حل المعادلات غير القياسية التي تحتوي على الوحدة .... 16

5. الاستنتاج ……………………………………………………………… .17

6. قائمة الأدب المستخدم ……………………………………………………………………………………………………………… 18

الغرض من العمل: يبدأ الطلاب في دراسة المعادلات باستخدام وحدات بالفعل من الصف السادس ، ويدرسون الطريقة القياسية للحل باستخدام توسيع الوحدات على فترات من ثبات التعبيرات شبه المعيارية. اخترت هذا الموضوع بالذات لأنني أعتقد أنه يتطلب دراسة أعمق وأكثر شمولاً ، فالمهام مع الوحدة تسبب صعوبات كبيرة للطلاب. في المناهج الدراسية ، هناك مهام تحتوي على وحدة كمهام ذات تعقيد متزايد وفي الاختبارات ، لذلك يجب أن نكون مستعدين لمواجهة مثل هذه المهمة.

1 المقدمة:

تأتي كلمة "وحدة" من الكلمة اللاتينية "مقياس" ، والتي تعني "قياس". هذه كلمة متعددة القيم (homonym) لها معاني عديدة ولا تستخدم فقط في الرياضيات ، ولكن أيضًا في العمارة والفيزياء والهندسة والبرمجة والعلوم الدقيقة الأخرى.

في الهندسة المعمارية ، هذه هي وحدة القياس الأولية التي تم إنشاؤها لهيكل معماري معين وتستخدم للتعبير عن النسب المتعددة للعناصر المكونة لها.

في الهندسة ، يستخدم هذا المصطلح في مختلف مجالات التكنولوجيا التي ليس لها معنى عالمي ويعمل على الإشارة إلى المعاملات والكميات المختلفة ، على سبيل المثال ، معامل الارتباط ، ومعامل المرونة ، وما إلى ذلك.

معامل الحجم (في الفيزياء) هو نسبة الإجهاد الطبيعي في مادة ما إلى الاستطالة.

2. المفاهيم والتعاريف

يتم الإشارة إلى الوحدة - القيمة المطلقة - للرقم الحقيقي A بالرمز | A |.

لدراسة هذا الموضوع بعمق ، تحتاج إلى التعرف على أبسط التعريفات التي سأحتاجها:

المعادلة هي مساواة تحتوي على متغيرات.

المعادلة ذات المعامل هي معادلة تحتوي على متغير تحت علامة القيمة المطلقة (تحت علامة المقياس).

حل المعادلة يعني إيجاد كل جذورها أو إثبات عدم وجود جذور.

3. إثبات النظريات

النظرية 1. القيمة المطلقة للعدد الحقيقي تساوي أكبر عددين a أو -a.

دليل - إثبات

1. إذا كان الرقم a موجبًا ، فعندئذٍ -a تكون سالبة ، أي -a

على سبيل المثال ، الرقم 5 موجب ، ثم -5 سلبي و -5

في هذه الحالة | أ | = أ ، أي | أ | يطابق أكبر عددين أ و- أ.

2. إذا كانت a سالبة ، فإن -a موجبة و a

عاقبة. ويترتب على النظرية أن | -a | = | أ |.

في الواقع ، كلاهما ومتساوان مع الرقمين الأكبر - أ و أ ، وبالتالي فإنهما متساويان.

النظرية 2. القيمة المطلقة لأي عدد حقيقي a تساوي الجذر التربيعي الحسابي لـ A 2 .

في الواقع ، إذا كان لدينا ، من خلال تعريف مقياس العدد ، lAl> 0 من ناحية أخرى ، من أجل A> 0 ، ثم | a | = √ أ 2

اذا كان 2

تتيح هذه النظرية إمكانية استبدال | a | على ال

هندسياً | أ | تعني المسافة على خط الإحداثيات من النقطة التي تمثل الرقم أ إلى الأصل.

إذا كان هناك نقطتان على خط الإحداثيات a و -a ، متساوية البعد عن الصفر ، وحداتهما متساوية.

إذا كان a = 0 ، فعندئذٍ على خط الإحداثيات | a | ممثلة بالنقطة 0

4. طرق حل المعادلات التي تحتوي على وحدة.

لحل المعادلات التي تحتوي على علامة القيمة المطلقة ، سنعتمد على تعريف معامل العدد وخصائص القيمة المطلقة للرقم. سنحل عدة أمثلة بطرق مختلفة ونرى الطريقة الأسهل لحل المعادلات التي تحتوي على المقياس.

مثال 1. نحل المعادلة | x + 2 | تحليليًا وبيانيًا = 1.

المحلول

الحل التحليلي

الطريقة الأولى

سنقوم بالتفكير بناءً على تعريف الوحدة. إذا كان التعبير تحت المعامل غير سالب ، أي x + 2 ≥0 ، فإنه "يترك" علامة المقياس بعلامة الجمع وستأخذ المعادلة الشكل: x + 2 = 1. إذا كانت القيم من التعبير تحت علامة المقياس سالب ، إذن ، حسب التعريف ، سيكون مساويًا لـ: أو x + 2 = -1

وبالتالي ، نحصل على x + 2 = 1 ، أو x + 2 = -1. حل المعادلات الناتجة نجد: X + 2 \ u003d 1 أو X + 2 + -1

س = -1 س = 3

الجواب: -3 ؛ -1.

الآن يمكننا أن نستنتج: إذا كان مقياس بعض التعبيرات يساوي عددًا موجبًا حقيقيًا a ، فإن التعبير الموجود تحت هذا المقياس يكون إما a أو -a.

حل رسومي

إحدى الطرق لحل المعادلات التي تحتوي على وحدة هي طريقة رسومية. جوهر هذه الطريقة هو بناء الرسوم البيانية لهذه الوظائف. إذا تقاطعت الرسوم البيانية ، فستكون نقاط التقاطع لهذه الرسوم البيانية هي جذور المعادلة. إذا لم تتقاطع الرسوم البيانية ، فيمكننا استنتاج أن المعادلة ليس لها جذور. من المحتمل أن يتم استخدام هذه الطريقة في كثير من الأحيان أقل من غيرها لحل المعادلات التي تحتوي على وحدة نمطية ، لأنها ، أولاً ، تستغرق الكثير من الوقت وليست منطقية دائمًا ، وثانيًا ، النتائج التي تم الحصول عليها عند رسم الرسوم البيانية ليست دقيقة دائمًا.

هناك طريقة أخرى لحل المعادلات التي تحتوي على مقياس وهي تقسيم خط الأعداد إلى فترات. في هذه الحالة ، نحتاج إلى تقسيم خط الأعداد بحيث يمكن ، من خلال تعريف الوحدة ، إزالة علامة القيمة المطلقة في هذه الفواصل الزمنية. بعد ذلك ، بالنسبة لكل من الفجوات ، سيتعين علينا حل هذه المعادلة والتوصل إلى نتيجة بخصوص الجذور الناتجة (سواء أكانت تفي بالفجوة أم لا). الجذور التي تلبي الفجوات ستعطي الإجابة النهائية.

الطريقة الثانية

لنحدد ، ما هي قيم x ، المقياس يساوي الصفر: | X + 2 | = 0 ، X = 2

نحصل على فترتين ، كل منهما نحل المعادلة:

نحصل على نظامين مختلطين:

(1) X + 2 0

س -2 = 1 س + 2 = 1

لنحل كل نظام:

س = -3 س = -1

الجواب: -3 ؛ -1.

حل رسومي

ص = | س + 2 | ، ص = 1.

حل رسومي

لحل المعادلة بيانياً ، من الضروري رسم الوظائف و

لرسم رسم بياني للوظيفة ، سنقوم برسم رسم بياني للوظيفة - هذه دالة تتقاطع مع محور OX ومحور OY عند النقاط.

ستعطي حدود نقاط تقاطع الرسوم البيانية للوظائف حلولًا للمعادلة.

يتقاطع الرسم البياني المباشر للدالة y = 1 مع الرسم البياني للدالة y = | x + 2 | عند النقاط ذات الإحداثيات (-3 ؛ 1) و (-1 ؛ 1) ، لذلك ، فإن حلول المعادلة ستكون عبارات النقاط:

س = -3 ، س = -1

الجواب: -3 ؛ -1

مثال 2. حل المعادلة 1 + | x | تحليليًا وبيانيًا = 0.5.

المحلول:

الحل التحليلي

لنحول المعادلة: 1 + | x | = 0.5

| x | = 0.5-1

| س | = -0.5

من الواضح في هذه الحالة أن المعادلة ليس لها حلول ، لأن المعامل بحكم التعريف يكون دائمًا غير سالب.

الجواب: لا توجد حلول.

حل رسومي

لنحول المعادلة: 1 + | x | = 0.5

| x | = 0.5-1

| س | = -0.5

الرسم البياني للوظيفة هو الأشعة - منصف زاويتا الإحداثيات الأولى والثانية. الرسم البياني للوظيفة هو خط مستقيم موازٍ لمحور OX ويمر بالنقطة -0.5 على محور OY.

الرسوم البيانية لا تتقاطع ، وبالتالي لا توجد حلول للمعادلة.

الجواب: لا توجد حلول.

مثال 3. حل المعادلة | -x + 2 | تحليليًا وبيانيًا = 2x + 1.

المحلول:

الحل التحليلي

الطريقة الأولى

تحتاج أولاً إلى تعيين نطاق القيم الصالحة للمتغير. يطرح سؤال طبيعي لماذا في الأمثلة السابقة لم تكن هناك حاجة للقيام بذلك ، ولكن هذا الأمر قد نشأ الآن.

الحقيقة هي أنه في هذا المثال ، على الجانب الأيسر من المعادلة ، معامل بعض التعبيرات ، وعلى الجانب الأيمن ليس رقمًا ، ولكنه تعبير به متغير - هذا الظرف المهم هو الذي يميز هذا المثال عن سابقاتها.

نظرًا لوجود وحدة نمطية على الجانب الأيسر ، وعلى الجانب الأيمن ، تعبير يحتوي على متغير ، فمن الضروري اشتراط أن يكون هذا التعبير غير سالب ، أي نطاق صالح

قيم الوحدة

يمكننا الآن التفكير بنفس الطريقة كما في المثال 1 ، عندما كان هناك رقم موجب على الجانب الأيمن من المساواة. نحصل على نظامين مختلطين:

(1) -X + 2≥0 و (2) -X + 2

س + 2 = 2 س + 1 ؛ X-2 = 2X + 1

لنحل كل نظام:

(1) يدخل الفترة وهو جذر المعادلة.

X≤2

X = ⅓

(2) X> 2

س = -3

لم يتم تضمين X = -3 في الفاصل الزمني وليس جذر المعادلة.

الجواب: ⅓.

4.1 الحل باستخدام التبعيات بين الرقمين أ وب ، وحداتهما ومربعات هذه الأرقام.

بالإضافة إلى الأساليب التي قدمتها أعلاه ، هناك تكافؤ معين بين الأرقام والوحدات النمطية للأرقام المعينة ، وكذلك بين المربعات والوحدات النمطية للأرقام المعطاة:

| أ | = | ب | أ = ب أو أ = -ب

A2 = b2 a = b أو a = -b

من هذا ، بدوره ، حصلنا على ذلك

| أ | = | ب | أ 2 = ب 2

مثال 4. لنحل المعادلة | x + 1 | = | 2x - 5 | بطريقتين مختلفتين.

1. بالنظر إلى العلاقة (1) ، نحصل على:

X + 1 = 2x - 5 أو x + 1 = -2x + 5

س - 2 س = -5 - 1 س + 2 س = 5-1

س = -6 | (: 1) 3 س = 4

س = 6 س = 11/3

جذر المعادلة الأولى هو x = 6 ، وجذر المعادلة الثانية هو x = 11/3

وهكذا ، فإن جذور المعادلة الأصلية س 1 = 6 ، × 2 = 11/3

2. بحكم العلاقة (2) نحصل عليها

(س + 1) 2 = (2 س - 5) 2 ، أو س 2 + 2 س + 1 = 4 × 2 - 20 س + 25

X2 - 4x2 + 2x + 1 + 20x - 25 = 0

3 × 2 + 22 × - 24 = 0 | (: - 1)

3 × 2 - 22 × + 24 = 0

د / 4 = 121-3 24 = 121-72 = 49> 0 ==> للمعادلة جذران مختلفان.

× 1 \ u003d (11-7) / 3 \ u003d 11/3

× 2 \ u003d (11 + 7) / 3 = 6

كما يوضح الحل ، فإن جذور هذه المعادلة هي أيضًا الرقمان 11/3 و 6

الجواب: × 1 \ u003d 6 ، × 2 \ u003d 11/3

مثال 5. حل المعادلة (2x + 3) 2 = (س - 1) 2.

مع الأخذ في الاعتبار العلاقة (2) ، نحصل على | 2x + 3 | = | x - 1 | ، حيث وفقًا لنموذج المثال السابق (ووفقًا للعلاقة (1)):

2x + 3 = x - 1 أو 2x + 3 = -x + 1

2 س - س = -1 - 3 2 س + س = 1-3

س = -4 س = -0 ، (6)

وبالتالي ، فإن جذور المعادلة هي x1 = -4 ، و x2 = -0 ، (6)

الجواب: x1 \ u003d -4 ، x 2 \ u003d 0 ، (6)

مثال 6. لنحل المعادلة | x - 6 | = | x2 - 5x + 9 |

باستخدام النسبة ، نحصل على:

x - 6 \ u003d x2-5x + 9 أو x - 6 \ u003d - (x2-5x + 9)

X2 + 5x + x - 6-9 = 0 | (-1) x - 6 = -x2 + 5x - 9

س 2-6 س + 15 = 0 س 2 - 4 س + 3 = 0

د = 36-4 15 = 36-60 = -24 د = 16-4 3 = 4> 0 ==> 2 ص.

==> لا توجد جذور.

X 1 \ u003d (4- 2) / 2 \ u003d 1

X 2 \ u003d (4 + 2) / 2 \ u003d 3

تحقق: | 1 - 6 | = | 12-5 1 + 9 | | 3-6 | = | 32-5 3 + 9 |

5 = 5 (أنا) 3 = | 9 - 15 + 9 |

3 = 3 (و)

الجواب: × 1 = 1 ؛ س 2 = 3

4.2 استخدام التفسير الهندسي للمعامل لحل المعادلات.

المعنى الهندسي لمعامل فرق الحجم هو المسافة بينهما. على سبيل المثال ، المعنى الهندسي للتعبير | س - أ | - طول مقطع محور الإحداثيات الذي يربط بين النقاط مع المحورين a و x. غالبًا ما تجعل ترجمة مسألة جبرية إلى لغة هندسية من الممكن تجنب الحلول المرهقة.

مثال 7. لنحل المعادلة | x - 1 | + | x - 2 | = 1 باستخدام التفسير الهندسي للمقياس.

سنناقش على النحو التالي: استنادًا إلى التفسير الهندسي للمقياس ، فإن الجانب الأيسر من المعادلة هو مجموع المسافات من نقطة ما في الحدود الفاصلة x إلى نقطتين ثابتتين مع الأحرف الأولى والثانية. النقاط التي تحتوي على abscissas من المقطع لها الخاصية المطلوبة ، والنقاط الموجودة خارج هذا الجزء - لا. ومن هنا الجواب: مجموعة حلول المعادلة هي المقطع.

إجابه:

مثال 8. لنحل المعادلة | x - 1 | - | س - 2 | = 1 1 باستخدام التفسير الهندسي للمعامل.

سنناقش بشكل مشابه للمثال السابق ، وسنجد أن الاختلاف في المسافات بين النقاط مع المحارف 1 و 2 يساوي واحدًا فقط للنقاط الموجودة على محور الإحداثيات على يمين الرقم 2. لذلك ، حل ل لن تكون هذه المعادلة هي القطعة الواقعة بين النقطتين 1 و 2 ، ويخرج شعاع من النقطة 2 ويوجه في الاتجاه الإيجابي لمحور OX.

إجابه: )