A vonalak közötti szög meghatározása. A metsző vonalak közötti szög: meghatározás, példák a megtalálásra

Minden matematika vizsgára készülő diák számára hasznos lesz, ha megismétli a „Vonalok közötti szög keresése” témát. Amint a statisztikák azt mutatják, a tanúsítási teszt sikeres letételekor a sztereometria ezen szakaszában lévő feladatok nehézségeket okoznak egy nagy szám hallgatók. Ugyanakkor az egyenesek közötti szög megállapítását igénylő feladatok az USE-ban megtalálhatók mind alap-, mind profilszinten. Ez azt jelenti, hogy ezeket mindenkinek meg kell tudnia oldani.

Alapvető pillanatok

Az űrben 4 típus van relatív pozíció közvetlen. Egybeeshetnek, metszhetik egymást, lehetnek párhuzamosak vagy metszőek. A köztük lévő szög lehet hegyes vagy egyenes.

Az egységes államvizsgán vagy például a megoldásban a vonalak közötti szög megtalálásához a moszkvai és más városok iskolásai többféle módszert használhatnak a sztereometria ezen szakaszában a problémák megoldására. A feladatot klasszikus konstrukciókkal oldhatja meg. Ehhez érdemes elsajátítani a sztereometria alapvető axiómáit, tételeit. A tanulónak képesnek kell lennie logikus érvelés felépítésére és rajzok készítésére annak érdekében, hogy a feladatot egy planimetrikus feladathoz hozzák.

Használhatja a vektor-koordináta módszert is, egyszerű képletekkel, szabályokkal és algoritmusokkal. Ebben az esetben a legfontosabb az összes számítás helyes végrehajtása. Fejlessze problémamegoldó készségeit a sztereometriában és más témákban iskolai tanfolyam a "Shkolkovo" oktatási projekt segít Önnek.

a. Legyen két egyenes, ezek a vonalak, ahogy az 1. fejezetben jeleztük, különböző pozitív és negatív szögeket alkotnak, amelyek ebben az esetben lehetnek hegyesek és tompaszögűek is. Ha ismerjük az egyik szöget, könnyen találunk másikat.

Egyébként mindezen szögek esetében az érintő számértéke ugyanaz, a különbség csak az előjelben lehet

Vonalegyenletek. A számok az első és a második egyenes irányítóvektorának vetületei, amelyek között a szög egyenlő az egyenesek által alkotott szögek valamelyikével. Ezért a probléma a vektorok közötti szög meghatározására redukálódik, azt kapjuk

Az egyszerűség kedvéért megegyezhetünk két egyenes közötti szögben, hogy megértsük a hegyes pozitív szöget (mint például az 53. ábrán).

Ekkor ennek a szögnek az érintője mindig pozitív lesz. Így ha az (1) képlet jobb oldalán mínusz jelet kapunk, akkor azt el kell vetnünk, azaz csak az abszolút értéket kell megtartanunk.

Példa. Határozza meg a vonalak közötti szöget!

Az (1) képlet alapján megvan

Val vel. Ha fel van tüntetve, hogy a szög melyik oldala a kezdete és melyik a vége, akkor az (1) képletekből mindig a szög irányát számolva az óramutató járásával ellentétes irányban, még valamit kivonhatunk. Amint az az ábrából könnyen látható. 53 az (1) képlet jobb oldalán kapott jel jelzi, hogy melyik - hegyes vagy tompaszögű - szög alkotja a második vonalat az elsővel.

(Valóban, az 53. ábrán azt látjuk, hogy az első és a második irányvektor közötti szög vagy egyenlő a kívánt vonalak közötti szöggel, vagy ±180°-kal eltér attól.)

d. Ha az egyenesek párhuzamosak, akkor az irányítóvektoraik is párhuzamosak Két vektor párhuzamosságának feltételét alkalmazva kapjuk!

Ez szükséges és elégséges feltétele annak, hogy két egyenes párhuzamos legyen.

Példa. Közvetlen

párhuzamosak, mert

e. Ha az egyenesek merőlegesek, akkor az irányvektoraik is merőlegesek. Két vektor merőlegességi feltételét alkalmazva megkapjuk két egyenes merőlegességi feltételét, nevezetesen

Példa. Közvetlen

merőleges, mert

A párhuzamosság és a merőlegesség feltételeivel kapcsolatban a következő két feladatot fogjuk megoldani.

f. Rajzolj egy ponton keresztül egy adott egyenessel párhuzamos egyenest

A döntés így születik. Mivel a kívánt egyenes párhuzamos az adott egyenessel, ezért annak irányítóvektorára ugyanazt vehetjük, mint az adott egyenesé, azaz egy A és B vetületű vektort. Ekkor felírjuk a kívánt egyenes egyenletét. formában (1. §)

Példa. Egy egyenessel párhuzamos ponton (1; 3) átmenő egyenes egyenlete

lesz a következő!

g. Rajzoljon egy egyenest egy ponton keresztül, amely merőleges az adott egyenesre

Itt már nem alkalmas egy A vetületű vektort venni irányító vektornak, hanem egy rá merőleges vektort kell felhúzni. Ennek a vektornak a vetületeit ezért annak a feltételnek megfelelően kell megválasztani, hogy mindkét vektor merőleges, azaz a feltételnek megfelelően

Ez a feltétel végtelen sokféleképpen teljesíthető,hiszen itt egy egyenlet van két ismeretlennel.De a legegyszerűbb úgy felvenni.Akkor a kívánt egyenes egyenlete a formában lesz felírva

Példa. A (-7; 2) ponton átmenő egyenes egyenlete egy merőleges egyenesben

a következő lesz (a második képlet szerint)!

h. Abban az esetben, ha az egyeneseket az alak egyenlete adja meg

Meghatározás. Ha két egyenest adunk y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 , akkor ezen egyenesek hegyesszöge a következőképpen lesz meghatározva

Két egyenes párhuzamos, ha k 1 = k 2 . Két egyenes merőleges, ha k 1 = -1/ k 2 .

Tétel. Az Ax + Vy + C \u003d 0 és A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 egyenesek párhuzamosak, ha az A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB együtthatók arányosak. Ha С 1 = λС is, akkor a vonalak egybeesnek. Két egyenes metszéspontjának koordinátáit ezen egyenesek egyenletrendszerének megoldásaként találjuk meg.

Egy adott ponton átmenő egyenes egyenlete

Erre az egyenesre merőlegesen

Meghatározás. Az M 1 (x 1, y 1) ponton átmenő és az y \u003d kx + b egyenesre merőleges egyenest a következő egyenlet ábrázolja:

Távolság ponttól vonalig

Tétel. Ha adott egy M(x 0, y 0) pont, akkor az Ax + Vy + C \u003d 0 egyenes távolságát a következőképpen határozzuk meg:

.

Bizonyíték. Legyen az M 1 (x 1, y 1) pont az M pontból az adott egyenesre ejtett merőleges alapja. Ekkor az M és M 1 pontok közötti távolság:

(1)

Az x 1 és y 1 koordináták az egyenletrendszer megoldásaként találhatók:

A rendszer második egyenlete egy adott M 0 ponton átmenő egyenes egyenlete, amely merőleges egy adott egyenesre. Ha a rendszer első egyenletét alakra alakítjuk:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 + C = 0,

majd megoldva a következőket kapjuk:

Ha ezeket a kifejezéseket behelyettesítjük az (1) egyenletbe, azt kapjuk, hogy:

A tétel bizonyítást nyert.

Példa. Határozza meg a vonalak közötti szöget: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Példa. Mutassuk meg, hogy a 3x - 5y + 7 = 0 és a 10x + 6y - 3 = 0 egyenesek merőlegesek.

Megoldás. Megtaláljuk: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, ezért a vonalak merőlegesek.

Példa. Az A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) háromszög csúcsai adottak. Határozzuk meg a C csúcsból húzott magasság egyenletét!

Megoldás. Megtaláljuk az AB oldal egyenletét: ; 4 x = 6 y-6;

2x – 3 év + 3 = 0;

A kívánt magassági egyenlet: Ax + By + C = 0 vagy y = kx + b. k = . Ekkor y = . Mert a magasság áthalad a C ponton, akkor a koordinátái kielégítik ezt az egyenletet: ahonnan b = 17. Összesen: .

Válasz: 3x + 2y - 34 = 0.

Adott ponton adott irányban átmenő egyenes egyenlete. Két adott ponton átmenő egyenes egyenlete. Szög két vonal között. Két egyenes párhuzamosságának és merőlegességének feltétele. Két egyenes metszéspontjának meghatározása

1. Egy adott ponton átmenő egyenes egyenlete A(x 1 , y 1) adott irányban, amelyet a lejtő határozza meg k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ez az egyenlet egy ponton áthaladó vonalak ceruzáját határozza meg A(x 1 , y 1), amelyet a sugár középpontjának nevezünk.

2. Két ponton átmenő egyenes egyenlete: A(x 1 , y 1) és B(x 2 , y 2) így van leírva:

Két adott ponton áthaladó egyenes meredekségét a képlet határozza meg

3. Egyenesek közötti szög Aés B az a szög, amellyel az első egyenest el kell forgatni A ezen vonalak metszéspontja körül az óramutató járásával ellentétes irányban, amíg egybe nem esik a második vonallal B. Ha két egyenest meredekségi egyenletekkel adunk meg

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

akkor a köztük lévő szöget a képlet határozza meg

Meg kell jegyezni, hogy a tört számlálójában az első egyenes meredekségét kivonjuk a második egyenes meredekségéből.

Ha egy egyenes egyenleteit adjuk meg Általános nézet

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

a köztük lévő szöget a képlet határozza meg

4. Két egyenes párhuzamosságának feltételei:

a) Ha az egyeneseket a (4) egyenletek meredekséggel adják meg, akkor párhuzamosságuk szükséges és elégséges feltétele a meredekségük egyenlősége:

k 1 = k 2 . (8)

b) Abban az esetben, ha az egyeneseket a (6) általános formájú egyenletek adják meg, párhuzamosságuk szükséges és elégséges feltétele, hogy az egyenleteikben a megfelelő áramkoordinátákon lévő együtthatók arányosak legyenek, azaz.

5. Két egyenes merőlegességének feltételei:

a) Abban az esetben, ha az egyeneseket a (4) egyenletek meredekséggel adják meg, akkor a merőlegességük szükséges és elégséges feltétele, hogy meredekségeik reciprok nagyságúak és ellentétes előjelűek, azaz.

Ez a feltétel az űrlapba is beírható

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Ha az egyenesek egyenletei általános formában (6) vannak megadva, akkor merőlegességük (szükséges és elégséges) feltétele az egyenlőség teljesülése

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Két egyenes metszéspontjának koordinátáit a (6) egyenletrendszer megoldásával találjuk meg. A (6) vonalak akkor és csak akkor metszik egymást

1. Írja fel az M ponton átmenő egyenesek egyenleteit, amelyek közül az egyik párhuzamos, a másik merőleges az adott l egyenesre!

sarok térbeli egyenesek között az adatokkal párhuzamos tetszőleges ponton áthúzott két egyenes által alkotott szomszédos szögek bármelyikét nevezzük.

Adjunk meg két egyenest a térben:

Nyilvánvalóan az egyenesek közötti φ szög felfogható az irányvektoraik és az közötti szögnek. Mivel , akkor a vektorok közötti szög koszinuszának képlete szerint kapjuk

Két egyenes párhuzamosságának és merőlegességének feltételei ekvivalensek irányvektoraik párhuzamosságának és merőlegességének feltételeivel és:

Két egyenes párhuzamosak akkor és csak akkor, ha a megfelelő együtthatók arányosak, pl. l 1 párhuzamos l 2 akkor és csak akkor, ha párhuzamos .

Két egyenes merőleges akkor és csak akkor, ha a megfelelő együtthatók szorzatainak összege nulla: .

Nál nél cél vonal és sík között

Hagyja a sort d- nem merőleges a θ síkra;
d′− egy egyenes vetülete d a θ síkra;
Az egyenesek közötti szögek közül a legkisebb dés d– hívni fogjuk vonal és sík közötti szög.
Jelöljük φ=( d,θ)
Ha egy d⊥θ , akkor ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→− derékszögű koordinátarendszer.
Sík egyenlet:

θ: Fejsze+Által+cz+D=0

Úgy tekintjük, hogy az egyenest egy pont és egy irányvektor adja meg: d[M 0,p→]
Vektor n→(A,B,C)⊥θ
Ezután meg kell találni a vektorok közötti szöget n→ és p→, jelölje γ=( n→,p→).

Ha a γ szög<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Ha a szög γ>π/2 , akkor a szükséges szög φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Akkor, egyenes és sík közötti szög képlettel lehet kiszámítani:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+bp 2+cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23

29. kérdés. A másodfokú forma fogalma. A másodfokú formák jel-határozottsága.

Másodfokú j (x 1, x 2, ..., x n) n valós változó x 1, x 2, ..., x n a forma összegének nevezzük
, (1)

ahol aij néhány számot együtthatónak nevezünk. Az általánosság elvesztése nélkül azt feltételezhetjük aij = a ji.

A másodfokú formát ún érvényes, ha aij О GR. Másodfokú mátrix együtthatóiból álló mátrixnak nevezzük. A kvadratikus forma (1) egy egyedi szimmetrikus mátrixnak felel meg
azaz A T = A. Ezért az (1) másodfokú alak j mátrix alakban írható ( x) = x T Ah, ahol x T = (x 1 x 2 … x n). (2)

És fordítva, bármely szimmetrikus mátrix (2) egy egyedi másodfokú alaknak felel meg a változók jelöléséig.

A másodfokú alak rangja mátrixa rangjának nevezzük. A másodfokú formát ún nem degenerált, ha a mátrixa nem szinguláris DE. (emlékezzünk rá, hogy a mátrix DE nem degeneráltnak nevezzük, ha a determinánsa nem nulla). Ellenkező esetben a másodfokú forma degenerált.

pozitív határozott(vagy szigorúan pozitív), ha

j ( x) > 0 , bárkinek x = (x 1 , x 2 , …, x n), kívül x = (0, 0, …, 0).

Mátrix DE pozitív határozott másodfokú j ( x) pozitív határozottnak is nevezik. Ezért egy pozitív határozott másodfokú forma egy egyedi pozitív határozott mátrixnak felel meg, és fordítva.

Az (1) másodfokú alakot ún negatív határozott(vagy szigorúan negatív), ha

j ( x) < 0, для любого x = (x 1 , x 2 , …, x n), Kívül x = (0, 0, …, 0).

A fentiekhez hasonlóan a negatív-definit másodfokú mátrixot negatív-definitnak is nevezik.

Ezért egy pozitívan (negatívan) határozott másodfokú j ( x) eléri a minimális (maximális) j ( X*) = 0 ehhez X* = (0, 0, …, 0).

Vegyük észre, hogy a kvadratikus alakok többsége nem előjel-határozott, azaz nem pozitív vagy nem negatív. Az ilyen másodfokú formák nemcsak a koordinátarendszer origójában tűnnek el, hanem más pontokon is.

Mikor n> 2, speciális kritériumok szükségesek a másodfokú alak előjel-határozottságának ellenőrzéséhez. Tekintsük őket.

Major Kiskorúak a másodfokú formákat minoroknak nevezzük:

vagyis ezek 1., 2., … rendű kiskorúak, n mátrixok DE, amely a bal felső sarokban található, ezek közül az utolsó egybeesik a mátrix determinánsával DE.

A pozitív meghatározottság kritériuma (Sylvester kritérium)

x) = x T Ah pozitív határozott, szükséges és elégséges, hogy a mátrix összes fő minorja DE pozitívak voltak, vagyis: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. A negatív bizonyosság kritériuma Annak érdekében, hogy a j ( x) = x T Ah ha negatív határozott, akkor szükséges és elégséges, hogy páros rendű fő minorjai pozitívak, a páratlanok pedig negatívak legyenek, azaz: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n