إيجاد القاسم المشترك الأكبر للمضاعف المشترك الأصغر. كيفية إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام

موضوع "تعدد الأعداد" تمت دراسته في الصف الخامس .مدرسة ثانوية. هدفها هو تحسين المهارات الكتابية والشفوية للحسابات الرياضية. في هذا الدرس ، تم تقديم مفاهيم جديدة - "الأعداد المتعددة" و "القواسم" ، تقنية إيجاد القواسم ومضاعفات العدد الطبيعي ، القدرة على إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بطرق مختلفة.

هذا الموضوع مهم جدا. يمكن تطبيق المعرفة عليه عند حل الأمثلة مع الكسور. للقيام بذلك ، عليك إيجاد المقام المشترك بحساب المضاعف المشترك الأصغر (م.م.س).

مضاعف A هو عدد صحيح يقبل القسمة على A بدون باقي.

كل عدد طبيعي له عدد لا حصر له من مضاعفاته. يعتبر الأقل. لا يمكن أن يكون المضاعف أقل من الرقم نفسه.

من الضروري إثبات أن الرقم 125 هو أحد مضاعفات الرقم 5. للقيام بذلك ، تحتاج إلى قسمة الرقم الأول على الثاني. إذا كان 125 يقبل القسمة على 5 بدون باقي ، فالجواب هو نعم.

هذه الطريقة قابلة للتطبيق للأعداد الصغيرة.

عند حساب المضاعف المشترك الأصغر ، توجد حالات خاصة.

1. إذا كنت بحاجة إلى إيجاد مضاعف مشترك لرقمين (على سبيل المثال ، 80 و 20) ، حيث يكون أحدهما (80) قابلاً للقسمة دون الباقي على الآخر (20) ، فإن هذا الرقم (80) هو الأصغر مضاعفات هذين الرقمين.

المضاعف المشترك الأصغر (80، 20) = 80.

2. إذا لم يكن للاثنين قاسم مشترك ، فيمكننا القول إن المضاعف المشترك الأصغر الخاص بهما هو حاصل ضرب هذين العددين.

المضاعف المشترك الأصغر (6 ، 7) = 42.

تأمل المثال الأخير. 6 و 7 بالنسبة إلى 42 قواسم. يقسمون مضاعفات دون الباقي.

في هذا المثال ، 6 و 7 عبارة عن قواسم زوجية. حاصل ضربهم يساوي أكثر عدد مضاعف (42).

يسمى الرقم أوليًا إذا كان لا يقبل القسمة إلا على نفسه أو على 1 (3: 1 = 3 ؛ 3: 3 = 1). ويطلق على الباقي مركب.

في مثال آخر ، تحتاج إلى تحديد ما إذا كان الرقم 9 مقسومًا على 42.

42: 9 = 4 (الباقي 6)

الجواب: 9 ليس قاسماً على 42 لأن الإجابة بها باقٍ.

يختلف القاسم عن المضاعف في أن القاسم هو الرقم الذي تقسم به الأعداد الطبيعية ، والمضاعف نفسه قابل للقسمة على هذا الرقم.

أكبر قاسم مشترك للأرقام أو بمضروبة في أصغر مضاعف لها ، ستعطي حاصل ضرب الأرقام نفسها أو ب.

وهي: GCD (أ ، ب) × المضاعف المشترك الأصغر (أ ، ب) = أ × ب.

يمكن العثور على المضاعفات الشائعة للأعداد الأكثر تعقيدًا بالطريقة التالية.

على سبيل المثال ، أوجد المضاعف المشترك الأصغر لـ 168، 180، 3024.

نحلل هذه الأعداد إلى عوامل أولية ، ونكتبها على أنها حاصل ضرب قوى:

168 = 2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹ = 15120

المضاعف المشترك الأصغر (168 ، 180 ، 3024) = 15120.

لانسينوفا عيسى

تحميل:

معاينة:

لاستخدام معاينة العروض التقديمية ، قم بإنشاء حساب Google (حساب) وقم بتسجيل الدخول: https://accounts.google.com

شرح الشرائح:

مهام GCD و LCM للأرقام عمل طالب في الصف السادس من MKOU "Kamyshovskaya OOSh" Lantsinova Aisa مشرف Goryaeva Zoya Erdnigoryaevna ، مدرس الرياضيات ص. كاميشوفو ، 2013

مثال على إيجاد GCD للأعداد 50 و 75 و 325. 1) لنحلل الأرقام 50 و 75 و 325 إلى عوامل أولية. 50 = 2 5 5 75 = 3 5 5325 = 5 5 13 50 = 2 ∙ 5 ∙ 5 75 = 3 5 5325 = 5 ∙ 5 ∙ 13 قسّم بدون باقي العددين a و b يسميان القاسم المشترك الأكبر لهذه الأعداد.

مثال لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام 72 و 99 و 117. 1) دعونا نحلل الأرقام 72 و 99 و 117. اكتب العوامل المضمنة في مفكوك أحد الأرقام 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 وأضف إليهم العوامل الناقصة للأعداد المتبقية. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) أوجد حاصل ضرب العوامل الناتجة. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 11 ∙ 13 = 10296 الإجابة: المضاعف المشترك الأصغر (72 و 99 و 117) = 10296 يسمى المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الطبيعية أ و ب أصغر عدد طبيعي يكون من مضاعفات أ و ب.

صفيحة من الورق المقوى لها شكل مستطيل طولها 48 سم وعرضها 40 سم ويجب تقطيعها دون إهدار إلى مربعات متساوية. ما هي أكبر المربعات التي يمكن الحصول عليها من هذه الورقة وكم عددها؟ الحل: 1) S = a ∙ b هي مساحة المستطيل. S \ u003d 48 ∙ 40 \ u003d 1960 سم². هي مساحة الكرتون. 2) أ- ضلع المربع 48: أ- عدد المربعات التي يمكن وضعها على طول الكرتون. 40: أ - عدد المربعات التي يمكن وضعها على عرض الكرتون. 3) GCD (40 و 48) = 8 (سم) - جانب المربع. 4) S \ u003d a² - مساحة المربع الواحد. S \ u003d 8² \ u003d 64 (سم²) - مساحة المربع الواحد. 5) 1960: 64 = 30 (عدد المربعات). الجواب: 30 مربع ضلع كل منها 8 سم. مهام GCD

يجب وضع الموقد في الغرفة ببلاط نهائي على شكل مربع. كم عدد البلاط المطلوب لمدفأة 195 156 سم وما هي أكبر أبعادالبلاط؟ الحل: 1) S = 196 156 = 30420 (سم ²) - S لسطح الموقد. 2) GCD (195 و 156) = 39 (سم) - جانب البلاط. 3) S = a² = 39² = 1521 (سم 2) - مساحة 1 بلاطة. 4) 30420: = 20 (قطعة). الجواب: 20 قطعة قياس 39 39 سنتم. مهام GCD

يجب أن تكون قطعة أرض حديقة مساحتها 54 × 48 مترًا حول المحيط مسيجة ، لذلك يجب وضع أعمدة خرسانية على فترات منتظمة. كم عدد الأعمدة التي يجب إحضارها للموقع ، وما أقصى مسافة من بعضها البعض؟ الحل: 1) P = 2 (a + b) - محيط الموقع. P \ u003d 2 (54 + 48) \ u003d 204 م. 2) GCD (54 و 48) \ u003d 6 (م) - المسافة بين الأعمدة. 3) 204: 6 = 34 (أعمدة). الجواب: 34 عموداً على مسافة 6 أمتار مهام قسم GCD

من 210 بورجوندي ، تم جمع 126 وردة بيضاء و 294 وردة حمراء ، وفي كل باقة كان عدد الورود من نفس اللون متساويًا. أيّ أكبر عددباقات مصنوعة من هذه الورود وكم عدد الورود من كل لون في باقة واحدة؟ الحل: 1) GCD (210، 126، 294) = 42 (باقات). 2) 210: 42 = 5 (ورود بورجوندي). 3) 126: 42 = 3 (ورد أبيض). 4) 294:42 = 7 (ورود حمراء). الجواب: 42 باقة: 5 بورجوندي ، 3 أبيض ، 7 ورود حمراء في كل باقة. مهام GCD

اشترت تانيا وماشا نفس العدد من علب البريد. دفعت تانيا 90 روبل ، ودفعت ماشا 5 روبل. أكثر. كم تكلفة مجموعة واحدة؟ كم عدد المجموعات التي اشتريت كل منها؟ الحل: 1) دفع ماشا 90 + 5 = 95 (روبل). 2) GCD (90 و 95) = 5 (روبل) - سعر مجموعة واحدة. 3) 980: 5 = 18 (مجموعات) - اشترتها تانيا. 4) 95: 5 = 19 (مجموعات) - اشترى ماشا. الجواب: 5 روبل ، 18 مجموعة ، 19 مجموعة. مهام GCD

تبدأ ثلاث رحلات بالقوارب السياحية في المدينة الساحلية ، تستغرق أولها 15 يومًا ، والثانية - 20 يومًا ، والثالثة - 12 يومًا. بالعودة إلى الميناء ، تقوم السفن في نفس اليوم برحلة مرة أخرى. غادرت السفن الآلية الميناء على جميع الطرق الثلاثة اليوم. كم يوم سيبحران معًا لأول مرة؟ كم عدد الرحلات التي ستقوم بها كل سفينة؟ الحل: 1) شهادة عدم ممانعة (15.20 و 12) = 60 (يوم) - وقت الاجتماع. 2) 60:15 = 4 (رحلات) - سفينة واحدة. 3) 60:20 = 3 (رحلات) - 2 سفينة بمحرك. 4) 60:12 = 5 (رحلات) - 3 سفن بمحركات. الإجابة: 60 يومًا ، 4 رحلات ، 3 رحلات ، 5 رحلات. مهام شهادة عدم الممانعة

اشترت ماشا بيض الدب في المتجر. في طريقها إلى الغابة ، أدركت أن عدد البيض قابل للقسمة على 2،3،5،10 و 15. ما هو عدد البيض الذي اشتراه ماشا؟ الحل: LCM (2 ؛ 3 ؛ 5 ؛ 10 ؛ 15) = 30 (بيضة) الإجابة: اشترت ماشا 30 بيضة. مهام شهادة عدم الممانعة

يشترط عمل صندوق بقاع مربع لتكديس الصناديق مقاس 16 20 سم ، ما هو أقصر جانب من القاع المربع ليناسب الصناديق بإحكام في الصندوق؟ الحل: 1) شهادة عدم ممانعة (16 و 20) = 80 (مربعات). 2) S = a ∙ b هي مساحة المربع الواحد. S \ u003d 16 ∙ 20 \ u003d 320 (سم ²) - مساحة الجزء السفلي من مربع واحد. 3) 320 80 = 25600 (سم 2) - مساحة القاع المربعة. 4) S \ u003d a² \ u003d a ∙ a 25600 = 160 ∙ 160 - أبعاد الصندوق. الجواب: 160 سم ضلع من قاع المربع. مهام شهادة عدم الممانعة

على طول الطريق من النقطة K توجد أعمدة كهرباء كل 45 مترًا ، وقد تقرر استبدال هذه الأعمدة بأخرى ، ووضعها على مسافة 60 مترًا من بعضها البعض. كم عدد الأعمدة الموجودة وكم ستقف؟ الحل: 1) كرونة نرويجية (45 و 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 - كانت هناك أعمدة. 3) 180: 60 = 3 - كانت هناك أعمدة. الجواب: 4 أركان ، 3 أركان. مهام شهادة عدم الممانعة

كم عدد الجنود الذين يسيرون على أرض العرض إذا ساروا في تشكيل 12 شخصًا في صف واحد وتغييرهم إلى طابور من 18 شخصًا في صف واحد؟ الحل: 1) شهادة عدم ممانعة (12 و 18) = 36 (شخصًا) - مسيرة. الجواب: 36 شخصا. مهام شهادة عدم الممانعة

يتم إعطاء الطلاب الكثير من مهام الرياضيات. من بينها ، غالبًا ما تكون هناك مهام بالصيغة التالية: هناك قيمتان. كيف تجد المضاعف المشترك الأصغر لأرقام معينة؟ من الضروري أن تكون قادرًا على أداء مثل هذه المهام ، حيث يتم استخدام المهارات المكتسبة للعمل مع الكسور ذات القواسم المختلفة. في المقالة ، سنحلل كيفية العثور على LCM والمفاهيم الأساسية.

قبل العثور على إجابة السؤال عن كيفية العثور على المضاعف المشترك الأصغر ، تحتاج إلى تعريف المصطلح مضاعف. في أغلب الأحيان ، تكون صياغة هذا المفهوم على النحو التالي: مضاعف بعض القيمة A هو رقم طبيعي يقبل القسمة على A بدون باقي. لذلك ، بالنسبة لـ 4 و 8 و 12 و 16 و 20 وما إلى ذلك ، حتى الحد اللازم.

في هذه الحالة ، يمكن أن يكون عدد المقسومات لقيمة معينة محدودًا ، وهناك عدد لا نهائي من المضاعفات. هناك أيضًا نفس القيمة للقيم الطبيعية. هذا مؤشر يقسم عليهم بدون باقي. بعد أن تعاملنا مع مفهوم أصغر قيمة لمؤشرات معينة ، دعنا ننتقل إلى كيفية العثور عليها.

البحث عن شهادة عدم الممانعة

المضاعف الأصغر لاثنين أو أكثر من الأس هو أصغر عدد طبيعي يقبل القسمة الكاملة على جميع الأرقام المعطاة.

هناك عدة طرق لإيجاد مثل هذه القيمة.دعنا نفكر في الطرق التالية:

1. إذا كانت الأرقام صغيرة ، فاكتب في السطر جميعًا يقبل القسمة عليه. استمر في فعل هذا حتى تجد شيئًا مشتركًا بينهم. في التسجيلة ، يُشار إليهما بالحرف K. على سبيل المثال ، بالنسبة إلى 4 و 3 ، أصغر مضاعف هو 12.
2. إذا كانت هذه كبيرة أو كنت بحاجة إلى إيجاد مضاعف لثلاث قيم أو أكثر ، فيجب عليك استخدام أسلوب مختلف هنا ، والذي يتضمن تحليل الأرقام إلى عوامل أولية. أولاً ، ضع أكبر ما تم تحديده ، ثم كل الباقي. كل واحد منهم لديه عدد خاص به من المضاعفات. كمثال ، لنحلل 20 (2 * 2 * 5) و 50 (5 * 5 * 2). لأصغر منهم ، ضع خطًا تحت العوامل وأضف إلى الأكبر. ستكون النتيجة 100 ، وهو المضاعف المشترك الأصغر للأرقام المذكورة أعلاه.
3. عند إيجاد 3 أرقام (16 و 24 و 36) ، فإن المبادئ هي نفسها بالنسبة للرقمين الآخرين. دعنا نوسع كل منها: 16 = 2 * 2 * 2 * 2 ، 24 = 2 * 2 * 2 * 3 ، 36 = 2 * 2 * 3 * 3. لم يتم تضمين اثنين فقط من التعادل من توسيع العدد 16 في تحلل الأكبر ، نجمعها ونحصل على 144 ، وهي أصغر نتيجة للقيم العددية المشار إليها سابقًا.

الآن نحن نعرف ما هي التقنية العامة لإيجاد أصغر قيمة لقيمتين أو ثلاث أو أكثر. ومع ذلك ، هناك أيضًا طرق خاصة، مما يساعد في البحث عن شهادات عدم الممانعة ، إذا كانت السابقة لا تساعد.

كيف تجد GCD و NOC.

طرق البحث الخاصة

كما هو الحال مع أي قسم رياضي ، هناك حالات خاصة لإيجاد LCMs التي تساعد في مواقف محددة:

• إذا كان أحد الأرقام قابلاً للقسمة على الأرقام الأخرى دون باقي ، فإن المضاعف الأدنى لهذه الأرقام يساوي ذلك (NOC 60 و 15 يساوي 15) ؛
• لا تحتوي أرقام Coprime على قواسم أولية مشتركة. أصغر قيمة لها تساوي حاصل ضرب هذه الأرقام. وبالتالي ، بالنسبة للأرقام 7 و 8 ، سيكون هذا 56 ؛
• تنطبق نفس القاعدة على حالات أخرى ، بما في ذلك الحالات الخاصة ، والتي يمكن قراءتها في الأدبيات المتخصصة. يجب أن يشمل ذلك أيضًا حالات تحلل الأرقام المركبة ، والتي هي موضوع مقالات منفصلة وحتى أطروحات الدكتوراه.

الحالات الخاصة أقل شيوعًا من الأمثلة القياسية. لكن بفضلهم ، يمكنك تعلم كيفية التعامل مع الكسور بدرجات متفاوتة من التعقيد. هذا ينطبق بشكل خاص على الكسور.حيث توجد قواسم مختلفة.

بعض الأمثلة

لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة ، التي بفضلها يمكنك فهم مبدأ العثور على أصغر مضاعف:

1. نجد LCM (35 ؛ 40). نضع أول 35 = 5 * 7 ، ثم 40 = 5 * 8. نضيف 8 إلى أصغر رقم ونحصل على شهادة عدم ممانعة 280.
2. شهادة عدم الممانعة (45 ؛ 54). نضع كل واحد منهم: 45 = 3 * 3 * 5 و 54 = 3 * 3 * 6. نضيف الرقم من 6 إلى 45. نحصل على شهادة عدم الممانعة تساوي 270.
3. حسنًا ، المثال الأخير. هناك 5 و 4. لا توجد مضاعفات بسيطة لهما ، لذا سيكون المضاعف المشترك الأصغر في هذه الحالة هو حاصل ضربهما ، ويساوي 20.

بفضل الأمثلة ، يمكنك فهم كيفية تحديد موقع NOC ، وما هي الفروق الدقيقة وما هو معنى مثل هذه التلاعبات.

العثور على شهادة عدم الممانعة أسهل بكثير مما قد يبدو للوهلة الأولى. لهذا ، يتم استخدام كل من التوسع والضرب البسيط. قيم بسيطةبعضهم البعض. تساعد القدرة على العمل مع هذا القسم من الرياضيات في مزيد من الدراسة للموضوعات الرياضية ، وخاصة الكسور بدرجات متفاوتة من التعقيد.

لا تنسَ حل الأمثلة بشكل دوري بأساليب مختلفة ، فهذا يطور الجهاز المنطقي ويسمح لك بتذكر العديد من المصطلحات. تعلم طرقًا للعثور على مثل هذا المؤشر وستكون قادرًا على العمل بشكل جيد مع بقية الأقسام الرياضية. سعيد تعلم الرياضيات!

فيديو

سيساعدك هذا الفيديو في فهم وتذكر كيفية العثور على المضاعف المشترك الأصغر.

يُطلق على أكبر عدد طبيعي يمكن به القسمة على الرقمين a و b بدون الباقي القاسم المشترك الأكبرهذه الارقام. دلالة GCD (أ ، ب).

ضع في اعتبارك العثور على GCD باستخدام مثال رقمين طبيعيين 18 و 60:

1 دعونا نحلل الأرقام إلى عوامل أولية:
18 = 2 × 3 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5

2 احذف من توسيع الرقم الأول جميع العوامل التي لم يتم تضمينها في توسيع الرقم الثاني ، نحصل عليه 2 × 3 × 3 .

3 نضرب العوامل الأولية المتبقية بعد الشطب ونحصل على القاسم المشترك الأكبر للأرقام: gcd ( 18 , 60 )=2 × 3= 6 .

4 لاحظ أنه لا يهم من الرقم الأول أو الثاني الذي نقوم بشطب العوامل ، ستكون النتيجة هي نفسها:
18 = 2 × 3 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5

324 , 111 و 432

دعونا نحلل الأرقام إلى عوامل أولية:

324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3

111 = 3 × 37

432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

احذف من الرقم الأول ، الذي لا توجد عوامله في الرقمين الثاني والثالث ، نحصل على:

2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3

نتيجة GCD ( 324 , 111 , 432 )=3

إيجاد GCD باستخدام خوارزمية إقليدس

الطريقة الثانية لإيجاد القاسم المشترك الأكبر باستخدام خوارزمية إقليدس. خوارزمية إقليدس هي الأكثر على نحو فعالالعثور على GCD، باستخدامه تحتاج إلى العثور باستمرار على باقي قسمة الأرقام وتطبيقها الصيغة المتكررة.

الصيغة المتكررةلـ GCD ، gcd (a، b) = gcd (b، a mod b)، حيث a mod b هو باقي قسمة a على b.

خوارزمية إقليدس

مثال أوجد القاسم المشترك الأكبر للأعداد 7920 و 594

دعنا نجد GCD ( 7920 , 594 ) باستخدام خوارزمية إقليدس ، سنحسب باقي القسمة باستخدام الآلة الحاسبة.

GCD ( 7920 , 594 )

GCD ( 594 , 7920 عصري 594 ) = gcd ( 594 , 198 )

GCD ( 198 , 594 عصري 198 ) = gcd ( 198 , 0 )

GCD ( 198 , 0 ) = 198

• 7920 متوسط ​​594 = 7920-13 × 594 = 198
• 594 نموذجي 198 = 594-3 × 198 = 0

نتيجة لذلك ، نحصل على GCD ( 7920 , 594 ) = 198

أقل مضاعف مشترك

من أجل إيجاد مقام مشترك عند جمع وطرح الكسور ذات المقامات المختلفة ، عليك أن تعرف وتكون قادرًا على الحساب أقل مضاعف مشترك(شهادة عدم الممانعة).

مضاعف الرقم "أ" هو رقم قابل للقسمة بحد ذاته على الرقم "أ" بدون باقي.

الأعداد التي هي من مضاعفات 8 (أي أن هذه الأعداد ستقسم على 8 بدون باقي): هذه هي الأرقام 16 ، 24 ، 32 ...

مضاعفات 9:18 ، 27 ، 36 ، 45 ...

هناك عدد لا نهائي من مضاعفات رقم معين أ ، على عكس القواسم من نفس الرقم. القواسم - عدد محدود.

المضاعف المشترك لرقمين طبيعيين هو رقم يقبل القسمة على كلا الرقمين بالتساوي..

أقل مضاعف مشترك(المضاعف المشترك الأصغر) لرقمين طبيعيين أو أكثر هو أصغر رقم طبيعي يقبل القسمة على كل من هذه الأرقام.

كيف تجد شهادة عدم الممانعة

يمكن إيجاد LCM وكتابته بطريقتين.

الطريقة الأولى لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر

عادة ما تستخدم هذه الطريقة للأعداد الصغيرة.

1. نكتب المضاعفات لكل رقم من الأرقام في السطر حتى يكون هناك مضاعف مماثل لكلا العددين.
2. يُرمز إلى مضاعف الرقم "أ" بحرف كبير "ك".

مثال. أوجد LCM 6 و 8.

الطريقة الثانية لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر

هذه الطريقة ملائمة للاستخدام في إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر.

يمكن أن يكون عدد العوامل المتطابقة في توسعات الأرقام مختلفًا.

في توسيع العدد الأصغر (الأرقام الأصغر) ، ضع خطًا تحت العوامل التي لم يتم تضمينها في توسيع العدد الأكبر (في مثالنا ، هو 2) وأضف هذه العوامل إلى زيادة العدد الأكبر.
المضاعف المشترك الأصغر (24 ، 60) = 2 2 3 5 2

سجل العمل الناتج استجابة.
الجواب: م م ع (24 ، 60) = 120

يمكنك أيضًا إضفاء الطابع الرسمي على إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM) على النحو التالي. لنجد المضاعف المشترك الأصغر (12، 16، 24).

24 = 2 2 2 3

كما ترى من توسيع الأعداد ، يتم تضمين جميع عوامل العدد 12 في توسيع 24 (أكبر الأرقام) ، لذلك نضيف 2 واحدًا فقط من توسيع الرقم 16 إلى المضاعف المشترك الأصغر.

المضاعف المشترك الأصغر (12 ، 16 ، 24) = 2 2 2 3 2 = 48

الجواب: المضاعف المشترك الأصغر (12 ، 16 ، 24) = 48

حالات خاصة لإيجاد شهادات عدم ممانعة

إذا كان أحد الأرقام قابلاً للقسمة بالتساوي على الأرقام الأخرى ، فإن المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام يساوي هذا الرقم.

على سبيل المثال ، المضاعف المشترك الأصغر (60 ، 15) = 60
نظرًا لعدم وجود قواسم أولية مشتركة لأرقام الجريمة ، فإن المضاعف المشترك الأصغر لها يساوي حاصل ضرب هذه الأرقام.

على موقعنا ، يمكنك أيضًا استخدام آلة حاسبة خاصة للعثور على المضاعف الأقل شيوعًا عبر الإنترنت للتحقق من حساباتك.

إذا كان الرقم الطبيعي لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسه ، فإنه يسمى أولي.

أي عدد طبيعي يقبل القسمة دائمًا على 1 وعلى نفسه.

الرقم 2 هو أصغر عدد أولي. هذا هو العدد الأولي الزوجي الوحيد ، أما باقي الأعداد الأولية فهي فردية.

يوجد العديد من الأعداد الأولية ، وأولها هو الرقم 2. ومع ذلك ، لا يوجد عدد أولي أخير. في قسم "للدراسة" ، يمكنك تنزيل جدول الأعداد الأولية حتى 997.

لكن العديد من الأعداد الطبيعية قابلة للقسمة بالتساوي على أعداد طبيعية أخرى.

• الرقم 12 قابل للقسمة على 1 ، على 2 ، على 3 ، على 4 ، على 6 ، على 12 ؛
• 36 قابلة للقسمة على 1 ، على 2 ، على 3 ، على 4 ، على 6 ، على 12 ، على 18 ، على 36.

الأرقام التي يقبل بها الرقم القسمة بالتساوي (بالنسبة لـ 12 هذه هي 1 و 2 و 3 و 4 و 6 و 12) تسمى قواسم الرقم.

المقسوم على الرقم الطبيعي أ هو رقم طبيعي يقسم الرقم المعطى "أ" بدون باقي.

يسمى الرقم الطبيعي الذي يحتوي على أكثر من عاملين بالرقم المركب.

لاحظ أن العددين 12 و 36 لهما قواسم مشتركة. هذه هي الأرقام: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 12. أكبر قاسم على هذه الأعداد هو 12.

القاسم المشترك لرقمين محددين "أ" و "ب" هو الرقم الذي يتم من خلاله قسمة الرقمين "أ" و "ب" بدون باقي.

القاسم المشترك الأكبر(gcd) لرقمين معطى "أ" و "ب" أكبر عدد، بحيث يكون كلا الرقمين "أ" و "ب" قابلين للقسمة بدون باقي.

باختصار ، يتم كتابة القاسم المشترك الأكبر للأرقام "أ" و "ب" على النحو التالي:

مثال: gcd (12 ؛ 36) = 12.

تتم الإشارة إلى قواسم الأرقام في سجل الحل بحرف كبير "D".

الرقمان 7 و 9 لهما قاسم مشترك واحد فقط - الرقم 1. تسمى هذه الأرقام أرقام حقوق الملكية.

أرقام Coprimeهي أعداد طبيعية لها قاسم مشترك واحد فقط - الرقم 1. GCD الخاص بهم هو 1.

كيفية إيجاد القاسم المشترك الأكبر

تحتاج إلى العثور على الرقم القياسي لرقمين طبيعيين أو أكثر:

• يحلل قواسم الأعداد إلى عوامل أولية ؛

تتم كتابة الحسابات بشكل ملائم باستخدام شريط عمودي. على يسار الخط ، اكتب أولاً المقسوم ، على اليمين - القاسم. علاوة على ذلك ، في العمود الأيسر نكتب قيم الخاص.

دعنا نشرح على الفور بمثال. لنحلل العددين 28 و 64 في العوامل الأولية.

ضع خطًا تحت نفس العوامل الأولية في كلا العددين.
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
نجد حاصل ضرب العوامل الأولية المتطابقة ونكتب الإجابة ؛
GCD (28 ؛ 64) = 2 2 = 4

الجواب: GCD (28 ؛ 64) = 4

يمكنك ترتيب موقع GCD بطريقتين: في عمود (كما تم القيام به أعلاه) أو "في سطر".

الطريقة الأولى لكتابة GCD

ابحث عن GCD 48 و 36.

GCD (48 ؛ 36) = 2 2 3 = 12

الطريقة الثانية لكتابة GCD

لنكتب الآن حل بحث GCD في سطر. ابحث عن GCD 10 و 15.

في موقع المعلومات الخاص بنا ، يمكنك أيضًا العثور على القاسم المشترك الأكبر عبر الإنترنت بمساعدة برنامج مساعد للتحقق من حساباتك.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر ، والطرق ، والأمثلة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر.

المواد المعروضة أدناه هي استمرار منطقي للنظرية من المقالة تحت العنوان LCM - المضاعف المشترك الأصغر ، التعريف ، الأمثلة ، العلاقة بين LCM و GCD. هنا سنتحدث عن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM)، وإيلاء اهتمام خاص لحل الأمثلة. دعونا أولاً نوضح كيف يتم حساب المضاعف المشترك الأصغر لرقمين من حيث GCD لهذه الأرقام. بعد ذلك ، ضع في اعتبارك إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأعداد إلى عوامل أولية. بعد ذلك ، سنركز على إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر ، وننتبه أيضًا إلى حساب المضاعف المشترك الأصغر للأرقام السالبة.

التنقل في الصفحة.

حساب المضاعف المشترك الأصغر (LCM) من خلال gcd

تعتمد إحدى طرق العثور على المضاعف المشترك الأصغر على العلاقة بين LCM و GCD. تسمح لك العلاقة الحالية بين LCM و GCD بحساب المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين موجبين من خلال القاسم المشترك الأكبر المعروف. الصيغة المقابلة لها الشكل المضاعف المشترك الأصغر (أ ، ب) = أ ب: GCD (أ ، ب). ضع في اعتبارك أمثلة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر وفقًا للصيغة أعلاه.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 126 و 70.

في هذا المثال أ = 126 ، ب = 70. دعنا نستخدم ارتباط LCM مع GCD ، والذي يتم التعبير عنه بواسطة الصيغة LCM (أ ، ب) = أ ب: GCM (أ ، ب). أي ، علينا أولاً إيجاد القاسم المشترك الأكبر للعددين 70 و 126 ، وبعد ذلك يمكننا حساب المضاعف المشترك الأصغر لهذين العددين وفقًا للصيغة المكتوبة.

أوجد gcd (126، 70) باستخدام خوارزمية إقليدس: 126 = 70 1 + 56، 70 = 56 1 + 14، 56 = 14 4 ، وبالتالي gcd (126، 70) = 14.

نجد الآن المضاعف المشترك الأصغر المطلوب: المضاعف المشترك الأصغر (126 ، 70) = 126 70: GCD (126 ، 70) = 126 70: 14 = 630.

ما هو LCM (68 ، 34)؟

بما أن 68 قابلة للقسمة بالتساوي على 34 ، فإن gcd (68 ، 34) = 34. نحسب الآن المضاعف المشترك الأصغر: المضاعف المشترك الأصغر (68 ، 34) = 68 34: GCD (68 ، 34) = 68 34: 34 = 68.

لاحظ أن المثال السابق يناسب القاعدة التالية لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الصحيحة الموجبة أ وب: إذا كان الرقم أ قابل للقسمة على ب ، فإن المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام هو أ.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأرقام إلى العوامل الأولية

طريقة أخرى لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر تعتمد على تحليل الأعداد إلى عوامل أولية. إذا صنعنا منتجًا لجميع العوامل الأولية لهذه الأرقام ، وبعد ذلك استبعدنا من هذا المنتج جميع العوامل الأولية المشتركة الموجودة في توسعات هذه الأرقام ، فسيكون الناتج الناتج مساويًا للمضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام.

القاعدة المُعلن عنها لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر تأتي من المضاعف المشترك الأصغر للمساواة (أ ، ب) = أ ب: GCM (أ ، ب). في الواقع ، حاصل ضرب العددين a و b يساوي حاصل ضرب جميع العوامل المشاركة في تمددات العددين a و b. في المقابل ، gcd (أ ، ب) يساوي حاصل ضرب جميع العوامل الأولية الموجودة في نفس الوقت في توسعات الأرقام أ وب (الموصوفة في القسم الخاص بإيجاد gcd باستخدام تحليل الأرقام إلى عوامل أولية ).

لنأخذ مثالا. لنعلم أن 75 = 3 5 5 و 210 = 2 3 5 7. يؤلف حاصل ضرب كل عوامل هذه التوسعات: 2 3 3 5 5 5 7. نستبعد الآن من هذا المنتج جميع العوامل الموجودة في توسيع الرقم 75 وفي توسيع الرقم 210 (هذه العوامل هي 3 و 5) ، ثم يأخذ المنتج الشكل 2 3 5 5 7. قيمة هذا المنتج تساوي المضاعف المشترك الأصغر لـ 75 و 210 ، أي المضاعف المشترك الأصغر (75 ، 210) = 2 3 5 5 7 = 1050.

بعد تحليل العددين 441 و 700 إلى عوامل أولية ، أوجد المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد.

لنحلل العددين 441 و 700 إلى عوامل أولية:

نحصل على 441 = 3 3 7 7 و 700 = 2 2 5 5 7.

لنصنع الآن حاصل ضرب جميع العوامل التي تدخل في فساد هذه الأعداد: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. دعنا نستبعد من هذا المنتج جميع العوامل الموجودة في وقت واحد في كلا التوسيعين (يوجد عامل واحد فقط - هذا هو الرقم 7): 2 2 3 3 5 5 7 7. إذن المضاعف المشترك الأصغر (441، 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44100.

المضاعف المشترك الأصغر (441 ، 700) = 44100.

يمكن صياغة قاعدة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام تحليل الأعداد إلى عوامل أولية بشكل مختلف قليلاً. إذا أضفنا العوامل المفقودة من توسيع الرقم b إلى العوامل من زيادة الرقم a ، فإن قيمة المنتج الناتج ستكون مساوية للمضاعف المشترك الأصغر للأرقام a و b.

على سبيل المثال ، لنأخذ جميع الأعداد نفسها 75 و 210 ، فوسعاتهم إلى العوامل الأولية هي كما يلي: 75 = 3 5 5 و 210 = 2 3 5 7. إلى العوامل 3 و 5 و 5 من توسيع العدد 75 ، نجمع العوامل المفقودة 2 و 7 من توسيع العدد 210 ، نحصل على حاصل الضرب 2 3 5 5 7 ، الذي قيمته مضاف نصفي (75) ، 210).

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 84 و 648.

نحصل أولاً على تحليل العددين 84 و 648 إلى عوامل أولية. تبدو مثل 84 = 2 2 3 7 و 648 = 2 2 2 3 3 3 3. إلى العوامل 2 و 2 و 3 و 7 من توسيع العدد 84 نضيف العوامل المفقودة 2 و 3 و 3 و 3 من توسيع الرقم 648 ، نحصل على الناتج 2 2 2 3 3 3 3 7 ، وهو ما يساوي 4536. وبالتالي ، فإن المضاعف المشترك الأصغر المطلوب للعددين 84 و 648 هو 4،536.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر

يمكن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر عن طريق إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لرقمين على التوالي. تذكر النظرية المقابلة ، والتي تعطي طريقة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر.

لنفترض أن الأعداد الصحيحة الموجبة أ 1 ، أ 2 ، ... ، أ ك تُعطى ، المضاعف المشترك الأصغر م ك لهذه الأرقام موجود في الحساب المتسلسل م 2 = المضاعف المشترك الأصغر (أ 1 ، أ 2) ، م 3 = المضاعف المشترك الأصغر (م 2 ، أ 3) ، ... ، م ك = المضاعف المشترك الأصغر (م ك − 1 ، أ ك).

ضع في اعتبارك تطبيق هذه النظرية في مثال إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لأربعة أرقام.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأربعة 140 و 9 و 54 و 250.

أولًا نجد m 2 = LCM (a 1، a 2) = LCM (140، 9). للقيام بذلك ، باستخدام الخوارزمية الإقليدية ، نحدد gcd (140 ، 9) ، لدينا 140 = 9 15 + 5 ، 9 = 5 1 + 4 ، 5 = 4 1 + 1 ، 4 = 1 4 ، لذلك ، gcd ( 140 ، 9) = 1 ، حيث المضاعف المشترك الأصغر (140 ، 9) = 140 9: GCD (140 ، 9) = 140 9: 1 = 1260. أي م 2 = 1260.

نوجد الآن م 3 = المضاعف المشترك الأصغر (م 2، أ 3) = المضاعف المشترك الأصغر (1 260، 54). دعونا نحسبها من خلال gcd (1260 ، 54) ، والتي تحددها أيضًا خوارزمية إقليدس: 1260 = 54 23 + 18 ، 54 = 18 3. ثم gcd (1260 ، 54) = 18 ، من أين LCM (1260 ، 54) = 1260 54: gcd (1260 ، 54) = 1260 54: 18 = 3780. أي م 3 = 3780.

يبقى إيجاد m 4 = المضاعف المشترك الأصغر (م 3، أ 4) = المضاعف المشترك الأصغر (3780، 250). للقيام بذلك ، نجد GCD (3780 ، 250) باستخدام خوارزمية إقليدس: 3780 = 250 15 + 30 ، 250 = 30 8 + 10 ، 30 = 10 3. لذلك ، gcd (3780 ، 250) = 10 ، ومن ثم LCM (3780 ، 250) = 3780250: gcd (3780 ، 250) = 3780250: 10 = 94500. أي م 4 = 94500.

إذن ، المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأربعة الأصلية هو 94500.

المضاعف المشترك الأصغر (140، 9، 54، 250) = 94500.

في كثير من الحالات ، يمكن العثور بسهولة على المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر باستخدام التحليل الأولي لأرقام معينة. في هذه الحالة ، يجب اتباع القاعدة التالية. المضاعف المشترك الأصغر لعدة أرقام يساوي المنتج ، والذي يتكون على النحو التالي: تضاف العوامل المفقودة من توسيع الرقم الثاني إلى جميع العوامل من توسيع الرقم الأول ، والعوامل المفقودة من توسيع الرقم الأول يضاف الرقم الثالث إلى العوامل التي تم الحصول عليها ، وهكذا.

ضع في اعتبارك مثالًا لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام تحليل الأرقام إلى عوامل أولية.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر لخمسة أعداد 84 ، 6 ، 48 ، 7 ، 143.

أولاً ، نحصل على تحلل هذه الأعداد إلى عوامل أولية: 84 = 2 2 3 7 ، 6 = 2 3 ، 48 = 2 2 2 2 3 ، 7 (7 عدد أولي ، يتزامن مع تحللها إلى عوامل أولية) و 143 = 11 13.

لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد ، تحتاج إلى إضافة العوامل المفقودة من توسيع العدد الثاني 6 إلى عوامل العدد الأول 84 (وهي 2 و 2 و 3 و 7). لا يحتوي توسيع الرقم 6 على عوامل مفقودة ، حيث إن كلا من 2 و 3 موجودان بالفعل في توسيع الرقم الأول 84. بالإضافة إلى العوامل 2 و 2 و 3 و 7 نضيف العوامل المفقودة 2 و 2 من توسيع الرقم الثالث 48 ، نحصل على مجموعة من العوامل 2 و 2 و 2 و 2 و 3 و 7. ليست هناك حاجة لإضافة عوامل إلى هذه المجموعة في الخطوة التالية ، حيث تم تضمين 7 بالفعل فيها. أخيرًا ، إلى العوامل 2 و 2 و 2 و 2 و 3 و 7 نضيف العوامل المفقودة 11 و 13 من مفكوك العدد 143. نحصل على حاصل الضرب 2 2 2 2 3 7 11 13 ، وهو ما يساوي 48 048.

إذن ، المضاعف المشترك الأصغر (84، 6، 48، 7، 143) = 48048.

المضاعف المشترك الأصغر (84، 6، 48، 7، 143) = 48048.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد السالبة

في بعض الأحيان ، توجد مهام تحتاج فيها إلى العثور على المضاعف المشترك الأصغر للأرقام ، من بينها رقم واحد أو عدة أرقام أو كلها سالبة. في هذه الحالات ، يجب استبدال جميع الأرقام السالبة بأرقامها المعاكسة ، وبعد ذلك يجب إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام الموجبة. هذه هي طريقة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام السالبة. على سبيل المثال ، المضاعف المشترك الأصغر (54، −34) = المضاعف المشترك الأصغر (54، 34) والمضاعف المشترك الأصغر (−622، −46، −54، −888) = المضاعف المشترك الأصغر (622، 46، 54، 888).

يمكننا القيام بذلك لأن مجموعة مضاعفات a هي نفسها مجموعة مضاعفات a (أ و أ عددان متقابلان). في الواقع ، لنفترض أن b بعضًا من مضاعفات a ، فإن b قابلة للقسمة على a ، ويؤكد مفهوم القابلية للقسمة على وجود مثل هذا العدد الصحيح q الذي هو b = a q. لكن المساواة b = (- a) · (q) ستكون صحيحة أيضًا ، والتي ، بحكم نفس مفهوم القسمة ، تعني أن b قابلة للقسمة على a ، أي أن b مضاعف a. العبارة العكسية صحيحة أيضًا: إذا كانت b بعض مضاعفات −a ، فإن b أيضًا من مضاعفات a.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد السالبة −145 و 45.

لنستبدل العددين السالبين −145 و 45 بالعددين المقابلين 145 و 45. لدينا المضاعف المشترك الأصغر (−145 ، −45) = المضاعف المشترك الأصغر (145 ، 45). بعد تحديد gcd (145، 45) = 5 (على سبيل المثال ، باستخدام خوارزمية إقليدس) ، نحسب المضاعف المشترك الأصغر (145، 45) = 145 45: gcd (145، 45) = 145 45: 5 = 1305. وبالتالي ، فإن المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الصحيحة السالبة 145 و 45 هو 1،305.

www.cleverstudents.ru

نواصل دراسة الانقسام. في هذا الدرس ، سوف نلقي نظرة على مفاهيم مثل GCDو شهادة عدم ممانعة.

GCDهو القاسم المشترك الأكبر.

شهادة عدم ممانعةهو المضاعف المشترك الأصغر.

الموضوع ممل إلى حد ما ، لكن من الضروري فهمه. بدون فهم هذا الموضوع ، لن تكون قادرًا على العمل بفعالية مع الكسور ، والتي تمثل عقبة حقيقية في الرياضيات.

القاسم المشترك الأكبر

تعريف. أكبر قاسم مشترك للأرقام أو ب أو بيقسم بدون باقي.

لفهم هذا التعريف جيدًا ، نستبدل المتغيرات بدلاً من المتغيرات أو بأي رقمين ، على سبيل المثال ، بدلاً من المتغير أعوّض بالرقم 12 وبدلاً من المتغير برقم 9. الآن دعونا نحاول قراءة هذا التعريف:

أكبر قاسم مشترك للأرقام 12 و 9 هو أكبر عدد بواسطته 12 و 9 يقسم بدون باقي.

يتضح من التعريف أننا نتحدث عن قاسم مشترك للعددين 12 و 9 ، وهذا القاسم هو الأكبر بين جميع القواسم الموجودة. يجب إيجاد هذا القاسم المشترك الأكبر (gcd).

لإيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين ، يتم استخدام ثلاث طرق. الطريقة الأولى تستغرق وقتًا طويلاً ، لكنها تسمح لك بفهم جوهر الموضوع جيدًا والشعور بمعناه بالكامل.

الطريقتان الثانية والثالثة بسيطة للغاية وتجعلان من الممكن العثور بسرعة على GCD. سننظر في جميع الطرق الثلاثة. وماذا تطبق في الممارسة - اخترت.

الطريقة الأولى هي إيجاد جميع القواسم الممكنة لرقمين واختيار أكبرهما. لنفكر في هذه الطريقة في المثال التالي: أوجد القاسم المشترك الأكبر للعددين 12 و 9.

أولاً ، نجد جميع القواسم الممكنة للرقم 12. للقيام بذلك ، نقسم 12 على جميع القواسم في النطاق من 1 إلى 12. إذا سمح لنا المقسوم بقسمة 12 بدون باقي ، فسنبرزها باللون الأزرق و تقديم تفسير مناسب بين قوسين.

12: 1 = 12
(12 مقسومًا على 1 بدون الباقي ، إذن 1 مقسوم على 12)

12: 2 = 6
(12 مقسومًا على 2 بدون باقي ، إذن 2 مقسومًا على 12)

12: 3 = 4
(12 على 3 بدون الباقي ، إذن 3 هو قسمة 12)

12: 4 = 3
(12 مقسومًا على 4 بدون الباقي ، لذا فإن 4 مقسومًا على 12)

12: 5 = 2 (2 يسار)
(12 ليس مقسومًا على 5 بدون الباقي ، لذا فإن الرقم 5 ليس مقسومًا على 12)

12: 6 = 2
(12 مقسومًا على 6 بدون الباقي ، إذن 6 هو قاسم العدد 12)

12: 7 = 1 (5 يسار)
(12 ليس مقسومًا على 7 بدون الباقي ، لذا فإن 7 ليس مقسومًا على 12)

12: 8 = 1 (4 يسار)
(12 ليس مقسومًا على 8 بدون الباقي ، لذا فإن 8 ليس مقسومًا على 12)

12: 9 = 1 (3 يسار)
(12 ليس مقسومًا على 9 بدون الباقي ، إذن 9 ليس قاسماً على 12)

12: 10 = 1 (2 يسار)
(12 ليس مقسومًا على 10 بدون الباقي ، لذا فإن 10 ليس مقسومًا على 12)

12:11 = 1 (بقي 1)
(12 ليس مقسومًا على 11 بدون الباقي ، لذا فإن 11 ليس قاسمًا على 12)

12: 12 = 1
(12 على 12 بدون الباقي ، إذن 12 مقسومًا على 12)

لنجد الآن قواسم الرقم 9. للقيام بذلك ، تحقق من جميع المقسومات من 1 إلى 9

9: 1 = 9
(9 مقسومًا على 1 بدون الباقي ، إذن 1 مقسوم على 9)

9: 2 = 4 (1 يسار)
(9 غير مقسوم على 2 بدون الباقي ، إذن 2 ليس قاسماً على 9)

9: 3 = 3
(9 مقسومًا على 3 بدون الباقي ، إذن 3 هو قاسم العدد 9)

9: 4 = 2 (1 يسار)
(9 غير مقسوم على 4 بدون الباقي ، لذا فإن الرقم 4 ليس مقسومًا على 9)

9: 5 = 1 (4 يسار)
(9 غير مقسوم على 5 بدون باقي ، لذا فإن الرقم 5 ليس مقسومًا على 9)

9: 6 = 1 (3 يسار)
(9 لم تقسم على 6 بدون الباقي ، إذن 6 ليست قسمة على 9)

9: 7 = 1 (2 يسار)
(9 غير مقسوم على 7 بدون الباقي ، لذا فإن 7 ليس مقسومًا على 9)

9: 8 = 1 (1 يسار)
(9 ليس مقسومًا على 8 بدون باقي ، لذا فإن 8 ليس مقسومًا على 9)

9: 9 = 1
(9 مقسومًا على 9 بدون الباقي ، إذن 9 هو قاسم العدد 9)

اكتب الآن قواسم كلا العددين. الأرقام المميزة باللون الأزرق هي القواسم. دعنا نكتبها:

بعد كتابة القواسم ، يمكنك تحديد المقسوم على الفور أيهما هو الأكبر والأكثر شيوعًا.

بحكم التعريف ، فإن القاسم المشترك الأكبر للعددين 12 و 9 هو الرقم الذي يمكن القسمة على 12 و 9 بالتساوي. القاسم المشترك الأكبر والأكبر للعددين 12 و 9 هو الرقم 3

كلا الرقمين 12 و 9 يقبلان القسمة على 3 بدون باقي:

إذن gcd (12 و 9) = 3

الطريقة الثانية للعثور على GCD

فكر الآن في الطريقة الثانية لإيجاد القاسم المشترك الأكبر. جوهر هذه الطريقةهو تحليل كلا العددين في العوامل الأولية وضرب المشتركين.

مثال 1. أوجد GCD للأرقام 24 و 18

أولاً ، دعنا نحلل كلا العددين في العوامل الأولية:

الآن نضرب عواملهم المشتركة. من أجل عدم الخلط ، يمكن تسطير العوامل المشتركة.

ننظر إلى تحلل الرقم 24. العامل الأول هو 2. نحن نبحث عن نفس العامل في تحلل الرقم 18 ونرى أنه موجود أيضًا. نؤكد على كلا الثنائي:

مرة أخرى ننظر إلى تحلل الرقم 24. العامل الثاني هو أيضًا 2. نحن نبحث عن نفس العامل في تحلل الرقم 18 ونرى أنه غير موجود للمرة الثانية. ثم لا نسلط الضوء على أي شيء.

الاثنان التاليان في توسيع العدد 24 مفقود أيضًا في توسيع الرقم 18.

ننتقل إلى العامل الأخير في تحلل الرقم 24. هذا هو العامل 3. ​​نحن نبحث عن نفس العامل في تحلل الرقم 18 ونرى أنه موجود أيضًا. نؤكد كلا من الثلاثيات:

إذن ، العاملان المشتركان للرقمين 24 و 18 هما العاملان 2 و 3. للحصول على GCD ، يجب مضاعفة هذه العوامل:

إذن gcd (24 و 18) = 6

الطريقة الثالثة للعثور على GCD

فكر الآن في الطريقة الثالثة لإيجاد القاسم المشترك الأكبر. يكمن جوهر هذه الطريقة في حقيقة أن الأرقام المراد البحث عنها لأكبر قاسم مشترك تتحلل إلى عوامل أولية. بعد ذلك ، من تحلل الرقم الأول ، يتم حذف العوامل التي لم يتم تضمينها في تحلل الرقم الثاني. يتم ضرب الأرقام المتبقية في التوسيع الأول والحصول على GCD.

على سبيل المثال ، لنجد GCD للأرقام 28 و 16 بهذه الطريقة. بادئ ذي بدء ، نحلل هذه الأرقام إلى عوامل أولية:

حصلنا على توسعتين: و

الآن ، من توسيع الرقم الأول ، نحذف العوامل التي لم يتم تضمينها في توسيع الرقم الثاني. توسيع الرقم الثاني لا يشمل سبعة. سنحذفه من التوسيع الأول:

الآن نضرب العوامل المتبقية ونحصل على GCD:

الرقم 4 هو القاسم المشترك الأكبر للعددين 28 و 16. كلا العددين قابلين للقسمة على 4 بدون باقي:

مثال 2أوجد GCD للأرقام 100 و 40

تحليل العدد 100 إلى عوامل

تحليل العدد 40 إلى عوامل

حصلنا على توسعتين:

الآن ، من توسيع الرقم الأول ، نحذف العوامل التي لم يتم تضمينها في توسيع الرقم الثاني. لا يشمل توسيع الرقم الثاني واحدًا على خمسة (هناك خمسة واحد فقط). نحذفه من التحلل الأول

اضرب الأرقام المتبقية:

حصلنا على الإجابة 20. إذن ، العدد 20 هو القاسم المشترك الأكبر للعددين 100 و 40. هذان الرقمان يقبلان القسمة على 20 بدون باقي:

GCD (100 و 40) = 20.

مثال 3أوجد gcd للرقمين 72 و 128

تحليل العدد 72 إلى عوامل

تحليل العدد ١٢٨ إلى عوامل

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

الآن ، من توسيع الرقم الأول ، نحذف العوامل التي لم يتم تضمينها في توسيع الرقم الثاني. توسيع الرقم الثاني لا يشمل ثلاثة توائم (لا يوجد أي منها على الإطلاق). نحذفها من التوسيع الأول:

حصلنا على الإجابة 8. لذا فإن الرقم 8 هو القاسم المشترك الأكبر للعددين 72 و 128. هذان الرقمان يقبلان القسمة على 8 دون الباقي:

GCD (72 و 128) = 8

البحث عن GCD لأرقام متعددة

يمكن إيجاد القاسم المشترك الأكبر للعديد من الأرقام وليس الرقمين فقط. لهذا ، يتم تحليل الأرقام المراد البحث عنها من أجل القاسم المشترك الأكبر إلى عوامل أولية ، ثم يتم إيجاد حاصل ضرب العوامل الأولية المشتركة لهذه الأعداد.

على سبيل المثال ، لنجد GCD للأعداد 18 و 24 و 36

تحليل الرقم 18

تحليل العدد 24 إلى عوامل

تحليل العدد 36 إلى عوامل

حصلنا على ثلاث توسعات:

الآن نختار ونؤكد على العوامل المشتركة في هذه الأرقام. يجب تضمين العوامل المشتركة في جميع الأرقام الثلاثة:

نرى أن العوامل المشتركة للأرقام 18 و 24 و 36 هي العوامل 2 و 3. بضرب هذه العوامل ، نحصل على GCD الذي نبحث عنه:

حصلنا على الإجابة 6. إذن الرقم 6 هو القاسم المشترك الأكبر للأعداد 18 و 24 و 36. هذه الأعداد الثلاثة قابلة للقسمة على 6 بدون باقي:

GCD (18 و 24 و 36) = 6

مثال 2أوجد gcd للأرقام 12 و 24 و 36 و 42

دعونا نحلل كل رقم. ثم نوجد حاصل ضرب العوامل المشتركة لهذه الأعداد.

تحليل العدد 12 إلى عوامل

تحليل العدد 42 إلى عوامل

حصلنا على أربع توسعات:

الآن نختار ونؤكد على العوامل المشتركة في هذه الأرقام. يجب تضمين العوامل المشتركة في جميع الأرقام الأربعة:

نرى أن العوامل المشتركة للأرقام 12 و 24 و 36 و 42 هي العوامل 2 و 3. بضرب هذه العوامل ، نحصل على GCD الذي نبحث عنه:

حصلنا على الإجابة 6. لذا فإن الرقم 6 هو القاسم المشترك الأكبر للأعداد 12 و 24 و 36 و 42. هذه الأعداد قابلة للقسمة على 6 بدون باقي:

gcd (12 و 24 و 36 و 42) = 6

من الدرس السابق ، نعلم أنه إذا تمت قسمة رقم على رقم آخر بدون باقي ، فإنه يسمى مضاعف هذا الرقم.

اتضح أن المضاعف يمكن أن يكون مشتركًا لعدة أرقام. والآن سنهتم بمضاعفة عددين ، بينما يجب أن تكون صغيرة قدر الإمكان.

تعريف. المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للأرقام أو ب- أو ب أورقم ب.

يحتوي التعريف على متغيرين أو ب. لنعوض بأي رقمين عن هذه المتغيرات. على سبيل المثال ، بدلاً من المتغير أاستبدل الرقم 9 وبدلاً من المتغير بدعنا نستبدل الرقم 12. الآن دعونا نحاول قراءة التعريف:

المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للأرقام 9 و 12 - هذه أصغر عدد، وهو مضاعف 9 و 12 . بمعنى آخر ، إنه رقم صغير قابل للقسمة دون الباقي على الرقم 9 وعلى الرقم 12 .

يتضح من التعريف أن المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر رقم يقبل القسمة على 9 و 12. هذا المضاعف المشترك الأصغر مطلوب العثور عليه.

توجد طريقتان للعثور على المضاعف المشترك الأصغر (LCM). الطريقة الأولى هي أنه يمكنك كتابة المضاعفات الأولى لعددين ، ثم الاختيار من بين هذه المضاعفات مثل هذا الرقم الذي سيكون مشتركًا لكل من الأرقام والصغيرة. دعونا نطبق هذه الطريقة.

أولاً ، لنجد المضاعفات الأولى للعدد 9. لإيجاد مضاعفات الرقم 9 ، عليك أن تضرب هذه التسعة في الأعداد من 1 إلى 9 بالتناوب. وستكون الإجابات التي تحصل عليها هي مضاعفات الرقم 9. ، لنبدأ. سيتم تمييز المضاعفات باللون الأحمر:

الآن نجد مضاعفات العدد 12. للقيام بذلك ، نضرب 12 في جميع الأعداد من 1 إلى 12 على التوالي.

القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر هما مفاهيم حسابية أساسية تسمح لك بالعمل دون عناء الكسور العادية. المضاعف المشترك الأصغر ويستخدم غالبًا لإيجاد القاسم المشترك للعديد من الكسور.

مفاهيم أساسية

المقسوم على العدد الصحيح X هو عدد صحيح آخر Y يمكن بواسطته X القسمة بدون باقي. على سبيل المثال ، القاسم على 4 هو 2 ، و 36 هو 4 ، 6 ، 9. مضاعف العدد الصحيح X هو الرقم Y الذي يقبل القسمة على X بدون باقي. على سبيل المثال ، 3 هو مضاعف 15 ، و 6 هو مضاعف 12.

يمكننا إيجاد القواسم والمضاعفات المشتركة لأي زوج من الأعداد. على سبيل المثال ، بالنسبة إلى 6 و 9 ، المضاعف المشترك هو 18 ، والمقسوم عليه المشترك هو 3. من الواضح أن الأزواج يمكن أن تحتوي على عدة قواسم ومضاعفات ، لذلك يتم استخدام القاسم الأكبر من GCD وأصغر مضاعف للمضاعف المشترك الأصغر في العمليات الحسابية .

أصغر قاسم لا معنى له ، لأنه دائمًا ما يكون واحدًا لأي رقم. المضاعف الأكبر لا معنى له أيضًا ، لأن تسلسل المضاعفات يميل إلى اللانهاية.

البحث عن GCD

توجد طرق عديدة لإيجاد القاسم المشترك الأكبر وأشهرها:

• التعداد المتسلسل للمقسومات واختيار المقسومات المشتركة للزوج والبحث عن أكبرها ؛
• تحلل الأعداد إلى عوامل غير قابلة للتجزئة ؛
• خوارزمية إقليدس
• خوارزمية ثنائية.

اليوم ، في المؤسسات التعليمية ، أكثر طرق التحلل شيوعًا إلى عوامل أولية والخوارزمية الإقليدية. هذا الأخير ، بدوره ، يستخدم في حل معادلات ديوفانتين: البحث عن GCD مطلوب للتحقق من المعادلة لإمكانية حلها في أعداد صحيحة.

البحث عن شهادة عدم الممانعة

يتم تحديد المضاعف المشترك الأصغر أيضًا بدقة من خلال التعداد أو التحليل التكراري إلى عوامل غير قابلة للتجزئة. بالإضافة إلى ذلك ، من السهل العثور على المضاعف المشترك الأصغر إذا تم تحديد القاسم الأكبر بالفعل. بالنسبة للأرقام X و Y ، ترتبط LCM و GCD بالعلاقة التالية:

المضاعف المشترك الأصغر (X ، Y) = X × Y / GCM (X ، Y).

على سبيل المثال ، إذا كانت gcd (15،18) = 3 ، فإن المضاعف المشترك الأصغر (15،18) = 15 × 18/3 = 90. يتمثل الاستخدام الأكثر وضوحًا لـ LCM في إيجاد المقام المشترك ، وهو أقل المضاعف المشترك الكسور المعطاة.

أرقام Coprime

إذا كان زوج من الأرقام لا يحتوي على قواسم مشتركة ، فإن هذا الزوج يسمى coprime. دائمًا ما يكون GCM لمثل هذه الأزواج يساوي واحدًا ، وبناءً على اتصال القواسم والمضاعفات ، فإن GCM للجريمة المشتركة يساوي منتجهم. على سبيل المثال ، الرقمان 25 و 28 هما جريمة مشتركة ، لأنه لا يوجد بينهما قواسم مشتركة ، و LCM (25 ، 28) = 700 ، وهو ما يتوافق مع منتجهما. أي رقمين غير قابلين للتجزئة سيكونان دائمًا جريمة جماعية.

القاسم المشترك والحاسبة المتعددة

باستخدام الآلة الحاسبة الخاصة بنا ، يمكنك حساب GCD و LCM لأي عدد من الأرقام للاختيار من بينها. توجد مهام حساب القواسم والمضاعفات المشتركة في الحساب للصفين الخامس والسادس ، ومع ذلك ، فإن GCD و LCM هي المفاهيم الأساسية للرياضيات وتستخدم في نظرية الأعداد وقياس الكواكب والجبر التواصلي.

أمثلة من الحياة الواقعية

المقام المشترك للكسور

يستخدم المضاعف المشترك الأصغر عند إيجاد المقام المشترك للعديد من الكسور. افترض في مسألة حسابية أنه مطلوب جمع 5 كسور:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

لجمع كسور ، يجب اختزال التعبير إلى مقام موحد ، وهو ما يصغر مشكلة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر. للقيام بذلك ، حدد 5 أرقام في الآلة الحاسبة وأدخل قيم المقام في الخلايا المناسبة. سيحسب البرنامج المضاعف المشترك الأصغر (8 ، 9 ، 12 ، 15 ، 18) = 360. الآن أنت بحاجة إلى حساب العوامل الإضافية لكل كسر ، والتي يتم تعريفها على أنها نسبة المضاعف المشترك الأصغر إلى المقام. لذلك ستبدو المضاعفات الإضافية كما يلي:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

بعد ذلك ، نضرب كل الكسور في العامل الإضافي المقابل ونحصل على:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

يمكننا بسهولة إضافة هذه الكسور والحصول على النتيجة في شكل 159/360. نحن نقلل الكسر بمقدار 3 ونرى الإجابة النهائية - 53/120.

حل معادلات الديوفانتين الخطية

معادلات ديوفانتين الخطية هي تعبيرات من الشكل ax + by = d. إذا كانت النسبة d / gcd (a، b) عددًا صحيحًا ، فإن المعادلة قابلة للحل في أعداد صحيحة. دعنا نتحقق من معادلتين لإمكانية حل عدد صحيح. أولاً ، تحقق من المعادلة 150x + 8y = 37. باستخدام الآلة الحاسبة ، نجد gcd (150.8) = 2. اقسم 37/2 = 18.5. الرقم ليس عددًا صحيحًا ، لذلك لا تحتوي المعادلة على جذور صحيحة.

دعنا نتحقق من المعادلة 1320x + 1760y = 10120. استخدم الآلة الحاسبة لإيجاد gcd (1320 ، 1760) = 440. اقسم 10120/440 = 23. نتيجة لذلك ، نحصل على عدد صحيح ، وبالتالي ، فإن معادلة ديوفانتاين قابلة للحل في معاملات عدد صحيح .

خاتمة

اللعب NOD و NOC دور كبيرفي نظرية الأعداد ، والمفاهيم نفسها مستخدمة على نطاق واسع في مختلف مجالات الرياضيات. استخدم الآلة الحاسبة الخاصة بنا للحساب أكبر القواسموأقل مضاعفات أي عدد من الأرقام.