الخاصية الأساسية لكسر. قواعد. الخاصية الرئيسية لكسر جبري. طرح الكسور ذات القواسم المختلفة. جمع وطرح الكسور العادية

محتوى الدرس

جمع الكسور من نفس القواسم

جمع الكسور نوعان:

1. جمع الكسور من نفس القواسم
2. جمع الكسور ذات القواسم المختلفة

لنبدأ بإضافة كسور لها نفس المقامات. كل شيء بسيط هنا. لإضافة كسور لها نفس المقامات ، عليك أن تجمع البسط وتترك المقام دون تغيير. على سبيل المثال ، لنجمع الكسور و. نجمع البسط ونترك المقام كما هو:

يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا فكرنا في بيتزا مقسمة إلى أربعة أجزاء. إذا أضفت بيتزا إلى البيتزا ، تحصل على بيتزا:

مثال 2اجمع الكسور و.

الجواب هو كسر غير فعلي. إذا جاءت نهاية المهمة ، فمن المعتاد التخلص من الكسور غير الصحيحة. للتخلص من الكسر غير الصحيح ، تحتاج إلى تحديد الجزء بأكمله فيه. في حالتنا ، يتم تخصيص الجزء الصحيح بسهولة - اثنان مقسومًا على اثنين يساوي واحدًا:

يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا فكرنا في بيتزا مقسمة إلى قسمين. إذا أضفت المزيد من البيتزا إلى البيتزا ، فستحصل على بيتزا واحدة كاملة:

مثال 3. اجمع الكسور و.

اجمع البسط مجددًا واترك المقام كما هو:

يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا فكرنا في بيتزا مقسمة إلى ثلاثة أجزاء. إذا أضفت المزيد من البيتزا إلى البيتزا ، ستحصل على البيتزا:

مثال 4أوجد قيمة التعبير

تم حل هذا المثال بنفس الطريقة تمامًا مثل المثال السابق. يجب إضافة البسط وترك المقام دون تغيير:

دعنا نحاول تصوير الحل باستخدام صورة. إذا أضفت بيتزا إلى بيتزا وأضفت المزيد من البيتزا ، تحصل على بيتزا واحدة كاملة والمزيد من البيتزا.

كما ترى ، فإن جمع الكسور بنفس القواسم ليس بالأمر الصعب. يكفي فهم القواعد التالية:

1. لإضافة كسور من نفس المقام ، تحتاج إلى إضافة البسط ، وترك المقام دون تغيير ؛

جمع الكسور ذات القواسم المختلفة

الآن سوف نتعلم كيفية جمع كسور ذات مقامات مختلفة. عند جمع الكسور ، يجب أن تكون مقامات تلك الكسور متطابقة. لكنهم ليسوا دائما نفس الشيء.

على سبيل المثال ، يمكن إضافة الكسور لأن لها نفس القواسم.

لكن لا يمكن جمع الكسور دفعة واحدة ، لأن هذه الكسور لها مقامات مختلفة. في مثل هذه الحالات ، يجب اختزال الكسور إلى نفس المقام (المشترك).

توجد عدة طرق لتقليل الكسور إلى نفس المقام. اليوم سننظر في واحدة منها فقط ، لأن باقي الطرق قد تبدو معقدة بالنسبة للمبتدئين.

يكمن جوهر هذه الطريقة في حقيقة أنه تم البحث عن أول (LCM) من مقامات كلا الكسرين. ثم يتم قسمة المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول ويتم الحصول على العامل الإضافي الأول. يفعلون الشيء نفسه مع الكسر الثاني - المضاعف المشترك الأصغر مقسومًا على مقام الكسر الثاني ويتم الحصول على العامل الإضافي الثاني.

ثم يتم ضرب البسط والمقام في الكسور في عواملها الإضافية. نتيجة لهذه الإجراءات ، تتحول الكسور التي لها قواسم مختلفة إلى كسور لها نفس القواسم. ونحن نعلم بالفعل كيفية جمع هذه الكسور.

مثال 1. اجمع الكسور و

أولًا ، نجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام كلا الكسرين. مقام الكسر الأول هو الرقم 3 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 2. والمضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد هو 6

المضاعف المشترك الأصغر (2 و 3) = 6

الآن نعود إلى الكسور و. أولًا ، نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول ونحصل على العامل الإضافي الأول. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 6 ، ومقام الكسر الأول هو الرقم 3. قسّم 6 على 3 ، نحصل على 2.

الرقم الناتج 2 هو العامل الإضافي الأول. نكتبه حتى الكسر الأول. للقيام بذلك ، نصنع خطًا مائلًا صغيرًا فوق الكسر ونكتب العامل الإضافي الموجود فوقه:

نفعل الشيء نفسه مع الكسر الثاني. نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني ونحصل على العامل الإضافي الثاني. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 6 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 2. قسّم 6 على 2 ، نحصل على 3.

الرقم الناتج 3 هو العامل الإضافي الثاني. نكتبه في الكسر الثاني. مرة أخرى ، نصنع خطًا مائلًا صغيرًا فوق الكسر الثاني ونكتب العامل الإضافي الموجود فوقه:

الآن نحن جاهزون للإضافة. يبقى ضرب البسط والمقام في الكسور بعواملها الإضافية:

انظر عن كثب إلى ما وصلنا إليه. توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور التي لها مقامات مختلفة تحولت إلى كسور لها نفس القواسم. ونحن نعلم بالفعل كيفية جمع هذه الكسور. لنكمل هذا المثال حتى النهاية:

هكذا ينتهي المثال. لإضافته اتضح.

دعنا نحاول تصوير الحل باستخدام صورة. إذا أضفت بيتزا إلى بيتزا ، فستحصل على بيتزا كاملة وسدس بيتزا أخرى:

يمكن أيضًا تصوير اختزال الكسور إلى نفس المقام (المشترك) باستخدام صورة. بإحضار الكسور والمقام المشترك ، نحصل على الكسور و. سيتم تمثيل هذين الكسرين بنفس شرائح البيتزا. سيكون الاختلاف الوحيد هو أنه سيتم تقسيمها هذه المرة إلى حصص متساوية (يتم تقليلها إلى نفس المقام).

يُظهر الرسم الأول كسرًا (أربع قطع من ستة) بينما تُظهر الصورة الثانية كسرًا (ثلاث قطع من ستة). بتجميع هذه القطع معًا نحصل على (سبع قطع من ستة). هذا الكسر غير صحيح ، لذلك قمنا بتمييز الجزء الصحيح فيه. وكانت النتيجة (بيتزا واحدة كاملة وبيتزا سادسة أخرى).

لاحظ أننا رسمنا هذا المثال بتفاصيل أكثر من اللازم. ليس من المعتاد في المؤسسات التعليمية أن تكتب بهذه الطريقة التفصيلية. يجب أن تكون قادرًا على العثور بسرعة على المضاعف المشترك الأصغر لكل من المقامات والعوامل الإضافية لهما ، بالإضافة إلى مضاعفة العوامل الإضافية الموجودة في البسط والمقام بسرعة. أثناء وجودنا في المدرسة ، يتعين علينا كتابة هذا المثال على النحو التالي:

ولكن هناك أيضًا الوجه الآخر للعملة. إذا لم يتم تدوين الملاحظات التفصيلية في المراحل الأولى من دراسة الرياضيات ، فعندئذ أسئلة من هذا النوع "من أين يأتي هذا العدد؟" ، "لماذا تتحول الكسور فجأة إلى كسور مختلفة تمامًا؟ «.

لتسهيل إضافة الكسور ذات القواسم المختلفة ، يمكنك استخدام التعليمات التالية خطوة بخطوة:

1. أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام الكسور ؛
2. اقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام كل كسر واحصل على مضاعف إضافي لكل كسر ؛
3. اضرب البسط والمقام في الكسور في عواملها الإضافية ؛
4. أضف الكسور التي لها نفس القواسم ؛
5. إذا تبين أن الإجابة هي كسر غير لائق ، فحدد الجزء بالكامل ؛

مثال 2أوجد قيمة التعبير .

دعنا نستخدم التعليمات أعلاه.

الخطوة 1. أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام الكسور

أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام كلا الكسرين. مقامات الكسور هي الأعداد 2 و 3 و 4

الخطوة 2. قسّم المضاعف المشترك الأصغر على مقام كل كسر واحصل على مضاعف إضافي لكل كسر

اقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12 ، ومقام الكسر الأول هو الرقم 2. نقسم 12 على 2 ، نحصل على 6. حصلنا على العامل الإضافي الأول 6. نكتبه على الكسر الأول:

الآن نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 3. نقسم 12 على 3 ، نحصل على 4. حصلنا على العامل الإضافي الثاني 4. نكتبه على الكسر الثاني:

الآن نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثالث. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12 ، ومقام الكسر الثالث هو الرقم 4. اقسم 12 على 4 ، نحصل على 3. حصلنا على العامل الإضافي الثالث 3. نكتبه على الكسر الثالث:

الخطوة 3. اضرب البسط والمقام في العوامل الإضافية

نضرب البسط والمقام في العوامل الإضافية:

الخطوة 4. أضف الكسور التي لها نفس المقامات

توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور التي لها قواسم مختلفة تحولت إلى كسور لها نفس القواسم (المشتركة). يبقى إضافة هذه الكسور. أضف:

لم يتم احتواء الإضافة في سطر واحد ، لذلك نقلنا المقدار المتبقي إلى السطر التالي. هذا مسموح به في الرياضيات. عندما لا يتلاءم التعبير مع سطر واحد ، يتم نقله إلى السطر التالي ، ومن الضروري وضع علامة مساوية (=) في نهاية السطر الأول وفي بداية السطر الجديد. تشير علامة التساوي في السطر الثاني إلى أن هذا استمرار للتعبير الذي كان في السطر الأول.

الخطوة 5. إذا تبين أن الإجابة هي كسر غير فعلي ، فحدد الجزء بالكامل فيه

إجابتنا هي كسر غير فعلي. يجب أن نفرد كل جزء منه. نبرز:

حصلت على إجابة

طرح كسور لها نفس القواسم

هناك نوعان من طرح الكسور:

1. طرح كسور لها نفس القواسم
2. طرح الكسور ذات القواسم المختلفة

أولًا ، لنتعلم كيفية طرح الكسور ذات المقامات نفسها. كل شيء بسيط هنا. لطرح آخر من كسر واحد ، عليك طرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول ، وترك المقام كما هو.

على سبيل المثال ، لنجد قيمة التعبير. لحل هذا المثال ، من الضروري طرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول وترك المقام دون تغيير. هيا بنا نقوم بذلك:

يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا فكرنا في بيتزا مقسمة إلى أربعة أجزاء. إذا قطعت البيتزا من البيتزا ، ستحصل على البيتزا:

مثال 2أوجد قيمة التعبير.

مرة أخرى ، من بسط الكسر الأول ، اطرح بسط الكسر الثاني ، واترك المقام دون تغيير:

يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا فكرنا في بيتزا مقسمة إلى ثلاثة أجزاء. إذا قطعت البيتزا من البيتزا ، ستحصل على البيتزا:

مثال 3أوجد قيمة التعبير

تم حل هذا المثال بنفس الطريقة تمامًا مثل المثال السابق. من بسط الكسر الأول ، عليك طرح بسط الكسور المتبقية:

كما ترى ، لا يوجد شيء معقد في طرح الكسور التي لها نفس المقامات. يكفي فهم القواعد التالية:

1. لطرح آخر من كسر واحد ، عليك طرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول وترك المقام دون تغيير ؛
2. إذا تبين أن الإجابة كانت كسرًا غير لائق ، فأنت بحاجة إلى تحديد الجزء بالكامل فيه.

طرح الكسور ذات القواسم المختلفة

على سبيل المثال ، يمكن طرح كسر من كسر ، لأن هذه الكسور لها نفس المقامات. لكن لا يمكن طرح الكسر من الكسر ، لأن هذه الكسور لها مقامات مختلفة. في مثل هذه الحالات ، يجب اختزال الكسور إلى نفس المقام (المشترك).

تم إيجاد المقام المشترك وفقًا لنفس المبدأ الذي استخدمناه عند جمع الكسور ذات المقامات المختلفة. أولًا ، أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام كلا الكسرين. ثم يتم قسمة المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول ويتم الحصول على العامل الإضافي الأول ، والذي يتم كتابته على الكسر الأول. وبالمثل ، يتم قسمة المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني ويتم الحصول على عامل إضافي آخر ، يتم كتابته على الكسر الثاني.

ثم يتم ضرب الكسور في عواملها الإضافية. نتيجة لهذه العمليات ، تتحول الكسور ذات المقامات المختلفة إلى كسور لها نفس القواسم. ونحن نعلم بالفعل كيفية طرح مثل هذه الكسور.

مثال 1أوجد قيمة التعبير:

هذه الكسور لها مقامات مختلفة ، لذا عليك تقريبها إلى نفس المقام (المشترك).

أولًا ، نوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام كلا الكسرين. مقام الكسر الأول هو الرقم 3 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 4. المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد هو 12

المضاعف المشترك الأصغر (3 و 4) = 12

الآن نعود إلى الكسور و

لنجد عاملًا إضافيًا للكسر الأول. للقيام بذلك ، نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12 ، ومقام الكسر الأول هو الرقم 3. نقسم 12 على 3 ، نحصل على 4. نكتب الأربعة على الكسر الأول:

نفعل الشيء نفسه مع الكسر الثاني. نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 4. اقسم 12 على 4 ، نحصل على 3. اكتب ثلاثية على الكسر الثاني:

الآن نحن جاهزون للطرح. يبقى ضرب الكسور بعواملها الإضافية:

توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور التي لها مقامات مختلفة تحولت إلى كسور لها نفس القواسم. ونحن نعلم بالفعل كيفية طرح مثل هذه الكسور. لنكمل هذا المثال حتى النهاية:

حصلت على إجابة

دعنا نحاول تصوير الحل باستخدام صورة. إذا قطعت البيتزا من البيتزا ، تحصل عليها.

هذه هي النسخة التفصيلية للحل. كوننا في المدرسة ، سيتعين علينا حل هذا المثال بطريقة أقصر. سيبدو هذا الحل كما يلي:

يمكن أيضًا تصوير اختزال الكسور إلى قاسم مشترك باستخدام صورة. بوصل هذين الكسور إلى مقام مشترك ، نحصل على الكسور و. سيتم تمثيل هذه الكسور بنفس شرائح البيتزا ، ولكن هذه المرة سيتم تقسيمها إلى نفس الكسور (يتم اختزالها إلى نفس المقام):

يُظهر الرسم الأول كسرًا (ثماني قطع من اثني عشر) ، والصورة الثانية تُظهر كسرًا (ثلاث قطع من اثني عشر). بقطع ثلاث قطع من ثماني قطع ، نحصل على خمس قطع من اثني عشر. يصف الكسر هذه الأجزاء الخمس.

مثال 2أوجد قيمة التعبير

هذه الكسور لها مقامات مختلفة ، لذا عليك أولًا تقريبها إلى نفس المقام (المشترك).

أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام هذه الكسور.

مقامات الكسور هي الأعداد 10 و 3 و 5. المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد هو 30

المضاعف المشترك الأصغر (10، 3، 5) = 30

الآن نجد عوامل إضافية لكل كسر. للقيام بذلك ، نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام كل كسر.

لنجد عاملًا إضافيًا للكسر الأول. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 30 ، ومقام الكسر الأول هو الرقم 10. نقسم 30 على 10 ، نحصل على العامل الإضافي الأول 3. نكتبه على الكسر الأول:

نوجد الآن عاملًا إضافيًا للكسر الثاني. اقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 30 ، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 3. نقسم 30 على 3 ، نحصل على العامل الإضافي الثاني 10. نكتبه على الكسر الثاني:

نوجد الآن عاملًا إضافيًا للكسر الثالث. اقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثالث. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 30 ، ومقام الكسر الثالث هو الرقم 5. نقسم 30 على 5 ، نحصل على العامل الإضافي الثالث 6. نكتبه على الكسر الثالث:

الآن كل شيء جاهز للطرح. يبقى ضرب الكسور بعواملها الإضافية:

توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور التي لها قواسم مختلفة تحولت إلى كسور لها نفس القواسم (المشتركة). ونحن نعلم بالفعل كيفية طرح مثل هذه الكسور. لننهي هذا المثال.

لن يتناسب استمرار المثال مع سطر واحد ، لذلك ننقل المتابعة إلى السطر التالي. لا تنسَ علامة المساواة (=) في السطر الجديد:

تبين أن الإجابة هي جزء صحيح ، ويبدو أن كل شيء يناسبنا ، لكنه مرهق وقبيح للغاية. يجب أن نجعلها أسهل. ماذا يمكن ان يفعل؟ يمكنك تقليل هذا الكسر.

لتقليل الكسر ، تحتاج إلى قسمة البسط والمقام على (gcd) العددين 20 و 30.

إذن ، نجد GCD للأرقام 20 و 30:

نعود الآن إلى مثالنا ونقسم بسط الكسر ومقامه على GCD الموجود ، أي على 10

حصلت على إجابة

ضرب الكسر في رقم

لضرب كسر في رقم ، تحتاج إلى ضرب بسط الكسر المعطى في هذا الرقم ، وترك المقام كما هو.

مثال 1. اضرب الكسر بالرقم 1.

اضرب بسط الكسر بالرقم 1

يمكن فهم الإدخال على أنه يستغرق نصف مرة. على سبيل المثال ، إذا تناولت البيتزا مرة واحدة ، فستحصل على البيتزا

نعلم من قوانين الضرب أنه إذا تم تبديل المضاعف والمضاعف ، فلن يتغير المنتج. إذا تمت كتابة التعبير كـ ، فسيظل المنتج مساويًا لـ. مرة أخرى ، تعمل قاعدة ضرب عدد صحيح وكسر:

يمكن فهم هذا الإدخال على أنه يأخذ نصف الوحدة. على سبيل المثال ، إذا كان هناك بيتزا واحدة كاملة وأخذنا نصفها ، فسنحصل على بيتزا:

مثال 2. أوجد قيمة التعبير

اضرب بسط الكسر في 4

الجواب هو كسر غير فعلي. لنأخذ جزءًا كاملاً منه:

يمكن فهم التعبير على أنه أخذ ربعين أربع مرات. على سبيل المثال ، إذا تناولت البيتزا 4 مرات ، فستحصل على اثنين من البيتزا الكاملة.

وإذا قمنا بتبديل المضاعف والمضاعف في أماكن ، فسنحصل على المقدار. سيكون أيضًا مساويًا لـ 2. يمكن فهم هذا التعبير على أنه أخذ اثنين من البيتزا من أربع بيتزا كاملة:

ضرب الكسور

لضرب الكسور ، عليك أن تضرب البسط والمقام. إذا كانت الإجابة كسرًا غير فعلي ، فأنت بحاجة إلى تحديد الجزء بالكامل فيه.

مثال 1أوجد قيمة التعبير.

حصلت على إجابة. من المستحسن تقليل هذا الكسر. يمكن تصغير الكسر بمقدار 2. ثم يأخذ الحل النهائي الشكل التالي:

يمكن فهم التعبير على أنه أخذ بيتزا من نصف بيتزا. لنفترض أن لدينا نصف بيتزا:

كيف تأخذ الثلثين من هذا النصف؟ تحتاج أولاً إلى تقسيم هذا النصف إلى ثلاثة أجزاء متساوية:

وخذ قطعتين من هذه القطع الثلاث:

سنحصل على بيتزا. تذكر كيف تبدو البيتزا مقسمة إلى ثلاثة أجزاء:

شريحة واحدة من هذه البيتزا والشريحتين اللتين أخذناهما سيكون لها نفس الأبعاد:

بعبارة أخرى ، نحن نتحدث عن نفس حجم البيتزا. لذلك ، فإن قيمة التعبير هي

مثال 2. أوجد قيمة التعبير

اضرب بسط الكسر الأول في بسط الكسر الثاني ، واضرب مقام الكسر الأول في مقام الكسر الثاني:

الجواب هو كسر غير فعلي. لنأخذ جزءًا كاملاً منه:

مثال 3أوجد قيمة التعبير

اضرب بسط الكسر الأول في بسط الكسر الثاني ، واضرب مقام الكسر الأول في مقام الكسر الثاني:

تبين أن الإجابة هي كسر صحيح ، لكنها ستكون جيدة إذا تم تقليلها. لتقليل هذا الكسر ، عليك قسمة بسط هذا الكسر ومقامه على الأكبر القاسم المشترك(gcd) أرقام 105 و 450.

إذن ، لنجد GCD للرقمين 105 و 450:

نقسم الآن بسط ومقام إجابتنا على GCD التي وجدناها الآن ، أي على 15

تمثيل عدد صحيح في صورة كسر

يمكن تمثيل أي عدد صحيح في صورة كسر. على سبيل المثال ، يمكن تمثيل الرقم 5 كـ. من هذا ، لن يغير خمسة معناه ، لأن التعبير يعني "العدد خمسة مقسومًا على واحد" ، وهذا كما تعلمون يساوي خمسة:

أرقام عكسية

الآن سوف نتعرف على موضوع مثير للاهتمام للغاية في الرياضيات. يطلق عليه "الأرقام العكسية".

تعريف. عكس الرقمأ هو الرقم الذي عند ضربهأ يعطي وحدة.

لنعوض بهذا التعريف بدلاً من المتغير أرقم 5 وحاول قراءة التعريف:

عكس الرقم 5 هو الرقم الذي عند ضربه 5 يعطي وحدة.

هل من الممكن إيجاد رقم يعطي واحدًا عند ضربه في 5؟ اتضح أنك تستطيع. دعنا نمثل خمسة في صورة كسر:

ثم اضرب هذا الكسر في نفسه ، فقط بدل البسط والمقام. بعبارة أخرى ، دعونا نضرب الكسر في نفسه ، مقلوبًا فقط:

ماذا ستكون نتيجة هذا؟ إذا واصلنا حل هذا المثال ، فسنحصل على واحد:

هذا يعني أن معكوس الرقم 5 هو الرقم ، لأنه عندما يتم ضرب 5 في واحد ، يتم الحصول على واحد.

يمكن أيضًا العثور على المقلوب لأي عدد صحيح آخر.

يمكنك أيضًا إيجاد مقلوب أي كسر آخر. للقيام بذلك ، يكفي قلبه.

قسمة الكسر على رقم

لنفترض أن لدينا نصف بيتزا:

دعنا نقسمها بالتساوي بين اثنين. كم عدد البيتزا التي سيحصل عليها كل واحد؟

يمكن ملاحظة أنه بعد تقسيم نصف البيتزا ، تم الحصول على شريحتين متساويتين ، تشكل كل منهما بيتزا. حتى يحصل الجميع على بيتزا.

قسمة الكسور تتم باستخدام المعاملة بالمثل. تسمح لك المبادلات باستبدال القسمة بالضرب.

لقسمة كسر على رقم ، تحتاج إلى ضرب هذا الكسر في مقلوب المقسوم عليه.

باستخدام هذه القاعدة ، سنكتب قسمة نصف البيتزا إلى قسمين.

لذلك ، تحتاج إلى قسمة الكسر على الرقم 2. هنا المقسوم كسر والمقسوم عليه 2.

لقسمة كسر على الرقم 2 ، تحتاج إلى ضرب هذا الكسر في مقلوب المقسوم عليه 2. مقلوب المقسوم عليه 2 هو كسر. لذلك تحتاج إلى الضرب في

الكسور هي أعداد عادية ، ويمكن أيضًا جمعها وطرحها. ولكن نظرًا لحقيقة أن لديهم مقامًا ، فإن القواعد الأكثر تعقيدًا مطلوبة هنا مقارنةً بالأعداد الصحيحة.

ضع في اعتبارك أبسط حالة ، عندما يكون هناك كسرين لهما نفس المقامات. ثم:

لإضافة كسور لها نفس المقامات ، اجمع البسط واترك المقام دون تغيير.

لطرح كسور لها نفس المقام ، من الضروري طرح بسط الثاني من بسط الكسر الأول ، وترك المقام دون تغيير مرة أخرى.

داخل كل تعبير ، مقامات الكسور متساوية. من خلال تعريف جمع وطرح الكسور ، نحصل على:

كما ترى ، لا شيء معقد: فقط اجمع أو اطرح البسط - وهذا كل شيء.

ولكن حتى في مثل هذا إجراءات بسيطةتمكن الناس من ارتكاب الأخطاء. غالبًا ما ينسون أن المقام لا يتغير. على سبيل المثال ، عند إضافتهم ، يبدأون أيضًا في الجمع ، وهذا خطأ جوهري.

تخلص من عادة سيئةإضافة القواسم سهلة بما فيه الكفاية. حاول أن تفعل الشيء نفسه عند الطرح. نتيجة لذلك ، سيكون المقام صفراً ، ويفقد الكسر (فجأة!) معناه.

لذلك ، تذكر مرة واحدة وإلى الأبد: عند الجمع والطرح ، لا يتغير المقام!

أيضًا ، يرتكب العديد من الأشخاص أخطاء عند إضافة العديد من الكسور السالبة. هناك ارتباك مع العلامات: مكان وضع علامة ناقص وأين - علامة زائد.

هذه المشكلة سهلة الحل أيضًا. يكفي أن نتذكر أنه يمكن دائمًا نقل علامة الطرح قبل علامة الكسر إلى البسط - والعكس صحيح. وبالطبع لا تنس قاعدتين بسيطتين:

1. زائد ضرب ناقص يعطي ناقص ؛
2. سلبيتان تؤيدان.

دعنا نحلل كل هذا بأمثلة محددة:

مهمة. أوجد قيمة التعبير:

في الحالة الأولى ، كل شيء بسيط ، وفي الحالة الثانية ، سنضيف سالب إلى بسط الكسور:

ماذا لو كانت القواسم مختلفة

لا يمكنك إضافة كسور ذات مقامات مختلفة مباشرة. على الأقل ، هذه الطريقة غير معروفة بالنسبة لي. ومع ذلك ، يمكن دائمًا إعادة كتابة الكسور الأصلية بحيث تصبح المقامات كما هي.

هناك العديد من الطرق لتحويل الكسور. تمت مناقشة ثلاثة منها في الدرس "إحضار الكسور إلى قاسم مشترك" ، لذلك لن نتطرق إليها هنا. دعنا نلقي نظرة على بعض الأمثلة:

مهمة. أوجد قيمة التعبير:

في الحالة الأولى ، نحضر الكسور إلى قاسم مشترك باستخدام طريقة "التبادلية". في الثانية ، سنبحث عن المضاعف المشترك الأصغر. لاحظ أن 6 = 2 3 ؛ 9 = 3 · 3. العوامل الأخيرة في هذه التوسعات متساوية ، وأولها جريمة جماعية. لذلك ، المضاعف المشترك الأصغر (6 ؛ 9) = 2 3 3 = 18.

ماذا لو كان الكسر يحتوي على جزء صحيح

يمكنني إرضاءك: قواسم الكسور المختلفة ليست هي الشر الأعظم. تحدث أخطاء أكثر بكثير عندما يتم تمييز الجزء بالكامل من حيث الكسور.

بالطبع ، لمثل هذه الكسور هناك خوارزميات جمع وطرح خاصة بها ، لكنها معقدة نوعًا ما وتتطلب دراسة طويلة. من الأفضل استخدام الرسم التخطيطي البسيط أدناه:

1. تحويل جميع الكسور التي تحتوي على جزء صحيح إلى غير صحيح. نحصل على شروط عادية (حتى لو كانت ذات قواسم مختلفة) ، والتي يتم حسابها وفقًا للقواعد التي تمت مناقشتها أعلاه ؛
2. في الواقع ، احسب مجموع أو فرق الكسور الناتجة. نتيجة لذلك ، سنجد الإجابة عمليًا ؛
3. إذا كان هذا هو كل ما هو مطلوب في المهمة ، فإننا نقوم بإجراء التحويل العكسي ، أي نتخلص من الكسر غير الصحيح ، مع إبراز الجزء الصحيح فيه.

تم وصف قواعد التبديل إلى الكسور غير الصحيحة وإبراز الجزء الصحيح بالتفصيل في الدرس "ما هو الكسر العددي". إذا كنت لا تتذكر ، فتأكد من التكرار. أمثلة:

مهمة. أوجد قيمة التعبير:

كل شيء بسيط هنا. المقامات الموجودة داخل كل تعبير متساوية ، لذلك يبقى تحويل كل الكسور إلى أعداد غير صحيحة والعدد. نملك:

لتبسيط العمليات الحسابية ، تخطيت بعض الخطوات الواضحة في الأمثلة الأخيرة.

ملاحظة صغيرة للمثالين الأخيرين ، حيث يتم طرح الكسور ذات الجزء الصحيح المميز. يعني الطرح قبل الكسر الثاني أن الكسر الكامل هو الذي تم طرحه ، وليس الجزء كله فقط.

أعد قراءة هذه الجملة مرة أخرى ، وانظر إلى الأمثلة وفكر فيها. هذا هو المكان الذي يسمح فيه المبتدئين كمية كبيرةأخطاء. إنهم يحبون إسناد مثل هذه المهام إلى مراقبة العمل. سوف تقابلهم أيضًا بشكل متكرر في اختبارات هذا الدرس ، والتي سيتم نشرها قريبًا.

ملخص: المخطط العام للحوسبة

في الختام ، سأقدم خوارزمية عامة ستساعدك في إيجاد مجموع أو فرق كسرين أو أكثر:

1. إذا تم تمييز جزء صحيح في كسر واحد أو أكثر ، قم بتحويل هذه الكسور إلى كسور غير مناسبة ؛
2. قم بإحضار جميع الكسور إلى قاسم مشترك بأي طريقة مناسبة لك (ما لم يكن ، بالطبع ، القائمون على تجميع المشاكل هم من فعلوا ذلك) ؛
3. جمع أو طرح الأرقام الناتجة وفقًا لقواعد جمع وطرح الكسور التي لها نفس القواسم ؛
4. قلل النتيجة إن أمكن. إذا تبين أن الكسر غير صحيح ، فحدد الجزء بالكامل.

تذكر أنه من الأفضل إبراز الجزء بأكمله في نهاية المهمة ، قبل كتابة الإجابة مباشرة.

دعنا نتفق على أن "الأفعال ذات الكسور" في درسنا ستُفهم على أنها أفعال ذات كسور عادية. الكسر هو كسر له سمات مثل البسط والشريط الكسري والمقام. يميز هذا الكسر العادي عن الكسر العشري ، والذي يتم الحصول عليه من الكسر العادي عن طريق تقليل المقام إلى مضاعف 10. يتم كتابة الكسر العشري بفاصلة تفصل الجزء الصحيح عن الجزء الكسري. سنتحدث عن العمليات مع الكسور العادية ، لأنها تسبب أكبر الصعوبات للطلاب الذين نسوا أساسيات هذا الموضوع ، والتي تمت تغطيتها في النصف الأول من دورة الرياضيات المدرسية. في الوقت نفسه ، عند تحويل التعبيرات في الرياضيات العليا ، يتم استخدام العمليات ذات الكسور العادية بشكل أساسي. تستحق بعض اختصارات الكسور شيئًا ما! الكسور العشرية لا تسبب صعوبة كبيرة. فهيا!

كسرين ويطلق عليهما إذا كان متساويًا.

على سبيل المثال ، لأن

الكسور و (منذ) و (منذ ذلك الحين) متساوية أيضًا.

من الواضح أن كلا من الكسور والمتساوية. هذا يعني أنه إذا تم ضرب أو تقسيم البسط والمقام لكسر معين على نفس العدد الطبيعي ، فسيتم الحصول على كسر يساوي الرقم المحدد :.

تسمى هذه الخاصية الخاصية الأساسية للكسر.

يمكن استخدام الخاصية الأساسية للكسر لتغيير علامات البسط والمقام في الكسر. إذا تم ضرب بسط الكسر ومقامه في -1 ، فسنحصل على ذلك. هذا يعني أن قيمة الكسر لن تتغير إذا تغيرت علامات البسط والمقام في نفس الوقت. إذا قمت بتغيير علامة البسط فقط أو المقام فقط ، فسيغير الكسر علامته:

تقليل الكسر

باستخدام الخاصية الأساسية للكسر ، يمكنك استبدال كسر معين بكسر آخر يساوي الكسر المعطى ، لكن بسط ومقام أصغر. يسمى هذا الاستبدال تقليل الكسر.

دعنا ، على سبيل المثال ، تحصل على كسر. العددان 36 و 48 لهما القاسم المشترك الأكبر 12. ثم

.

في الحالة العامة ، يكون تقليل الكسر ممكنًا دائمًا إذا لم يكن البسط والمقام من أرقام الجرائم. إذا كان البسط والمقام من الأعداد الأولية نسبيًا ، فإن الكسر يسمى غير قابل للاختزال.

لذا ، فإن اختزال الكسر يعني قسمة بسط الكسر ومقامه على عامل مشترك. كل ما سبق ينطبق على التعبيرات الكسرية التي تحتوي على متغيرات.

مثال 1تقليل الكسر

المحلول. لتحليل البسط إلى عوامل ، بعد تقديم مونومال - 5 مسبقًا س صكمجموع - 2 س ص - 3س ص، نحن نحصل

لتحليل المقام ، نستخدم صيغة فرق المربعات:

نتيجة ل

.

تحويل الكسور إلى قاسم مشترك

دع كسرين ونعطي. لهما مقامات مختلفة: 5 و 7. باستخدام الخاصية الأساسية للكسر ، يمكنك استبدال هذه الكسور بأخرى مساوية لها ، بحيث يكون للكسور الناتجة نفس القواسم. بضرب بسط الكسر ومقامه في 7 ، نحصل على

نضرب البسط والمقام في 5 ، نحصل على

لذلك ، يتم اختزال الكسور إلى قاسم مشترك:

.

لكن ليس هذا هو الحل الوحيد للمشكلة: على سبيل المثال ، يمكن أيضًا اختزال هذه الكسور إلى قاسم مشترك هو 70:

,

وبشكل عام أي مقام يقبل القسمة على كل من 5 و 7.

لنفكر في مثال آخر: لنختزل الكسر والمقام المشترك. يجادل كما في المثال السابق ، نحصل عليه

,

.

لكن في هذه الحالة ، يمكنك تقريب الكسور إلى قاسم مشترك أقل من حاصل ضرب مقامات هذه الكسور. أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 24 و 30: المضاعف المشترك الأصغر (24، 30) = 120.

بما أن 120: 4 = 5 ، لكتابة كسر مقامه 120 ، يجب ضرب كل من البسط والمقام في 5 ، يسمى هذا الرقم عاملًا إضافيًا. وسائل .

علاوة على ذلك ، نحصل على 120: 30 = 4. نضرب بسط الكسر ومقامه في عامل إضافي 4 ، نحصل على .

لذلك ، يتم اختزال هذه الكسور إلى مقام مشترك.

المضاعف المشترك الأصغر لمقام هذه الكسور هو أصغر مقام مشترك ممكن.

بالنسبة للتعبيرات الكسرية التي تتضمن متغيرات ، فإن المقام المشترك هو متعدد الحدود الذي يقبل القسمة على مقام كل كسر.

مثال 2أوجد المقام المشترك للكسور و.

المحلول. القاسم المشترك لهذه الكسور هو كثير الحدود ، لأنه يقبل القسمة على كلاهما وعلى. ومع ذلك ، فإن كثير الحدود هذا ليس هو الوحيد الذي يمكن أن يكون قاسمًا مشتركًا لهذه الكسور. يمكن أن يكون أيضًا متعدد الحدود ، وكثير الحدود ، وكثير الحدود إلخ. عادةً ما يأخذون قاسمًا مشتركًا بحيث يمكن قسمة أي قاسم مشترك آخر على القاسم المختار دون باقي. يسمى هذا المقام بالقاسم المشترك الأصغر.

في مثالنا ، القاسم المشترك الأصغر هو. حصلت:

;

.

تمكنا من تقريب الكسور إلى القاسم المشترك الأصغر. حدث هذا بضرب بسط ومقام الكسر الأول في ، وبسط ومقام الكسر الثاني في. وتسمى كثيرات الحدود عوامل إضافية ، على التوالي ، للكسرين الأول والثاني.

جمع وطرح الكسور

يتم تعريف إضافة الكسور على النحو التالي:

.

فمثلا،

.

اذا كان ب = د، ومن بعد

.

هذا يعني أنه لإضافة كسور لها نفس المقام ، يكفي جمع البسطين وترك المقام كما هو. فمثلا،

.

إذا تمت إضافة كسور ذات مقامات مختلفة ، فعادة ما يتم تقليل الكسور إلى أصغر مقام مشترك ، ثم يتم إضافة البسط. فمثلا،

.

فكر الآن في مثال على إضافة تعبيرات كسرية مع المتغيرات.

مثال 3تحويل التعبير إلى كسر واحد

.

المحلول. لنجد المقام المشترك الأصغر. للقيام بذلك ، علينا أولًا تحليل المقامات.

في المقال سوف نظهر كيفية حل الكسوربأمثلة بسيطة وواضحة. دعونا نفهم ما هو الكسر ونأخذ في الاعتبار حل الكسور!

مفهوم كسوريتم إدخاله في دورة الرياضيات بدءًا من الصف السادس بالمدرسة الثانوية.

تبدو الكسور على النحو التالي: ± X / Y ، حيث Y هو المقام ، فهي تخبر عدد الأجزاء التي تم تقسيم الكل إليها ، و X هي البسط ، وتوضح عدد الأجزاء التي تم أخذها. من أجل الوضوح ، لنأخذ مثالاً مع كعكة:

في الحالة الأولى ، تم تقطيع الكعكة بالتساوي وأخذ نصفها ، أي 1/2. في الحالة الثانية ، تم تقطيع الكعكة إلى 7 أجزاء ، تم أخذ 4 أجزاء منها ، أي 4/7.

إذا كان جزء قسمة رقم على آخر ليس عددًا صحيحًا ، فيتم كتابته في صورة كسر.

على سبيل المثال ، يعطي التعبير 4: 2 \ u003d 2 عددًا صحيحًا ، لكن 4: 7 ليست قابلة للقسمة تمامًا ، لذلك تتم كتابة هذا التعبير في صورة كسر 4/7.

بعبارات أخرى جزءهو تعبير يشير إلى قسمة رقمين أو تعبيرين ، ويتم كتابته بشرطة مائلة.

إذا كان البسط أقل من المقام ، يكون الكسر صحيحًا ، وإذا كان العكس صحيحًا. يمكن أن يحتوي الكسر على عدد صحيح.

على سبيل المثال ، 5 كاملة 3/4.

يعني هذا الإدخال أنه من أجل الحصول على 6 كلها ، لا يكفي جزء واحد من أربعة.

إذا كنت تريد أن تتذكر كيفية حل الكسور للصف السادستحتاج إلى فهم ذلك حل الكسوريتعلق الأمر بشكل أساسي بفهم بعض الأشياء البسيطة.

• الكسر هو في الأساس تعبير عن كسر. بمعنى ، التعبير العددي عن الجزء الذي تكون فيه القيمة المعطاة من كل واحد. على سبيل المثال ، يعبر الكسر 3/5 عن أننا إذا قسمنا شيئًا كاملًا إلى 5 أجزاء وكان عدد أجزاء أو أجزاء هذا كله ثلاثة.
• يمكن أن يكون الكسر أقل من 1 ، على سبيل المثال 1/2 (أو النصف بشكل أساسي) ، فهذا صحيح. إذا كان الكسر أكبر من 1 ، على سبيل المثال 3/2 (ثلاثة أنصاف أو نصف ونصف) ، فهذا غير صحيح ولتبسيط الحل ، من الأفضل لنا تحديد الجزء الكامل 3/2 = 1 كامل 1 / 2.
• الكسور هي نفس الأعداد مثل 1 و 3 و 10 وحتى 100 ، فقط الأعداد ليست صحيحة ، بل كسور. معهم ، يمكنك إجراء جميع العمليات نفسها كما هو الحال مع الأرقام. ليس عد الكسور أكثر صعوبة ، وسنعرض ذلك أيضًا بأمثلة محددة.

كيفية حل الكسور. أمثلة.

تنطبق مجموعة متنوعة من العمليات الحسابية على الكسور.

إحضار كسر إلى قاسم مشترك

على سبيل المثال ، تحتاج إلى مقارنة الكسور 3/4 و 4/5.

لحل المشكلة ، نجد أولاً المقام المشترك الأصغر ، أي أصغر عدد، وهي قابلة للقسمة بدون باقي مقامات الكسور

المقام المشترك الأصغر (4.5) = 20

ثم يتم تقليل مقام كلا الكسرين إلى القاسم المشترك الأصغر

الجواب: 15/20

جمع وطرح الكسور

إذا كان من الضروري حساب مجموع كسرين ، يتم إحضارهما أولاً إلى قاسم مشترك ، ثم يُضاف البسطان ، بينما يبقى المقام دون تغيير. يعتبر اختلاف الكسور بطريقة مماثلة ، والفرق الوحيد هو أنه يتم طرح البسط.

على سبيل المثال ، عليك إيجاد مجموع الكسور 1/2 و 1/3

الآن أوجد الفرق بين الكسور 1/2 و 1/4

ضرب وقسمة الكسور

هنا حل الكسور بسيط ، كل شيء بسيط للغاية هنا:

• الضرب - يتم ضرب البسط ومقام الكسور فيما بينها ؛
• القسمة - أولاً نحصل على كسر ، مقلوب الكسر الثاني ، أي نبدل البسط والمقام ، وبعد ذلك نضرب الكسور الناتجة.

فمثلا:

حول هذا كيفية حل الكسور، الكل. إذا كان لديك أي أسئلة حول حل الكسورشئ غير واضح فاكتب في التعليقات وسنقوم بالرد عليك.

إذا كنت مدرسًا ، فمن الممكن تنزيل العرض التقديمي لـ مدرسة ابتدائية(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) سيكون مفيدًا.

العمليات الحسابية مع الكسور العادية

1. إضافة.

لإضافة كسور لها نفس المقامات ، اجمع البسط واترك المقام كما هو.

مثال. .

لإضافة كسور ذات قواسم مختلفة ، عليك تقريبها لأدنى مقام مشترك ، ثم جمع البسط الناتج وتوقيع المقام المشترك تحت المجموع.

مثال.

مكتوب بإيجاز مثل هذا:

لإضافة أعداد مختلطة ، تحتاج إلى إيجاد مجموع الأعداد الصحيحة ومجموع الأجزاء الكسرية بشكل منفصل. العمل مكتوب على النحو التالي:

2. الطرح.

لطرح كسور لها نفس المقام ، عليك أن تطرح بسط المطروح من بسط المطروح وتترك نفس المقام. العمل مكتوب على النحو التالي:

لطرح الكسور ذات القواسم المختلفة ، يجب عليك أولاً إحضارها إلى أصغر مقام مشترك ، ثم طرح بسط المطروح من بسط الحد الأدنى وتوقيع المقام المشترك تحت الاختلاف. العمل مكتوب على النحو التالي:

إذا كنت بحاجة إلى طرح عدد كسري واحد من عدد كسري آخر ، فقم بطرح كسر من الكسر والكل من الكل إذا أمكن ذلك. العمل مكتوب على النحو التالي:

إذا كان جزء المطروح أكبر من جزء الحد الأدنى ، فسيتم أخذ وحدة واحدة من العدد الكامل للعدد الأدنى ، ويتم تقسيمها إلى الأسهم المناسبة وإضافتها إلى جزء المطروح ، وبعد ذلك يتم المضي قدمًا كما هو موصوف في الاعلى. العمل مكتوب على النحو التالي:

افعل الشيء نفسه عندما تحتاج إلى طرح رقم كسري من رقم صحيح.

مثال. .

3. تمديد خواص الجمع والطرح للأعداد الكسرية.جميع قوانين وخصائص الجمع والطرح للأعداد الطبيعية صالحة أيضًا للأعداد الكسرية. استخدامها في كثير من الحالات يبسط إلى حد كبير عملية الحساب.

4. الضرب.

لضرب كسر في كسر ، عليك أن تضرب البسط في البسط والمقام في المقام وتجعل حاصل الضرب الأول هو البسط والحاصل الضرب الثاني هو المقام.

عند الضرب ، يجب على المرء (إن أمكن) إجراء تخفيض.

مثال. .

إذا أخذنا في الاعتبار أن العدد الصحيح هو كسر مقامه 1 ، فيمكن تنفيذ ضرب الكسر في عدد صحيح وعدد صحيح في كسر وفقًا لنفس القاعدة.

أمثلة.

5. ضرب الأعداد الكسرية.

لضرب الأعداد الكسرية ، يجب أولاً تحويلها إلى كسور غير فعلية ثم الضرب وفقًا لقاعدة ضرب الكسور.

مثال. .

6. قسمة الكسر على كسر.

لقسمة كسر على كسر ، تحتاج إلى ضرب بسط الكسر الأول في مقام الكسر الثاني ، ومقام الكسر الأول في بسط الثاني وكتابة حاصل الضرب الأول كبسط ، والثاني في صورة المقام.

مثال. .

وفقًا للقاعدة نفسها ، يمكنك قسمة كسر على عدد صحيح وعدد صحيح على كسر ، إذا كنت تمثل عددًا صحيحًا ككسر مقامه 1.

أمثلة.

7. تقسيم الأعداد الكسرية.

لأداء قسمة الأعداد الكسرية ، يتم تحويلها أولاً إلى كسور غير صحيحة ثم يتم تقسيمها وفقًا لقاعدة قسمة الكسور.

مثال. .

8. استبدال القسمة بالضرب.

إذا قمت بتبديل البسط والمقام في أي كسر ، فستحصل على كسر جديد ، مقلوب الكسر المعطى. على سبيل المثال ، لكسرسيكون المتبادل.

من الواضح أن حاصل ضرب مقلوبين هو 1.

1. إيجاد كسر من رقم.

هناك العديد من المشاكل التي تحتاج فيها إلى العثور على جزء أو جزء من رقم معين. يتم حل هذه المشاكل عن طريق الضرب.

مهمة. كان لدى المضيفة 20 روبل.لقد استخدمتها للتسوق. كم تكلفة المشتريات؟

هنا تحتاج أن تجدرقم 20. يمكنك القيام بذلك على النحو التالي:

إجابه. أمضت المضيفة 8 روبل.

أمثلة. البحث من 30. الحل. .

ابحث من. المحلول. .

1. إيجاد رقم بالقيمة المعروفة لكسرها.

في بعض الأحيان يكون مطلوبًا تحديد العدد الصحيح من الجزء المعروف من الرقم والكسر الذي يعبر عن هذا الجزء. يتم حل هذه المهام عن طريق التقسيم.

مهمة. هناك 12 عضوًا من Komsomol في الفصل ، وهوجزء من جميع الطلاب في الفصل. كم عدد التلاميذ في الصف؟

المحلول. .

إجابه. 20 طالبًا.

مثال. ابحث عن رقموهو 34.

المحلول. .

إجابه. الرقم المطلوب هو.

1. إيجاد النسبة بين عددين.

لنفكر في المشكلة: عامل يصنع 40 جزءًا في اليوم. أي جزء من المهمة الشهرية أكمله العامل إذا كانت الخطة الشهرية تتكون من 400 جزء؟

المحلول. .

إجابه. اكتمل العاملجزء من الخطة الشهرية.

في هذه الحالة ، يتم التعبير عن الجزء (40 جزءًا) ككسور من الكل (400 جزء). يقولون أيضًا أنه تم العثور على نسبة عدد الأجزاء المصنعة يوميًا إلى الخطة الشهرية.

1. تحويل عدد عشري إلى كسر مشترك.

لتحويل عدد عشري إلى كسر مشترك ، يتم كتابته بمقام ، وإذا أمكن ، يتم اختصاره:

أمثلة.

1. تحويل الكسر إلى كسر عشري.

هناك عدة طرق لتحويل كسر مشترك إلى كسر عشري.

اول طريق. لتحويل كسر إلى كسر عشري ، عليك قسمة البسط على المقام.

أمثلة. .

الطريقة الثانية. لتحويل كسر عادي إلى كسر عشري ، تحتاج إلى ضرب بسط ومقام هذا الكسر في رقم بحيث يكون المقام واحدًا به أصفار (إن أمكن).

مثال.

1. قارن الكسور العشرية بالحجم. لمعرفة أي من الكسور العشرية أكبر ، تحتاج إلى مقارنة أجزائها الكاملة ، أعشارها ، وأجزاءها من المئات ، وما إلى ذلك. إذا كانت الأجزاء كلها متساوية ، فإن الكسر الذي يحتوي على أجزاء أكثر من عشرة يكون أكبر ؛ إذا تساوت الأعداد الصحيحة والأعداد العشرية ، فإن العدد الذي يحتوي على أكثر من جزء من المئات يكون أكبر ، إلخ.

مثال. من ثلاثة كسور 2.432 ؛ 2.41 و 2.4098 هو الأكبر ، لأنه يحتوي على أكبر جزء من مائة ، والكل وأعشار متماثلان في جميع الكسور.

العمليات ذات الكسور العشرية

1. ضرب وقسمة عدد عشري على 10 ، 100 ، 1000 ، إلخ.

لضرب رقم عشري في 10 ، 100 ، 1000 ، إلخ. تحتاج إلى نقل الفاصلة ، على التوالي ، إلى واحد ، اثنان ، ثلاثة ، إلخ. وقع على اليمين. إذا لم تكن هناك علامات كافية للرقم في نفس الوقت ، فسيتم تعيين الأصفار.

مثال. 15.45 10 = 154.5 ؛ 32.3 100 = 3230.

لقسمة عدد عشري على 10 ، 100 ، 1000 ، إلخ ، تحتاج إلى نقل الفاصلة إلى واحد ، اثنين ، ثلاثة ، إلخ ، على التوالي. وقع على اليسار. إذا لم تكن هناك علامات كافية لتحريك الفاصلة ، فسيتم استكمال عددها بعدد الأصفار المقابل على اليسار.

أمثلة. 184.35: 100 = 1.8435 ؛ 3.5: 100 = 0.035.

1. جمع وطرح الكسور العشرية.

تتم إضافة الكسور العشرية وطرحها بنفس طريقة جمع وطرح الأعداد الطبيعية. الرقم مكتوب تحت الرقم ، الفاصلة مكتوبة تحت الفاصلة

أمثلة.

1. ضرب الكسور العشرية.

لضرب كسرين عشريين ، يكفي ، دون الالتفات إلى الفاصلات ، ضربهما كأعداد صحيحة وفي المنتج للفصل بفاصلة على اليمين بعدد المنازل العشرية كما هو الحال في المضاعف والعامل معًا.

مثال 1. 2.064 0.05.

نضرب الأعداد الصحيحة 2064 5 = 10320. احتوى العامل الأول على ثلاثة منازل عشرية ، والعامل الثاني - اثنان. يجب أن يحتوي المنتج على خمسة منازل عشرية. نفصل بينهما على اليمين ونحصل على 0.10320. يمكن التخلص من الصفر في النهاية: 2.064 0.05 = 0.1032.

مثال 2. 1.125 0.08 ؛ 1125 8 = 9000.

يجب أن يكون عدد المنازل العشرية 3 + 2 = 5. نخصص أصفارًا على يسار 9000 (009000) ونفصل خمسة أحرف عن اليمين. نحصل على 1.125 0.08 = 0.09000 = 0.09.

1. قسمة الكسور العشرية.

يتم النظر في حالتين من قسمة الكسور العشرية بدون باقي: 1) قسمة الكسر العشري على عدد صحيح. 2) قسمة عدد (كامل أو كسري) على كسر عشري.

قسمة رقم عشري على عدد صحيح هو نفس قسمة الأعداد الصحيحة ؛ يتم تقسيم الباقي الناتج بالتسلسل إلى أجزاء عشرية أصغر ويستمر القسمة حتى يصبح الباقي صفرًا.

أمثلة.

قسمة رقم (عدد صحيح أو كسري) على عدد عشري في جميع الحالات يؤدي إلى القسمة على عدد صحيح. للقيام بذلك ، قم بزيادة القاسم بمقدار 10 ، 100 ، 1000 ، إلخ. مرات ، وحتى لا يتغير حاصل القسمة ، يتم زيادة المقسوم بنفس عدد المرات ، وبعد ذلك يتم تقسيمه على عدد صحيح (كما في الحالة الأولى).

مثال. 47.04: 0.0084 = 470400: 84 = 5600 ؛

1. أمثلة على الإجراءات المشتركة مع الكسور العادية والعشرية.

ضع في اعتبارك أولاً مثالاً لجميع الإجراءات ذات الكسور العشرية.

مثال 1 احسب:

هنا يستخدمون اختزال المقسوم والمقسوم عليه إلى عدد صحيح ، مع مراعاة حقيقة أن حاصل القسمة لا يتغير. إذن لدينا:

عند حل أمثلة الإجراءات المشتركة مع الكسور العادية والعشرية ، يمكن تنفيذ بعض الإجراءات في الكسور العشرية ، والبعض الآخر في الكسور العادية. يجب ألا يغيب عن البال أنه لا يمكن دائمًا تحويل الكسر العادي إلى كسر عشري نهائي. لذلك ، لا يمكن الكتابة على هيئة كسر عشري إلا عندما يتم التحقق من أن مثل هذا التحويل ممكن.

مثال 2 احسب:

فائدة

مفهوم الاهتمام.النسبة المئوية للرقم هي جزء من مائة من هذا الرقم. على سبيل المثال ، بدلاً من قول "54 في المائة من جميع سكان بلدنا من النساء" ، يمكنك أن تقول "54 في المائة من جميع سكان بلدنا من النساء". بدلاً من كلمة "النسبة المئوية" يكتبون أيضًا علامة٪ ، على سبيل المثال ، 35٪ تعني 35 بالمائة.

بما أن النسبة المئوية هي جزء من مائة ، فيعني ذلك أن النسبة المئوية هي كسر مقامه 100. لذلك ، يكون الكسر هو 0.49 ، أو، يمكن قراءتها على شكل 49 بالمائة وكتابتها بدون المقام على شكل 49 بالمائة. بشكل عام ، بعد تحديد عدد المئات في كسر عشري معين ، من السهل كتابته كنسبة مئوية. للقيام بذلك ، استخدم القاعدة: لكتابة كسر عشري كنسبة مئوية ، تحتاج إلى تحريك الفاصلة في هذا الكسر منزلتين عشريتين إلى اليمين.

أمثلة. 0.33 = 33٪ ؛ 1.25 = 125٪ ؛ 0.002 = 0.2٪ ؛ 21 = 2100٪.

والعكس صحيح: 7٪ = 0.07؛ 24.5٪ = 0.245 ؛ 0.1٪ = 0.001 ؛ 200٪ = 2.

1. إيجاد النسب المئوية لعدد معين

مهمة. وفقًا للخطة ، يجب على فريق سائقي الجرارات استخدام 9 أطنان من الوقود. أخذ سائقو الجرارات التزامًا اجتماعيًا بتوفير 20٪ من الوقود. تحديد توفير الوقود بالأطنان.

إذا كتبنا في هذه المسألة بدلًا من 20٪ العدد 0.2 مساويًا له ، نحصل على مشكلة لإيجاد كسر العدد. وهذه المسائل تحل بالضرب. من هنا يأتي الحل:

20٪ = 0.2 ؛ 9 0.2 = 1.8 (م).

يمكن أيضًا كتابة الحسابات على النحو التالي:

(م)

لإيجاد نسبة مئوية قليلة من رقم معين ، يكفي قسمة الرقم المحدد على 100 وضرب الناتج في عدد النسبة المئوية.

مهمة. حصل العامل في عام 1963 على 90 روبل في الشهر ، وفي عام 1964 بدأ في الحصول على 30 ٪ أكثر. كم كسب في عام 1964؟

الحل (الطريقة الأولى).

1) كم عدد الروبل الذي حصل عليه العامل؟

(فرك.)

90 + 27 = 117 (فرك).

الطريقة الثانية.

1) ما هي نسبة المكاسب السابقة التي حصل عليها العامل عام 1964؟

100% + 30% = 130%.

2) كم كان الراتب الشهري للعامل عام 1964؟

(فرك.)

2. إيجاد رقم من قيمة معينة من نسبته المئوية.

مهمة. في المزرعة الجماعية ، زرعت الذرة على مساحة 280 هكتار ، أي 14٪ من إجمالي المساحة المزروعة. تحديد المنطقة المزروعة بالمزرعة الجماعية.

إذا كنا في هذه المشكلة بدلاً من 14٪ نكتب 0.14 أو، ثم نحصل على مشكلة إيجاد رقم بالقيمة المعروفة لكسرها. وهذه المشاكل تحل بالتقسيم.

المحلول. 14٪ = 0.14 ؛ 280: 0.14 = 2000 (هكتار). يمكنك اتخاذ هذا القرار مثل هذا:

(هكتار)

لإيجاد رقم لقيمة معينة من عدة في المائة منه ، يكفي قسمة هذه القيمة على عدد النسبة المئوية وضرب النتيجة في 100.

مهمة. في مارس ، صهر المصنع 125.4ر المعادن ، وفائض الخطة بنسبة 4.5٪. كم طنًا من المعدن كان من المفترض أن يصهر المصنع في مارس وفقًا للخطة؟

المحلول.

1) ما هي النسبة المئوية التي حققها المصنع في مارس؟

100% + 4,5% = 104,5%.

2) كم طن من المعدن كان يجب على المصنع أن يصهره؟

(هكتار)

1. إيجاد النسبة المئوية لرقمين.

مهمة. من الضروري حرث 300 هكتار من الأراضي. في اليوم الأول ، حُرثت 120 هكتارًا. ما هي النسبة المئوية للمهمة التي تم حرثها في اليوم الأول؟

المحلول.

اول طريق. 300 هكتار تساوي 100٪ أي أن 1٪ تمثل 3 هكتارات. بعد تحديد عدد المرات التي تم فيها احتواء 3 هكتارات ، وهي 1٪ ، في 120 هكتارًا ، سنكتشف عدد المرات التي تم فيها حرث الأرض في اليوم الأول

120: 3 = 40(%).

الطريقة الثانية. بعد تحديد جزء الأرض الذي تم حرثه في اليوم الأول ، نعبر عن هذا الجزء كنسبة مئوية.

لنكتب الحساب:

لحساب النسبة المئوية للرقممن أ إلى رقم ب ، تحتاج إلى إيجاد النسبةمن أ الى ب واضربها في 100.