الاسلوب المناسب للرجال والنساء » أزياء رجالية » كيفية إيجاد المضاعف المشترك الأصغر. لماذا يتم تقديم مفهومي "القاسم المشترك الأكبر (GCD)" و "المضاعف المشترك الأصغر (LCM)" للأرقام في دورة الرياضيات بالمدرسة

كيفية إيجاد المضاعف المشترك الأصغر. لماذا يتم تقديم مفهومي "القاسم المشترك الأكبر (GCD)" و "المضاعف المشترك الأصغر (LCM)" للأرقام في دورة الرياضيات بالمدرسة

ضع في اعتبارك حل المشكلة التالية. خطوة الصبي 75 سم ، وخطوة الفتاة 60 سم ، ولا بد من إيجاد أصغر مسافة يأخذ كلاهما عندها عددًا صحيحًا من الخطوات.

المحلول.يجب أن يكون المسار الكامل الذي يمر به الرجال قابلاً للقسمة على 60 و 70 بدون باقي ، حيث يجب أن يتخذ كل منهم عددًا صحيحًا من الخطوات. بمعنى آخر ، يجب أن تكون الإجابة من مضاعفات كل من 75 و 60.

أولاً ، نكتب جميع المضاعفات للرقم 75. نحصل على:

  • 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

لنكتب الآن الأعداد التي ستكون من مضاعفات 60. نحصل على:

  • 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

الآن نجد الأرقام الموجودة في كلا الصفين.

  • ستكون المضاعفات الشائعة للأرقام هي الأرقام ، 300 ، 600 ، إلخ.

أصغرها هو الرقم 300. في هذه الحالة ، سوف يطلق عليه المضاعف المشترك الأصغر للأرقام 75 و 60.

بالعودة إلى حالة المشكلة ، فإن أصغر مسافة يأخذ فيها الرجال عددًا صحيحًا من الخطوات ستكون 300 سم ، وسيذهب الصبي بهذه الطريقة في 4 خطوات ، وستحتاج الفتاة إلى 5 خطوات.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر

  • المضاعف المشترك الأصغر لعددين طبيعيين a و b هو أصغر عدد طبيعي يكون مضاعفًا لكل من a و b.

لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لرقمين ، ليس من الضروري كتابة جميع المضاعفات لهذه الأرقام في صف واحد.

يمكنك استخدام الطريقة التالية.

كيفية إيجاد المضاعف المشترك الأصغر

أولاً ، عليك تحليل هذه الأعداد إلى عوامل أولية.

  • 60 = 2*2*3*5,
  • 75=3*5*5.

لنكتب الآن جميع العوامل الموجودة في مفكوك العدد الأول (2،2،3،5) ونضيف إليها جميع العوامل المفقودة من توسيع الرقم الثاني (5).

نتيجة لذلك ، نحصل على سلسلة من الأعداد الأولية: 2،2،3،5،5. سيكون حاصل ضرب هذه الأرقام هو العامل المشترك الأقل لهذه الأعداد. 2 * 2 * 3 * 5 * 5 = 300.

المخطط العام لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر

  • 1. حلل الأعداد إلى عوامل أولية.
  • 2. اكتب العوامل الأولية التي تشكل جزءًا منها.
  • 3. أضف إلى هذه العوامل كل تلك الموجودة في تحلل البقية ، ولكن ليس في العامل المحدد.
  • 4. أوجد ناتج جميع العوامل المكتوبة.

هذه الطريقة عالمية. يمكن استخدامه للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لأي عدد من الأعداد الطبيعية.

لانسينوفا عيسى

تحميل:

معاينة:

لاستخدام معاينة العروض التقديمية ، قم بإنشاء حساب Google (حساب) وقم بتسجيل الدخول: https://accounts.google.com


شرح الشرائح:

مهام GCD و LCM للأرقام عمل طالب في الصف السادس من MKOU "Kamyshovskaya OOSh" Lantsinova Aisa مشرف Goryaeva Zoya Erdnigoryaevna ، مدرس الرياضيات ص. كاميشوفو ، 2013

مثال على إيجاد GCD للأعداد 50 و 75 و 325. 1) لنحلل الأرقام 50 و 75 و 325 إلى عوامل أولية. 50 = 2 5 5 75 = 3 5 5325 = 5 5 13 50 = 2 ∙ 5 ∙ 5 75 = 3 5 5325 = 5 ∙ 5 ∙ 13 قسّم بدون باقي العددين a و b يسميان القاسم المشترك الأكبر لهذه الأعداد.

مثال لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام 72 و 99 و 117. 1) دعونا نحلل الأرقام 72 و 99 و 117. اكتب العوامل المدرجة في مفكوك أحد الأرقام 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 وأضف إليهم العوامل الناقصة للأعداد المتبقية. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) أوجد حاصل ضرب العوامل الناتجة. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 11 ∙ 13 = 10296 الإجابة: المضاعف المشترك الأصغر (72 و 99 و 117) = 10296 يسمى المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الطبيعية أ وب أصغر عدد طبيعي يكون من مضاعفات أ و ب.

ورقة من الورق المقوى لها شكل مستطيل طولها 48 سم وعرضها 40 سم ويجب تقطيع هذه الورقة دون إهدار إلى مربعات متساوية. ما هي أكبر المربعات التي يمكن الحصول عليها من هذه الورقة وكم عددها؟ الحل: 1) S = a ∙ b هي مساحة المستطيل. S \ u003d 48 ∙ 40 \ u003d 1960 سم². هي مساحة الكرتون. 2) أ- ضلع المربع 48: أ- عدد المربعات التي يمكن وضعها على طول الكرتون. 40: أ - عدد المربعات التي يمكن وضعها على عرض الكرتون. 3) GCD (40 و 48) = 8 (سم) - جانب المربع. 4) S \ u003d a² - مساحة المربع الواحد. S \ u003d 8² \ u003d 64 (سم²) - مساحة المربع الواحد. 5) 1960: 64 = 30 (عدد المربعات). الجواب: 30 مربعًا طول كل ضلع 8 سم. مهام GCD

يجب وضع الموقد في الغرفة ببلاط نهائي على شكل مربع. كم عدد البلاط المطلوب لمدفأة 195 156 سم وما هي أكبر أبعادالبلاط؟ الحل: 1) S = 196 156 = 30420 (سم ²) - S لسطح الموقد. 2) GCD (195 و 156) = 39 (سم) - جانب البلاط. 3) S = a² = 39² = 1521 (سم 2) - مساحة 1 بلاطة. 4) 30420: = 20 (قطعة). الجواب: 20 قطعة قياس 39 39 سنتم. مهام GCD

يجب أن تكون قطعة أرض حديقة مساحتها 54 × 48 مترًا حول المحيط مسيجة ، لذلك يجب وضع أعمدة خرسانية على فترات منتظمة. كم عدد الأعمدة التي يجب إحضارها للموقع ، وما هو أقصى مسافة من بعضها البعض؟ الحل: 1) P = 2 (a + b) - محيط الموقع. P = 2 (54 + 48) = 204 م. 2) GCD (54 و 48) = 6 (م) - المسافة بين الأعمدة. 3) 204: 6 = 34 (أعمدة). الجواب: 34 عموداً على مسافة 6 أمتار مهام قسم GCD

من 210 بورجوندي ، تم جمع 126 وردة بيضاء و 294 وردة حمراء ، وفي كل باقة كان عدد الورود من نفس اللون متساويًا. أيّ أكبر عددباقات مصنوعة من هذه الورود وكم عدد الورود من كل لون في باقة واحدة؟ الحل: 1) GCD (210، 126، 294) = 42 (باقات). 2) 210: 42 = 5 (ورود بورجوندي). 3) 126: 42 = 3 (ورد أبيض). 4) 294:42 = 7 (ورود حمراء). الجواب: 42 باقة: 5 بورجوندي ، 3 أبيض ، 7 ورود حمراء في كل باقة. مهام GCD

اشترت تانيا وماشا نفس العدد من علب البريد. دفعت تانيا 90 روبل ، ودفعت ماشا 5 روبل. أكثر. كم تكلفة مجموعة واحدة؟ كم عدد المجموعات التي اشتريت كل منها؟ الحل: 1) دفع ماشا 90 + 5 = 95 (روبل). 2) GCD (90 و 95) = 5 (روبل) - سعر مجموعة واحدة. 3) 980: 5 = 18 (مجموعات) - اشترتها تانيا. 4) 95: 5 = 19 (مجموعات) - اشترى ماشا. الجواب: 5 روبل ، 18 مجموعة ، 19 مجموعة. مهام GCD

تبدأ ثلاث رحلات بالقوارب السياحية في المدينة الساحلية ، تستغرق أولها 15 يومًا ، والثانية - 20 يومًا والثالثة - 12 يومًا. بالعودة إلى الميناء ، تقوم السفن في نفس اليوم برحلة مرة أخرى. غادرت السفن الآلية الميناء على جميع الطرق الثلاثة اليوم. كم يوم سيبحران معًا لأول مرة؟ كم عدد الرحلات التي ستقوم بها كل سفينة؟ الحل: 1) شهادة عدم ممانعة (15.20 و 12) = 60 (يوم) - وقت الاجتماع. 2) 60:15 = 4 (رحلات) - سفينة واحدة. 3) 60:20 = 3 (رحلات) - 2 سفينة بمحرك. 4) 60:12 = 5 (رحلات) - 3 سفن بمحركات. الإجابة: 60 يومًا ، 4 رحلات ، 3 رحلات ، 5 رحلات. مهام شهادة عدم الممانعة

اشترت ماشا بيض الدب في المتجر. في طريقها إلى الغابة ، أدركت أن عدد البيض قابل للقسمة على 2،3،5،10 و 15. كم عدد البيض الذي اشتراه ماشا؟ الحل: LCM (2 ؛ 3 ؛ 5 ؛ 10 ؛ 15) = 30 (بيضة) الإجابة: اشترت ماشا 30 بيضة. مهام شهادة عدم الممانعة

مطلوب عمل صندوق بقاع مربع لتكديس الصناديق مقاس 16 20 سم ، ما هو أقصر جانب من القاع المربع ليناسب الصناديق بإحكام في الصندوق؟ الحل: 1) شهادة عدم ممانعة (16 و 20) = 80 (مربعات). 2) S = a ∙ b هي مساحة المربع الواحد. S \ u003d 16 ∙ 20 \ u003d 320 (سم ²) - مساحة الجزء السفلي من مربع واحد. 3) 320 80 = 25600 (سم 2) - مساحة القاع المربعة. 4) S \ u003d a² \ u003d a ∙ a 25600 = 160 ∙ 160 - أبعاد الصندوق. الجواب: 160 سم هو ضلع القاع المربع. مهام شهادة عدم الممانعة

على طول الطريق من النقطة K توجد أعمدة كهرباء كل 45 مترًا ، وقد تقرر استبدال هذه الأعمدة بأخرى ، ووضعها على مسافة 60 مترًا من بعضها البعض. كم عدد الأعمدة الموجودة وكم ستقف؟ الحل: 1) كرونة نرويجية (45 و 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 - كانت هناك أعمدة. 3) 180: 60 = 3 - كانت هناك أعمدة. الجواب: 4 أركان ، 3 أركان. مهام شهادة عدم الممانعة

كم عدد الجنود الذين يسيرون على أرض العرض إذا ساروا في تشكيل 12 شخصًا في صف واحد وتغيروا إلى طابور من 18 شخصًا في صف واحد؟ الحل: 1) شهادة عدم ممانعة (12 و 18) = 36 (شخصًا) - مسيرة. الجواب: 36 شخصا. مهام شهادة عدم الممانعة

علامات قسمة الأعداد الطبيعية.

يتم استدعاء الأعداد القابلة للقسمة على 2 بدون باقيحتى .

يتم استدعاء الأعداد التي لا تقبل القسمة على 2الفردية .

علامة القسمة على 2

إذا انتهى سجل رقم طبيعي برقم زوجي ، فإن هذا الرقم قابل للقسمة على 2 بدون باقي ، وإذا انتهى سجل الرقم برقم فردي ، فإن هذا الرقم لا يقبل القسمة على 2 بدون باقي.

على سبيل المثال ، الأرقام 60 , 30 8 , 8 4 قابلة للقسمة بدون الباقي على 2 ، والأرقام 51 , 8 5 , 16 7 لا تقبل القسمة على 2 بدون الباقي.

علامة القسمة على 3

إذا كان مجموع أرقام الرقم قابلاً للقسمة على 3 ، فإن الرقم أيضًا قابل للقسمة على 3 ؛ إذا كان مجموع أرقام الرقم لا يقبل القسمة على 3 ، فإن الرقم لا يقبل القسمة على 3.

على سبيل المثال ، دعنا نكتشف ما إذا كان الرقم 2772825 يقبل القسمة على 3. للقيام بذلك ، نحسب مجموع أرقام هذا الرقم: 2 + 7 + 7 + 2 + 8 + 2 + 5 = 33 - يقبل القسمة على 3 إذن فالعدد 2772825 يقبل القسمة على 3.

علامة القسمة على 5

إذا انتهى سجل رقم طبيعي بـ 0 أو 5 ، فإن هذا الرقم قابل للقسمة على 5 بدون باقي. إذا انتهى سجل رقم برقم مختلف ، فلا يمكن قسمة الرقم على 5 بدون باقي.

على سبيل المثال ، الأرقام 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 قابلة للقسمة بدون الباقي على 5 ، والأرقام 17 , 37 8 , 9 1 لا تشارك.

علامة القسمة على 9

إذا كان مجموع أرقام الرقم قابلاً للقسمة على 9 ، فإن الرقم أيضًا قابل للقسمة على 9 ؛ إذا كان مجموع أرقام الرقم لا يقبل القسمة على 9 ، فإن الرقم لا يقبل القسمة على 9.

على سبيل المثال ، دعنا نكتشف ما إذا كان الرقم 5402070 يقبل القسمة على 9. للقيام بذلك ، نحسب مجموع أرقام هذا الرقم: 5 + 4 + 0 + 2 + 0 + 7 + 0 = 16 - لا يقبل القسمة على 9. هذا يعني أن الرقم 5402070 لا يقبل القسمة على 9.

علامة القسمة على 10

إذا انتهى سجل رقم طبيعي بالرقم 0 ، فإن هذا الرقم قابل للقسمة بدون باقي على 10. إذا انتهى سجل رقم طبيعي برقم آخر ، فلا يمكن القسمة على 10 بدون باقي.

على سبيل المثال ، الأرقام 40 , 17 0 , 1409 0 قابلة للقسمة بدون الباقي على 10 ، والأرقام 17 , 9 3 , 1430 7 - لا تشارك.

قاعدة إيجاد القاسم المشترك الأكبر (gcd).

للعثور على أكبر القاسم المشتركعدة أعداد طبيعية تحتاج:

2) من العوامل المدرجة في توسيع أحد هذه الأرقام ، اشطب تلك التي لم يتم تضمينها في توسيع الأرقام الأخرى ؛

3) أوجد حاصل ضرب العوامل المتبقية.

مثال. لنجد GCD (48 ؛ 36). دعنا نستخدم القاعدة.

1. نحلل العددين 48 و 36 إلى عوامل أولية.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. من العوامل المدرجة في توسيع العدد 48 ، نحذف العوامل التي لم يتم تضمينها في توسيع العدد 36.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

هناك عوامل 2 و 2 و 3.

3. اضرب العوامل المتبقية واحصل على 12. هذا الرقم هو القاسم المشترك الأكبر للعددين 48 و 36.

GCD (48 ؛ 36) = 2· 2 · 3 = 12.

قاعدة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM).

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر للعديد من الأعداد الطبيعية ، تحتاج إلى:

1) تحللهم إلى عوامل أولية ؛

2) اكتب العوامل المتضمنة في توسيع أحد الأرقام ؛

3) أضف إليهم العوامل المفقودة من توسعات الأرقام المتبقية ؛

4) أوجد ناتج العوامل الناتجة.

مثال.لنجد LCM (75؛ 60). دعنا نستخدم القاعدة.

1. نحلل العددين 75 و 60 إلى عوامل أولية.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. اكتب العوامل المتضمنة في مفكوك العدد 75: 3 ، 5 ، 5.

شهادة عدم ممانعة (75 ؛ 60) = 3 · 5 · 5 · …

3. أضف إليهم العوامل المفقودة من تحلل الرقم 60 ، أي 2 ، 2.

شهادة عدم ممانعة (75 ؛ 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. أوجد ناتج العوامل الناتجة

شهادة عدم ممانعة (75 ؛ 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

مضاعف الرقم هو رقم يقبل القسمة على رقم معين بدون باقي. المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لمجموعة من الأرقام هو أصغر رقم يقبل القسمة بالتساوي على كل رقم في المجموعة. لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر ، عليك إيجاد العوامل الأولية للأرقام المحددة. أيضًا ، يمكن حساب المضاعف المشترك الأصغر باستخدام عدد من الطرق الأخرى التي تنطبق على مجموعات مكونة من رقمين أو أكثر.

خطوات

عدد من المضاعفات

    انظر إلى هذه الأرقام.يتم استخدام الطريقة الموصوفة هنا بشكل أفضل عند إعطاء رقمين أقل من 10. إذا تم تقديم أعداد كبيرة ، فاستخدم طريقة مختلفة.

    • على سبيل المثال ، ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر للعددين 5 و 8. فهذه أرقام صغيرة ، لذا يمكن استخدام هذه الطريقة.

  1. مضاعف الرقم هو رقم يقبل القسمة على رقم معين بدون باقي. يمكن العثور على أرقام متعددة في جدول الضرب.

    • على سبيل المثال ، الأرقام التي تكون من مضاعفات العدد 5 هي: 5 ، 10 ، 15 ، 20 ، 25 ، 30 ، 35 ، 40.

  2. اكتب سلسلة من الأعداد على شكل مضاعفات العدد الأول.افعل ذلك تحت مضاعفات الرقم الأول لمقارنة صفين من الأرقام.

    • على سبيل المثال ، الأرقام التي تكون مضاعفات 8 هي: 8 و 16 و 24 و 32 و 40 و 48 و 56 و 64.

  3. أوجد أصغر عدد يظهر في سلسلتي المضاعفات.قد تضطر إلى كتابة سلسلة طويلة من المضاعفات للعثور عليها الرقم الإجمالي. أصغر رقم يظهر في سلسلتي المضاعفات هو المضاعف المشترك الأصغر.

    • فمثلا، أصغر رقم، الذي يظهر في سلسلة مضاعفات 5 و 8 ، هو الرقم 40. لذلك ، 40 هو المضاعف المشترك الأصغر للعددين 5 و 8.

    عامل رئيسي

    1. انظر إلى هذه الأرقام.يتم استخدام الطريقة الموضحة هنا بشكل أفضل عند إعطاء رقمين أكبر من 10. إذا تم تقديم أرقام أصغر ، فاستخدم طريقة مختلفة.

      • على سبيل المثال ، ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر للعددين 20 و 84. كل رقم أكبر من 10 ، لذلك يمكن استخدام هذه الطريقة.

    2. حلل الرقم الأول إلى عوامل.أي أنك تحتاج إلى إيجاد مثل هذه الأعداد الأولية ، عند ضربها ، تحصل على رقم معين. بعد أن وجدت العوامل الأولية ، اكتبها كمساواة.

      • فمثلا، 2 × 10 = 20 (\ displaystyle (\ mathbf (2)) \ times 10 = 20)و 2 × 5 = 10 (\ displaystyle (\ mathbf (2)) \ times (\ mathbf (5)) = 10). إذن ، العوامل الأولية للعدد 20 هي الأعداد 2 و 2 و 5. اكتبهم على هيئة تعبير:.

    3. حلل الرقم الثاني إلى عوامل أولية.افعل ذلك بالطريقة نفسها التي حللت بها الرقم الأول إلى عوامل ، أي ابحث عن الأعداد الأولية التي ، عند ضربها ، ستحصل على هذا العدد.

      • فمثلا، 2 × 42 = 84 (\ displaystyle (\ mathbf (2)) \ times 42 = 84), 7 × 6 = 42 (\ displaystyle (\ mathbf (7)) \ times 6 = 42)و 3 × 2 = 6 (\ displaystyle (\ mathbf (3)) \ times (\ mathbf (2)) = 6). إذن ، العوامل الأولية للعدد 84 هي الأعداد 2 و 7 و 3 و 2. اكتبهم على شكل تعبير:.

    4. اكتب العوامل المشتركة لكلا العددين.اكتب هذه العوامل مثل عملية الضرب. أثناء كتابة كل عامل ، اشطبه في كلا التعبيرين (التعبيرات التي تصف تحلل الأعداد إلى عوامل أولية).

      • على سبيل المثال ، العامل المشترك لكلا العددين هو 2 ، لذا اكتب 2 × (displaystyle 2 times)واشطب الرقم 2 في كلا التعبيرين.
      • العامل المشترك لكلا العددين هو عامل آخر للعدد 2 ، لذا اكتب 2 × 2 (\ displaystyle 2 \ times 2)واشطب 2 في كلا التعبيرين.

    5. أضف العوامل المتبقية إلى عملية الضرب.هذه عوامل لم يتم شطبها في كلا التعبيرين ، أي عوامل غير مشتركة لكلا الرقمين.

      • على سبيل المثال ، في التعبير 20 = 2 × 2 × 5 (\ displaystyle 20 = 2 \ times 2 \ times 5)تم شطب كلا الاثنين (2) لأنهما عاملين مشتركين. لم يتم شطب العامل 5 ، لذا اكتب عملية الضرب على النحو التالي: 2 × 2 × 5 (\ displaystyle 2 \ times 2 \ times 5)
      • في التعبير 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\ displaystyle 84 = 2 \ times 7 \ times 3 \ times 2)تم شطب كلا التعادلين (2). لم يتم شطب العاملين 7 و 3 ، لذا اكتب عملية الضرب على النحو التالي: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\ displaystyle 2 \ times 2 \ times 5 \ times 7 \ times 3).

    6. احسب المضاعف المشترك الأصغر.للقيام بذلك ، اضرب الأرقام في عملية الضرب المكتوبة.

      • فمثلا، 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\ displaystyle 2 \ times 2 \ times 5 \ times 7 \ times 3 = 420). إذن ، المضاعف المشترك الأصغر للعددين 20 و 84 هو 420.

    إيجاد القواسم المشتركة

    1. ارسم شبكة كما تفعل في لعبة تيك تاك تو.تتكون هذه الشبكة من خطين متوازيين يتقاطعان (بزوايا قائمة) مع خطين متوازيين آخرين. سينتج عن ذلك ثلاثة صفوف وثلاثة أعمدة (تشبه الشبكة كثيرًا علامة #). اكتب الرقم الأول في الصف الأول والعمود الثاني. اكتب الرقم الثاني في الصف الأول والعمود الثالث.

      • على سبيل المثال ، أوجد المضاعف المشترك الأصغر بين 18 و 30. اكتب 18 في الصف الأول والعمود الثاني ، واكتب 30 في الصف الأول والعمود الثالث.

    2. أوجد القاسم المشترك لكلا العددين.اكتبها في الصف الأول والعمود الأول. من الأفضل البحث عن قواسم أولية ، لكن هذا ليس شرطًا أساسيًا.

      • على سبيل المثال ، 18 و 30 أعداد زوجية ، لذا فإن القاسم المشترك بينهما هو 2. لذا اكتب 2 في الصف الأول والعمود الأول.

    3. اقسم كل رقم على القاسم الأول.اكتب كل حاصل تحت الرقم المقابل. حاصل القسمة هو نتيجة قسمة رقمين.

      • فمثلا، 18 ÷ 2 = 9 (\ displaystyle 18 \ div 2 = 9)، لذلك اكتب 9 تحت سن 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\ displaystyle 30 \ div 2 = 15)، لذلك اكتب 15 تحت 30.

    4. أوجد القاسم المشترك لكلا حاصل القسمة.إذا لم يكن هناك قاسم من هذا القبيل ، فتخط الخطوتين التاليتين. وإلا فاكتب المقسوم عليه في الصف الثاني والعمود الأول.

      • على سبيل المثال ، 9 و 15 يقبلان القسمة على 3 ، لذا اكتب 3 في الصف الثاني والعمود الأول.

    5. اقسم كل حاصل على القاسم الثاني.اكتب كل نتيجة قسمة تحت حاصل القسمة المقابل.

      • فمثلا، 9 ÷ 3 = 3 (\ displaystyle 9 \ div 3 = 3)، لذا اكتب 3 تحت 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\ displaystyle 15 \ div 3 = 5)، لذا اكتب 5 تحت 15.

    6. إذا لزم الأمر ، استكمل الشبكة بخلايا إضافية.كرر الخطوات السابقة حتى تحصل على قسمة مشتركة.

    7. ضع دائرة حول الأرقام الموجودة في العمود الأول والصف الأخير من الشبكة.ثم اكتب الأرقام المميزة كعملية ضرب.

      • على سبيل المثال ، الرقمان 2 و 3 موجودان في العمود الأول ، والأرقام 3 و 5 في الصف الأخير ، لذلك اكتب عملية الضرب على النحو التالي: 2 × 3 × 3 × 5 (\ displaystyle 2 \ times 3 \ times 3 \ times 5).

    8. أوجد نتيجة ضرب الأعداد.سيحسب هذا المضاعف المشترك الأصغر للرقمين المحددين.

      • فمثلا، 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\ displaystyle 2 \ times 3 \ times 3 \ times 5 = 90). إذن ، المضاعف المشترك الأصغر للعددين 18 و 30 هو 90.

    خوارزمية إقليدس

    1. تذكر المصطلحات المرتبطة بعملية التقسيم.المقسوم هو الرقم الذي يتم تقسيمه. القاسم هو الرقم المطلوب القسمة عليه. حاصل القسمة هو نتيجة قسمة رقمين. الباقي هو الرقم المتبقي عند قسمة رقمين.

      • على سبيل المثال ، في التعبير 15 ÷ 6 = 2 (\ displaystyle 15 \ div 6 = 2)راحة. 3:
        15 هو قابل للقسمة
        6 هو القاسم
        2 خاص
        3 هو الباقي.

المواد المعروضة أدناه هي استمرار منطقي للنظرية من المقالة تحت عنوان LCM - المضاعف المشترك الأقل ، التعريف ، الأمثلة ، العلاقة بين LCM و GCD. هنا سنتحدث عن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM)، وإيلاء اهتمام خاص لحل الأمثلة. دعنا نوضح أولاً كيف يتم حساب المضاعف المشترك الأصغر لرقمين من حيث GCD لهذه الأرقام. بعد ذلك ، ضع في اعتبارك إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأرقام إلى عوامل أولية. بعد ذلك ، سنركز على إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر ، وننتبه أيضًا إلى حساب المضاعف المشترك الأصغر للأرقام السالبة.

التنقل في الصفحة.

حساب المضاعف المشترك الأصغر (LCM) من خلال gcd

تعتمد إحدى طرق العثور على المضاعف المشترك الأصغر على العلاقة بين LCM و GCD. تسمح لك العلاقة الحالية بين LCM و GCD بحساب المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين موجبين من خلال القاسم المشترك الأكبر المعروف. الصيغة المقابلة لها الشكل المضاعف المشترك الأصغر (أ ، ب) = أ ب: GCD (أ ، ب) . ضع في اعتبارك أمثلة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر وفقًا للصيغة أعلاه.

مثال.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 126 و 70.

المحلول.

في هذا المثال أ = 126 ، ب = 70. دعونا نستخدم العلاقة بين LCM و GCD التي تعبر عنها الصيغة المضاعف المشترك الأصغر (أ ، ب) = أ ب: GCD (أ ، ب). أي ، علينا أولاً إيجاد القاسم المشترك الأكبر للعددين 70 و 126 ، وبعد ذلك يمكننا حساب المضاعف المشترك الأصغر لهذين العددين وفقًا للصيغة المكتوبة.

أوجد gcd (126، 70) باستخدام خوارزمية إقليدس: 126 = 70 1 + 56، 70 = 56 1 + 14، 56 = 14 4 ، ومن ثم gcd (126، 70) = 14.

الآن نجد المضاعف المشترك الأصغر المطلوب: المضاعف المشترك الأصغر (126 ، 70) = 126 70: المضاعف المشترك الأصغر (126 ، 70) = 126 70: 14 = 630.

إجابه:

المضاعف المشترك الأصغر (126 ، 70) = 630.

مثال.

ما هو LCM (68 ، 34)؟

المحلول.

لان 68 يقبل القسمة على 34 بالتساوي ، ثم gcd (68 ، 34) = 34. الآن نحسب المضاعف المشترك الأصغر: المضاعف المشترك الأصغر (68 ، 34) = 68 34: المضاعف المشترك الأصغر (68 ، 34) = 68 34: 34 = 68.

إجابه:

المضاعف المشترك الأصغر (68 ، 34) = 68.

لاحظ أن المثال السابق يناسب القاعدة التالية لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الصحيحة الموجبة أ وب: إذا كان الرقم أ قابلاً للقسمة على ب ، فإن المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام هو أ.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأرقام إلى العوامل الأولية

طريقة أخرى لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر تعتمد على تحليل الأعداد إلى عوامل أولية. إذا صنعنا منتجًا لجميع العوامل الأولية لهذه الأرقام ، وبعد ذلك نستبعد من هذا المنتج جميع العوامل الأولية الشائعة الموجودة في توسعات هذه الأرقام ، فسيكون الناتج الناتج مساويًا للمضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام.

القاعدة المعلنة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر تأتي من المساواة المضاعف المشترك الأصغر (أ ، ب) = أ ب: GCD (أ ، ب). في الواقع ، حاصل ضرب العددين a و b يساوي حاصل ضرب جميع العوامل المشاركة في تمددات العددين a و b. في المقابل ، gcd (أ ، ب) يساوي حاصل ضرب جميع العوامل الأولية الموجودة في وقت واحد في تمديدات الأرقام أ و ب (الموصوفة في القسم الخاص بإيجاد gcd باستخدام تحليل الأرقام إلى عوامل أولية ).

لنأخذ مثالا. لنعلم أن 75 = 3 5 5 و 210 = 2 3 5 7. يؤلف حاصل ضرب كل عوامل هذه التوسعات: 2 3 3 5 5 5 7. نستبعد الآن من هذا المنتج جميع العوامل الموجودة في توسيع الرقم 75 وفي توسيع الرقم 210 (هذه العوامل هي 3 و 5) ، ثم يأخذ المنتج الشكل 2 3 5 5 7. قيمة هذا المنتج تساوي المضاعف المشترك الأصغر للأرقام 75 و 210 ، أي ، المضاعف المشترك الأصغر (75 ، 210) = 2 3 5 5 7 = 1050.

مثال.

بعد تحليل العددين 441 و 700 إلى عوامل أولية ، أوجد المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد.

المحلول.

لنحلل العددين 441 و 700 إلى عوامل أولية:

نحصل على 441 = 3 3 7 7 و 700 = 2 2 5 5 7.

لنصنع الآن حاصل ضرب جميع العوامل التي تدخل في مد هذه الأعداد: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. دعنا نستبعد من هذا المنتج جميع العوامل الموجودة في وقت واحد في كلا التوسيعين (يوجد عامل واحد فقط - هذا هو الرقم 7): 2 2 3 3 5 5 7 7. في هذا الطريق، المضاعف المشترك الأصغر (441، 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44100.

إجابه:

المضاعف المشترك الأصغر (441 ، 700) = 44100.

يمكن صياغة قاعدة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام تحليل الأعداد إلى عوامل أولية بشكل مختلف قليلاً. إذا أضفنا العوامل المفقودة من توسيع الرقم b إلى العوامل من تحلل الرقم a ، فإن قيمة المنتج الناتج ستكون مساوية للمضاعف المشترك الأصغر للأرقام a و b.

على سبيل المثال ، لنأخذ جميع الأعداد نفسها 75 و 210 ، فوسعاتهم إلى العوامل الأولية هي كما يلي: 75 = 3 5 5 و 210 = 2 3 5 7. إلى العوامل 3 و 5 و 5 من تحلل الرقم 75 ، نضيف العوامل الناقصة 2 و 7 من تحلل الرقم 210 ، نحصل على الناتج 2 3 5 5 7 ، الذي قيمته LCM (75 ، 210).

مثال.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 84 و 648.

المحلول.

نحصل أولاً على تحليل العددين 84 و 648 إلى عوامل أولية. تبدو مثل 84 = 2 2 3 7 و 648 = 2 2 2 3 3 3 3. إلى العوامل 2 و 2 و 3 و 7 من تحلل الرقم 84 نضيف العوامل المفقودة 2 و 3 و 3 و 3 من تحلل الرقم 648 ، نحصل على الناتج 2 2 2 3 3 3 3 7 ، وهو ما يساوي 4536. وبالتالي ، فإن المضاعف المشترك الأصغر المطلوب للرقمين 84 و 648 هو 4،536.

إجابه:

المضاعف المشترك الأصغر (84، 648) = 4536.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر

يمكن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر عن طريق إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لرقمين على التوالي. تذكر النظرية المقابلة ، والتي تعطي طريقة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر.

نظرية.

لنفترض أن الأعداد الصحيحة الموجبة أ 1 ، أ 2 ، ... ، أ ك تُعطى ، المضاعف المشترك الأصغر م ك لهذه الأرقام موجود في الحساب المتسلسل م 2 = المضاعف المشترك الأصغر (أ 1 ، أ 2) ، م 3 = المضاعف المشترك الأصغر (م 2 ، أ 3) ، ... ، م ك = المضاعف المشترك الأصغر (م ك − 1 ، أ ك).

ضع في اعتبارك تطبيق هذه النظرية على مثال إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لأربعة أرقام.

مثال.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأربعة 140 و 9 و 54 و 250.

المحلول.

في هذا المثال ، 1 = 140 ، 2 = 9 ، 3 = 54 ، 4 = 250.

أولا نجد م 2 \ u003d م.س.م (أ 1 ، أ 2) \ u003d م.س.م (140 ، 9). للقيام بذلك ، باستخدام الخوارزمية الإقليدية ، نحدد gcd (140 ، 9) ، لدينا 140 = 9 15 + 5 ، 9 = 5 1 + 4 ، 5 = 4 1 + 1 ، 4 = 1 4 ، لذلك ، gcd ( 140 ، 9) = 1 من أين المضاعف المشترك الأصغر (140 ، 9) = 140 9: المضاعف المشترك الأصغر (140 ، 9) = 140 9: 1 = 1260. أي م 2 = 1260.

الآن نجد م 3 \ u003d م.س.م (م 2 ، أ 3) \ u003d م.س. (1260 ، 54). دعونا نحسبها من خلال gcd (1260 ، 54) ، والتي تحددها أيضًا خوارزمية إقليدس: 1260 = 54 23 + 18 ، 54 = 18 3. ثم gcd (1260 ، 54) = 18 ، من أين LCM (1260 ، 54) = 1260 54: gcd (1260 ، 54) = 1260 54: 18 = 3780. أي م 3 = 3780.

تركت لتجد م 4 \ u003d م م 3 (م 3 ، أ 4) \ u003d م م 3 (3780 ، 250). للقيام بذلك ، نجد GCD (3780 ، 250) باستخدام خوارزمية إقليدس: 3780 = 250 15 + 30 ، 250 = 30 8 + 10 ، 30 = 10 3. لذلك ، gcd (3780 ، 250) = 10 ، ومن أين gcd (3780 ، 250) = 3780250: gcd (3780، 250) = 3780250: 10 = 94500. أي م 4 = 94500.

إذن ، المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأربعة الأصلية هو 94500.

إجابه:

المضاعف المشترك الأصغر (140، 9، 54، 250) = 94،500.

في كثير من الحالات ، يمكن العثور بسهولة على المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر باستخدام التحليل الأولي لأرقام معينة. في هذه الحالة ، يجب اتباع القاعدة التالية. المضاعف المشترك الأصغر لعدة أرقام يساوي المنتج ، والذي يتكون على النحو التالي: تضاف العوامل المفقودة من توسيع الرقم الثاني إلى جميع العوامل من توسيع الرقم الأول ، والعوامل المفقودة من توسيع الرقم الأول يضاف الرقم الثالث إلى العوامل التي تم الحصول عليها ، وهكذا.

ضع في اعتبارك مثالًا لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام تحليل الأرقام إلى عوامل أولية.

مثال.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر لخمسة أعداد 84 ، 6 ، 48 ، 7 ، 143.

المحلول.

أولاً ، نحصل على توسعات هذه الأعداد إلى عوامل أولية: 84 = 2 2 3 7 ، 6 = 2 3 ، 48 = 2 2 2 2 3 ، 7 عوامل أولية) و 143 = 11 13.

لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد ، تحتاج إلى إضافة العوامل المفقودة من توسيع العدد الثاني 6 إلى عوامل الرقم الأول 84 (وهي 2 و 2 و 3 و 7). لا يحتوي توسيع الرقم 6 على عوامل مفقودة ، نظرًا لأن كلا من 2 و 3 موجودان بالفعل في توسيع الرقم الأول 84. بالإضافة إلى العوامل 2 و 2 و 3 و 7 نضيف العوامل المفقودة 2 و 2 من توسيع الرقم الثالث 48 ، نحصل على مجموعة من العوامل 2 و 2 و 2 و 2 و 3 و 7. ليست هناك حاجة لإضافة عوامل إلى هذه المجموعة في الخطوة التالية ، حيث تم تضمين 7 بالفعل فيها. أخيرًا ، إلى العوامل 2 و 2 و 2 و 2 و 3 و 7 نضيف العوامل المفقودة 11 و 13 من توسيع العدد 143. نحصل على حاصل الضرب 2 2 2 2 3 7 11 13 ، وهو ما يساوي 48 048.

مقالات مماثلة