Graficul ax2 bx c. Lecția „Funcția y=ax2, graficul și proprietățile acesteia. Probleme de rezolvat independent

Oferă date de referință privind funcția exponențială - proprietăți de bază, grafice și formule. Considerat următoarele întrebări: domeniu de definiție, set de valori, monotonitate, funcție inversă, derivată, integrală, extindere a seriei de puteri și reprezentare prin numere complexe.

Conţinut

Proprietățile funcției exponențiale

Funcția exponențială y = a x are următoarele proprietăți pe mulțimea numerelor reale ():
(1.1) definit si continuu, pentru , pentru toti ;
(1.2) pentru un ≠ 1 are multe semnificații;
(1.3) strict crește la , scade strict la ,
este constantă la ;
(1.4) la ;
la ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Alte formule utile.
.
Formula pentru conversia într-o funcție exponențială cu o bază de exponent diferită:

Când b = e, obținem expresia funcției exponențiale prin exponențială:

Valori private

, , , , .

y = a x pentru diferite valori ale bazei a.

Figura prezintă grafice ale funcției exponențiale
y (x) = ax
pentru patru valori baze de grad: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 și a = 1/8 . 1 Se vede că pentru un > 0 < a < 1 funcţia exponenţială creşte monoton. Cu cât baza gradului a este mai mare, cu atât creșterea este mai puternică. La

funcţia exponenţială scade monoton. Cu cât exponentul a este mai mic, cu atât scăderea este mai puternică.

Urcând, coborând

	Funcția exponențială este strict monotonă și, prin urmare, nu are extreme. Principalele sale proprietăți sunt prezentate în tabel. 1	y = a x , a > 0 < a < 1
y = ax,	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Domeniu	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Gama de valori	Monoton	crește monoton
scade monoton 0	Zerouri, y =	Zerouri, y =
Nu 0	Interceptarea punctelor cu axa ordonatelor, x = 1	Interceptarea punctelor cu axa ordonatelor, x = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

y =

Funcție inversă

Inversa unei funcții exponențiale cu baza a este logaritmul cu baza a.
.
Daca atunci
.

Daca atunci

Diferențierea unei funcții exponențiale

Pentru a diferenția o funcție exponențială, baza acesteia trebuie redusă la numărul e, aplicați tabelul derivatelor și regula de diferențiere a unei funcții complexe.
Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați proprietatea logaritmilor
.

și formula din tabelul derivatelor:
.
Să fie dată o funcție exponențială:

O aducem la baza e:

Să aplicăm regula de diferențiere a funcțiilor complexe. Pentru a face acest lucru, introduceți variabila

Apoi
.
Din tabelul derivatelor avem (înlocuiește variabila x cu z):
.
Deoarece este o constantă, derivata lui z față de x este egală cu
.

Conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe:

.
Derivată de ordin al n-lea:
.
Formule derivate > > >

Un exemplu de diferențiere a unei funcții exponențiale

Aflați derivata unei funcții
Interceptarea punctelor cu axa ordonatelor, x = 3 5 x

Soluţie

Să exprimăm baza funcției exponențiale prin numărul e.
3 = e ln 3
Să aplicăm regula de diferențiere a funcțiilor complexe. Pentru a face acest lucru, introduceți variabila
.
Introduceți o variabilă
.
Să aplicăm regula de diferențiere a funcțiilor complexe. Pentru a face acest lucru, introduceți variabila

Din tabelul derivatelor găsim:
.
Deoarece 5ln 3 este o constantă, atunci derivata lui z față de x este egală cu:
.
Conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe, avem:
.

Răspuns

Integral

Expresii folosind numere complexe

Luați în considerare funcția număr complex z:
f (z) = a z
unde z = x + iy; 2 = - 1 .
i
Să exprimăm constanta complexă a în termeni de modul r și argument φ:
Să aplicăm regula de diferențiere a funcțiilor complexe. Pentru a face acest lucru, introduceți variabila


.
a = r e i φ Argumentul φ nu este definit în mod unic. ÎN
φ = φ vedere generala,
0 + 2 πn unde n este un număr întreg. Prin urmare, funcția f(z)
.

nici nu este clar. Semnificația sa principală este adesea luată în considerare
Prezentare și lecție pe tema:

"Grafic al funcției $y=ax^2+bx+c$. Proprietăți"
Materiale suplimentare

Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările! Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.
Ajutoare educaționale și simulatoare în magazinul online Integral pentru clasa a VIII-a

Un manual pentru manual de Dorofeev G.V. Un manual pentru manual de Nikolsky S.M. Băieți, în ultimele lecții pe care le-am construit un numar mare de
grafice, inclusiv multe parabole. Astăzi vom rezuma cunoștințele pe care le-am dobândit și vom învăța cum să trasăm această funcție în forma sa cea mai generală.

Să ne uităm la trinomul pătratic $a*x^2+b*x+c$. $a, b, c$ se numesc coeficienți. Ele pot fi orice numere, dar $a≠0$. $a*x^2$ se numește termenul conducător, $a$ este coeficientul conducător. Este de remarcat faptul că coeficienții $b$ și $c$ pot fi egali cu zero, adică trinomul va fi format din doi termeni, iar al treilea este egal cu zero.

Să ne uităm la funcția $y=a*x^2+b*x+c$. Această funcție este numită „pătratică” deoarece cea mai mare putere este a doua, adică un pătrat. Coeficienții sunt cei definiți mai sus.
În ultima lecție, în ultimul exemplu, ne-am uitat la trasarea unui grafic al unei funcții similare.

Să demonstrăm că orice astfel de funcție pătratică poate fi redusă la forma: $y=a(x+l)^2+m$.

Graficul unei astfel de funcții este construit folosind un sistem de coordonate suplimentar. În matematica mare, numerele sunt destul de rare. Aproape orice problemă trebuie dovedită în cazul cel mai general. Astăzi vom analiza o astfel de dovadă. Băieți, puteți vedea întreaga putere a aparatului matematic, dar și complexitatea acestuia.
$a*x^2+b*x+c=(a*x^2+b*x)+c=a(x^2+\frac(b)(a)*x)+c=$ $= a(x^2+2\frac(b)(2a)*x+\frac(b^2)(4a))-\frac(b^2)(4a)+c=a(x+\frac(b) (2a))^2+\frac(4ac-b^2)(4a)$.
Am primit ceea ce ne-am dorit.
Orice funcție pătratică poate fi reprezentată ca:
$y=a(x+l)^2+m$, unde $l=\frac(b)(2a)$, $m=\frac(4ac-b^2)(4a)$.

Pentru a reprezenta graficul $y=a(x+l)^2+m$, trebuie să reprezentați funcția $y=ax^2$. Mai mult, vârful parabolei va fi situat în punctul cu coordonatele $(-l;m)$.
Deci, funcția noastră $y=a*x^2+b*x+c$ este o parabolă.
Axa parabolei va fi linia dreaptă $x=-\frac(b)(2a)$, iar coordonatele vârfului parabolei de-a lungul axei absciselor, după cum vedem, sunt calculate prin formula: $ x_(c)=-\frac(b)(2a) $.
Pentru a calcula coordonatele axei y a vârfului unei parabole, puteți:

• utilizați formula: $y_(в)=\frac(4ac-b^2)(4a)$,
• înlocuiți direct coordonatele vârfului de-a lungul $x$ în funcția originală: $y_(в)=ax_(в)^2+b*x_(в)+c$.

Cum se calculează ordonata unui vârf? Din nou, alegerea vă aparține, dar de obicei a doua metodă va fi mai ușor de calculat.
Dacă trebuie să descrii unele proprietăți sau să răspunzi la unele întrebări specifice, nu trebuie întotdeauna să construiești un grafic al funcției. Vom lua în considerare principalele întrebări la care se poate răspunde fără construcție în exemplul următor.

Exemplul 1.
Fără a reprezenta grafic funcția $y=4x^2-6x-3$, răspundeți la următoarele întrebări:

Soluţie.
a) Axa parabolei este dreapta $x=-\frac(b)(2a)=-\frac(-6)(2*4)=\frac(6)(8)=\frac(3) )(4)$ .
b) Am găsit abscisa vârfului de deasupra $x_(c)=\frac(3)(4)$.
Găsim ordonata vârfului prin substituție directă în funcția originală:
$y_(в)=4*(\frac(3)(4))^2-6*\frac(3)(4)-3=\frac(9)(4)-\frac(18)(4 )-\frac(12)(4)=-\frac(21)(4)$.
c) Graficul functiei cerute se va obtine prin transfer paralel al graficului $y=4x^2$. Ramurile sale se uită în sus, ceea ce înseamnă că și ramurile parabolei funcției inițiale se vor uita în sus.
În general, dacă coeficientul $a>0$, atunci ramurile arată în sus, dacă coeficientul $a
Exemplul 2.
Reprezentați grafic funcția: $y=2x^2+4x-6$.

Soluţie.
Să găsim coordonatele vârfului parabolei:
$x_(c)=-\frac(b)(2a)=-\frac(4)(4)=-1$.
$y_(в)=2*(-1)^2+4(-1)-6=2-4-6=-8$.
Să marchem coordonatele vârfului pe axa de coordonate. În acest moment, parcă la sistem nou coordonate vom construi o parabolă $y=2x^2$.

Există multe modalități de a simplifica construcția graficelor parabolelor.

• Putem găsi două puncte simetrice, să calculăm valoarea funcției în aceste puncte, să le marcam plan de coordonateși conectați-le la vârful curbei care descrie parabola.
• Putem construi o ramură a parabolei la dreapta sau la stânga vârfului și apoi o reflectăm.
• Putem construi punct cu punct.

Exemplul 3.
Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției: $y=-x^2+6x+4$ pe segmentul $[-1;6]$.

Soluţie.
Să construim un grafic al acestei funcții, să selectăm intervalul necesar și să găsim punctele cele mai de jos și cele mai înalte ale graficului nostru.
Să găsim coordonatele vârfului parabolei:
$x_(c)=-\frac(b)(2a)=-\frac(6)(-2)=3$.
$y_(в)=-1*(3)^2+6*3+4=-9+18+4=13$.
În punctul cu coordonatele $(3;13)$ construim o parabolă $y=-x^2$. Să selectăm intervalul necesar. Punctul cel mai de jos are coordonata -3, punctul cel mai înalt are coordonata 13.
$y_(nume)=-3$; $y_(maximum)=13$.

Probleme de rezolvat independent

1. Fără a reprezenta grafic funcția $y=-3x^2+12x-4$, răspundeți la următoarele întrebări:
a) Identificați dreapta care servește drept axă parabolei.
b) Aflați coordonatele vârfului.
c) În ce direcție indică parabola (în sus sau în jos)?
2. Construiți un grafic al funcției: $y=2x^2-6x+2$.
3. Construiți un grafic al funcției: $y=-x^2+8x-4$.
4. Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției: $y=x^2+4x-3$ pe segmentul $[-5;2]$.

Prezentarea „Funcția y=ax 2, graficul și proprietățile sale” este un ajutor vizual care a fost creat pentru a însoți explicația profesorului pe această temă. Această prezentare discută în detaliu funcția pătratică, proprietățile acesteia, caracteristicile trasării unui grafic și aplicarea practică a metodelor utilizate pentru rezolvarea problemelor din fizică.

Oferind un grad ridicat de claritate, acest material va ajuta profesorul să sporească eficacitatea predării și să ofere o oportunitate de a distribui mai rațional timpul în lecție. Cu ajutorul efectelor de animație, evidențierea conceptelor și a punctelor importante în culoare, atenția elevilor este concentrată asupra subiectului studiat și se realizează o mai bună memorare a definițiilor și a cursului de raționament la rezolvarea problemelor.

Prezentarea începe cu o introducere la titlul prezentării și conceptul de funcție pătratică. Se subliniază importanța acestui subiect. Elevii sunt rugați să-și amintească definiția unei funcții pătratice ca dependență funcțională de forma y=ax 2 +bx+c, în care este o variabilă independentă și sunt numere, cu a≠0. Separat, pe slide-ul 4 se remarcă pentru a ne aminti că domeniul de definire a acestei funcții este întreaga axă a valorilor reale. În mod convențional, această afirmație este notă cu D(x)=R.

Un exemplu de funcție pătratică este aplicarea sa importantă în fizică - formula pentru dependența căii în timpul mișcării accelerate uniform în timp. În același timp, la lecțiile de fizică, elevii studiază formule tipuri variate mișcări, deci vor avea nevoie de capacitatea de a rezolva astfel de probleme. Pe diapozitivul 5, elevilor li se reamintește că atunci când un corp se mișcă cu accelerație și la începutul timpului se numără distanța parcursă și viteza de deplasare sunt cunoscute, atunci dependența funcțională reprezentând o astfel de mișcare va fi exprimată prin formula S=(at 2)/2+v0 t+S0. Mai jos este un exemplu de transformare a acestei formule într-o funcție pătratică dată dacă valoarea accelerației = 8, viteza initiala=3 și calea inițială =18. În acest caz, funcția va lua forma S=4t 2 +3t+18.

Slide 6 examinează forma funcției pătratice y=ax 2, în care este reprezentată la. Dacă =1, atunci funcția pătratică are forma y=x 2. Se observă că graficul acestei funcții va fi o parabolă.

Următoarea parte a prezentării este dedicată trasării unei funcții pătratice. Se propune să se ia în considerare reprezentarea grafică a funcției y=3x 2 . În primul rând, tabelul indică corespondența dintre valorile funcției și valorile argumentului. Se observă că diferența dintre graficul construit al funcției y=3x 2 și graficul funcției y=x 2 este că fiecare valoare va fi de trei ori mai mare decât cea corespunzătoare. Această diferență este bine urmărită în vizualizarea tabelului. În apropiere, în reprezentarea grafică, se vede clar și diferența de îngustare a parabolei.

Următorul diapozitiv privește trasarea funcției pătratice y=1/3 x 2. Pentru a construi un grafic, trebuie să indicați în tabel valorile funcției la un număr de puncte ale acesteia. Se observă că fiecare valoare a funcției y=1/3 x 2 este de 3 ori mai mică decât valoarea corespunzătoare a funcției y=x 2. Această diferență, pe lângă tabel, este clar vizibilă în grafic. Parabola sa este mai extinsă în raport cu axa ordonatelor decât parabola funcției y=x 2.

Exemplele te ajută să înțelegi regula generala, conform căruia puteți construi mai simplu și mai rapid graficele corespunzătoare. Pe slide 9 se evidențiază o regulă separată că graficul funcției pătratice y=ax 2 poate fi construit în funcție de valoarea coeficientului prin întinderea sau îngustarea graficului. Dacă a>1, atunci graficul se întinde de pe axa x cu un factor. Daca 0

Concluzia despre simetria graficelor funcțiilor y=ax 2 și y=-ax2 (la ≠0) față de axa absciselor este evidențiată separat pe slide 12 pentru memorare și este afișată clar pe graficul corespunzător. În continuare, conceptul de grafic al unei funcții pătratice y=x 2 este extins la cazul mai general al funcției y=ax 2, precizând că un astfel de grafic va fi numit și parabolă.

Slide 14 discută proprietățile funcției pătratice y=ax 2 când este pozitivă. Se observă că graficul său trece prin origine și toate punctele, cu excepția planului, se află în semiplanul superior. Se notează simetria graficului față de axa ordonatelor, specificând că valorile opuse ale argumentului corespund acelorași valori ale funcției. Se indică faptul că intervalul de scădere a acestei funcții este (-∞;0], iar creșterea funcției se efectuează pe interval. Valorile acestei funcții acoperă întreaga parte pozitivă a axei reale, este egal cu zero în punct și nu are cea mai mare valoare.

Slide 15 descrie proprietățile funcției y=ax 2 dacă este negativ. Se observă că și graficul său trece prin origine, dar toate punctele sale, cu excepția, se află în semiplanul inferior. Graficul este simetric față de axă, iar valorile opuse ale argumentului corespund valorilor egale ale funcției. Funcția crește pe interval și scade pe. Valorile acestei funcții se află în interval, este egală cu zero într-un punct și nu are o valoare minimă.

Rezumând caracteristicile luate în considerare, pe slide 16 se concluzionează că ramurile parabolei sunt îndreptate în jos spre, și în sus către. Parabola este simetrică față de axă, iar vârful parabolei este situat în punctul de intersecție cu axa. Vârful parabolei y=ax 2 este originea.

De asemenea, o concluzie importantă despre transformările parabolelor este afișată în diapozitivul 17. Acesta prezintă opțiuni pentru transformarea graficului unei funcții pătratice. Se observă că graficul funcției y=ax 2 este transformat prin afișarea simetrică a graficului relativ la axă. De asemenea, este posibil să comprimați sau să întindeți graficul în raport cu axa.

Ultimul diapozitiv trage concluzii generale despre transformările graficului unei funcții. Sunt prezentate concluziile că graficul unei funcții se obține printr-o transformare simetrică în jurul axei. Iar graficul funcției se obține prin comprimarea sau întinderea graficului original de pe axă. În acest caz, se observă extensia la tracțiune față de axă în cazul în care. Prin comprimarea axei de 1/a ori se formează graficul în caz.

Prezentarea „Funcția y=ax 2, graficul și proprietățile sale” poate fi folosită de un profesor ca ajutor vizual într-o lecție de algebră. De asemenea, acest manual acoperă bine subiectul, oferind o înțelegere aprofundată a subiectului și, prin urmare, poate fi oferit pentru studiu independent de către studenți. Acest material îl va ajuta și pe profesor să dea explicații în timpul învățământului la distanță.

O lecție pe tema „Funcția y=ax^2, graficul și proprietățile sale” este studiată la cursul de algebră de clasa a IX-a în sistemul de lecții pe tema „Funcții”. Această lecție necesită o pregătire atentă. Și anume astfel de metode și mijloace de predare care vor da rezultate cu adevărat bune.

Autorul acestei lecții video s-a asigurat că îi ajută pe profesori să se pregătească pentru lecțiile pe această temă. A dezvoltat un tutorial video ținând cont de toate cerințele. Materialul este selectat în funcție de vârsta elevilor. Nu este supraîncărcat, dar destul de încăpător. Autorul explică materialul în detaliu, concentrându-se pe puncte mai importante. Fiecare punct teoretic este însoțit de un exemplu pentru ca percepția materialului educațional să fie mult mai eficientă și de mai bună calitate.

Lecția poate fi folosită de un profesor într-o lecție obișnuită de algebră din clasa a IX-a ca o anumită etapă a lecției - o explicație a unui material nou. Profesorul nu va trebui să spună sau să spună nimic în această perioadă. Tot ce trebuie să facă este să pornească această lecție video și să se asigure că elevii ascultă cu atenție și înregistrează punctele importante.

Lecția poate fi folosită și de școlari atunci când se pregătesc independent pentru o lecție, precum și pentru autoeducație.

Durata lecției este de 8:17 minute. La începutul lecției, autorul notează că una dintre funcțiile importante este funcția pătratică. Apoi se introduce funcția pătratică din punct de vedere matematic. Definiția lui este dată cu explicații.

În continuare, autorul introduce elevii în domeniul definirii unei funcții pătratice. Pe ecran apare notația matematică corectă. După aceasta, autorul ia în considerare un exemplu de funcție pătratică într-o situație reală: se ia ca bază o problemă fizică, care arată modul în care calea depinde de timp în timpul mișcării accelerate uniform.

După aceasta, autorul consideră funcția y=3x^2. Pe ecran apare un tabel cu valorile acestei funcții și funcția y=x^2. Conform datelor din aceste tabele, sunt construite grafice de funcții. Aici apare o explicație în cadrul modului în care se obține graficul funcției y=3x^2 din y=x^2.

Luând în considerare două cazuri speciale, exemple ale funcției y=ax^2, autorul ajunge la regula modului în care se obține graficul acestei funcții din graficul y=x^2.

În continuare considerăm funcția y=ax^2, unde a<0. И, подобно тому, как строились графики функций до этого, автор предлагает построить график функции y=-1/3 x^2. При этом он строит таблицу значений, строит графики функций y=-1/3 x^2 и, замечая при этом закономерность расположения графиков между собой.

Apoi consecințele sunt derivate din proprietăți. Sunt patru. Printre acestea, apare un nou concept - vârfurile unei parabole. Următoarea este o remarcă care precizează ce transformări sunt posibile pentru graficul acestei funcții. După aceasta, vorbim despre cum se obține graficul funcției y=-f(x) din graficul funcției y=f(x), precum și y=af(x) din y=f(x) .

Se încheie astfel lecția care conține materialul educațional. Rămâne să-l consolidăm prin selectarea sarcinilor adecvate în funcție de abilitățile elevilor.