Εύρεση της γωνίας μεταξύ των γραμμών. Γωνία μεταξύ των γραμμών

Αυτό το υλικό είναι αφιερωμένο σε μια τέτοια έννοια όπως η γωνία μεταξύ δύο τεμνόμενων ευθειών. Στην πρώτη παράγραφο, θα εξηγήσουμε τι είναι και θα το δείξουμε σε εικονογραφήσεις. Στη συνέχεια θα αναλύσουμε πώς μπορείτε να βρείτε το ημίτονο, το συνημίτονο αυτής της γωνίας και την ίδια τη γωνία (θα εξετάσουμε χωριστά περιπτώσεις με επίπεδο και τρισδιάστατο χώρο), θα δώσουμε τους απαραίτητους τύπους και θα δείξουμε με παραδείγματα πώς ακριβώς εφαρμόζονται στην πράξη.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Για να καταλάβουμε τι είναι μια γωνία που σχηματίζεται στη τομή δύο ευθειών, πρέπει να θυμηθούμε τον ίδιο τον ορισμό μιας γωνίας, της καθετότητας και ενός σημείου τομής.

Ορισμός 1

Καλούμε δύο ευθείες που τέμνονται αν έχουν ένα κοινό σημείο. Το σημείο αυτό ονομάζεται σημείο τομής των δύο ευθειών.

Κάθε ευθεία χωρίζεται από το σημείο τομής σε ακτίνες. Σε αυτή την περίπτωση, και οι δύο γραμμές σχηματίζουν 4 γωνίες, από τις οποίες οι δύο είναι κάθετες και οι δύο γειτονικές. Αν γνωρίζουμε το μέτρο ενός από αυτά, τότε μπορούμε να προσδιορίσουμε και τα άλλα που έχουν απομείνει.

Ας πούμε ότι γνωρίζουμε ότι μία από τις γωνίες είναι ίση με α. Σε μια τέτοια περίπτωση, η γωνία που είναι κάθετη προς αυτήν θα είναι επίσης ίση με α. Για να βρούμε τις υπόλοιπες γωνίες, πρέπει να υπολογίσουμε τη διαφορά 180 ° - α . Αν το α είναι ίσο με 90 μοίρες, τότε όλες οι γωνίες θα είναι ορθές. Οι ευθείες που τέμνονται σε ορθή γωνία ονομάζονται κάθετες (ένα ξεχωριστό άρθρο είναι αφιερωμένο στην έννοια της καθετότητας).

Ρίξτε μια ματιά στην εικόνα:

Ας προχωρήσουμε στη διατύπωση του κύριου ορισμού.

Ορισμός 2

Η γωνία που σχηματίζεται από δύο τεμνόμενες ευθείες είναι το μέτρο της μικρότερης από τις 4 γωνίες που σχηματίζουν αυτές τις δύο ευθείες.

Ένα σημαντικό συμπέρασμα πρέπει να εξαχθεί από τον ορισμό: το μέγεθος της γωνίας σε αυτή την περίπτωση θα εκφραστεί με οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό στο διάστημα (0, 90] . Εάν οι ευθείες είναι κάθετες, τότε η γωνία μεταξύ τους θα είναι σε κάθε περίπτωση ίσο με 90 μοίρες.

Η ικανότητα εύρεσης του μέτρου της γωνίας μεταξύ δύο τεμνόμενων γραμμών είναι χρήσιμη για την επίλυση πολλών πρακτικών προβλημάτων. Η μέθοδος λύσης μπορεί να επιλεγεί από πολλές επιλογές.

Για αρχή, μπορούμε να πάρουμε γεωμετρικές μεθόδους. Αν γνωρίζουμε κάτι για πρόσθετες γωνίες, τότε μπορούμε να τις συνδέσουμε με τη γωνία που χρειαζόμαστε χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες ίσων ή παρόμοιων σχημάτων. Για παράδειγμα, αν γνωρίζουμε τις πλευρές ενός τριγώνου και πρέπει να υπολογίσουμε τη γωνία μεταξύ των γραμμών στις οποίες βρίσκονται αυτές οι πλευρές, τότε το θεώρημα συνημιτόνου είναι κατάλληλο για επίλυση. Αν έχουμε ορθογώνιο τρίγωνο στην συνθήκη, τότε για τους υπολογισμούς θα χρειαστεί να γνωρίζουμε και το ημίτονο, το συνημίτονο και την εφαπτομένη της γωνίας.

Η μέθοδος συντεταγμένων είναι επίσης πολύ βολική για την επίλυση προβλημάτων αυτού του τύπου. Ας εξηγήσουμε πώς να το χρησιμοποιήσετε σωστά.

Έχουμε ένα ορθογώνιο (καρτεσιανό) σύστημα συντεταγμένων O x y με δύο ευθείες γραμμές. Ας τα συμβολίσουμε με τα γράμματα α και β. Σε αυτή την περίπτωση, οι ευθείες γραμμές μπορούν να περιγραφούν χρησιμοποιώντας οποιεσδήποτε εξισώσεις. Οι αρχικές γραμμές έχουν σημείο τομής M . Πώς να προσδιορίσετε την επιθυμητή γωνία (ας τη συμβολίσουμε α) μεταξύ αυτών των γραμμών;

Ας ξεκινήσουμε με τη διατύπωση της βασικής αρχής της εύρεσης γωνίας υπό δεδομένες συνθήκες.

Γνωρίζουμε ότι έννοιες όπως η κατεύθυνση και το κανονικό διάνυσμα σχετίζονται στενά με την έννοια της ευθείας γραμμής. Αν έχουμε την εξίσωση κάποιας ευθείας γραμμής, μπορούμε να πάρουμε τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων από αυτήν. Μπορούμε να το κάνουμε αυτό για δύο τεμνόμενες ευθείες ταυτόχρονα.

Η γωνία που σχηματίζεται από δύο τεμνόμενες ευθείες μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας:

• γωνία μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσης.
• γωνία μεταξύ κανονικών διανυσμάτων.
• τη γωνία μεταξύ του κανονικού διανύσματος της μιας ευθείας και του διανύσματος κατεύθυνσης της άλλης.

Τώρα ας δούμε κάθε μέθοδο ξεχωριστά.

1. Έστω ότι έχουμε μια ευθεία a με διάνυσμα κατεύθυνσης a → = (a x , a y) και μια ευθεία b με διάνυσμα κατεύθυνσης b → (b x , b y) . Τώρα ας αφήσουμε στην άκρη δύο διανύσματα a → και b → από το σημείο τομής. Μετά από αυτό, θα δούμε ότι ο καθένας θα βρίσκεται στη δική του γραμμή. Τότε έχουμε τέσσερις επιλογές για αυτούς σχετική θέση. Δείτε την εικόνα:

Εάν η γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων δεν είναι αμβλεία, τότε θα είναι η γωνία που χρειαζόμαστε μεταξύ των τεμνόμενων ευθειών a και b. Αν είναι αμβλεία, τότε η επιθυμητή γωνία θα είναι ίση με τη γωνία που γειτνιάζει με τη γωνία a → , b → ^ . Έτσι, α = a → , b → ^ εάν a → , b → ^ ≤ 90 ° , και α = 180 ° - a → , b → ^ εάν a → , b → ^ > 90 ° .

Με βάση το γεγονός ότι τα συνημίτονα ίσων γωνιών είναι ίσα, μπορούμε να ξαναγράψουμε τις ισότητες που προκύπτουν ως εξής: cos α = cos a → , b → ^ εάν a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ εάν a → , b → ^ > 90 ° .

Στη δεύτερη περίπτωση χρησιμοποιήθηκαν τύποι αναγωγής. Ετσι,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Ας γράψουμε τον τελευταίο τύπο με λέξεις:

Ορισμός 3

Το συνημίτονο της γωνίας που σχηματίζεται από δύο τεμνόμενες ευθείες θα είναι ίσο με το μέτρο συνημίτονος της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσής του.

Η γενική μορφή του τύπου για το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ δύο διανυσμάτων a → = (a x, a y) και b → = (b x, b y) μοιάζει με αυτό:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Από αυτό μπορούμε να εξαγάγουμε τον τύπο για το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ δύο δεδομένων ευθειών:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Τότε η ίδια η γωνία μπορεί να βρεθεί από ακολουθώντας τον τύπο:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Εδώ a → = (a x , a y) και b → = (b x , b y) είναι τα διανύσματα κατεύθυνσης των δεδομένων γραμμών.

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα επίλυσης του προβλήματος.

Παράδειγμα 1

Σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, δύο τεμνόμενες ευθείες a και b δίνονται στο επίπεδο. Μπορούν να περιγραφούν με παραμετρικές εξισώσεις x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R και x 5 = y - 6 - 3 . Υπολογίστε τη γωνία μεταξύ αυτών των γραμμών.

Απόφαση

Έχουμε μια παραμετρική εξίσωση στη συνθήκη, που σημαίνει ότι για αυτήν την ευθεία μπορούμε να γράψουμε αμέσως τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσής της. Για να γίνει αυτό, πρέπει να λάβουμε τις τιμές των συντελεστών στην παράμετρο, δηλ. η ευθεία x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R θα έχει διάνυσμα κατεύθυνσης a → = (4 , 1) .

Η δεύτερη ευθεία περιγράφεται χρησιμοποιώντας την κανονική εξίσωση x 5 = y - 6 - 3 . Εδώ μπορούμε να πάρουμε τις συντεταγμένες από τους παρονομαστές. Έτσι, αυτή η ευθεία έχει διάνυσμα κατεύθυνσης b → = (5 , - 3) .

Στη συνέχεια, προχωράμε απευθείας στην εύρεση της γωνίας. Για να το κάνετε αυτό, απλώς αντικαταστήστε τις διαθέσιμες συντεταγμένες των δύο διανυσμάτων στον παραπάνω τύπο α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Παίρνουμε τα εξής:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

Απάντηση: Αυτές οι γραμμές σχηματίζουν γωνία 45 μοιρών.

Μπορούμε να λύσουμε ένα παρόμοιο πρόβλημα βρίσκοντας τη γωνία μεταξύ των κανονικών διανυσμάτων. Αν έχουμε μια ευθεία a με κανονικό διάνυσμα n a → = (n a x , n a y) και μια ευθεία b με κανονικό διάνυσμα n b → = (n b x , n b y) , τότε η μεταξύ τους γωνία θα είναι ίση με τη γωνία μεταξύ n a → και n b → ή τη γωνία που θα είναι δίπλα στο n a → , n b → ^ . Αυτή η μέθοδος φαίνεται στην εικόνα:

Οι τύποι για τον υπολογισμό του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ τεμνόμενων γραμμών και αυτής της ίδιας της γωνίας χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες των κανονικών διανυσμάτων μοιάζουν με αυτό:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

Εδώ τα n a → και n b → δηλώνουν τα κανονικά διανύσματα δύο δεδομένων γραμμών.

Παράδειγμα 2

Δίνονται δύο ευθείες σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις 3 x + 5 y - 30 = 0 και x + 4 y - 17 = 0 . Βρείτε το ημίτονο, το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας και το μέγεθος αυτής της ίδιας της γωνίας.

Απόφαση

Οι αρχικές ευθείες δίνονται χρησιμοποιώντας κανονικές ευθείες εξισώσεις της μορφής A x + B y + C = 0 . Να συμβολίσετε το κανονικό διάνυσμα n → = (A , B) . Ας βρούμε τις συντεταγμένες του πρώτου κανονικού διανύσματος για μια ευθεία και ας τις γράψουμε: n a → = (3 , 5) . Για τη δεύτερη ευθεία x + 4 y - 17 = 0 το κανονικό διάνυσμα θα έχει συντεταγμένες n b → = (1 , 4) . Τώρα προσθέστε τις λαμβανόμενες τιμές στον τύπο και υπολογίστε το σύνολο:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Αν γνωρίζουμε το συνημίτονο μιας γωνίας, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε το ημίτονο της χρησιμοποιώντας τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα. Δεδομένου ότι η γωνία α που σχηματίζεται από ευθείες γραμμές δεν είναι αμβλεία, τότε sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

Στην περίπτωση αυτή, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .

Απάντηση: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Ας αναλύσουμε την τελευταία περίπτωση - βρίσκοντας τη γωνία μεταξύ των ευθειών, αν γνωρίζουμε τις συντεταγμένες του κατευθυντικού διανύσματος της μιας ευθείας και του κανονικού διανύσματος της άλλης.

Ας υποθέσουμε ότι η ευθεία a έχει διάνυσμα κατεύθυνσης a → = (a x , a y) , και η ευθεία b έχει ένα κανονικό διάνυσμα n b → = (n b x , n b y) . Πρέπει να αναβάλουμε αυτά τα διανύσματα από το σημείο τομής και να εξετάσουμε όλες τις επιλογές για τη σχετική τους θέση. Δείτε εικόνα:

Εάν η γωνία μεταξύ των δεδομένων διανυσμάτων δεν είναι μεγαλύτερη από 90 μοίρες, αποδεικνύεται ότι θα συμπληρώσει τη γωνία μεταξύ a και b σε ορθή γωνία.

a → , n b → ^ = 90 ° - α εάν a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Αν είναι λιγότερο από 90 μοίρες, τότε παίρνουμε τα εξής:

a → , n b → ^ > 90 ° , μετά a → , n b → ^ = 90 ° + α

Χρησιμοποιώντας τον κανόνα της ισότητας των συνημιτόνων ίσων γωνιών, γράφουμε:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α για a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α at a → , n b → ^ > 90 ° .

Ετσι,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Ας διατυπώσουμε ένα συμπέρασμα.

Ορισμός 4

Για να βρείτε το ημίτονο της γωνίας μεταξύ δύο ευθειών που τέμνονται σε ένα επίπεδο, πρέπει να υπολογίσετε το μέτρο του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ του διανύσματος κατεύθυνσης της πρώτης γραμμής και του κανονικού διανύσματος της δεύτερης.

Ας γράψουμε τους απαραίτητους τύπους. Εύρεση του ημιτόνου μιας γωνίας:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Βρίσκοντας την ίδια τη γωνία:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Εδώ a → είναι το διάνυσμα κατεύθυνσης της πρώτης γραμμής και n b → είναι το κανονικό διάνυσμα της δεύτερης.

Παράδειγμα 3

Δύο τεμνόμενες ευθείες δίνονται από τις εξισώσεις x - 5 = y - 6 3 και x + 4 y - 17 = 0 . Βρείτε τη γωνία τομής.

Απόφαση

Παίρνουμε τις συντεταγμένες του κατευθυνόμενου και του κανονικού διανύσματος από τις δοσμένες εξισώσεις. Αποδεικνύεται a → = (- 5 , 3) ​​και n → b = (1 , 4) . Παίρνουμε τον τύπο α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 και θεωρούμε:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Σημειώστε ότι πήραμε τις εξισώσεις από το προηγούμενο πρόβλημα και πήραμε ακριβώς το ίδιο αποτέλεσμα, αλλά με διαφορετικό τρόπο.

Απάντηση:α = a r c sin 7 2 34

Εδώ είναι ένας άλλος τρόπος για να βρείτε την επιθυμητή γωνία χρησιμοποιώντας τους συντελεστές κλίσης δεδομένων γραμμών.

Έχουμε μια ευθεία a , η οποία ορίζεται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων χρησιμοποιώντας την εξίσωση y = k 1 · x + b 1 , και μια ευθεία b , που ορίζεται ως y = k 2 · x + b 2 . Αυτές είναι εξισώσεις ευθειών με κλίση. Για να βρείτε τη γωνία τομής, χρησιμοποιήστε τον τύπο:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , όπου k 1 και k 2 είναι οι κλίσεις των δεδομένων γραμμών. Για να ληφθεί αυτή η εγγραφή, χρησιμοποιήθηκαν τύποι για τον προσδιορισμό της γωνίας μέσω των συντεταγμένων των κανονικών διανυσμάτων.

Παράδειγμα 4

Υπάρχουν δύο ευθείες που τέμνονται στο επίπεδο, που δίνονται από τις εξισώσεις y = - 3 5 x + 6 και y = - 1 4 x + 17 4 . Υπολογίστε τη γωνία τομής.

Απόφαση

Οι κλίσεις των γραμμών μας είναι ίσες με k 1 = - 3 5 και k 2 = - 1 4 . Ας τα προσθέσουμε στον τύπο α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 και υπολογίσουμε:

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

Απάντηση:α = a r c cos 23 2 34

Στα συμπεράσματα αυτής της παραγράφου, θα πρέπει να σημειωθεί ότι οι τύποι για την εύρεση της γωνίας που δίνονται εδώ δεν χρειάζεται να μάθουν από την καρδιά. Για να γίνει αυτό, αρκεί να γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των οδηγών και/ή τα κανονικά διανύσματα των δεδομένων γραμμών και να μπορούμε να τις προσδιορίσουμε από ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙεξισώσεις. Αλλά οι τύποι για τον υπολογισμό του συνημίτονος μιας γωνίας είναι καλύτερο να θυμάστε ή να καταγράψετε.

Πώς να υπολογίσετε τη γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών στο διάστημα

Ο υπολογισμός μιας τέτοιας γωνίας μπορεί να μειωθεί στον υπολογισμό των συντεταγμένων των διανυσμάτων κατεύθυνσης και στον προσδιορισμό του μεγέθους της γωνίας που σχηματίζουν αυτά τα διανύσματα. Για τέτοια παραδείγματα, χρησιμοποιούμε τον ίδιο συλλογισμό που δώσαμε προηγουμένως.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων που βρίσκεται σε τρισδιάστατο χώρο. Περιέχει δύο ευθείες a και b με το σημείο τομής M . Για να υπολογίσουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων κατεύθυνσης, πρέπει να γνωρίζουμε τις εξισώσεις αυτών των ευθειών. Να χαρακτηρίσετε τα διανύσματα κατεύθυνσης a → = (a x , a y , a z) και b → = (b x , b y , b z) . Για να υπολογίσουμε το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ τους, χρησιμοποιούμε τον τύπο:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Για να βρούμε την ίδια τη γωνία, χρειαζόμαστε αυτόν τον τύπο:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Παράδειγμα 5

Έχουμε μια ευθεία που ορίζεται στον τρισδιάστατο χώρο χρησιμοποιώντας την εξίσωση x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Είναι γνωστό ότι τέμνεται με τον άξονα O z. Να υπολογίσετε τη γωνία τομής και το συνημίτονο αυτής της γωνίας.

Απόφαση

Ας συμβολίσουμε τη γωνία που θα υπολογιστεί με το γράμμα α. Ας γράψουμε τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης για την πρώτη ευθεία - a → = (1 , - 3 , - 2) . Για τον άξονα εφαρμογής, μπορούμε να πάρουμε ως οδηγό το διάνυσμα συντεταγμένων k → = (0 , 0 , 1). Έχουμε λάβει τα απαραίτητα δεδομένα και μπορούμε να τα προσθέσουμε στον επιθυμητό τύπο:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Ως αποτέλεσμα, καταλάβαμε ότι η γωνία που χρειαζόμαστε θα είναι ίση με a r c cos 1 2 = 45 °.

Απάντηση: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Ορισμός.Εάν δοθούν δύο ευθείες y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , τότε η οξεία γωνία μεταξύ αυτών των γραμμών θα οριστεί ως

Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν k 1 = k 2 . Δύο ευθείες είναι κάθετες αν k 1 = -1/ k 2 .

Θεώρημα.Οι ευθείες γραμμές Ax + Vy + C \u003d 0 και A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 είναι παράλληλες όταν οι συντελεστές A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB είναι ανάλογοι. Αν επίσης С 1 = λС, τότε οι γραμμές συμπίπτουν. Οι συντεταγμένες του σημείου τομής δύο ευθειών βρίσκονται ως λύση στο σύστημα εξισώσεων αυτών των ευθειών.

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο

Κάθετα σε αυτή τη γραμμή

Ορισμός.Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο M 1 (x 1, y 1) και είναι κάθετη στην ευθεία y \u003d kx + b αντιπροσωπεύεται από την εξίσωση:

Απόσταση από σημείο σε γραμμή

Θεώρημα.Εάν δοθεί ένα σημείο M(x 0, y 0), τότε η απόσταση από την ευθεία Ax + Vy + C \u003d 0 ορίζεται ως

.

Απόδειξη.Έστω το σημείο M 1 (x 1, y 1) η βάση της καθέτου που έπεσε από το σημείο M στη δεδομένη ευθεία. Τότε η απόσταση μεταξύ των σημείων M και M 1:

(1)

Οι συντεταγμένες x 1 και y 1 μπορούν να βρεθούν ως λύση στο σύστημα των εξισώσεων:

Η δεύτερη εξίσωση του συστήματος είναι η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο M 0 κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία. Αν μετατρέψουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος στη μορφή:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

τότε, λύνοντας, παίρνουμε:

Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις στην εξίσωση (1), βρίσκουμε:

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Παράδειγμα. Προσδιορίστε τη γωνία μεταξύ των ευθειών: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Παράδειγμα. Δείξτε ότι οι ευθείες 3x - 5y + 7 = 0 και 10x + 6y - 3 = 0 είναι κάθετες.

Απόφαση. Βρίσκουμε: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, επομένως, οι γραμμές είναι κάθετες.

Παράδειγμα. Δίνονται οι κορυφές του τριγώνου A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Βρείτε την εξίσωση για το ύψος που προκύπτει από την κορυφή Γ.

Απόφαση. Βρίσκουμε την εξίσωση της πλευράς ΑΒ: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Η επιθυμητή εξίσωση ύψους είναι: Ax + By + C = 0 ή y = kx + b. k = . Τότε y = . Επειδή το ύψος διέρχεται από το σημείο C, τότε οι συντεταγμένες του ικανοποιούν αυτήν την εξίσωση: από όπου b = 17. Σύνολο: .

Απάντηση: 3x + 2y - 34 = 0.

Εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο σε μια δεδομένη κατεύθυνση. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία. Γωνία μεταξύ δύο γραμμών. Συνθήκη παραλληλισμού και καθετότητας δύο ευθειών. Προσδιορισμός του σημείου τομής δύο ευθειών

1. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο ΕΝΑ(Χ 1 , y 1) σε μια δεδομένη κατεύθυνση, που καθορίζεται από την κλίση κ,

y - y 1 = κ(Χ - Χ 1). (1)

Αυτή η εξίσωση ορίζει ένα μολύβι γραμμών που διέρχονται από ένα σημείο ΕΝΑ(Χ 1 , y 1), που ονομάζεται κέντρο της δέσμης.

2. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία: ΕΝΑ(Χ 1 , y 1) και σι(Χ 2 , y 2) γράφεται ως εξής:

Η κλίση μιας ευθείας γραμμής που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία καθορίζεται από τον τύπο

3. Γωνία μεταξύ ευθειών γραμμών ΕΝΑκαι σιείναι η γωνία κατά την οποία πρέπει να περιστραφεί η πρώτη ευθεία ΕΝΑγύρω από το σημείο τομής αυτών των γραμμών αριστερόστροφα μέχρι να συμπέσει με τη δεύτερη γραμμή σι. Αν δίδονται δύο ευθείες με εξισώσεις κλίσης

y = κ 1 Χ + σι 1 ,

y = κ 2 Χ + σι 2 , (4)

τότε η γωνία μεταξύ τους καθορίζεται από τον τύπο

Σημειώνεται ότι στον αριθμητή του κλάσματος, η κλίση της πρώτης ευθείας αφαιρείται από την κλίση της δεύτερης ευθείας.

Αν δίνονται οι εξισώσεις μιας ευθείας γενική εικόνα

ΕΝΑ 1 Χ + σι 1 y + ντο 1 = 0,

ΕΝΑ 2 Χ + σι 2 y + ντο 2 = 0, (6)

η γωνία μεταξύ τους καθορίζεται από τον τύπο

4. Προϋποθέσεις για παραλληλισμό δύο ευθειών:

α) Αν οι ευθείες δίνονται από τις εξισώσεις (4) με κλίση, τότε απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για τον παραλληλισμό τους είναι η ισότητα των κλίσεων τους:

κ 1 = κ 2 . (8)

β) Για την περίπτωση που οι ευθείες δίνονται με εξισώσεις στη γενική μορφή (6), απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για τον παραλληλισμό τους είναι οι συντελεστές στις αντίστοιχες τρέχουσες συντεταγμένες στις εξισώσεις τους να είναι ανάλογοι, δηλ.

5. Προϋποθέσεις για την καθετότητα δύο ευθειών:

α) Στην περίπτωση που οι ευθείες δίνονται από τις εξισώσεις (4) με κλίση, απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για την καθετότητά τους είναι οι κλίσεις τους να είναι αντίστροφες σε μέγεθος και αντίθετες σε πρόσημο, δηλ.

Αυτή η συνθήκη μπορεί επίσης να γραφτεί στη φόρμα

κ 1 κ 2 = -1. (11)

β) Αν οι εξισώσεις των ευθειών δίνονται σε γενική μορφή (6), τότε προϋπόθεση για την καθετότητά τους (απαραίτητη και επαρκής) είναι να πληρούται η ισότητα

ΕΝΑ 1 ΕΝΑ 2 + σι 1 σι 2 = 0. (12)

6. Οι συντεταγμένες του σημείου τομής δύο ευθειών βρίσκονται λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων (6). Οι ευθείες (6) τέμνονται αν και μόνο αν

1. Να γράψετε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σημείο Μ, εκ των οποίων η μία είναι παράλληλη και η άλλη κάθετη στη δεδομένη ευθεία l.

ένα. Ας δοθούν δύο ευθείες, οι οποίες, όπως αναφέρθηκε στο Κεφάλαιο 1, σχηματίζουν διάφορες θετικές και αρνητικές γωνίες, οι οποίες μπορεί να είναι οξείες ή αμβλείες. Γνωρίζοντας μία από αυτές τις γωνίες, μπορούμε εύκολα να βρούμε οποιαδήποτε άλλη.

Παρεμπιπτόντως, για όλες αυτές τις γωνίες, η αριθμητική τιμή της εφαπτομένης είναι η ίδια, η διαφορά μπορεί να είναι μόνο στο πρόσημο

Εξισώσεις γραμμών. Οι αριθμοί είναι οι προβολές των κατευθυντικών διανυσμάτων της πρώτης και της δεύτερης ευθείας.Η γωνία μεταξύ αυτών των διανυσμάτων είναι ίση με μία από τις γωνίες που σχηματίζονται από ευθείες γραμμές. Επομένως, το πρόβλημα περιορίζεται στον προσδιορισμό της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων, παίρνουμε

Για απλότητα, μπορούμε να συμφωνήσουμε σε μια γωνία μεταξύ δύο ευθειών για να κατανοήσουμε μια οξεία θετική γωνία (όπως, για παράδειγμα, στο Σχ. 53).

Τότε η εφαπτομένη αυτής της γωνίας θα είναι πάντα θετική. Έτσι, εάν ληφθεί ένα σύμβολο μείον στη δεξιά πλευρά του τύπου (1), τότε πρέπει να το απορρίψουμε, δηλαδή να διατηρήσουμε μόνο την απόλυτη τιμή.

Παράδειγμα. Προσδιορίστε τη γωνία μεταξύ των γραμμών

Με τον τύπο (1) έχουμε

με. Αν υποδεικνύεται ποια από τις πλευρές της γωνίας είναι η αρχή και ποια το τέλος της, τότε, μετρώντας πάντα την φορά της γωνίας αριστερόστροφα, μπορούμε να εξαγάγουμε κάτι περισσότερο από τους τύπους (1). Όπως φαίνεται εύκολα από το Σχ. 53 το πρόσημο που λαμβάνεται στη δεξιά πλευρά του τύπου (1) θα υποδεικνύει ποια - οξεία ή αμβλεία - η γωνία σχηματίζει τη δεύτερη γραμμή με την πρώτη.

(Πράγματι, από το Σχ. 53 βλέπουμε ότι η γωνία μεταξύ του πρώτου και του δεύτερου διανύσματος κατεύθυνσης είναι είτε ίση με την επιθυμητή γωνία μεταξύ των γραμμών είτε διαφέρει από αυτήν κατά ±180°.)

ρε. Αν οι ευθείες είναι παράλληλες τότε παράλληλα είναι και τα διανύσματα κατεύθυνσής τους Εφαρμόζοντας την συνθήκη παραλληλισμού δύο διανυσμάτων παίρνουμε!

Αυτή είναι απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για να είναι δύο ευθείες παράλληλες.

Παράδειγμα. Απευθείας

είναι παράλληλες γιατί

μι. Αν οι ευθείες είναι κάθετες, τότε κάθετα είναι και τα διανύσματά τους. Εφαρμόζοντας τη συνθήκη της καθετότητας δύο διανυσμάτων, προκύπτει η συνθήκη της καθετότητας δύο ευθειών, δηλαδή

Παράδειγμα. Απευθείας

κάθετη γιατί

Σε σχέση με τις συνθήκες παραλληλισμού και καθετότητας, θα λύσουμε τα ακόλουθα δύο προβλήματα.

φά. Σχεδιάστε μια ευθεία παράλληλη σε μια δεδομένη ευθεία μέσα από ένα σημείο

Η απόφαση λαμβάνεται έτσι. Εφόσον η επιθυμητή ευθεία είναι παράλληλη με τη δεδομένη, τότε για το κατευθυντικό της διάνυσμα μπορούμε να πάρουμε το ίδιο με αυτό της δεδομένης γραμμής, δηλαδή ένα διάνυσμα με προβολές Α και Β. Και τότε θα γραφεί η εξίσωση της επιθυμητής ευθείας στη μορφή (§ 1)

Παράδειγμα. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από σημείο (1; 3) παράλληλο προς ευθεία

θα είναι το επόμενο!

σολ. Σχεδιάστε μια ευθεία σε ένα σημείο κάθετο στη δεδομένη ευθεία

Εδώ, δεν είναι πλέον κατάλληλο να παίρνουμε ένα διάνυσμα με προβολές Α και ως κατευθυντικό διάνυσμα, αλλά είναι απαραίτητο να κερδίσουμε ένα διάνυσμα κάθετο σε αυτό. Οι προβολές αυτού του διανύσματος πρέπει επομένως να επιλέγονται σύμφωνα με την προϋπόθεση ότι και τα δύο διανύσματα είναι κάθετα, δηλ. σύμφωνα με τη συνθήκη

Αυτή η συνθήκη μπορεί να εκπληρωθεί με άπειρους τρόπους, αφού εδώ υπάρχει μία εξίσωση με δύο αγνώστους.Αλλά ο ευκολότερος τρόπος είναι να την πάρουμε.Τότε η εξίσωση της επιθυμητής ευθείας θα γραφτεί με τη μορφή

Παράδειγμα. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από σημείο (-7; 2) σε κάθετη ευθεία

θα είναι το εξής (σύμφωνα με τον δεύτερο τύπο)!

η. Στην περίπτωση που οι γραμμές δίνονται με εξισώσεις της μορφής

Εντολή

Σημείωση

Η περίοδος της εφαπτομένης της τριγωνομετρικής συνάρτησης είναι 180 μοίρες, πράγμα που σημαίνει ότι οι γωνίες κλίσης των ευθειών δεν μπορούν, σε απόλυτη τιμή, να υπερβούν αυτήν την τιμή.

Χρήσιμες συμβουλές

Εάν οι συντελεστές κλίσης είναι ίσοι μεταξύ τους, τότε η γωνία μεταξύ τέτοιων γραμμών είναι 0, αφού τέτοιες γραμμές είτε συμπίπτουν είτε είναι παράλληλες.

Για τον προσδιορισμό της γωνίας μεταξύ των γραμμών διέλευσης, είναι απαραίτητο να μεταφερθούν και οι δύο γραμμές (ή μία από αυτές) σε μια νέα θέση με τη μέθοδο της παράλληλης μεταφοράς στη διασταύρωση. Μετά από αυτό, θα πρέπει να βρείτε τη γωνία μεταξύ των τεμνόμενων γραμμών που προκύπτουν.

Θα χρειαστείτε

• Χάρακας, ορθογώνιο τρίγωνο, μολύβι, μοιρογνωμόνιο.

Εντολή

Έστω λοιπόν το διάνυσμα V = (a, b, c) και το επίπεδο A x + B y + C z = 0, όπου A, B και C είναι οι συντεταγμένες του κανονικού N. Τότε το συνημίτονο της γωνίας Το α μεταξύ των διανυσμάτων V και N είναι: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Για να υπολογίσετε την τιμή της γωνίας σε μοίρες ή ακτίνια, πρέπει να υπολογίσετε τη συνάρτηση αντίστροφη προς το συνημίτονο από την έκφραση που προκύπτει, δηλ. αρκοσίνη: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Παράδειγμα: βρείτε ένεσημεταξύ διάνυσμα(5, -3, 8) και επίπεδο, που δίνεται από τη γενική εξίσωση 2 x - 5 y + 3 z = 0. Λύση: γράψτε τις συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος του επιπέδου N = (2, -5, 3). Αντικαταστήστε όλες τις γνωστές τιμές στον παραπάνω τύπο: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Σχετικά βίντεο

Μια ευθεία που έχει ένα κοινό σημείο με έναν κύκλο εφάπτεται στον κύκλο. Ένα άλλο χαρακτηριστικό της εφαπτομένης είναι ότι είναι πάντα κάθετη στην ακτίνα που τραβιέται στο σημείο επαφής, δηλαδή η εφαπτομένη και η ακτίνα σχηματίζουν μια ευθεία γραμμή ένεση. Αν δύο εφαπτομένες στον κύκλο ΑΒ και AC τραβηχτούν από ένα σημείο Α, τότε είναι πάντα ίσες μεταξύ τους. Ορισμός της γωνίας μεταξύ των εφαπτομένων ( ένεση ABC) παράγεται χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Εντολή

Για να προσδιορίσετε τη γωνία, πρέπει να γνωρίζετε την ακτίνα του κύκλου OB και OS και την απόσταση του σημείου έναρξης της εφαπτομένης από το κέντρο του κύκλου - O. Άρα, οι γωνίες ABO και ACO είναι ίσες, η ακτίνα OB, για παράδειγμα, 10 cm και η απόσταση από το κέντρο του κύκλου AO είναι 15 cm. Προσδιορίστε το μήκος της εφαπτομένης με τον τύπο σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα: AB \u003d τετραγωνική ρίζα του AO2 ​​- OB2 ή 152 - 102 \u003d 225 - 100 \u003d 125;

Θα είναι χρήσιμο για κάθε μαθητή που προετοιμάζεται για την εξέταση στα μαθηματικά να επαναλάβει το θέμα «Βρίσκοντας τη γωνία μεταξύ των γραμμών». Όπως δείχνουν τα στατιστικά στοιχεία, όταν περνάτε ένα τεστ πιστοποίησης, οι εργασίες σε αυτό το τμήμα της στερεομετρίας προκαλούν δυσκολίες για ένας μεγάλος αριθμόςΦοιτητές. Ταυτόχρονα, εργασίες που απαιτούν εύρεση της γωνίας μεταξύ των ευθειών γραμμών βρίσκονται στη ΧΡΗΣΗ τόσο στο βασικό επίπεδο όσο και στο επίπεδο προφίλ. Αυτό σημαίνει ότι όλοι πρέπει να μπορούν να τα λύσουν.

Βασικές στιγμές

Υπάρχουν 4 τύποι αμοιβαίας διάταξης γραμμών στο χώρο. Μπορούν να συμπίπτουν, να τέμνονται, να είναι παράλληλες ή τέμνουσες. Η γωνία μεταξύ τους μπορεί να είναι οξεία ή ευθεία.

Για να βρείτε τη γωνία μεταξύ των γραμμών στην Ενιαία Κρατική Εξέταση ή, για παράδειγμα, στη λύση, οι μαθητές στη Μόσχα και σε άλλες πόλεις μπορούν να χρησιμοποιήσουν διάφορες μεθόδους για την επίλυση προβλημάτων σε αυτό το τμήμα της στερεομετρίας. Μπορείτε να ολοκληρώσετε την εργασία με κλασικές κατασκευές. Για να γίνει αυτό, αξίζει να μάθετε τα βασικά αξιώματα και θεωρήματα της στερεομετρίας. Ο μαθητής πρέπει να είναι σε θέση να δημιουργήσει λογικά συλλογισμό και να δημιουργήσει σχέδια για να φέρει την εργασία σε ένα επιπεδομετρικό πρόβλημα.

Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο διανύσματος-συντεταγμένων, χρησιμοποιώντας απλούς τύπους, κανόνες και αλγόριθμους. Το κύριο πράγμα σε αυτή την περίπτωση είναι να εκτελέσετε σωστά όλους τους υπολογισμούς. Ακονίστε τις δεξιότητές σας στην επίλυση προβλημάτων στη στερεομετρία και σε άλλα θέματα σχολικό μάθηματο εκπαιδευτικό έργο "Shkolkovo" θα σας βοηθήσει.