A vonalak közötti szög meghatározása. Szög a vonalak között

Ezt az anyagot egy olyan koncepciónak szentelték, mint a két egymást metsző egyenes közötti szög. Az első bekezdésben elmagyarázzuk, mi ez, és illusztrációkon mutatjuk be. Ezután elemezzük, hogyan találhatja meg ennek a szögnek a szinuszát, koszinuszát és magát a szöget (külön megvizsgáljuk a sík és a háromdimenziós tér eseteit), megadjuk a szükséges képleteket, és példákkal bemutatjuk, hogyan alkalmazzák őket pontosan. gyakorlatban.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ahhoz, hogy megértsük, mi a két egyenes metszéspontjában kialakult szög, fel kell idéznünk a szög, a merőlegesség és a metszéspont definícióját.

1. definíció

Két egyenest metszőnek nevezünk, ha van egy közös pontjuk. Ezt a pontot a két egyenes metszéspontjának nevezzük.

Az egyes egyeneseket a metszéspont sugarakra osztja. Ebben az esetben mindkét vonal 4 szöget alkot, amelyek közül kettő függőleges, kettő pedig szomszédos. Ha ismerjük az egyik mértékét, akkor meg tudjuk határozni a többit is.

Tegyük fel, hogy tudjuk, hogy az egyik szög egyenlő α-val. Ebben az esetben a vele függőleges szög is egyenlő lesz α-val. A fennmaradó szögek meghatározásához ki kell számítanunk a 180 ° - α különbséget. Ha α egyenlő 90 fokkal, akkor minden szög megfelelő lesz. A derékszögben metsző egyeneseket merőlegesnek nevezzük (a merőlegesség fogalmának külön cikket szentelünk).

Vessen egy pillantást a képre:

Folytassuk a fő definíció megfogalmazásával.

2. definíció

A két egymást metsző egyenes által alkotott szög a két egyenest alkotó négy szög közül a kisebbik mértéke.

A definícióból le kell vonni egy fontos következtetést: a szög nagyságát ebben az esetben a (0 , 90 ] intervallum bármely valós számával fejezzük ki. Ha az egyenesek merőlegesek, akkor a köztük lévő szög mindenképpen 90 fokkal egyenlő.

Az a képesség, hogy megtaláljuk a két metsző egyenes közötti szög mértékét, számos gyakorlati probléma megoldásához hasznos. A megoldási mód több lehetőség közül választható.

Kezdetnek vegyünk geometriai módszereket. Ha tudunk valamit a további szögekről, akkor az egyenlő vagy hasonló alakzatok tulajdonságait felhasználva a szükséges szöghez kapcsolhatjuk őket. Például, ha ismerjük egy háromszög oldalait, és ki kell számítanunk azon egyenesek közötti szöget, amelyeken ezek az oldalak találhatók, akkor a koszinusztétel alkalmas a megoldásra. Ha a feltételben derékszögű háromszögünk van, akkor a számításokhoz ismernünk kell a szög szinuszát, koszinuszát és érintőjét is.

A koordináta-módszer nagyon kényelmes az ilyen típusú problémák megoldására is. Elmagyarázzuk, hogyan kell helyesen használni.

Van egy derékszögű (derékszögű) O x y koordinátarendszerünk két egyenessel. Jelöljük őket a és b betűkkel. Ebben az esetben az egyenesek bármilyen egyenlettel leírhatók. Az eredeti egyeneseknek van egy M metszéspontja. Hogyan határozzuk meg a kívánt szöget (jelöljük α-val) ezen vonalak között?

Kezdjük a szögkeresés alapelvének megfogalmazásával adott feltételek mellett.

Tudjuk, hogy az olyan fogalmak, mint az irányító és a normálvektor, szorosan kapcsolódnak az egyenes fogalmához. Ha megvan valamilyen egyenes egyenlete, akkor abból kivehetjük ezeknek a vektoroknak a koordinátáit. Ezt egyszerre két metsző egyenesre is megtehetjük.

A két egymást metsző egyenes által alkotott szög a következőképpen határozható meg:

• az irányvektorok közötti szög;
• normálvektorok közötti szög;
• az egyik egyenes normálvektora és a másik irányvektora közötti szög.

Most nézzük meg az egyes módszereket külön-külön.

1. Tegyük fel, hogy van egy a egyenes a → = (a x , a y) irányvektorral és egy b egyenes b → (b x , b y) irányvektorral. Most tegyünk félre két a → és b → vektort a metszéspontból. Ezek után látni fogjuk, hogy mindegyik a saját vonalán fog elhelyezkedni. Akkor négy lehetőségünk van rájuk relatív pozíció. Lásd az illusztrációt:

Ha két vektor közötti szög nem tompa, akkor ez lesz az a szög, amelyre szükségünk van az a és b metsző egyenesek között. Ha tompaszögű, akkor a kívánt szög egyenlő lesz az a → , b → ^ szöggel szomszédos szöggel. Így α = a → , b → ^, ha a → , b → ^ ≤ 90 ° , és α = 180 ° - a → , b → ^ ha a → , b → ^ > 90 ° .

Abból kiindulva, hogy egyenlő szögek koszinuszai egyenlők, a kapott egyenlőségeket a következőképpen írhatjuk át: cos α = cos a → , b → ^ ha a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ ha a → , b → ^ > 90° .

A második esetben redukciós képleteket használtunk. Ily módon

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Írjuk le az utolsó képletet szavakkal:

3. definíció

A két egymást metsző egyenes által alkotott szög koszinusza egyenlő lesz az irányvektorai közötti szög koszinuszának modulusával.

A két a → = (a x, a y) és b → = (b x, b y) vektor közötti szög koszinuszának képlete a következőképpen néz ki:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Ebből származtathatjuk a két adott egyenes közötti szög koszinuszának képletét:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Ekkor magát a szöget lehet megtalálni következő képlet:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Itt a → = (a x, a y) és b → = (b x, b y) az adott egyenesek irányvektorai.

Mutassunk példát a probléma megoldására.

1. példa

Egy téglalap alakú koordinátarendszerben a síkon két egymást metsző a és b egyenes adott. Leírhatók az x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R és x 5 = y - 6 - 3 paraméteres egyenletekkel . Számítsa ki e vonalak közötti szöget!

Megoldás

A feltételben van egy paraméteres egyenletünk, ami azt jelenti, hogy erre az egyenesre azonnal felírhatjuk irányvektorának koordinátáit. Ehhez meg kell vennünk az együtthatók értékeit a paraméternél, pl. az x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R egyenesnek a → = (4 , 1) irányvektora lesz.

A második egyenest az x 5 = y-6-3 kanonikus egyenlet segítségével írjuk le. Itt vehetjük át a koordinátákat a nevezőkből. Így ennek az egyenesnek van egy irányvektora b → = (5 , - 3) .

Ezután közvetlenül folytatjuk a szög meghatározását. Ehhez egyszerűen helyettesítse be a két vektor elérhető koordinátáit a fenti képletbe: α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . A következőket kapjuk:

α = a rc cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

Válasz: Ezek a vonalak 45 fokos szöget zárnak be.

Hasonló problémát megoldhatunk, ha megtaláljuk a normálvektorok közötti szöget. Ha van egy a egyenes n a → = (n a x , n a y) normálvektorral és egy b egyenesünk n b → = (n b x , n b y) normálvektorral, akkor a köztük lévő szög egyenlő lesz n a → és n b → vagy az a szög, amely n a → , n b → ^ szomszédos lesz. Ez a módszer a képen látható:

A metsző egyenesek és magának a szögnek a koszinuszának kiszámítására szolgáló képletek a normálvektorok koordinátái segítségével a következőképpen néznek ki:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

Itt n a → és n b → két adott egyenes normálvektorát jelöli.

2. példa

Két egyenest adunk meg egy téglalap alakú koordinátarendszerben a 3 x + 5 y - 30 = 0 és x + 4 y - 17 = 0 egyenletekkel . Keresse meg a köztük lévő szög szinuszát, koszinuszát és magának a szögnek a nagyságát.

Megoldás

Az eredeti egyeneseket az A x + B y + C = 0 alakú normál egyenes egyenletek segítségével adjuk meg. Jelölje az n → = (A , B) normálvektort. Keressük meg az első normálvektor koordinátáit egy egyenesre, és írjuk fel: n a → = (3 , 5) . Az x + 4 y - 17 = 0 második egyenesre a normálvektor koordinátái n b → = (1 , 4) . Most adja hozzá a kapott értékeket a képlethez, és számítsa ki az összeget:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Ha ismerjük egy szög koszinuszát, akkor a trigonometrikus alapazonosság segítségével ki tudjuk számítani a szinuszát. Mivel az egyenesek által alkotott α szög nem tompa, akkor sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

Ebben az esetben α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .

Válasz: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Elemezzük az utolsó esetet - a vonalak közötti szög megállapítását, ha ismerjük az egyik egyenes irányítóvektorának és a másik normálvektorának koordinátáit.

Tegyük fel, hogy az a egyenesnek van egy irányvektora a → = (a x , a y) , és a b egyenesnek van egy normálvektora n b → = (n b x , n b y) . Ezeket a vektorokat el kell halasztanunk a metszésponttól, és meg kell fontolnunk az összes lehetőséget a relatív helyzetükhöz. Lásd a képen:

Ha az adott vektorok közötti szög nem nagyobb, mint 90 fok, akkor kiderül, hogy az a és b közötti szöget derékszögre egészíti ki.

a → , n b → ^ = 90 ° - α , ha a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Ha 90 foknál kisebb, akkor a következőket kapjuk:

a → , n b → ^ > 90 ° , majd a → , n b → ^ = 90 ° + α

Az egyenlő szögű koszinuszok egyenlőségének szabályával ezt írjuk:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α a → , n b → ^ ≤ 90 ° esetén.

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α a → , n b → ^ > 90 ° - nál .

Ily módon

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Fogalmazzuk meg a következtetést.

4. definíció

A síkban metsző két egyenes közötti szög szinuszának meghatározásához ki kell számítanunk az első egyenes irányvektora és a második normálvektora közötti szög koszinuszának modulusát.

Írjuk fel a szükséges képleteket. Egy szög szinuszának megtalálása:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Maga a sarok megkeresése:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Itt a → az első sor irányvektora, és n b → a második sor normálvektora.

3. példa

Két egymást metsző egyenest az x - 5 = y - 6 3 és x + 4 y - 17 = 0 egyenletek adnak meg . Keresse meg a metszésszöget.

Megoldás

A megadott egyenletekből vesszük az irányító és normálvektor koordinátáit. Kiderül, hogy a → = (- 5, 3) és n → b = (1, 4) . Vegyük az α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 képletet, és vegyük figyelembe:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Vegyük észre, hogy az előző feladatból vett egyenleteket pontosan ugyanazt az eredményt kaptuk, de más módon.

Válasz:α = a r c sin 7 2 34

Itt van egy másik módszer a kívánt szög meghatározására az adott vonalak meredekségi együtthatói segítségével.

Van egy a egyenes, amelyet téglalap alakú koordinátarendszerben definiálunk az y = k 1 · x + b 1 egyenlet segítségével, és egy b egyenes, amelyet y = k 2 · x + b 2 definícióval definiálunk. Ezek meredekségű egyenesek egyenletei. A metszésszög meghatározásához használja a következő képletet:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1, ahol k 1 és k 2 az adott egyenesek meredeksége. Ennek a rekordnak a megszerzéséhez képleteket használtunk a szög meghatározására a normálvektorok koordinátáin keresztül.

4. példa

A síkban két egyenes metszi egymást, amelyeket az y = - 3 5 x + 6 és y = - 1 4 x + 17 4 egyenletek adnak meg. Számítsa ki a metszésszöget!

Megoldás

Egyeneseink meredeksége egyenlő k 1 = - 3 5 és k 2 = - 1 4 . Adjuk hozzá őket az α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 képlethez, és számítsuk ki:

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

Válasz:α = a r c cos 23 2 34

A bekezdés következtetéseiben meg kell jegyezni, hogy az itt megadott szögkereső képleteket nem kell fejből megtanulni. Ehhez elegendő ismerni az adott egyenesek vezetőinek és/vagy normálvektorainak koordinátáit, és ezek alapján meghatározni. különböző típusok egyenletek. De a szög koszinuszának kiszámítására szolgáló képleteket jobb megjegyezni vagy leírni.

Hogyan számítsuk ki a térben metsző vonalak közötti szöget

Egy ilyen szög kiszámítása az irányvektorok koordinátáinak kiszámítására és az ezen vektorok által alkotott szög nagyságának meghatározására redukálható. Az ilyen példákhoz ugyanazt az érvelést használjuk, mint korábban.

Tegyük fel, hogy van egy téglalap alakú koordináta-rendszerünk a helyen háromdimenziós tér. Két a és b egyenest tartalmaz az M metszésponttal. Az irányvektorok koordinátáinak kiszámításához ismernünk kell ezen egyenesek egyenleteit. Jelölje az a → = (a x, a y, a z) és a b → = (b x, b y, b z) irányvektorokat. A köztük lévő szög koszinuszának kiszámításához a következő képletet használjuk:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

A szög meghatározásához a következő képletre van szükségünk:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

5. példa

Van egy egyenes 3D térben az x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 egyenlet segítségével . Ismeretes, hogy az O z tengellyel metszi. Számítsa ki a metszésszöget és ennek a szögnek a koszinuszát!

Megoldás

Jelöljük α betűvel a kiszámítandó szöget. Írjuk fel az első egyenes irányvektorának koordinátáit - a → = (1 , - 3 , - 2) . Az applikációs tengelyhez a k → = (0 , 0 , 1) koordinátavektort vehetjük útmutatónak. Megkaptuk a szükséges adatokat, és hozzáadhatjuk a kívánt képlethez:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Ennek eredményeként azt kaptuk, hogy a szükséges szög egyenlő lesz a r c cos 1 2 = 45 °-kal.

Válasz: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Meghatározás. Ha két egyenest y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , akkor a vonalak közötti hegyesszöget a következőképpen határozzuk meg

Két egyenes párhuzamos, ha k 1 = k 2 . Két egyenes merőleges, ha k 1 = -1/ k 2 .

Tétel. Az Ax + Vy + C \u003d 0 és A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 egyenesek párhuzamosak, ha az A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB együtthatók arányosak. Ha С 1 = λС is, akkor a vonalak egybeesnek. Két egyenes metszéspontjának koordinátáit ezen egyenesek egyenletrendszerének megoldásaként találjuk meg.

Adott ponton átmenő egyenes egyenlete

Erre az egyenesre merőlegesen

Meghatározás. Az M 1 (x 1, y 1) ponton átmenő és az y \u003d kx + b egyenesre merőleges egyenest a következő egyenlet ábrázolja:

Távolság ponttól vonalig

Tétel. Ha adott egy M(x 0, y 0) pont, akkor az Ax + Vy + C \u003d 0 egyenes távolságát a következőképpen határozzuk meg:

.

Bizonyíték. Legyen az M 1 (x 1, y 1) pont az M pontból az adott egyenesre ejtett merőleges alapja. Ekkor az M és M 1 pontok közötti távolság:

(1)

Az x 1 és y 1 koordináták az egyenletrendszer megoldásaként találhatók:

A rendszer második egyenlete egy adott M 0 ponton átmenő egyenes egyenlete, amely merőleges egy adott egyenesre. Ha a rendszer első egyenletét alakra alakítjuk:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 + C = 0,

majd megoldva a következőket kapjuk:

Ezeket a kifejezéseket az (1) egyenletbe behelyettesítve azt kapjuk, hogy:

A tétel bizonyítást nyert.

Példa. Határozza meg a vonalak közötti szöget: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Példa. Mutassuk meg, hogy a 3x - 5y + 7 = 0 és a 10x + 6y - 3 = 0 egyenesek merőlegesek.

Megoldás. Megtaláljuk: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, ezért a vonalak merőlegesek.

Példa. Az A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) háromszög csúcsai adottak. Határozzuk meg a C csúcsból húzott magasság egyenletét!

Megoldás. Megtaláljuk az AB oldal egyenletét: ; 4 x = 6 y-6;

2x – 3 év + 3 = 0;

A kívánt magassági egyenlet: Ax + By + C = 0 vagy y = kx + b. k = . Ekkor y = . Mert a magasság áthalad a C ponton, akkor a koordinátái kielégítik ezt az egyenletet: ahonnan b = 17. Összesen: .

Válasz: 3x + 2y - 34 = 0.

Adott ponton adott irányban átmenő egyenes egyenlete. Két adott ponton átmenő egyenes egyenlete. Szög két vonal között. Két egyenes párhuzamosságának és merőlegességének feltétele. Két egyenes metszéspontjának meghatározása

1. Egy adott ponton átmenő egyenes egyenlete A(x 1 , y 1) adott irányban, amelyet a lejtő határozza meg k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ez az egyenlet egy ponton áthaladó vonalak ceruzáját határozza meg A(x 1 , y 1), amelyet a sugár középpontjának nevezünk.

2. Két ponton átmenő egyenes egyenlete: A(x 1 , y 1) és B(x 2 , y 2) így van leírva:

A két adott ponton áthaladó egyenes meredekségét a képlet határozza meg

3. Az egyenesek közötti szög Aés B az a szög, amellyel az első egyenest el kell forgatni A ezen vonalak metszéspontja körül az óramutató járásával ellentétes irányban, amíg egybe nem esik a második vonallal B. Ha két egyenest meredekségi egyenletek adnak meg

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

akkor a köztük lévő szöget a képlet határozza meg

Meg kell jegyezni, hogy a tört számlálójában az első egyenes meredekségét le kell vonni a második egyenes meredekségéből.

Ha egy egyenes egyenleteit megadjuk Általános nézet

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

a köztük lévő szöget a képlet határozza meg

4. Két egyenes párhuzamosságának feltételei:

a) Ha az egyeneseket a (4) egyenletek meredekséggel adják meg, akkor párhuzamosságuk szükséges és elégséges feltétele a meredekségük egyenlősége:

k 1 = k 2 . (8)

b) Abban az esetben, ha az egyeneseket a (6) általános formájú egyenletek adják meg, párhuzamosságuk szükséges és elégséges feltétele, hogy az egyenleteikben a megfelelő áramkoordinátákon lévő együtthatók arányosak legyenek, azaz.

5. Két egyenes merőlegességének feltételei:

a) Abban az esetben, ha az egyeneseket a (4) egyenletek meredekséggel adják meg, akkor a merőlegességük szükséges és elégséges feltétele, hogy meredekségeik reciprok nagyságúak és ellentétes előjelűek, azaz.

Ez a feltétel az űrlapba is beírható

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Ha az egyenesek egyenletei általános formában (6) vannak megadva, akkor merőlegességük (szükséges és elégséges) feltétele az egyenlőség teljesülése

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Két egyenes metszéspontjának koordinátáit a (6) egyenletrendszer megoldásával találjuk meg. A (6) vonalak akkor és csak akkor metszik egymást

1. Írja fel az M ponton átmenő egyenesek egyenleteit, amelyek közül az egyik párhuzamos, a másik merőleges az adott l egyenesre!

a. Legyen két egyenes, ezek a vonalak, amint azt az 1. fejezetben jeleztük, különböző pozitív és negatív szögeket alkotnak, amelyek lehetnek hegyesek vagy tompaszögűek. Ha ismerjük az egyik szöget, könnyen találunk másikat.

Egyébként mindezen szögeknél az érintő számértéke ugyanaz, a különbség csak az előjelben lehet

Egyenletek. A számok az első és a második egyenes irányítóvektorának vetületei, amelyek között a szög egyenlő az egyenesek által alkotott szögek valamelyikével. Ezért a probléma a vektorok közötti szög meghatározására redukálódik, azt kapjuk

Az egyszerűség kedvéért megegyezhetünk két egyenes közötti szögben, hogy megértsük a hegyes pozitív szöget (mint például az 53. ábrán).

Ekkor ennek a szögnek az érintője mindig pozitív lesz. Így ha az (1) képlet jobb oldalán mínusz jelet kapunk, akkor azt el kell vetnünk, azaz csak az abszolút értéket kell megtartanunk.

Példa. Határozza meg a vonalak közötti szöget!

Az (1) képlet alapján megvan

Val vel. Ha fel van tüntetve, hogy a szög melyik oldala a kezdete és melyik a vége, akkor mindig a szög irányát az óramutató járásával ellentétes irányba számolva az (1) képletekből még valamit kivonhatunk. Amint az az ábrából könnyen látható. 53 Az (1) képlet jobb oldalán kapott jel jelzi, hogy melyik - hegyes vagy tompaszögű - szög alkotja a második vonalat az elsővel.

(Valóban, az 53. ábrán azt látjuk, hogy az első és a második irányvektor közötti szög vagy egyenlő a kívánt vonalak közötti szöggel, vagy ±180°-kal eltér attól.)

d. Ha az egyenesek párhuzamosak, akkor az irányvektoraik is párhuzamosak Két vektor párhuzamosságának feltételét alkalmazva kapjuk!

Ez szükséges és elégséges feltétele annak, hogy két egyenes párhuzamos legyen.

Példa. Közvetlen

párhuzamosak, mert

e. Ha az egyenesek merőlegesek, akkor az irányvektoraik is merőlegesek. Két vektor merőlegességi feltételét alkalmazva megkapjuk két egyenes merőlegességi feltételét, nevezetesen

Példa. Közvetlen

merőleges, mert

A párhuzamosság és a merőlegesség feltételeivel kapcsolatban a következő két feladatot fogjuk megoldani.

f. Rajzolj egy ponton keresztül egy adott egyenessel párhuzamos egyenest

A döntés így születik. Mivel a kívánt egyenes párhuzamos az adott egyenessel, ezért annak irányító vektorához ugyanazt vehetjük, mint az adott egyenesé, azaz egy A és B vetületű vektort. Ekkor felírjuk a kívánt egyenes egyenletét. formában (1. §)

Példa. Egy egyenessel párhuzamos ponton (1; 3) átmenő egyenes egyenlete

lesz a következő!

g. Rajzoljon egy egyenest egy ponton keresztül, amely merőleges az adott egyenesre

Itt már nem alkalmas A vetületű vektort venni irányító vektornak, hanem egy rá merőleges vektort kell nyerni. Ennek a vektornak a vetületeit ezért annak a feltételnek megfelelően kell megválasztani, hogy mindkét vektor merőleges, azaz a feltételnek megfelelően

Ez a feltétel végtelen sokféleképpen teljesíthető,hiszen itt egy egyenlet van két ismeretlennel.De a legegyszerűbb úgy felvenni.Akkor a kívánt egyenes egyenlete a formában lesz felírva

Példa. A (-7; 2) ponton átmenő egyenes egyenlete egy merőleges egyenesben

a következő lesz (a második képlet szerint)!

h. Abban az esetben, ha az egyeneseket alakegyenletek adják meg

Utasítás

jegyzet

A trigonometrikus függvény érintőjének periódusa 180 fok, ami azt jelenti, hogy az egyenesek dőlésszögei abszolút értékben nem haladhatják meg ezt az értéket.

Hasznos tanácsok

Ha a meredekségi együtthatók egyenlőek egymással, akkor az ilyen egyenesek közötti szög 0, mivel az ilyen egyenesek vagy egybeesnek, vagy párhuzamosak.

A keresztező vonalak közötti szög meghatározásához mindkét vonalat (vagy egyiket) új helyzetbe kell vinni a metszésponthoz való párhuzamos átvitel módszerével. Ezt követően meg kell találnia a kapott metszővonalak közötti szöget.

Szükséged lesz

• Vonalzó, derékszögű háromszög, ceruza, szögmérő.

Utasítás

Tehát legyen adott a V = (a, b, c) vektor és az A x + B y + C z = 0 sík, ahol A, B és C a normál N koordinátái. Ekkor a szög koszinusza α a V és N vektorok között: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

A szög fokban vagy radiánban kifejezett értékének kiszámításához az eredményül kapott kifejezésből a koszinuszra fordított függvényt kell kiszámítani, pl. arccosine: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Példa: talál sarok között vektor(5, -3, 8) és repülőgép, amelyet a 2 x - 5 y + 3 z = 0 általános egyenlet ad meg. Megoldás: írjuk fel az N = (2, -5, 3) sík normálvektorának koordinátáit. Helyettesítse be az összes ismert értéket a fenti képletbe: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Kapcsolódó videók

Az az egyenes, amelynek egy közös pontja van a körrel, érinti a kört. Az érintő másik jellemzője, hogy mindig merőleges az érintkezési pontra húzott sugárra, vagyis az érintő és a sugár egy egyenest alkot sarok. Ha az AB és AC kör két érintőjét egy A pontból húzzuk, akkor ezek mindig egyenlőek egymással. Az érintők közötti szög meghatározása ( sarok Az ABC) a Pitagorasz-tétel segítségével állítható elő.

Utasítás

A szög meghatározásához ismerni kell az OB és OS kör sugarát, valamint az érintő kezdőpontjának távolságát a kör középpontjától - O. Tehát az ABO és ACO szögek egyenlőek, az OB sugár például 10 cm, és az AO kör középpontjának távolsága 15 cm. Határozza meg az érintő hosszát képlettel a Pitagorasz-tétel szerint: AB \u003d AO2 - OB2 négyzetgyöke vagy 152 - 102 \ u003d 225 - 100 \u003d 125;

Minden matematika vizsgára készülő diák számára hasznos lesz, ha megismétli a „Vonalok közötti szög keresése” témát. Amint a statisztikák azt mutatják, a tanúsítási teszt sikeres letételekor a sztereometria ezen szakaszában lévő feladatok nehézségeket okoznak egy nagy szám hallgatók. Ugyanakkor az egyenesek közötti szög megállapítását igénylő feladatok megtalálhatók az USE-ban alap- és profilszinten is. Ez azt jelenti, hogy ezeket mindenkinek meg kell tudnia oldani.

Alapvető pillanatok

A vonalak térbeli kölcsönös elrendezésének 4 típusa van. Egybeeshetnek, metszhetik egymást, lehetnek párhuzamosak vagy metszőek. A köztük lévő szög lehet hegyes vagy egyenes.

Az egységes államvizsgán vagy például a megoldásban a vonalak közötti szög megtalálásához a moszkvai és más városok iskolásai több módszert is használhatnak a sztereometria ezen szakaszában a problémák megoldására. A feladatot klasszikus konstrukciókkal oldhatja meg. Ehhez érdemes elsajátítani a sztereometria alapvető axiómáit, tételeit. A tanulónak képesnek kell lennie logikus érvelés felépítésére és rajzok készítésére annak érdekében, hogy a feladatot egy planimetrikus feladathoz hozzák.

Használhatja a vektor-koordináta módszert is, egyszerű képletekkel, szabályokkal és algoritmusokkal. Ebben az esetben a legfontosabb az összes számítás helyes végrehajtása. Fejlessze problémamegoldó készségeit a sztereometriában és más témákban iskolai tanfolyam a "Shkolkovo" oktatási projekt segít Önnek.