Először próbálja meg megtalálni a funkció hatókörét:

Sikerült? Hasonlítsuk össze a válaszokat:

Rendben? Szép munka!

Most próbáljuk meg megtalálni a függvény tartományát:

Megtalált? Összehasonlítás:

Megegyezett? Szép munka!

Dolgozzunk ismét a grafikonokkal, csak most egy kicsit nehezebb - megtalálni a függvény tartományát és a függvény tartományát is.

Hogyan lehet megtalálni a tartományt és a funkció tartományát (speciális)

Íme, mi történt:

A grafikával szerintem rájöttél. Most próbáljuk meg megtalálni a függvény tartományát a képletekkel összhangban (ha nem tudja, hogyan kell ezt megtenni, olvassa el a következő részt):

Sikerült? Ellenőrzés válaszol:

1. , mivel a gyökérkifejezésnek nullánál nagyobbnak vagy egyenlőnek kell lennie.
2. , mivel nem lehet nullával osztani, és a gyök kifejezés nem lehet negatív.
3. , hiszen, illetve mindenre.
4. mert nem lehet nullával osztani.

Van azonban még egy pillanat, amit még nem sikerült megoldani...

Hadd ismételjem meg a meghatározást, és koncentráljak rá:

Megjegyezte? A „csak” szó nagyon-nagyon fontos eleme definíciónknak. Megpróbálom az ujjakon elmagyarázni.

Tegyük fel, hogy van egy egyenes által adott függvényünk. . Amikor ezt az értéket behelyettesítjük a "szabályunkba", és megkapjuk azt. Egy érték egy értéknek felel meg. Akár egy táblázatot is készíthetünk különféle értékekből, és ennek ellenőrzésére ábrázolhatunk egy adott függvényt.

"Néz! - mondod, - "" kétszer találkozik!" Tehát lehet, hogy a parabola nem függvény? Nem, ez!

Az a tény, hogy a "" kétszer fordul elő, messze nem ok arra, hogy a parabolát kétértelműséggel vádoljuk!

A helyzet az, hogy a számítás során egy meccset kaptunk. És ha ezzel számolunk, egy játékot kaptunk. Tehát ez így van, a parabola egy függvény. Nézd meg a táblázatot:

Megvan? Ha nem, akkor itt van egy valós példa számodra, messze a matematikától!

Tegyük fel, hogy van egy csoport pályázónk, akik találkoztak a dokumentumok benyújtásakor, és mindegyikük egy beszélgetés során elmondta, hol él:

Egyetértek, nagyon reális, hogy több srác él ugyanabban a városban, de lehetetlen, hogy egy ember egyszerre több városban éljen. Ez mintegy logikus ábrázolása a "parabolánknak" - Ugyanannak az y-nek több különböző x felel meg.

Most jöjjön egy példa, ahol a függőség nem függvény. Tegyük fel, hogy ugyanezek a srácok elmondták, milyen szakokra jelentkeztek:

Nálunk teljesen más a helyzet: egy ember könnyedén jelentkezhet egy vagy több irányra. Azaz egy elemet készletek kerülnek levelezésbe több elem készletek. Illetőleg, ez nem funkció.

Teszteljük tudásunkat a gyakorlatban.

Határozza meg a képek alapján, hogy mi a függvény és mi nem:

Megvan? És itt van válaszol:

• A függvény - B,E.
• Nem függvény - A, B, D, D.

Kérded miért? Igen, ezért:

Minden ábrán, kivéve BAN BEN)És E) több van egyért!

Biztos vagyok benne, hogy most már könnyen meg lehet különböztetni egy függvényt a nem függvénytől, megmondhatja, mi az argumentum és mi a függő változó, valamint meghatározhatja az argumentum és a függvény hatókörét. Térjünk át a következő részre – hogyan definiáljunk függvényt?

A funkció beállításának módjai

Szerinted mit jelentenek a szavak "beállítás funkció"? Így van, ez azt jelenti, hogy mindenkinek el kell magyarázni, hogy ebben az esetben milyen funkcióról beszélünk. Sőt, úgy magyarázd, hogy mindenki jól értsen, és az emberek által a te magyarázatod szerint rajzolt függvénygrafikonok ugyanazok legyenek.

Hogyan tudom ezt megtenni? Hogyan kell beállítani egy funkciót? A legegyszerűbb módja, amelyet ebben a cikkben már többször használtak - képlet segítségével.Írunk egy képletet, és egy értéket behelyettesítve kiszámoljuk az értéket. És amint emlékszel, a képlet egy törvény, egy szabály, amely szerint számunkra és egy másik személy számára is világossá válik, hogyan válik X-ből Y.

Általában pontosan ezt csinálják - a feladatokban képletekkel definiált kész függvényeket látunk, de vannak más módok is egy függvény beállítására, amiről mindenki megfeledkezik, és ezért felvetődik a „hogyan lehet még beállítani egy függvényt?” összezavarja. Nézzünk meg mindent sorban, és kezdjük az elemzési módszerrel.

A függvény meghatározásának analitikus módja

Az analitikai módszer egy függvény feladata egy képlet segítségével. Ez a legegyetemesebb, legátfogóbb és legegyértelműbb módszer. Ha van képlete, akkor abszolút mindent tud a függvényről - készíthet rajta értéktáblázatot, grafikont építhet, meghatározhatja, hol nő és hol csökken a függvény, általában felfedezheti teljesen.

Tekintsünk egy függvényt. Mit számít ez?

"Mit jelent?" - kérdezed. most elmagyarázom.

Hadd emlékeztesselek arra, hogy a jelölésben a zárójelben lévő kifejezést argumentumnak nevezzük. És ez az érv bármilyen kifejezés lehet, nem feltétlenül egyszerű. Ennek megfelelően, bármilyen argumentum is legyen (zárójelben lévő kifejezés), azt írjuk be a kifejezésbe.

Példánkban ez így fog kinézni:

Tekintsen egy másik feladatot, amely a vizsgán megjelenő funkció meghatározásának analitikai módszerével kapcsolatos.

Keresse meg a kifejezés értékét, at.

Biztos vagyok benne, hogy először megijedtél, amikor megláttál egy ilyen kifejezést, de semmi ijesztő nincs benne!

Minden ugyanaz, mint az előző példában: bármi legyen is az argumentum (zárójelben lévő kifejezés), azt írjuk be a kifejezésbe. Például egy funkcióhoz.

Mit kell tenni a példánkban? Ehelyett írnod ​​kell, és a - helyett:

rövidítse le a kapott kifejezést:

Ez minden!

Önálló munkavégzés

Most próbálja meg saját maga megtalálni a következő kifejezések jelentését:

1. , Ha
2. , Ha

Sikerült? Hasonlítsuk össze a válaszainkat: Megszoktuk, hogy a függvénynek van formája

Példánkban is így definiáljuk a függvényt, de analitikusan lehetséges például implicit módon is definiálni a függvényt.

Próbálja meg saját maga megépíteni ezt a funkciót.

Sikerült?

Így építettem fel.

Milyen egyenlethez jutottunk?

Jobb! Lineáris, ami azt jelenti, hogy a grafikon egy egyenes lesz. Készítsünk egy táblázatot annak meghatározására, hogy mely pontok tartoznak a vonalunkhoz:

Éppen erről beszéltünk... Egy többnek felel meg.

Próbáljuk meg lerajzolni, mi történt:

Funkciója van annak, amit kaptunk?

Így van, nem! Miért? Próbálj meg egy kép segítségével válaszolni erre a kérdésre. Mit kaptál?

"Mert egy érték több értéknek felel meg!"

Milyen következtetést vonhatunk le ebből?

Így van, egy függvény nem mindig fejezhető ki kifejezetten, és ami függvénynek van "álcázva", az nem mindig függvény!

A függvény meghatározásának táblázatos módja

Ahogy a neve is sugallja, ez a módszer egy egyszerű lemez. Igen igen. Mint amit már készítettünk. Például:

Itt azonnal észrevett egy mintát - Y háromszor nagyobb, mint X. És most a „gondolkozz nagyon jól” feladat: szerinted egy táblázat formájában megadott függvény egyenértékű a függvénnyel?

Ne beszéljünk sokáig, hanem rajzoljunk!

Így. Mindkét módon adott függvényt rajzolunk:

Látod a különbséget? Nem a megjelölt pontokról van szó! Nézze meg közelebbről:

most láttad? Amikor táblázatos módon állítjuk be a függvényt, csak azokat a pontokat tükrözzük a grafikonon, amelyek a táblázatban szerepelnek, és az egyenes (mint esetünkben) csak rajtuk halad át. Amikor egy függvényt analitikus módon definiálunk, tetszőleges pontot vehetünk, és a funkciónk nem korlátozódik ezekre. Itt van egy ilyen funkció. Emlékezik!

Grafikus módszer egy függvény felépítésére

Nem kevésbé kényelmes a függvény létrehozásának grafikus módja. Megrajzoljuk a függvényünket, és egy másik érdeklődő megtalálja, hogy y mi egyenlő egy bizonyos x-nél, és így tovább. A grafikus és analitikai módszerek a leggyakoribbak.

Itt azonban emlékeznie kell arra, amiről a legelején beszéltünk - nem minden koordináta-rendszerben rajzolt „pörgés” függvény! Emlékezett? Minden esetre idemásolom a függvény meghatározását:

Általános szabály, hogy az emberek általában pontosan azt a három módszert nevezik meg a függvény megadásának, amelyet elemeztünk - analitikus (képlet segítségével), táblázatos és grafikus, teljesen megfeledkezve arról, hogy egy függvény leírható szóban is. Mint ez? Igen, nagyon könnyű!

A funkció szóbeli leírása

Hogyan írható le a funkció szóban? Vegyük a legutóbbi példánkat - . Ez a függvény úgy írható le, hogy "x minden valós értéke a hármas értékének felel meg." Ez minden. Semmi bonyolult. Természetesen tiltakozni fog - „vannak olyan összetett funkciók, amelyeket egyszerűen lehetetlen verbálisan beállítani!” Igen, vannak olyanok, de vannak olyan függvények, amelyeket egyszerűbb szóban leírni, mint képlettel beállítani. Például: "x minden természetes értéke a benne lévő számjegyek közötti különbségnek felel meg, míg a számbevitelben lévő legnagyobb számjegyet vesszük a minuendnek." Most nézzük meg, hogyan valósul meg a gyakorlatban a funkció szóbeli leírása:

Az adott szám legnagyobb számjegyét - rendre - csökkentjük, majd:

A funkciók fő típusai

Most térjünk át a legérdekesebbre - megvizsgáljuk azokat a fő függvénytípusokat, amelyekkel dolgozott / dolgozott és fog dolgozni az iskolai és intézeti matematika során, vagyis megismerjük őket, úgymond, és rövid leírást adni nekik. Olvasson többet az egyes funkciókról a megfelelő részben.

Lineáris függvény

Az alak függvénye, ahol valós számok.

Ennek a függvénynek a grafikonja egy egyenes, így a lineáris függvény felépítése két pont koordinátájának megkeresésére redukálódik.

Az egyenes helyzete a koordinátasíkon a meredekségtől függ.

A függvény hatóköre (más néven argumentumtartomány) - .

Az értéktartomány a.

másodfokú függvény

Az űrlap függvénye, hol

A függvény grafikonja parabola, amikor a parabola ágai lefelé, amikor - felfelé irányulnak.

A másodfokú függvény számos tulajdonsága a diszkrimináns értékétől függ. A diszkriminánst a képlet alapján számítjuk ki

A parabola helyzete a koordinátasíkon az értékhez és az együtthatóhoz képest az ábrán látható:

Tartomány

Az értékek tartománya az adott függvény szélsőértékétől (a parabola csúcsától) és az együtthatótól (a parabola ágainak irányától) függ.

Fordított arányosság

A képlet által adott függvény, ahol

A számot fordított arányossági tényezőnek nevezzük. Az értéktől függően a hiperbola ágai különböző négyzetekben vannak:

Tartomány - .

Az értéktartomány a.

ÖSSZEFOGLALÁS ÉS ALAPKÉPLET

1. A függvény egy olyan szabály, amely szerint a halmaz minden eleméhez hozzárendeljük a halmaz egyedi elemét.

• - ez egy függvényt jelölő képlet, vagyis az egyik változó függőségét a másiktól;
• - változó vagy argumentum;
• - függő érték - akkor változik, amikor az argumentum megváltozik, vagyis valamilyen meghatározott képlet szerint, amely tükrözi az egyik érték függőségét a másiktól.

2. Érvényes argumentumértékek, vagy egy függvény hatóköre az, ami összefügg azzal a lehetőséggel, amely alatt a függvénynek értelme van.

3. A függvényértékek tartománya- ez milyen értékeket igényel, érvényes értékekkel.

4. A funkció négyféleképpen állítható be:

• elemző (képletekkel);
• táblázatos;
• grafikus
• szóbeli leírás.

5. A függvények fő típusai:

• : , ahol valós számok;
• : , Ahol;
• : , Ahol.

Építsen egy függvényt

Figyelmébe ajánljuk a függvénygrafikonok online ábrázolására szolgáló szolgáltatást, amelynek minden joga a céget illeti Desmos. A bal oldali oszlop segítségével adja meg a függvényeket. Beírhat kézzel vagy az ablak alján található virtuális billentyűzet segítségével. A diagramablak nagyításához elrejtheti a bal oldali oszlopot és a virtuális billentyűzetet is.

Az online térképezés előnyei

• A bevezetett funkciók vizuális megjelenítése
• Nagyon összetett grafikonok készítése
• Implicit módon definiált gráfok ábrázolása (pl. ellipszis x^2/9+y^2/16=1)
• Lehetőség a diagramok mentésére és a rájuk mutató hivatkozás lekérésére, amely mindenki számára elérhetővé válik az interneten
• Skálaszabályozás, vonalszín
• Grafikonok pontonkénti ábrázolásának képessége, konstansok használata
• Egyszerre több függvénygrafikon szerkesztése
• Polárkoordináták ábrázolása (használjon r és θ(\theta))

Nálunk egyszerű a különböző bonyolultságú grafikonok online összeállítása. Az építkezés azonnal megtörténik. A szolgáltatás igényes a függvények metszéspontjainak megtalálására, grafikonok megjelenítésére azok további Word dokumentumba történő átviteléhez, mint illusztrációk feladatmegoldáshoz, a függvénygráfok viselkedési sajátosságainak elemzéséhez. A webhely ezen oldalán lévő diagramokkal való munkavégzéshez a legjobb böngésző a Google Chrome. Más böngészők használata esetén a megfelelő működés nem garantált.

A matematika egyik leghíresebb exponenciális függvénye a kitevő. Ez az Euler-szám a megadott hatványra emelve. Az Excelben van egy külön operátor, amely lehetővé teszi a kiszámítását. Lássuk, hogyan használható a gyakorlatban.

A kitevő az adott hatványra emelt Euler-szám. Maga az Euler-szám körülbelül 2,718281828. Néha Napier-számnak is nevezik. A kitevő függvény így néz ki:

ahol e az Euler-szám és n a kitevő.

Ennek a mutatónak az Excelben történő kiszámításához külön operátort használnak - EXP. Ezenkívül ez a függvény grafikonként is megjeleníthető. Az ezekkel az eszközökkel való munkavégzésről a továbbiakban fogunk beszélni.

1. módszer: a kitevő kiszámítása függvény manuális megadásával

EXP(szám)

Vagyis ez a képlet csak egy argumentumot tartalmaz. Csak azt jelzi, hogy milyen mértékben kell emelni az Euler-számot. Ez az argumentum lehet numerikus érték formájában, vagy egy fokjelzőt tartalmazó cellára való hivatkozás formájában.

2. módszer: A Funkcióvarázsló használata

Bár a kitevő kiszámításának szintaxisa rendkívül egyszerű, néhány felhasználó inkább ezt használja Funkcióvarázsló. Nézzük meg, hogyan történik ez egy példán keresztül.

Ha egy kitevőt tartalmazó cellára való hivatkozást használunk argumentumként, akkor a kurzort a mezőbe kell helyezni. "Szám"és csak válassza ki azt a cellát a lapon. A koordinátái azonnal megjelennek a mezőben. Ezt követően az eredmény kiszámításához kattintson a gombra rendben.

3. módszer: grafikon ábrázolása

Ezenkívül az Excelben lehetőség van grafikon felépítésére a kitevő számítása eredményeként kapott eredmények alapján. A grafikon lapon való felépítéséhez már rendelkeznie kell a különböző fokozatú kitevő számított értékeivel. Kiszámíthatja őket a fent leírt módszerek egyikével.

Ez a módszertani anyag csak tájékoztató jellegű, és a témák széles skáláját fedi le. A cikk áttekintést nyújt a fő elemi függvények grafikonjairól, és megvizsgálja a legfontosabb kérdést - hogyan kell helyesen és GYORSAN felépíteni egy grafikont. A felsőbb matematika tanulmányozása során az alapvető elemi függvények grafikonjainak ismerete nélkül nehéz lesz, ezért nagyon fontos megjegyezni, hogy néznek ki egy parabola, hiperbola, szinusz, koszinusz stb. gráfjai, emlékezzünk néhányra. a függvények értékeiről. Szó lesz a fő funkciók néhány tulajdonságáról is.

Nem állítom az anyagok teljességét és tudományos alaposságát, a hangsúly mindenekelőtt a gyakorlaton lesz – azokon, amelyekkel az embernek szó szerint szembe kell néznie minden lépésnél, a felsőbb matematika bármely témakörében. Táblázatok a bábokhoz? Ezt mondhatod.

Az olvasók nagy kérésére kattintható tartalomjegyzék:

Ezen kívül van egy ultrarövid kivonat is a témáról
– sajátíts el 16 féle diagramot HAT oldal tanulmányozásával!

Komolyan, hat, még én magam is meglepődtem. Ez az absztrakt javított grafikát tartalmaz, és névleges díj ellenében elérhető, demó verziója megtekinthető. Kényelmes a fájl kinyomtatása, hogy a grafikonok mindig kéznél legyenek. Köszönjük a projekt támogatását!

És rögtön kezdjük is:

Hogyan építsünk helyesen koordinátatengelyeket?

A gyakorlatban a teszteket szinte mindig a tanulók külön füzetbe, ketrecbe sorakozva készítik. Miért van szükség kockás jelölésekre? Végül is a munka elvileg A4-es lapokon is elvégezhető. A ketrec pedig már csak a rajzok minőségi és pontos megtervezéséhez szükséges.

A függvénygráf bármely rajza koordinátatengelyekkel kezdődik.

A rajzok kétdimenziósak és háromdimenziósak.

Nézzük először a kétdimenziós esetet Derékszögű koordinátarendszer:

1) Koordinátatengelyeket rajzolunk. A tengelyt ún x tengely , és a tengely y tengely . Mindig megpróbáljuk lerajzolni őket ügyes és nem görbe. A nyilak sem hasonlíthatnak Carlo papa szakállára.

2) A tengelyeket nagy "x" és "y" betűkkel írjuk alá. Ne felejtse el aláírni a tengelyeket.

3) Állítsa be a skálát a tengelyek mentén: húzz nullát és két egyest. Rajzkészítésnél a legkényelmesebb és legelterjedtebb lépték: 1 egység = 2 cella (bal oldali rajz) - lehetőség szerint ragaszkodjon hozzá. Időnként azonban előfordul, hogy a rajz nem fér fel egy füzetlapra - ekkor csökkentjük a léptéket: 1 egység = 1 cella (jobb oldali rajz). Ritkán, de előfordul, hogy a rajz léptékét még inkább csökkenteni (vagy növelni) kell

NE firkáljon géppuskából ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... A koordinátasík ugyanis nem Descartes emlékműve, és a diák sem galamb. Rakjuk nullaÉs két egység a tengelyek mentén. Néha ahelyett egységek, kényelmes más értékek „észlelése”, például „kettő” az abszcissza tengelyen és „három” az ordináta tengelyen - és ez a rendszer (0, 2 és 3) egyedileg beállítja a koordináta rácsot is.

Jobb, ha a rajz becsült méreteit a rajz elkészítése ELŐTT becsüljük meg.. Így például, ha a feladathoz olyan háromszöget kell rajzolni, amelynek csúcsai , , , akkor teljesen egyértelmű, hogy a népszerű lépték 1 egység = 2 cella nem fog működni. Miért? Nézzük a lényeget - itt tizenöt centimétert kell lefelé mérni, és nyilvánvalóan nem (vagy alig) fér el a rajz egy jegyzetfüzet lapjára. Ezért azonnal kiválasztunk egy kisebb léptékű 1 egység = 1 cellát.

Apropó, centiméterekről és notebook cellákról. Igaz, hogy 30 notebook cellában 15 centiméter van? Érdeklődni jegyzetfüzetben 15 centimétert vonalzóval mérni. A Szovjetunióban ez talán igaz volt ... Érdekes megjegyezni, hogy ha ugyanazokat a centimétereket vízszintesen és függőlegesen méri, akkor az eredmények (cellákban) eltérőek lesznek! Szigorúan véve a modern notebookok nem kockásak, hanem téglalap alakúak. Hülyeségnek tűnhet, de például egy kört rajzolni egy iránytűvel ilyen helyzetekben nagyon kényelmetlen. Hogy őszinte legyek, ilyen pillanatokban az ember Sztálin elvtárs helyességén kezd el gondolkodni, akit a termelési munkák miatt táborokba küldtek, nem is beszélve a hazai autóiparról, a zuhanó repülőgépekről vagy a felrobbanó erőművekről.

Ha már a minőségről beszélünk, vagy egy rövid ajánlás az írószerekkel kapcsolatban. A mai napig az eladásra kínált notebookok többsége, rossz szó nélkül, komplett goblin. Azért, mert beáznak, és nem csak zselés tolltól, hanem golyóstollal is! Takarítson meg papíron. A tesztek megtervezéséhez javaslom az Arhangelszki Pép- és Papírgyár (18 lap, cella) vagy a Pyaterochka notebookok használatát, bár ez drágább. Célszerű zselés tollat ​​választani, a legolcsóbb kínai zselés utántöltő is sokkal jobb, mint a golyóstoll, ami vagy elkenődik, vagy széttépi a papírt. Emlékeim szerint egyetlen "versenyképes" golyóstoll az Erich Krause. Tisztán, szépen és stabilan ír – akár teli szárral, akár csaknem üresen.

Továbbá: egy téglalap alakú koordinátarendszer látásmódja az analitikus geometria szemével a cikkben A vektorok lineáris (nem) függése. Vektoros alapon, a koordinátanegyedekről részletes információ a lecke második bekezdésében található Lineáris egyenlőtlenségek.

3D tok

Itt is majdnem ugyanaz.

1) Koordinátatengelyeket rajzolunk. Alapértelmezett: alkalmazási tengely – felfelé irányított, tengely – jobbra, tengely – lefelé balra szigorúan 45 fokos szögben.

2) A tengelyeket aláírjuk.

3) Állítsa be a skálát a tengelyek mentén. Skála a tengely mentén - kétszer kisebb, mint a többi tengely mentén. Azt is vegye figyelembe, hogy a jobb oldali rajzon nem szabványos "serifet" használtam a tengely mentén (erről a lehetőségről fentebb már volt szó). Az én szempontomból pontosabb, gyorsabb és esztétikusabb – nem kell mikroszkóp alatt keresni a cella közepét, és az egységet egészen az origóig „faragni”.

Ha ismét 3D-s rajzot készít, adjon elsőbbséget a méretaránynak
1 egység = 2 cella (bal oldali rajz).

Mire szolgálnak ezek a szabályok? A szabályok azért vannak, hogy megszegjék. Most mit fogok csinálni. Az a helyzet, hogy a cikk későbbi rajzait én készítem el Excelben, és a koordinátatengelyek a megfelelő tervezés szempontjából hibásan fognak kinézni. Az összes grafikont meg tudtam rajzolni kézzel, de nagyon ijesztő megrajzolni őket, mivel az Excel nem szívesen rajzolja meg őket sokkal pontosabban.

Az elemi függvények grafikonjai és alapvető tulajdonságai

A lineáris függvényt az egyenlet adja meg. A lineáris függvénygrafikon az közvetlen. Egy egyenes felépítéséhez elegendő két pontot ismerni.

1. példa

Ábrázolja a függvényt. Keressünk két pontot. A pontok közül előnyös a nullát választani.

Ha akkor

Vegyünk egy másik pontot, például 1.

Ha akkor

A feladatok elkészítésekor a pontok koordinátáit általában táblázatban foglaljuk össze:

Magukat az értékeket pedig szóban vagy vázlaton, számológépen számítják ki.

Két pontot találtunk, húzzuk:

A rajz elkészítésekor mindig aláírjuk a grafikát.

Nem lesz felesleges felidézni a lineáris függvény speciális eseteit:

Figyeld meg, hogyan helyeztem el a feliratokat, Az aláírások nem lehetnek kétértelműek a rajz tanulmányozásakor. Ebben az esetben nagyon nem volt kívánatos, hogy a vonalak metszéspontja mellé, vagy a jobb alsó sarokban a grafikonok közé aláírást helyezzenek el.

1) A () alakú lineáris függvényt egyenes arányosságnak nevezzük. Például, . Az egyenes arányossági gráf mindig az origón halad át. Így az egyenes építése leegyszerűsödik - elég csak egy pontot találni.

2) Egy ilyen alakú egyenlet a tengellyel párhuzamos egyenest határoz meg, különösen magát a tengelyt adja meg az egyenlet. A függvény grafikonja azonnal, pontkeresés nélkül épül fel. Vagyis a bejegyzést a következőképpen kell érteni: "y mindig egyenlő -4-gyel, bármely x érték esetén."

3) Egy ilyen alakú egyenlet a tengellyel párhuzamos egyenest határoz meg, különösen magát a tengelyt adja meg az egyenlet. A függvény grafikonja is azonnal felépül. A bejegyzést a következőképpen kell érteni: "x mindig, y bármely értéke esetén egyenlő 1-gyel."

Egyesek azt kérdezik, hát miért emlékeznek a 6. osztályra?! Így van ez, talán így is van, csak a gyakorlati évek alatt találkoztam jó tucat diákkal, akik értetlenül álltak a vagy szerű gráf megalkotása előtt.

Az egyenes vonal rajzolása a leggyakoribb művelet a rajzok készítésekor.

Az egyenest az analitikus geometria során részletesen tárgyaljuk, aki szeretné, az a cikkre hivatkozhat. Egyenlet egy síkon.

Másodfokú függvény gráf, köbfüggvény gráf, polinom gráf

Parabola. Másodfokú függvény grafikonja () egy parabola. Tekintsük a híres esetet:

Emlékezzünk vissza a függvény néhány tulajdonságára.

Tehát az egyenletünk megoldása: - ezen a ponton található a parabola csúcsa. Hogy ez miért van így, azt a deriváltról szóló elméleti cikkből és a függvény szélsőértékeiről szóló leckéből tanulhatjuk meg. Közben kiszámítjuk az "y" megfelelő értékét:

Tehát a csúcs a ponton van

Most más pontokat találunk, miközben pimaszul a parabola szimmetriáját használjuk. Meg kell jegyezni, hogy a funkció – nem egyenletes, de ennek ellenére senki sem törölte a parabola szimmetriáját.

Azt hiszem, a döntő táblázatból kiderül, hogy milyen sorrendben találjuk meg a maradék pontokat:

Ezt az építési algoritmust átvitt értelemben "shuttle"-nek vagy "oda-vissza" elvnek nevezhetjük Anfisa Chekhova-val.

Készítsünk rajzot:

A figyelembe vett grafikonokból egy másik hasznos funkció is eszembe jut:

Másodfokú függvényhez () a következő igaz:

Ha , akkor a parabola ágai felfelé irányulnak.

Ha , akkor a parabola ágai lefelé irányulnak.

A görbe mélyreható ismerete a Hiperbola és parabola leckében szerezhető.

A köbös parabolát a függvény adja meg. Íme egy iskolából ismerős rajz:

Felsoroljuk a függvény főbb tulajdonságait

Függvénygrafikon

A parabola egyik ágát képviseli. Készítsünk rajzot:

A függvény főbb tulajdonságai:

Ebben az esetben a tengely az függőleges aszimptota a hiperbola gráfhoz.

NAGY hiba lesz, ha a rajz elkészítésekor hanyagságból megengedi, hogy a gráf metszi az aszimptotát.

Szintén egyoldalú határértékek, mondd, hogy egy hiperbola felülről nem korlátozvaÉs alulról nem korlátozott.

Vizsgáljuk meg a függvényt a végtelenben: , azaz ha elkezdünk mozogni a tengely mentén balra (vagy jobbra) a végtelenbe, akkor a „játékok” egy karcsú lépés lesz. végtelenül közel nullához közelít, és ennek megfelelően a hiperbola ágai végtelenül közel közelítse meg a tengelyt.

Tehát a tengely az vízszintes aszimptota a függvény grafikonjára, ha "x" a plusz vagy mínusz végtelen felé hajlik.

A funkció az páratlan, ami azt jelenti, hogy a hiperbola szimmetrikus az origóhoz képest. Ez a tény a rajzból nyilvánvaló, ráadásul analitikusan is könnyen ellenőrizhető: .

A () alakú függvény grafikonja a hiperbola két ágát ábrázolja.

Ha , akkor a hiperbola az első és a harmadik koordinátanegyedben található(lásd a fenti képet).

Ha , akkor a hiperbola a második és a negyedik koordinátanegyedben található.

A hiperbola lakóhelyének meghatározott szabályszerűségét a gráfok geometriai transzformációi szempontjából nem nehéz elemezni.

3. példa

Szerkessze meg a hiperbola jobb oldali ágát!

Pontos szerkesztési módszert alkalmazunk, de előnyös úgy kiválasztani az értékeket, hogy azok teljesen fel legyenek osztva:

Készítsünk rajzot:

Nem lesz nehéz megszerkeszteni a hiperbola bal ágát, itt csak a függvény páratlansága segít. Nagyjából elmondható, hogy a pontszerű konstrukciós táblázatban gondolatban adjunk hozzá egy mínuszt minden számhoz, helyezzük el a megfelelő pontokat, és rajzoljuk meg a második ágat.

A vizsgált vonalról részletes geometriai információk találhatók a Hiperbola és parabola cikkben.

Egy exponenciális függvény grafikonja

Ebben a bekezdésben azonnal az exponenciális függvényt fogom megvizsgálni, mivel a magasabb matematikai feladatokban az esetek 95%-ában az exponens fordul elő.

Emlékeztetlek arra, hogy - ez egy irracionális szám: , ez szükséges lesz egy gráf készítésekor, amelyet valójában ceremónia nélkül fogok megépíteni. Három pont elég lehet:

A függvény grafikonját most hagyjuk békén, erről majd később.

A függvény főbb tulajdonságai:

Alapvetően a függvénygrafikonok ugyanúgy néznek ki, stb.

Azt kell mondanom, hogy a második eset ritkábban fordul elő a gyakorlatban, de előfordul, ezért szükségesnek tartottam, hogy ebbe a cikkbe belefoglaljam.

Egy logaritmikus függvény grafikonja

Tekintsünk egy természetes logaritmusú függvényt.
Rajzoljunk egy vonalat:

Ha elfelejtette, mi az a logaritmus, olvassa el az iskolai tankönyveket.

A függvény főbb tulajdonságai:

Tartomány:

Értéktartomány: .

A funkció felülről nincs korlátozva: , ha lassan is, de a logaritmus ága felmegy a végtelenbe.
Megvizsgáljuk a jobb oldali nullához közeli függvény viselkedését: . Tehát a tengely az függőleges aszimptota a jobb oldalon nullára hajló "x" függvény grafikonjára.

Ügyeljen arra, hogy ismerje és emlékezzen a logaritmus tipikus értékére: .

Alapvetően a logaritmus alaprajza ugyanúgy néz ki: , , (tizedes logaritmus a 10-es bázisig) stb. Ugyanakkor minél nagyobb az alap, annál laposabb lesz a diagram.

Nem foglalkozunk ezzel az esettel, amire nem emlékszem, mikor építettem utoljára ilyen alapon grafikont. Igen, és úgy tűnik, hogy a logaritmus nagyon ritka vendég a magasabb matematikai feladatokban.

A bekezdés végén elmondok még egy tényt: Exponenciális függvény és logaritmikus függvénykét kölcsönösen inverz függvény. Ha alaposan megnézi a logaritmus grafikonját, láthatja, hogy ez ugyanaz a kitevő, csak egy kicsit másképp helyezkedik el.

Trigonometrikus függvények grafikonjai

Hogyan kezdődik a trigonometrikus gyötrelem az iskolában? Jobb. A szinuszból

Ábrázoljuk a függvényt

Ezt a vonalat hívják szinuszos.

Emlékeztetlek arra, hogy a „pi” irracionális szám:, és a trigonometriában káprázik a szemed.

A függvény főbb tulajdonságai:

Ez a funkció az időszakos időszakkal. Mit jelent? Nézzük a vágást. Tőle balra és jobbra pontosan ugyanaz a grafikondarab ismétlődik a végtelenségig.

Tartomány: , azaz "x" bármely értékéhez van szinuszérték.

Értéktartomány: . A funkció az korlátozott: , vagyis az összes „játék” szigorúan a szegmensbe tartozik.
Ez nem történik meg: pontosabban megtörténik, de ezeknek az egyenleteknek nincs megoldásuk.

Az y = x p hatványfüggvény tartományában a következő képletek érvényesek:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Hatványfüggvények tulajdonságai és grafikonjaik

Hatványfüggvény nullával egyenlő kitevővel, p = 0

Ha az y = x p hatványfüggvény kitevője nulla, p = 0, akkor a hatványfüggvény minden x ≠ 0-ra definiálva, és állandó, egyenlő eggyel:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

Hatványfüggvény természetes páratlan kitevővel, p = n = 1, 3, 5, ...

Tekintsünk egy y = x p = x n hatványfüggvényt, amelynek természetes páratlan kitevője n = 1, 3, 5, ... . Egy ilyen mutatót a következőképpen is felírhatunk: n = 2k + 1, ahol k = 0, 1, 2, 3, ... egy nem negatív egész szám. Az alábbiakban az ilyen függvények tulajdonságait és grafikonjait mutatjuk be.

Egy y = x n hatványfüggvény grafikonja természetes páratlan kitevővel az n = 1, 3, 5, ... kitevő különböző értékeire.

Tartomány: -∞ < x < ∞
Több érték: -∞ < y < ∞
Paritás: páratlan, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton növekszik
Extrémek: Nem
Konvex:
-∞-nél< x < 0 выпукла вверх
0-nál< x < ∞ выпукла вниз
Töréspontok: x=0, y=0
x=0, y=0
Korlátok:
;
Privát értékek:
x = -1-nél,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
ha x = 0, y(0) = 0 n = 0
ha x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fordított funkció:
n = 1 esetén a függvény önmagával inverz: x = y
n ≠ 1 esetén az inverz függvény az n fokú gyöke:

Hatványfüggvény természetes páros kitevővel, p = n = 2, 4, 6, ...

Tekintsünk egy y = x p = x n hatványfüggvényt, amelynek természetes páros kitevője n = 2, 4, 6, ... . Egy ilyen mutatót felírhatunk így is: n = 2k, ahol k = 1, 2, 3, ... természetes szám. Az alábbiakban az ilyen függvények tulajdonságait és grafikonjait mutatjuk be.

Egy y = x n hatványfüggvény grafikonja természetes páros kitevővel az n = 2, 4, 6, ... kitevő különböző értékeire.

Tartomány: -∞ < x < ∞
Több érték: 0 ≤ év< ∞
Paritás: páros, y(-x) = y(x)
Monoton:
x ≤ 0 esetén monoton csökken
x ≥ 0 esetén monoton növekszik
Extrémek: minimum, x=0, y=0
Konvex: lefelé domború
Töréspontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: x=0, y=0
Korlátok:
;
Privát értékek:
x = -1 esetén, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
ha x = 0, y(0) = 0 n = 0
ha x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fordított funkció:
n = 2 esetén négyzetgyök:
n ≠ 2 esetén az n fok gyöke:

Hatványfüggvény egész negatív kitevővel, p = n = -1, -2, -3, ...

Tekintsünk egy y = x p = x n hatványfüggvényt, amelynek negatív egész kitevője n = -1, -2, -3, ... . Ha n = -k-t teszünk, ahol k = 1, 2, 3, ... egy természetes szám, akkor a következőképpen ábrázolható:

Egy y = x n hatványfüggvény grafikonja negatív egész kitevővel az n = -1, -2, -3, ... kitevő különböző értékeire.

Páratlan kitevő, n = -1, -3, -5, ...

Az alábbiakban az y = x n függvény tulajdonságait mutatjuk be, páratlan negatív kitevőjű n = -1, -3, -5, ... .

Tartomány: x ≠ 0
Több érték: y ≠ 0
Paritás: páratlan, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton csökken
Extrémek: Nem
Konvex:
x-nél< 0 : выпукла вверх
x > 0 esetén: konvex lefelé
Töréspontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: Nem
Jel:
x-nél< 0, y < 0
ha x > 0, y > 0
Korlátok:
; ; ;
Privát értékek:
ha x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fordított funkció:
ha n = -1,
az n< -2 ,

Páros kitevő, n = -2, -4, -6, ...

Az alábbiakban az y = x n függvény tulajdonságait mutatjuk be páros negatív kitevőjű n = -2, -4, -6, ... .

Tartomány: x ≠ 0
Több érték: y > 0
Paritás: páros, y(-x) = y(x)
Monoton:
x-nél< 0 : монотонно возрастает
x > 0 esetén: monoton csökkenő
Extrémek: Nem
Konvex: lefelé domború
Töréspontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: Nem
Jel: y > 0
Korlátok:
; ; ;
Privát értékek:
ha x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fordított funkció:
ha n = -2,
az n< -2 ,

Hatványfüggvény racionális (tört) kitevővel

Tekintsünk egy y = x p hatványfüggvényt racionális (tört) kitevővel, ahol n egész szám, m > 1 természetes szám. Ráadásul n-nek, m-nek nincs közös osztója.

A törtmutató nevezője páratlan

Legyen a törtkitevő nevezője páratlan: m = 3, 5, 7, ... . Ebben az esetben az x p hatványfüggvény pozitív és negatív x értékekre is definiálva van. Tekintsük az ilyen hatványfüggvények tulajdonságait, ha a p kitevő bizonyos határokon belül van.

p negatív, p< 0

Legyen a racionális kitevő (m = 3, 5, 7, ... páratlan nevezővel) kisebb nullánál: .

Exponenciális függvények grafikonjai racionális negatív kitevővel a kitevő különböző értékeire, ahol m = 3, 5, 7, ... páratlan.

Páratlan számláló, n = -1, -3, -5, ...

Itt vannak az y = x p hatványfüggvény tulajdonságai racionális negatív kitevővel, ahol n = -1, -3, -5, ... páratlan negatív egész szám, m = 3, 5, 7 ... egy páratlan természetes szám.

Tartomány: x ≠ 0
Több érték: y ≠ 0
Paritás: páratlan, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton csökken
Extrémek: Nem
Konvex:
x-nél< 0 : выпукла вверх
x > 0 esetén: konvex lefelé
Töréspontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: Nem
Jel:
x-nél< 0, y < 0
ha x > 0, y > 0
Korlátok:
; ; ;
Privát értékek:
x = -1 esetén y(-1) = (-1) n = -1
ha x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fordított funkció:

Páros számláló, n = -2, -4, -6, ...

Egy racionális negatív kitevővel rendelkező y = x p hatványfüggvény tulajdonságai, ahol n = -2, -4, -6, ... páros negatív egész szám, m = 3, 5, 7 ... páratlan természetes szám .

Tartomány: x ≠ 0
Több érték: y > 0
Paritás: páros, y(-x) = y(x)
Monoton:
x-nél< 0 : монотонно возрастает
x > 0 esetén: monoton csökkenő
Extrémek: Nem
Konvex: lefelé domború
Töréspontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: Nem
Jel: y > 0
Korlátok:
; ; ;
Privát értékek:
ha x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
ha x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fordított funkció:

A p-érték pozitív, kisebb, mint egy, 0< p < 1

Hatványfüggvény grafikonja racionális kitevővel (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Páratlan számláló, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Tartomány: -∞ < x < +∞
Több érték: -∞ < y < +∞
Paritás: páratlan, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton növekszik
Extrémek: Nem
Konvex:
x-nél< 0 : выпукла вниз
x > 0 esetén: konvex felfelé
Töréspontok: x=0, y=0
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: x=0, y=0
Jel:
x-nél< 0, y < 0
ha x > 0, y > 0
Korlátok:
;
Privát értékek:
x = -1 esetén y(-1) = -1
x = 0 esetén y(0) = 0
x = 1 esetén y(1) = 1
Fordított funkció:

Páros számláló, n = 2, 4, 6, ...

Bemutatjuk az y = x p hatványfüggvény tulajdonságait racionális kitevővel, amely 0-n belül van.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Tartomány: -∞ < x < +∞
Több érték: 0 ≤ év< +∞
Paritás: páros, y(-x) = y(x)
Monoton:
x-nél< 0 : монотонно убывает
x > 0 esetén: monoton növekvő
Extrémek: minimum x = 0, y = 0
Konvex: felfelé konvex x ≠ 0
Töréspontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: x=0, y=0
Jel: x ≠ 0 esetén y > 0
Korlátok:
;
Privát értékek:
ha x = -1, y(-1) = 1
x = 0 esetén y(0) = 0
x = 1 esetén y(1) = 1
Fordított funkció:

A p kitevő nagyobb egynél, p > 1

Egy hatványfüggvény grafikonja racionális kitevővel (p > 1 ) a kitevő különböző értékeire, ahol m = 3, 5, 7, ... páratlan.

Páratlan számláló, n = 5, 7, 9, ...

Egynél nagyobb racionális kitevőjű y = x p hatványfüggvény tulajdonságai: . Ahol n = 5, 7, 9, ... páratlan természetes szám, m = 3, 5, 7 ... páratlan természetes szám.

Tartomány: -∞ < x < ∞
Több érték: -∞ < y < ∞
Paritás: páratlan, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton növekszik
Extrémek: Nem
Konvex:
-∞-nél< x < 0 выпукла вверх
0-nál< x < ∞ выпукла вниз
Töréspontok: x=0, y=0
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: x=0, y=0
Korlátok:
;
Privát értékek:
x = -1 esetén y(-1) = -1
x = 0 esetén y(0) = 0
x = 1 esetén y(1) = 1
Fordított funkció:

Páros számláló, n = 4, 6, 8, ...

Egynél nagyobb racionális kitevőjű y = x p hatványfüggvény tulajdonságai: . Ahol n = 4, 6, 8, ... páros természetes szám, m = 3, 5, 7 ... páratlan természetes szám.

Tartomány: -∞ < x < ∞
Több érték: 0 ≤ év< ∞
Paritás: páros, y(-x) = y(x)
Monoton:
x-nél< 0 монотонно убывает
x > 0 esetén monoton növekszik
Extrémek: minimum x = 0, y = 0
Konvex: lefelé domború
Töréspontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: x=0, y=0
Korlátok:
;
Privát értékek:
ha x = -1, y(-1) = 1
x = 0 esetén y(0) = 0
x = 1 esetén y(1) = 1
Fordított funkció:

A törtmutató nevezője páros

Legyen a törtkitevő nevezője páros: m = 2, 4, 6, ... . Ebben az esetben az x p hatványfüggvény nincs megadva az argumentum negatív értékeihez. Tulajdonságai egybeesnek egy irracionális kitevővel rendelkező hatványfüggvényével (lásd a következő részt).

Hatványfüggvény irracionális kitevővel

Tekintsünk egy y = x p hatványfüggvényt p irracionális kitevőjével. Az ilyen függvények tulajdonságai abban különböznek a fent leírtaktól, hogy nincsenek meghatározva az x argumentum negatív értékeihez. Az argumentum pozitív értékei esetén a tulajdonságok csak a p kitevő értékétől függenek, és nem függenek attól, hogy p egész szám, racionális vagy irracionális.

y = x p a p kitevő különböző értékeihez.

Teljesítmény funkció negatív p< 0

Tartomány: x > 0
Több érték: y > 0
Monoton: monoton csökken
Konvex: lefelé domború
Töréspontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: Nem
Korlátok: ;
magánérték: Ha x = 1, y(1) = 1 p = 1

Hatványfüggvény pozitív kitevővel p > 0

A mutató kisebb, mint egy 0< p < 1

Tartomány: x ≥ 0
Több érték: y ≥ 0
Monoton: monoton növekszik
Konvex: domború felfelé
Töréspontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: x=0, y=0
Korlátok:
Privát értékek: Ha x = 0, y(0) = 0 p = 0.
Ha x = 1, y(1) = 1 p = 1

A mutató nagyobb, mint egy p > 1

Tartomány: x ≥ 0
Több érték: y ≥ 0
Monoton: monoton növekszik
Konvex: lefelé domború
Töréspontok: Nem
Metszéspontok koordinátatengelyekkel: x=0, y=0
Korlátok:
Privát értékek: Ha x = 0, y(0) = 0 p = 0.
Ha x = 1, y(1) = 1 p = 1

Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnököknek és felsőoktatási intézmények hallgatóinak, Lan, 2009.

Lásd még: