إيجاد الزاوية بين السطور. الزاوية بين السطور

هذه المادة مكرسة لمفهوم مثل الزاوية بين خطين مستقيمين متقاطعين. في الفقرة الأولى ، سنشرح ماهيتها ونعرضها في الرسوم التوضيحية. ثم سنحلل كيف يمكنك العثور على الجيب وجيب التمام لهذه الزاوية والزاوية نفسها (سننظر بشكل منفصل في الحالات التي تحتوي على مساحة مستوية وثلاثية الأبعاد) ، وسنقدم الصيغ اللازمة ونعرض بأمثلة كيفية تطبيقها بالضبط في التمرين.

Yandex.RTB R-A-339285-1

لفهم ماهية الزاوية التي تتكون عند تقاطع خطين ، علينا أن نتذكر تعريف الزاوية والعمود ونقطة التقاطع.

التعريف 1

نسمي خطين متقاطعين إذا كان بينهما نقطة مشتركة واحدة. هذه النقطة تسمى نقطة تقاطع الخطين.

كل خط مقسم بنقطة التقاطع إلى أشعة. في هذه الحالة ، يشكل كلا الخطين 4 زوايا ، اثنان منها رأسيتان واثنتان متجاورتان. إذا عرفنا قياس أحدهما ، فيمكننا تحديد المتبقيين الآخرين.

لنفترض أننا نعلم أن إحدى الزوايا تساوي α. في مثل هذه الحالة ، فإن الزاوية الرأسية لها ستكون أيضًا مساوية لـ α. لإيجاد الزوايا المتبقية ، علينا حساب الفرق 180 درجة - α. إذا كانت α تساوي 90 درجة ، فإن كل الزوايا ستكون صحيحة. تسمى الخطوط المتقاطعة بزوايا قائمة عموديًا (مقال منفصل مخصص لمفهوم العمودي).

نلقي نظرة على الصورة:

دعونا نشرع في صياغة التعريف الرئيسي.

التعريف 2

الزاوية المكونة من خطين متقاطعين هي قياس الزوايا الأصغر من بين الزوايا الأربع التي تشكل هذين الخطين.

يجب استخلاص نتيجة مهمة من التعريف: سيتم التعبير عن حجم الزاوية في هذه الحالة بأي رقم حقيقي في الفترة (0 ، 90]. إذا كانت الخطوط متعامدة ، فإن الزاوية بينهما ستكون في أي حال يساوي 90 درجة.

القدرة على إيجاد قياس الزاوية بين خطين متقاطعين مفيدة لحل العديد من المسائل العملية. يمكن تحديد طريقة الحل من عدة خيارات.

بالنسبة للمبتدئين ، يمكننا أن نأخذ الأساليب الهندسية. إذا علمنا شيئًا عن الزوايا الإضافية ، فيمكننا ربطها بالزاوية التي نحتاجها باستخدام خصائص الأشكال المتساوية أو المتشابهة. على سبيل المثال ، إذا عرفنا جوانب المثلث واحتجنا إلى حساب الزاوية بين الخطوط التي تقع عليها هذه الأضلاع ، فإن نظرية جيب التمام مناسبة للحل. إذا كان لدينا مثلث قائم الزاوية في الحالة ، فسنحتاج أيضًا للحسابات إلى معرفة جيب الزاوية وجيب التمام والظل للزاوية.

طريقة الإحداثيات مناسبة جدًا أيضًا لحل المشكلات من هذا النوع. دعونا نشرح كيفية استخدامه بشكل صحيح.

لدينا نظام إحداثيات مستطيل (ديكارت) O x y مع خطين مستقيمين. دعنا نشير إليهم بالحرفين أ وب. في هذه الحالة ، يمكن وصف الخطوط المستقيمة باستخدام أي معادلات. الخطوط الأصلية لها نقطة تقاطع م. كيف نحدد الزاوية المرغوبة (دعنا نشير إليها α) بين هذه الخطوط؟

لنبدأ بصياغة المبدأ الأساسي لإيجاد زاوية في ظل ظروف معينة.

نحن نعلم أن مفاهيم مثل التوجيه والمتجه العادي ترتبط ارتباطًا وثيقًا بمفهوم الخط المستقيم. إذا كانت لدينا معادلة بعض الخطوط المستقيمة ، فيمكننا أخذ إحداثيات هذه المتجهات منها. يمكننا فعل ذلك لخطين متقاطعين في وقت واحد.

يمكن إيجاد الزاوية المكونة من خطين متقاطعين باستخدام:

• الزاوية بين نواقل الاتجاه ؛
• الزاوية بين النواقل العادية ؛
• الزاوية بين المتجه الطبيعي لخط واحد ومتجه الاتجاه للآخر.

الآن دعونا نلقي نظرة على كل طريقة على حدة.

1. افترض أن لدينا خطًا أ به متجه الاتجاه a → = (أ س ، أ ص) وخط ب متجه الاتجاه ب → (ب س ، ب ص). الآن دعونا نضع جانبًا متجهين a → و b → من نقطة التقاطع. بعد ذلك ، سنرى أنه سيتم تحديد موقع كل منهما على خطها الخاص. ثم لدينا أربعة خيارات لهم الموقف النسبي. انظر الرسم التوضيحي:

إذا كانت الزاوية بين متجهين غير منفرجة ، فستكون الزاوية التي نحتاجها بين الخطين المتقاطعين أ وب. إذا كان منفرجًا ، فستكون الزاوية المرغوبة مساوية للزاوية المجاورة للزاوية a → ، b → ^. وهكذا ، α = a → ، b → ^ if a → ، b → ^ ≤ 90 ° ، و α = 180 ° - a → ، b → ^ if a → ، b → ^> 90 °.

استنادًا إلى حقيقة أن جيب التمام للزوايا متساوية ، يمكننا إعادة كتابة المعادلات الناتجة على النحو التالي: cos α = cos a →، b → ^ if a →، b → ^ ≤ 90 °؛ cos α = cos 180 ° - a →، b → ^ = - cos a →، b → ^ إذا كانت a →، b → ^> 90 °.

في الحالة الثانية ، تم استخدام صيغ التخفيض. هكذا،

cos α cos a → ، b → ^ ، cos a → ، b → ^ ≥ 0 - cos a → ، b → ^ ، cos a → ، b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

لنكتب الصيغة الأخيرة بالكلمات:

التعريف 3

سيكون جيب تمام الزاوية المكونة من خطين متقاطعين مساويًا لمعامل جيب التمام للزاوية بين متجهات اتجاهها.

الشكل العام لصيغة جيب تمام الزاوية بين متجهين a → = (a x، a y) و b → = (b x، b y) يبدو كما يلي:

cos a →، b → ^ = a →، b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

منه يمكننا اشتقاق صيغة جيب التمام للزاوية الواقعة بين خطين:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

ثم يمكن إيجاد الزاوية نفسها بواسطة الصيغة التالية:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

هنا a → = (a x، a y) and b → = (b x، b y) هي متجهات الاتجاه للخطوط المحددة.

دعونا نعطي مثالا على حل المشكلة.

مثال 1

في نظام الإحداثيات المستطيل ، يتم إعطاء خطين متقاطعين أ وب على المستوى. يمكن وصفها بالمعادلات البارامترية x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ ∈ R و x 5 = y - 6 - 3. احسب الزاوية بين هذين الخطين.

قرار

لدينا معادلة بارامترية في الحالة ، مما يعني أنه بالنسبة لهذا الخط المستقيم ، يمكننا كتابة إحداثيات متجه اتجاهه على الفور. للقيام بذلك ، نحتاج إلى أخذ قيم المعاملات في المعلمة ، أي الخط x = 1 + 4 λ y = 2 + λ ∈ R سيكون له اتجاه اتجاه a → = (4، 1).

يتم وصف الخط المستقيم الثاني باستخدام المعادلة الأساسية x 5 = y - 6 - 3. هنا يمكننا أخذ الإحداثيات من المقامات. وبالتالي ، يحتوي هذا الخط على متجه اتجاه ب → = (5 ، - 3).

بعد ذلك ، ننتقل مباشرة لإيجاد الزاوية. للقيام بذلك ، استبدل بالإحداثيات المتاحة للمتجهين في الصيغة أعلاه α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2. نحصل على ما يلي:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

إجابه: هذه الخطوط تشكل زاوية 45 درجة.

يمكننا حل مشكلة مماثلة بإيجاد الزاوية بين المتجهات العادية. إذا كان لدينا خط a متجه عادي n a → = (n a x، n a y) وخط b متجه عادي n b → = (n b x، n b y) ، فإن الزاوية بينهما ستكون مساوية للزاوية بين n a → و n b → أو الزاوية التي ستكون مجاورة لـ n a → ، n b → ^. هذه الطريقة موضحة في الصورة:

تبدو الصيغ الخاصة بحساب جيب تمام الزاوية بين الخطوط المتقاطعة وهذه الزاوية نفسها باستخدام إحداثيات المتجهات العادية كما يلي:

cos α = cos n a →، n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

هنا n a → و n b → تشير إلى المتجهات العادية لخطين معينين.

مثال 2

يوجد خطان مستقيمان في نظام إحداثيات مستطيل باستخدام المعادلتين 3 س + 5 ص - 30 = 0 و س + 4 ص - 17 = 0. أوجد جيب الزاوية وجيب الزاوية بينهما ومقدار تلك الزاوية نفسها.

قرار

يتم إعطاء الخطوط المستقيمة الأصلية باستخدام معادلات الخط المستقيم العادية بالصيغة A x + B y + C = 0. دلالة على المتجه الطبيعي ن → = (أ ، ب). لنجد إحداثيات المتجه العادي الأول لخط مستقيم واحد ونكتبها: n a → = (3، 5). بالنسبة للخط الثاني x + 4 y - 17 = 0 ، سيكون للمتجه العادي إحداثيات n b → = (1، 4). أضف الآن القيم التي تم الحصول عليها إلى الصيغة واحسب الإجمالي:

cos α = cos n a →، n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

إذا عرفنا جيب التمام لزاوية ، فيمكننا حساب جيبها باستخدام المتطابقة المثلثية الأساسية. نظرًا لأن الزاوية α المكونة من خطوط مستقيمة ليست منفرجة ، إذن الخطيئة α \ u003d 1 - cos 2 α \ u003d 1 - 23 2 34 2 \ u003d 7 2 34.

في هذه الحالة، α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

الجواب: cos α = 23 2 34، sin α = 7 2 34، α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

دعنا نحلل الحالة الأخيرة - إيجاد الزاوية بين الخطوط ، إذا عرفنا إحداثيات متجه الاتجاه لخط واحد والمتجه الطبيعي للآخر.

افترض أن الخط a له متجه اتجاه a → = (a x ، a y) ، وأن الخط b له متجه عادي n b → = (n b x، n b y). نحن بحاجة إلى تأجيل هذه المتجهات من نقطة التقاطع والنظر في جميع الخيارات الخاصة بموضعها النسبي. انظر الصورة:

إذا كانت الزاوية بين المتجهات المعطاة لا تزيد عن 90 درجة ، فقد اتضح أنها ستكمل الزاوية بين أ و ب للزاوية القائمة.

a → ، n b → ^ = 90 ° - α إذا كانت a → ، n b → ^ ≤ 90 °.

إذا كانت أقل من 90 درجة ، نحصل على ما يلي:

a → ، n b → ^> 90 ° ، ثم a → ، n b → ^ = 90 ° + α

باستخدام قاعدة المساواة في جيب التمام للزوايا المتساوية ، نكتب:

cos a →، n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α لـ a →، n b → ^ ≤ 90 °.

cos a → ، n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α في a → ، n b → ^> 90 °.

هكذا،

sin α = cos a →، n b → ^، a →، n b → ^ ≤ 90 ° - cos a →، n b → ^، a →، n b → ^> 90 ° ⇔ sin α = cos a →، n b → ^، a → ، n b → ^> 0 - cos a → ، n b → ^ ، a → ، n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

دعونا نصوغ نتيجة.

التعريف 4

لإيجاد جيب الزاوية بين خطين متقاطعين في مستوى ما ، تحتاج إلى حساب مقياس جيب تمام الزاوية بين متجه الاتجاه للخط الأول والمتجه الطبيعي للخط الثاني.

دعنا نكتب الصيغ اللازمة. إيجاد جيب الزاوية:

sin α = cos a →، n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

العثور على الزاوية نفسها:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

هنا a → هو متجه الاتجاه للخط الأول ، و n b → هو المتجه الطبيعي للخط الثاني.

مثال 3

يتم الحصول على خطين متقاطعين بواسطة المعادلتين x - 5 = y - 6 3 و x + 4 y - 17 = 0. أوجد زاوية التقاطع.

قرار

نأخذ إحداثيات الاتجاه والمتجه العادي من المعادلات المعطاة. اتضح أن a → = (- 5 ، 3) و n → b = (1 ، 4). نأخذ الصيغة α \ u003d a r c sin \ u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 ونفكر في:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

لاحظ أننا أخذنا المعادلات من المسألة السابقة وحصلنا على نفس النتيجة تمامًا ، ولكن بطريقة مختلفة.

إجابه:α = a r c sin 7 2 34

فيما يلي طريقة أخرى لإيجاد الزاوية المرغوبة باستخدام معاملات الميل لخطوط معينة.

لدينا خط أ ، محدد في نظام إحداثيات مستطيل باستخدام المعادلة y = k 1 · x + b 1 ، والخط b المعرف على أنه y = k 2 · x + b 2. هذه معادلات خطوط بميل. لإيجاد زاوية التقاطع ، استخدم الصيغة:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 ، حيث k 1 و k 2 هما ميلا الخطين المعينين. للحصول على هذا السجل ، تم استخدام الصيغ لتحديد الزاوية من خلال إحداثيات المتجهات العادية.

مثال 4

يوجد خطان مستقيمان يتقاطعان في المستوى ، معطى بواسطة المعادلتين y = - 3 5 x + 6 و y = - 1 4 x + 17 4. احسب زاوية التقاطع.

قرار

ميل المستقيمين يساوي k 1 = - 3 5 و k 2 = - 1 4. دعونا نضيفهم إلى الصيغة α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 ونحسب:

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

إجابه:α = a r c cos 23 2 34

في استنتاجات هذه الفقرة ، تجدر الإشارة إلى أن الصيغ الخاصة بإيجاد الزاوية المعطاة هنا لا يجب أن تُحفظ عن ظهر قلب. للقيام بذلك ، يكفي معرفة إحداثيات الأدلة و / أو المتجهات العادية للخطوط المعينة والقدرة على تحديدها من أنواع مختلفةالمعادلات. لكن من الأفضل تذكر الصيغ لحساب جيب التمام لزاوية أو تدوينها.

كيفية حساب الزاوية بين الخطوط المتقاطعة في الفضاء

يمكن تقليل حساب هذه الزاوية إلى حساب إحداثيات متجهات الاتجاه وتحديد حجم الزاوية التي تشكلها هذه المتجهات. لمثل هذه الأمثلة ، نستخدم نفس المنطق الذي قدمناه من قبل.

لنفترض أن لدينا نظام إحداثيات مستطيل يقع في مساحة ثلاثية الأبعاد. يحتوي على سطرين أ و ب مع نقطة التقاطع م. لحساب إحداثيات متجهات الاتجاه ، نحتاج إلى معرفة معادلات هذه الخطوط. دلالة على متجهات الاتجاه a → = (a x، a y، a z) and b → = (b x، b y، b z). لحساب جيب تمام الزاوية بينهما ، نستخدم الصيغة:

cos α = cos a →، b → ^ = a →، b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

لإيجاد الزاوية نفسها ، نحتاج إلى هذه الصيغة:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

مثال 5

لدينا خط مستقيم محدد في مساحة ثلاثية الأبعاد باستخدام المعادلة x 1 = y - 3 = z + 3-2. من المعروف أنه يتقاطع مع محور O z. احسب زاوية التقاطع وجيب تمام الزاوية.

قرار

دعنا نشير إلى الزاوية التي يجب حسابها بالحرف α. دعنا نكتب إحداثيات متجه الاتجاه للخط المستقيم الأول - أ → = (1 ، - 3 ، - 2). بالنسبة للمحور المطبق ، يمكننا أن نأخذ متجه الإحداثيات k → = (0 ، 0 ، 1) كدليل. لقد تلقينا البيانات اللازمة ويمكننا إضافتها إلى الصيغة المطلوبة:

cos α = cos a →، k → ^ = a →، k → a → k → = 1 0-3 0-2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 8 2 = 1 2

نتيجة لذلك ، حصلنا على الزاوية التي نحتاجها تساوي a r c cos 1 2 = 45 °.

إجابه:كوس α = 1 2 ، α = 45 درجة.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

تعريف.إذا تم إعطاء خطين y = k 1 x + b 1 ، y = k 2 x + b 2 ، فسيتم تعريف الزاوية الحادة بين هذين الخطين على أنها

خطان متوازيان إذا كان k 1 = k 2. يكون الخطان متعامدين إذا كان k 1 = -1 / k 2.

نظرية.الخطوط المستقيمة Ax + Vy + C \ u003d 0 و A 1 x + B 1 y + C 1 \ u003d 0 تكون متوازية عندما تكون المعاملات A 1 \ u003d λA ، B 1 \ u003d λB متناسبة. إذا كانت С 1 = λС أيضًا ، فإن الخطوط تتطابق. تم إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع سطرين كحل لنظام معادلات هذين المستقيمين.

معادلة خط يمر عبر نقطة معينة

عمودي على هذا الخط

تعريف.يتم تمثيل الخط المار بالنقطة M 1 (x 1، y 1) والعمودي على الخط y \ u003d kx + b بالمعادلة:

المسافة من نقطة إلى خط

نظرية.إذا تم إعطاء نقطة M (x 0 ، y 0) ، فإن المسافة إلى الخط Ax + Vy + C \ u003d 0 يتم تعريفها على أنها

.

دليل - إثبات.اجعل النقطة M 1 (x 1، y 1) هي قاعدة العمود العمودي المسقط من النقطة M إلى الخط المعطى. ثم المسافة بين النقطتين M و M 1:

(1)

يمكن إيجاد إحداثيات x 1 و y 1 كحل لنظام المعادلات:

المعادلة الثانية للنظام هي معادلة الخط المستقيم الذي يمر عبر نقطة معينة M 0 متعامدة على خط مستقيم معين. إذا قمنا بتحويل المعادلة الأولى للنظام إلى النموذج:

أ (س - س 0) + ب (ص - ص 0) + فأس 0 + ب 0 + ج = 0 ،

ثم نحصل على الحل ،

بالتعويض عن هذه التعبيرات في المعادلة (1) ، نجد:

لقد تم إثبات النظرية.

مثال. حدد الزاوية بين السطور: y = -3 x + 7 ؛ ص = 2 س + 1.

ك 1 \ u003d -3 ؛ ك 2 = 2 ؛ tgφ = ؛ φ = ع / 4.

مثال. بيّن أن الخطين 3x - 5y + 7 = 0 و 10x + 6y - 3 = 0 عموديان.

قرار. نجد: ك 1 \ u003d 3/5 ، ك 2 \ u003d -5/3 ، ك 1 * ك 2 \ u003d -1 ، لذلك ، الخطوط متعامدة.

مثال. رؤوس المثلث أ (0 ؛ 1) ، ب (6 ؛ 5) ، ج (12 ؛ -1) معطاة. أوجد معادلة الارتفاع المرسومة من الرأس ج.

قرار. نجد معادلة الضلع AB: ؛ 4 س = 6 ص - 6 ؛

2x - 3y + 3 = 0 ؛

معادلة الارتفاع المطلوبة هي: Ax + By + C = 0 أو y = kx + b. ك =. ثم y =. لان يمر الارتفاع بالنقطة C ، ثم تحقق إحداثياته ​​هذه المعادلة: من أين ب = 17. المجموع:.

الجواب: 3 س + 2 ص - 34 = 0.

معادلة خط يمر عبر نقطة معينة في اتجاه معين. معادلة خط مستقيم يمر بنقطتين معينتين. الزاوية بين خطين. حالة التوازي والعمودي لخطين. تحديد نقطة تقاطع خطين

1. معادلة خط يمر عبر نقطة معينة أ(x 1 , ذ 1) في اتجاه معين ، يحدده الميل ك,

ذ - ذ 1 = ك(x - x 1). (1)

تحدد هذه المعادلة قلم رصاص من الخطوط التي تمر عبر نقطة أ(x 1 , ذ 1) ، وهو ما يسمى بمركز الحزمة.

2. معادلة خط مستقيم يمر بنقطتين: أ(x 1 , ذ 1) و ب(x 2 , ذ 2) مكتوب على النحو التالي:

تحدد الصيغة ميل الخط المستقيم الذي يمر عبر نقطتين

3. الزاوية بين الخطوط المستقيمة أو بهي الزاوية التي يجب أن يدور بها أول خط مستقيم أحول نقطة تقاطع هذه الخطوط عكس اتجاه عقارب الساعة حتى يتزامن مع الخط الثاني ب. إذا تم إعطاء خطين بواسطة معادلات الميل

ذ = ك 1 x + ب 1 ,

ذ = ك 2 x + ب 2 , (4)

ثم يتم تحديد الزاوية بينهما بواسطة الصيغة

وتجدر الإشارة إلى أنه في بسط الكسر ، يتم طرح ميل الخط المستقيم الأول من ميل الخط المستقيم الثاني.

إذا تم إعطاء معادلات الخط المستقيم نظرة عامة

أ 1 x + ب 1 ذ + ج 1 = 0,

أ 2 x + ب 2 ذ + ج 2 = 0, (6)

الزاوية بينهما تحددها الصيغة

4. شروط التوازي بين سطرين:

أ) إذا تم إعطاء الخطوط بواسطة المعادلات (4) بميل ، فإن الشرط الضروري والكافي لتوازيها هو تساوي المنحدرات:

ك 1 = ك 2 . (8)

ب) بالنسبة للحالة التي يتم فيها إعطاء الخطوط بواسطة المعادلات بشكل عام (6) ، فإن الشرط الضروري والكافي لتوازيها هو أن تكون المعاملات في الإحداثيات الحالية المقابلة في معادلاتها متناسبة ، أي

5. شروط عمودية سطرين:

أ) في حالة إعطاء الخطوط بواسطة المعادلات (4) بميل ، فإن الشرط الضروري والكافي لعموديتها هو أن منحدراتها مقلوبة في الحجم ومعاكسة في الإشارة ، أي

يمكن أيضًا كتابة هذا الشرط في النموذج

ك 1 ك 2 = -1. (11)

ب) إذا تم إعطاء معادلات الخطوط المستقيمة بشكل عام (6) ، فإن شرط عموديها (ضروري وكافي) هو تحقيق المساواة

أ 1 أ 2 + ب 1 ب 2 = 0. (12)

6. تم إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع سطرين من خلال حل جملة المعادلات (6). تتقاطع الخطوط (6) إذا وفقط إذا

1. اكتب معادلات المستقيمين المارّين بالنقطة M ، أحدهما موازٍ والآخر متعامد على الخط المعطى ل.

أ. دعونا نعطي سطرين ، هذه الخطوط ، كما هو مبين في الفصل 1 ، تشكل زوايا مختلفة موجبة وسالبة ، والتي يمكن أن تكون إما حادة أو منفرجة. بمعرفة إحدى هذه الزوايا ، يمكننا بسهولة العثور على أي زوايا أخرى.

بالمناسبة ، بالنسبة لجميع هذه الزوايا ، فإن القيمة العددية للماس هي نفسها ، ويمكن أن يكون الاختلاف فقط في العلامة

معادلات الخطوط. الأرقام هي إسقاطات متجهات التوجيه للخط الأول والثاني ، والزاوية بين هذين المتجهين تساوي إحدى الزوايا المكونة من خطوط مستقيمة. لذلك ، يتم تقليل المشكلة إلى تحديد الزاوية بين المتجهات ، نحصل على

للتبسيط ، يمكننا الاتفاق على زاوية بين خطين مستقيمين لفهم زاوية موجبة حادة (كما في الشكل 53 على سبيل المثال).

عندئذٍ يكون ظل هذه الزاوية موجبًا دائمًا. وبالتالي ، إذا تم الحصول على علامة الطرح على الجانب الأيمن من الصيغة (1) ، فيجب علينا تجاهلها ، أي الاحتفاظ بالقيمة المطلقة فقط.

مثال. حدد الزاوية بين السطور

بالصيغة (1) لدينا

مع. إذا تمت الإشارة إلى أي جانب من جوانب الزاوية هو بدايتها ونهايتها ، فعند حساب اتجاه الزاوية دائمًا عكس اتجاه عقارب الساعة ، يمكننا استخراج شيء أكثر من الصيغ (1). كما يسهل رؤيته من الشكل. 53 العلامة التي تم الحصول عليها على الجانب الأيمن من الصيغة (1) ستشير إلى أي واحدة - حادة أو منفرجة - تشكل الزاوية الخط الثاني مع الأول.

(في الواقع ، من الشكل 53 نرى أن الزاوية بين متجهي الاتجاه الأول والثاني إما مساوية للزاوية المرغوبة بين الخطين ، أو تختلف عنها بمقدار ± 180 درجة.)

د. إذا كانت الخطوط متوازية ، فإن متجهات اتجاهها تكون أيضًا متوازية. وبتطبيق شرط التوازي بين متجهين ، نحصل على!

هذا شرط ضروري وكافٍ ليكون الخطان متوازيين.

مثال. مباشر

موازية لأن

ه. إذا كانت الخطوط متعامدة ، فإن متجهات اتجاهها تكون أيضًا متعامدة. بتطبيق شرط العمودية لمتجهين ، نحصل على حالة عمودية سطرين ، وهما

مثال. مباشر

عمودي لأن

فيما يتعلق بشرط التوازي والعمودي ، سنحل المشكلتين التاليتين.

F. ارسم خطًا يوازي خطًا معينًا يمر بنقطة

يتم اتخاذ القرار على هذا النحو. نظرًا لأن الخط المطلوب موازٍ للخط المعطى ، فبالنسبة لمتجه التوجيه الخاص به ، يمكننا أن نأخذ نفس الخط الموجود في الخط المحدد ، أي متجه مع الإسقاطين A و B ، وبعد ذلك سيتم كتابة معادلة الخط المطلوب في النموذج (§ 1)

مثال. معادلة خط مستقيم يمر بنقطة (1 ؛ 3) موازية لخط مستقيم

سيكون التالي!

ز. ارسم خطًا عبر نقطة متعامدة على الخط المعطى

هنا ، لم يعد من المناسب أخذ متجه مع الإسقاطات A وكمتجه موجه ، ولكن من الضروري الفوز بمتجه عمودي عليه. لذلك يجب اختيار إسقاطات هذا المتجه وفقًا لشرط أن كلا المتجهين متعامدين ، أي وفقًا للحالة

يمكن تحقيق هذا الشرط بعدد لا حصر له من الطرق ، حيث توجد هنا معادلة واحدة ذات مجهولين. ولكن أسهل طريقة هي أخذها. ثم ستتم كتابة معادلة السطر المطلوب بالصيغة

مثال. معادلة خط يمر بنقطة (-7 ؛ 2) في خط عمودي

سيكون كالآتي (حسب الصيغة الثانية)!

ح. في حالة إعطاء الخطوط بواسطة معادلات النموذج

تعليمات

ملاحظة

فترة ظل الدالة المثلثية هي 180 درجة ، مما يعني أن زوايا ميل الخطوط المستقيمة لا يمكن ، في القيمة المطلقة ، تجاوز هذه القيمة.

نصائح مفيدة

إذا كانت معاملات الميل متساوية مع بعضها البعض ، فإن الزاوية بين هذه الخطوط هي 0 ، لأن هذه الخطوط إما تتطابق أو تكون متوازية.

لتحديد الزاوية بين خطوط العبور ، من الضروري نقل كلا الخطين (أو أحدهما) إلى موضع جديد بطريقة النقل المتوازي إلى التقاطع. بعد ذلك ، يجب أن تجد الزاوية بين الخطوط المتقاطعة الناتجة.

سوف تحتاج

• مسطرة ، مثلث قائم الزاوية ، قلم رصاص ، منقلة.

تعليمات

إذن ، دع المتجه V = (أ ، ب ، ج) ، والمستوى أ س + ب ص + ج ع = 0 ، حيث أ ، ب ، ج هي إحداثيات العمودي N. ثم جيب التمام للزاوية α بين المتجهين V و N هي: cos α \ u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

لحساب قيمة الزاوية بالدرجات أو الراديان ، تحتاج إلى حساب الدالة العكسية لجيب التمام من التعبير الناتج ، أي arccosine: α \ u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

مثال: البحث عن حقنةبين المتجه(5 ، -3 ، 8) و طائرة، معطى بالمعادلة العامة 2 x - 5 y + 3 z = 0. الحل: اكتب إحداثيات المتجه الطبيعي للمستوى N = (2، -5، 3). عوّض بكل القيم المعروفة في الصيغة أعلاه: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0.8 → α = 36.87 °.

فيديوهات ذات علاقة

الخط المستقيم الذي له نقطة مشتركة ودائرة هو مماس للدائرة. ميزة أخرى للماس هي أنه دائمًا ما يكون عموديًا على نصف القطر المرسوم إلى نقطة التلامس ، أي أن الظل ونصف القطر يشكلان خطًا مستقيمًا حقنة. إذا تم رسم مماسين للدائرة AB و AC من النقطة A ، فسيكونان دائمًا متساويين. تعريف الزاوية بين الظل ( حقنة ABC) باستخدام نظرية فيثاغورس.

تعليمات

لتحديد الزاوية ، تحتاج إلى معرفة نصف قطر الدائرة OB و OS ومسافة نقطة بداية المماس من مركز الدائرة - O. إذن ، الزاويتان ABO و ACO متساويتان ، نصف القطر OB ، على سبيل المثال ، 10 سم ، والمسافة إلى مركز الدائرة AO هي 15 سم. حدد طول الظل بالصيغة وفقًا لنظرية فيثاغورس: AB \ u003d الجذر التربيعي لـ AO2 - OB2 أو 152-102 \ u003d 225 - 100 = 125 ؛

سيكون مفيدًا لكل طالب يستعد لامتحان الرياضيات أن يكرر موضوع "إيجاد الزاوية بين السطور". كما تظهر الإحصائيات ، عند اجتياز اختبار الشهادة ، فإن المهام في هذا القسم من القياس الفراغي تسبب صعوبات لـ عدد كبيرالطلاب. في الوقت نفسه ، توجد المهام التي تتطلب إيجاد الزاوية بين الخطوط المستقيمة في الاستخدام على كل من المستويين الأساسي والملف الشخصي. هذا يعني أن كل شخص يجب أن يكون قادرًا على حلها.

لحظات أساسية

هناك 4 أنواع من الترتيب المتبادل للخطوط في الفضاء. يمكن أن تتطابق أو تتقاطع أو تكون متوازية أو متقاطعة. يمكن أن تكون الزاوية بينهما حادة أو مستقيمة.

للعثور على الزاوية بين السطور في اختبار الدولة الموحد أو ، على سبيل المثال ، في الحل ، يمكن لأطفال المدارس في موسكو والمدن الأخرى استخدام عدة طرق لحل المشكلات في هذا القسم من القياس الفراغي. يمكنك إكمال المهمة من خلال الإنشاءات الكلاسيكية. للقيام بذلك ، يجدر تعلم البديهيات والنظريات الأساسية للقياس الفراغي. يحتاج الطالب إلى أن يكون قادرًا على بناء التفكير المنطقي وإنشاء الرسومات من أجل إحضار المهمة إلى مشكلة قياس المخطط.

يمكنك أيضًا استخدام طريقة تنسيق المتجه ، باستخدام صيغ وقواعد وخوارزميات بسيطة. الشيء الرئيسي في هذه الحالة هو إجراء جميع الحسابات بشكل صحيح. صقل مهاراتك في حل المشكلات في القياس الفراغي ومواضيع أخرى دورة مدرسيةسيساعدك المشروع التعليمي "شكلكوفو".