แก้ปัญหาพนักงานขายเดินทาง การแก้ปัญหาการขนส่ง Amurny ดัชนี PHP คณิตศาสตร์เบื้องต้น

เลเซีย เอ็ม. โอห์นิฟชุค

เชิงนามธรรม

บทความนี้พิจารณาถึงแนวทางที่จะขยายขีดความสามารถของ LMS Moodle เมื่อสร้างหลักสูตรอีเลิร์นนิงสำหรับวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ โดยเฉพาะหลักสูตรอีเลิร์นนิง "คณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา" โดยใช้เทคโนโลยีแฟลชและ Java-applets มีตัวอย่างการใช้แฟลชแอปพลิเคชันและแอปเพล็ต Java ในหลักสูตร "คณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา"

คำหลัก

LMS Moodle; หลักสูตรอีเลิร์นนิง เทคโนโลยีแฟลช จาวาแอปเพล็ต, GeoGebra

อ้างอิง

Brandão, L. O., "iGeom: ซอฟต์แวร์ฟรีสำหรับเรขาคณิตแบบไดนามิกในเว็บ", การประชุมนานาชาติด้านวิทยาศาสตร์และการศึกษาคณิตศาสตร์, รีโอเดจาเนโร, บราซิล, 2545

Brandão, L. O. และ Eisnmann, A. L. K. “งานระหว่างดำเนินการ: โครงการ iComb - เครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับการสอนและการเรียนรู้เชิงผสมผ่านแบบฝึกหัด” การดำเนินการของ ASEE/IEEE Frontiers in Education Conference ครั้งที่ 39, 2009, T4G_1–2

Kamiya, R. H และ Brandão, L. O. “iVProg – ระบบสำหรับการเขียนโปรแกรมเบื้องต้นผ่าน Visual Model บนอินเทอร์เน็ต Proceedings of the XX Simpósio Brasileiro de Informática na Educação, 2009 (ในภาษาโปรตุเกส)

Moodle.org: เครื่องมือที่ใช้ชุมชนโอเพ่นซอร์สเพื่อการเรียนรู้ [ทรัพยากรอิเล็กทรอนิกส์] – โหมดการเข้าถึง: http://www.moodle.org

MoodleDocs [ทรัพยากรอิเล็กทรอนิกส์] – โหมดการเข้าถึง: http://docs.moodle.org

เทคโนโลยีเชิงโต้ตอบ: ทฤษฎี การปฏิบัติ หลักฐาน: คำแนะนำเชิงระเบียบวิธีในการติดตั้งอัตโนมัติ: O. Pometun, L. Pirozhenko – ก.: APN; 2547. – 136 น.

มิทรี ปูปินิน. ประเภทคำถาม: Flash [ทรัพยากรอิเล็กทรอนิกส์] – โหมดการเข้าถึง: https://moodle.org/mod/data/view.php?d=13&rid=2493&filter=1 – 02.26.14

Andreev A.V., Gerasimenko P.S. การใช้ Flash และ SCORM เพื่อสร้างงานควบคุมขั้นสุดท้าย [ทรัพยากรอิเล็กทรอนิกส์] – โหมดการเข้าถึง: http://cdp.tti.sfedu.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=1071&Itemid=363 –02.26.14

GeoGebra. วัสดุ [ทรัพยากรอิเล็กทรอนิกส์] – โหมดการเข้าถึง: http://tube.geogebra.org

Hohenvator M. GeoGebra เบื้องต้น / M. Hohenvator / trans ที.เอส. เรียโบวา – 2012. – 153 น.

ข้อมูลอ้างอิง (แปลและแปล)

Brandão, L. O. "iGeom: ซอฟต์แวร์ฟรีสำหรับเรขาคณิตแบบไดนามิกในเว็บ", การประชุมนานาชาติด้านวิทยาศาสตร์และการศึกษาคณิตศาสตร์, รีโอเดจาเนโร, บราซิล, 2545 (เป็นภาษาอังกฤษ)

Brandão, L. O. และ Eisnmann, A. L. K. “งานระหว่างดำเนินการ: โครงการ iComb - เครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับการสอนและการเรียนรู้เชิงผสมผ่านแบบฝึกหัด” Proceedings of the 39th ASEE/IEEE Frontiers in Education Conference, 2009, T4G_1–2 (ภาษาอังกฤษ)

Kamiya, R. H และ Brandão, L. O. “iVProg – ระบบสำหรับการเขียนโปรแกรมเบื้องต้นผ่าน Visual Model บนอินเทอร์เน็ต Proceedings of the XX Simpósio Brasileiro de Informática na Educação, 2009 (เป็นภาษาอังกฤษ)..

Moodle.org: เครื่องมือที่ใช้ชุมชนโอเพ่นซอร์สเพื่อการเรียนรู้ – เข้าถึงได้จาก: http://www.moodle.org (ภาษาอังกฤษ)

MoodleDocs. – เข้าถึงได้จาก: http://docs.moodle.org (ภาษาอังกฤษ)

Pometun O. I. , Pirozhenko L. V. บทเรียนสมัยใหม่, เคียฟ, ASK Publ., 2004, 192 หน้า (ในภาษายูเครน)

มิทรี ปูปินิน. ประเภทคำถาม: แฟลช . – เข้าถึงได้จาก: https://moodle.org/mod/data/view.php?d=13&rid=2493&filter=1 – 02/26/14 (ภาษาอังกฤษ)

Andreev A. , Gerasimenko R. การใช้ Flash และ SCORM เพื่อสร้างงานควบคุมขั้นสุดท้าย – หาได้จาก: http://cdp.tti.sfedu.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=1071&Itemid=363 – 02.26.14 (เป็นภาษารัสเซีย)

GeoGebra วิกิ – เข้าถึงได้จาก: http://www.geogebra.org (ภาษาอังกฤษ)

Hohenwarter M. รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับ GeoGebra / M. Hohenwarter – 2012 – 153 ส. (เป็นภาษาอังกฤษ).

ดอย: https://doi.org/10.33407/itlt.v48i4.1249

ลิขสิทธิ์ (c) 2015 Lesia M. Ohnivchuk

ข้อมูลแคตตาล็อก

ชื่อ

พีชคณิตเชิงเส้นเบื้องต้น

(เครดิตชั่วโมง:ชั่วโมงบรรยาย:ชั่วโมงห้องปฏิบัติการ)

นำเสนอ

ข้อกำหนดเบื้องต้น

ผลการเรียนรู้น้อยที่สุด

เมื่อจบหลักสูตรนี้ นักเรียนที่ประสบความสำเร็จจะสามารถ:

1. ใช้การกำจัดแบบเกาส์เซียนเพื่อทำสิ่งต่อไปนี้: แก้ระบบเชิงเส้นด้วยรูปแบบขั้นบันไดแบบรีดิวซ์ แก้ระบบเชิงเส้นด้วยรูปแบบขั้นบันไดแบบแถวและการแทนที่แบบย้อนกลับ ค้นหาค่าผกผันของเมทริกซ์ที่กำหนด และค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่กำหนด
2. แสดงให้เห็นถึงความเชี่ยวชาญในพีชคณิตเมทริกซ์ สำหรับการคูณเมทริกซ์แสดงให้เห็นถึงความเข้าใจในกฎการเชื่อมโยง กฎลำดับย้อนกลับสำหรับการผกผันและทรานสโพส และความล้มเหลวของกฎการสับเปลี่ยนและกฎการยกเลิก
3. ใช้กฎของแครเมอร์เพื่อแก้ระบบเชิงเส้น
4. ใช้ปัจจัยร่วมเพื่อค้นหาค่าผกผันของเมทริกซ์ที่กำหนดและดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่กำหนด
5. จงพิจารณาว่าเซตที่มีแนวคิดเรื่องการบวกและการคูณสเกลาร์ที่กำหนดนั้นเป็นปริภูมิเวกเตอร์หรือไม่ ที่นี่และในตัวเลขที่เกี่ยวข้องด้านล่าง จงทำความคุ้นเคยกับตัวอย่างมิติอันมีขอบเขตและอนันต์
6. พิจารณาว่าเซตย่อยที่กำหนดของปริภูมิเวกเตอร์เป็นสับสเปซหรือไม่
7. พิจารณาว่าเซตของเวกเตอร์ที่กำหนดมีความเป็นอิสระเชิงเส้น สแปน หรือเป็นฐาน
8. กำหนดมิติของปริภูมิเวกเตอร์ที่กำหนดหรือของปริภูมิย่อยที่กำหนด
9. ค้นหาฐานสำหรับพื้นที่ว่าง พื้นที่แถว และพื้นที่คอลัมน์ของเมทริกซ์ที่กำหนด และกำหนดอันดับของเมทริกซ์
10. สาธิตความเข้าใจเกี่ยวกับทฤษฎีบทอันดับ-โมฆะและการประยุกต์
11. จากคำอธิบายของการแปลงเชิงเส้น ให้ค้นหาการแทนเมทริกซ์ที่สัมพันธ์กับฐานที่กำหนด
12. แสดงให้เห็นถึงความเข้าใจในความสัมพันธ์ระหว่างความเหมือนและการเปลี่ยนแปลงของพื้นฐาน
13. ค้นหาบรรทัดฐานของเวกเตอร์และมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวในพื้นที่ผลคูณภายใน
14. ใช้ผลคูณภายในเพื่อแสดงเวกเตอร์ในพื้นที่ผลคูณภายในโดยเป็นผลรวมเชิงเส้นของเซตเวกเตอร์ตั้งฉาก
15. ค้นหาส่วนเสริมตั้งฉากของสับสเปซที่กำหนด
16. สาธิตความเข้าใจความสัมพันธ์ของสเปซแถว สเปซคอลัมน์ และสเปซว่างของเมทริกซ์ (และทรานสโพส) ผ่านการเติมเต็มมุมฉาก
17. สาธิตความเข้าใจเกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกันของคอชี-ชวาร์ตษ์และการประยุกต์ของมัน
18. ตรวจสอบว่าปริภูมิเวกเตอร์ที่มีรูปแบบ (เซควิลิเนียร์) เป็นปริภูมิผลคูณภายในหรือไม่
19. ใช้กระบวนการแกรม-ชมิดต์เพื่อค้นหาพื้นฐานออร์โธนอร์มอลของปริภูมิผลิตภัณฑ์ภายใน มีความสามารถในการทำเช่นนี้ทั้งใน ร n และในช่องว่างฟังก์ชันที่เป็นช่องว่างผลิตภัณฑ์ภายใน
20. ใช้สี่เหลี่ยมจัตุรัสน้อยที่สุดเพื่อให้พอดีกับบรรทัด ( ย = ขวาน + ข) ลงในตารางข้อมูล เขียนจุดเส้นและจุดข้อมูล และอธิบายความหมายของกำลังสองน้อยที่สุดในแง่ของการฉายภาพมุมฉาก
21. ใช้แนวคิดเรื่องกำลังสองน้อยที่สุดเพื่อค้นหาการฉายภาพมุมฉากบนสเปซย่อยและการหาเส้นโค้งพหุนามที่เหมาะสม
22. ค้นหาค่าลักษณะเฉพาะ (ของจริงและเชิงซ้อน) และเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ 2 × 2 หรือ 3 × 3
23. ตรวจสอบว่าเมทริกซ์ที่กำหนดเป็นเส้นทแยงมุมหรือไม่ ถ้าเป็นเช่นนั้น ให้หาเมทริกซ์ที่ทำเป็นเส้นทแยงมุมด้วยความคล้ายคลึงกัน
24. แสดงให้เห็นถึงความเข้าใจในความสัมพันธ์ระหว่างค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์จตุรัสกับดีเทอร์มิแนนต์ การติดตาม และการกลับด้าน/เอกภาวะ
25. ระบุเมทริกซ์สมมาตรและเมทริกซ์มุมฉาก
26. ค้นหาเมทริกซ์ที่ทำมุมตั้งฉากกับเมทริกซ์สมมาตรที่กำหนด
27. รู้และสามารถประยุกต์ทฤษฎีบทสเปกตรัมสำหรับเมทริกซ์สมมาตรได้
28. รู้และสามารถประยุกต์ใช้การสลายตัวของค่าเอกพจน์ได้
29. กำหนดคำศัพท์ให้ถูกต้องและยกตัวอย่างที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดข้างต้น
30. พิสูจน์ทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับแนวคิดข้างต้น
31. พิสูจน์หรือหักล้างข้อความที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดข้างต้น
32. เชี่ยวชาญในการคำนวณสำหรับการลดแถว การผกผันเมทริกซ์ และปัญหาที่คล้ายกัน และใช้ MATLAB หรือโปรแกรมที่คล้ายกันสำหรับปัญหาพีชคณิตเชิงเส้น

ในปัญหาพนักงานขายที่กำลังเดินทาง เพื่อสร้างเส้นทางที่เหมาะสมที่สุดรอบ n เมือง คุณต้องเลือกเส้นทางที่ดีที่สุดจาก (n-1)! ตัวเลือกตามเวลา ต้นทุน หรือความยาวเส้นทาง ปัญหานี้เกี่ยวข้องกับการกำหนดวงจรแฮมิลตันที่มีความยาวขั้นต่ำ ในกรณีเช่นนี้ ชุดของวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ทั้งหมดควรแสดงในรูปแบบของต้นไม้ - กราฟที่เชื่อมโยงกันซึ่งไม่มีวงจรหรือลูป รากของแผนผังรวมชุดตัวเลือกทั้งหมดเข้าด้วยกัน และส่วนบนสุดของแผนผังเป็นส่วนย่อยของตัวเลือกโซลูชันที่เรียงลำดับบางส่วน

วัตถุประสงค์ของการบริการ. เมื่อใช้บริการนี้ คุณสามารถตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาของคุณหรือรับวิธีแก้ปัญหาใหม่สำหรับปัญหาพนักงานขายที่กำลังเดินทางได้โดยใช้สองวิธี: วิธีสาขาและผูกไว้ และวิธีฮังการี

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาพนักงานขายเดินทาง

ปัญหาที่กำหนดคือปัญหาจำนวนเต็ม ให้ x ij =1 หากผู้เดินทางย้ายจากเมืองที่ i ไปยังเมืองที่ j และ x ij =0 หากไม่เป็นเช่นนั้น
อย่างเป็นทางการ เราแนะนำ (n+1) เมืองที่ตั้งอยู่ในสถานที่เดียวกับเมืองแรก กล่าวคือ ระยะทางจากเมือง (n+1) ไปยังเมืองอื่นนอกเหนือจากเมืองแรกจะเท่ากับระยะทางจากเมืองแรก ยิ่งไปกว่านั้น หากคุณสามารถออกจากเมืองได้เพียงเมืองแรก คุณก็สามารถมาที่เมือง (n+1) เท่านั้น
ขอแนะนำตัวแปรจำนวนเต็มเพิ่มเติมที่เท่ากับจำนวนการเยี่ยมชมเมืองนี้ตลอดทาง คุณ 1 =0 คุณ +1 =n เพื่อหลีกเลี่ยงเส้นทางปิด ให้ออกจากเมืองแรกแล้วกลับไปที่ (n+1) เราจะแนะนำข้อจำกัดเพิ่มเติมในการเชื่อมต่อตัวแปร x ij และตัวแปร u i (u i เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ)

U i -u j +nx ij ≤ n-1, j=2..n+1, i=1..n, i≠j, โดยที่ i=1 j≠n+1
0≤u ฉัน ≤n, x ใน+1 =x i1 , i=2..n

แนวทางแก้ไขปัญหาพนักงานขายเดินทาง

1. สาขาและวิธีการผูกมัด (อัลกอริทึมของ Little หรือการกำจัดวงจรย่อย) ตัวอย่างของโซลูชันสาขาและขอบเขต
2. วิธีฮังการี ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหาแบบฮังการี

อัลกอริธึมของ Little หรือการกำจัดวงจรย่อย

1. การดำเนินการลดตามแถว: ในแต่ละแถวของเมทริกซ์จะพบองค์ประกอบขั้นต่ำ d min และลบออกจากองค์ประกอบทั้งหมดของแถวที่เกี่ยวข้อง ขีดจำกัดล่าง: H=∑d นาที
2. การดำเนินการลดตามคอลัมน์: ในแต่ละคอลัมน์ของเมทริกซ์ ให้เลือกองค์ประกอบขั้นต่ำ d นาที แล้วลบออกจากองค์ประกอบทั้งหมดของคอลัมน์ที่เกี่ยวข้อง ขีดจำกัดล่าง: H=H+∑d นาที
3. ค่าคงที่การลด H คือขอบเขตล่างของเซตของรูปทรงแฮมิลตันที่ยอมรับได้ทั้งหมด
4. การค้นหากำลังของศูนย์สำหรับเมทริกซ์ที่กำหนดโดยแถวและคอลัมน์ ในการดำเนินการนี้ ให้แทนที่ศูนย์ในเมทริกซ์ชั่วคราวด้วยเครื่องหมาย "∞" และค้นหาผลรวมขององค์ประกอบขั้นต่ำของแถวและคอลัมน์ที่สอดคล้องกับศูนย์นี้
5. เลือกส่วนโค้ง (i,j) ที่ระดับขององค์ประกอบศูนย์ถึงค่าสูงสุด
6. เซตของรูปทรงแฮมิลตันทั้งหมดแบ่งออกเป็นสองเซตย่อย: เซตย่อยของรูปทรงแฮมิลตันที่มีส่วนโค้ง (i,j) และส่วนที่ไม่มีส่วนโค้ง (i*,j*) เพื่อให้ได้เมทริกซ์ที่มีรูปทรงรวมทั้งส่วนโค้ง (i,j) ให้ขีดฆ่าแถว i และคอลัมน์ j ในเมทริกซ์ เพื่อป้องกันการก่อตัวของรูปร่างที่ไม่ใช่แบบแฮมิลตัน ให้แทนที่องค์ประกอบสมมาตร (j,i) ด้วยเครื่องหมาย "∞" การกำจัดส่วนโค้งทำได้โดยการแทนที่องค์ประกอบในเมทริกซ์ด้วย ∞
7. เมทริกซ์ของรูปทรงแฮมิลตันลดลงด้วยการค้นหาค่าคงที่การลด H(i,j) และ H(i*,j*)
8. มีการเปรียบเทียบขอบเขตล่างของเซตย่อยของรูปทรงแฮมิลตัน H(i,j) และ H(i*,j*) ถ้า H(i,j)
9. หากเป็นผลมาจากการแตกแขนงจะได้รับเมทริกซ์ (2x2) ดังนั้นรูปร่างของแฮมิลตันที่ได้รับจากการแตกแขนงและความยาวของมันจะถูกกำหนด
10. ความยาวของรูปร่างแฮมิลตันถูกเปรียบเทียบกับขอบเขตล่างของกิ่งที่ห้อยต่องแต่ง หากความยาวของเส้นขอบไม่เกินขอบเขตล่างแสดงว่าปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว มิฉะนั้นกิ่งก้านของเซตย่อยที่มีขอบเขตล่างน้อยกว่ารูปร่างผลลัพธ์จะได้รับการพัฒนาจนกว่าจะได้เส้นทางที่มีความยาวสั้นกว่า

ตัวอย่าง. แก้ปัญหาพนักงานขายที่ต้องเดินทางด้วยเมทริกซ์โดยใช้อัลกอริทึมของ Little

	1	2	3	4
1	-	5	8	7
2	5	-	6	15
3	8	6	-	10
4	7	15	10	-

สารละลาย. ใช้เป็นเส้นทางตามอำเภอใจ: X 0 = (1,2);(2,3);(3,4);(4,5);(5,1) จากนั้น F(X 0) = 20 + 14 + 6 + 12 + 5 = 57
เราใช้เพื่อกำหนดขอบเขตล่างของเซต การดำเนินการลดหรือลดเมทริกซ์ทีละแถว ซึ่งจำเป็นต้องค้นหาองค์ประกอบขั้นต่ำในแต่ละแถวของเมทริกซ์ D: d i = min(j) d ij

ฉันเจ	1	2	3	4	5	ฉัน
1	ม	20	18	12	8	8
2	5	ม	14	7	11	5
3	12	18	ม	6	11	6
4	11	17	11	ม	12	11
5	5	5	5	5	ม	5

จากนั้นเราลบ d i ออกจากองค์ประกอบของแถวที่ต้องการ ในเรื่องนี้ในแต่ละแถวจะมีศูนย์อย่างน้อยหนึ่งศูนย์ในเมทริกซ์ที่ได้รับใหม่

ฉันเจ	1	2	3	4	5
1	ม	12	10	4	0
2	0	ม	9	2	6
3	6	12	ม	0	5
4	0	6	0	ม	1
5	0	0	0	0	ม

เราดำเนินการลดแบบเดียวกันตามคอลัมน์ซึ่งเราพบองค์ประกอบขั้นต่ำในแต่ละคอลัมน์:
d j = นาที(i) dij

ฉันเจ	1	2	3	4	5
1	ม	12	10	4	0
2	0	ม	9	2	6
3	6	12	ม	0	5
4	0	6	0	ม	1
5	0	0	0	0	ม
ดีเจ	0	0	0	0	0

หลังจากลบองค์ประกอบที่น้อยที่สุดแล้วเราจะได้เมทริกซ์ที่ลดลงอย่างสมบูรณ์โดยที่ค่า d i และ d j ถูกเรียก ค่าคงที่การหล่อ.

ฉันเจ	1	2	3	4	5
1	ม	12	10	4	0
2	0	ม	9	2	6
3	6	12	ม	0	5
4	0	6	0	ม	1
5	0	0	0	0	ม

ผลรวมของค่าคงที่การลดจะกำหนดขอบเขตล่างของ H: H = ∑d i + ∑d j = 8+5+6+11+5+0+0+0+0+0 = 35
องค์ประกอบของเมทริกซ์ dij สอดคล้องกับระยะห่างจากจุด i ถึงจุด j
เนื่องจากมี n เมืองในเมทริกซ์ ดังนั้น D จึงเป็นเมทริกซ์ nxn ที่มีองค์ประกอบที่ไม่เป็นลบ d ij ≥ 0
เส้นทางที่ถูกต้องแต่ละเส้นทางแสดงถึงรอบที่พนักงานขายที่เดินทางมาเยี่ยมชมเมืองเพียงครั้งเดียวและกลับไปยังเมืองเดิม
ความยาวเส้นทางถูกกำหนดโดยนิพจน์: F(M k) = ∑d ij
ยิ่งไปกว่านั้น แต่ละแถวและคอลัมน์จะรวมอยู่ในเส้นทางเพียงครั้งเดียวพร้อมกับองค์ประกอบ dij
ขั้นตอนที่ 1.
การกำหนดขอบการแตกแขนง

ฉันเจ	1	2	3	4	5	ฉัน
1	ม	12	10	4	0(5)	4
2	0(2)	ม	9	2	6	2
3	6	12	ม	0(5)	5	5
4	0(0)	6	0(0)	ม	1	0
5	0(0)	0(6)	0(0)	0(0)	ม	0
ดีเจ	0	6	0	0	1	0

ง(1,5) = 4 + 1 = 5; ง(2,1) = 2 + 0 = 2; ง(3,4) = 5 + 0 = 5; ง(4,1) = 0 + 0 = 0; ง(4,3) = 0 + 0 = 0; ง(5,1) = 0 + 0 = 0; ง(5,2) = 0 + 6 = 6; ง(5,3) = 0 + 0 = 0; ง(5,4) = 0 + 0 = 0;
ผลรวมสูงสุดของค่าคงที่การลดคือ (0 + 6) = 6 สำหรับขอบ (5,2) ดังนั้นเซตจึงแบ่งออกเป็นสองชุดย่อย (5,2) และ (5*,2*)
การยกเว้นขอบ(5.2) ดำเนินการโดยแทนที่องค์ประกอบ d 52 = 0 ด้วย M หลังจากนั้นเราจะดำเนินการลดเมทริกซ์ระยะทางถัดไปสำหรับเซตย่อยผลลัพธ์ (5*,2*) ผลลัพธ์ที่ได้คือเมทริกซ์แบบรีดิวซ์

ฉันเจ	1	2	3	4	5	ฉัน
1	ม	12	10	4	0	0
2	0	ม	9	2	6	0
3	6	12	ม	0	5	0
4	0	6	0	ม	1	0
5	0	ม	0	0	ม	0
ดีเจ	0	6	0	0	0	6

ขอบเขตล่างของวัฏจักรแฮมิลตันของเซตย่อยนี้คือ: H(5*,2*) = 35 + 6 = 41
การเปิดใช้งานขอบ(5.2) ดำเนินการโดยการกำจัดองค์ประกอบทั้งหมดของแถวที่ 5 และคอลัมน์ที่ 2 ซึ่งองค์ประกอบ d 25 จะถูกแทนที่ด้วย M เพื่อกำจัดการก่อตัวของวัฏจักรที่ไม่ใช่แฮมิลโทเนียน

ฉันเจ	1	3	4	5	ฉัน
1	ม	10	4	0	0
2	0	9	2	ม	0
3	6	ม	0	5	0
4	0	0	ม	1	0
ดีเจ	0	0	0	0	0

ขอบเขตล่างของเซตย่อย (5,2) เท่ากับ: H(5,2) = 35 + 0 = 35 ≤ 41
เนื่องจากขอบเขตล่างของเซตย่อยนี้ (5,2) น้อยกว่าเซตย่อย (5*,2*) เราจึงรวมขอบ (5,2) ไว้ในเส้นทางด้วยขอบเขตใหม่ H = 35
ขั้นตอนที่ 2.
การกำหนดขอบการแตกแขนงและแบ่งชุดเส้นทางทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับขอบนี้ออกเป็นสองชุดย่อย (i,j) และ (i*,j*)
เพื่อจุดประสงค์นี้ สำหรับเซลล์ทั้งหมดของเมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบเป็นศูนย์ เราจะแทนที่ศูนย์ทีละตัวด้วย M (อนันต์) และหาผลรวมของค่าคงที่การลดผลลัพธ์สำหรับพวกมัน โดยให้ไว้ในวงเล็บ

ฉันเจ	1	3	4	5	ฉัน
1	ม	10	4	0(5)	4
2	0(2)	9	2	ม	2
3	6	ม	0(7)	5	5
4	0(0)	0(9)	ม	1	0
ดีเจ	0	9	2	1	0

ง(1,5) = 4 + 1 = 5; ง(2,1) = 2 + 0 = 2; ง(3,4) = 5 + 2 = 7; ง(4,1) = 0 + 0 = 0; ง(4,3) = 0 + 9 = 9;
ผลรวมสูงสุดของค่าคงที่การลดคือ (0 + 9) = 9 สำหรับขอบ (4,3) ดังนั้นเซตจึงแบ่งออกเป็นสองชุดย่อย (4,3) และ (4*,3*)
การยกเว้นขอบ(4.3) ดำเนินการโดยแทนที่องค์ประกอบ d 43 = 0 ด้วย M หลังจากนั้นเราจะดำเนินการลดเมทริกซ์ระยะทางถัดไปสำหรับเซตย่อยผลลัพธ์ (4*,3*) ผลลัพธ์ที่ได้คือเมทริกซ์แบบรีดิวซ์

ฉันเจ	1	3	4	5	ฉัน
1	ม	10	4	0	0
2	0	9	2	ม	0
3	6	ม	0	5	0
4	0	ม	ม	1	0
ดีเจ	0	9	0	0	9

ขอบเขตล่างของวัฏจักรแฮมิลตันของเซตย่อยนี้คือ: H(4*,3*) = 35 + 9 = 44
การเปิดใช้งานขอบ(4.3) ดำเนินการโดยการกำจัดองค์ประกอบทั้งหมดของแถวที่ 4 และคอลัมน์ที่ 3 ซึ่งองค์ประกอบ d 34 จะถูกแทนที่ด้วย M เพื่อกำจัดการก่อตัวของวัฏจักรที่ไม่ใช่แฮมิลโทเนียน

หลังจากดำเนินการลดขนาดแล้ว เมทริกซ์ที่ลดขนาดจะมีลักษณะดังนี้:

ฉันเจ	1	4	5	ฉัน
1	ม	4	0	0
2	0	2	ม	0
3	6	ม	5	5
ดีเจ	0	2	0	7

ผลรวมของค่าคงที่การลดของเมทริกซ์ลดขนาด: ∑d i + ∑d j = 7
ขอบเขตล่างของเซตย่อย (4,3) เท่ากับ: H(4,3) = 35 + 7 = 42 ≤ 44
เนื่องจาก 42 > 41 เราไม่รวมเซตย่อย (5,2) เพื่อการแตกแขนงเพิ่มเติม
กลับสู่แผนก่อนหน้า X 1
แผน X 1

ฉันเจ	1	2	3	4	5
1	ม	12	10	4	0
2	0	ม	9	2	6
3	6	12	ม	0	5
4	0	6	0	ม	1
5	0	ม	0	0	ม

การดำเนินการลด.

ฉันเจ	1	2	3	4	5
1	ม	6	10	4	0
2	0	ม	9	2	6
3	6	6	ม	0	5
4	0	0	0	ม	1
5	0	ม	0	0	ม

ขั้นตอนที่ 1.
การกำหนดขอบการแตกแขนงและแบ่งชุดเส้นทางทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับขอบนี้ออกเป็นสองชุดย่อย (i,j) และ (i*,j*)
เพื่อจุดประสงค์นี้ สำหรับเซลล์ทั้งหมดของเมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบเป็นศูนย์ เราจะแทนที่ศูนย์ทีละตัวด้วย M (อนันต์) และหาผลรวมของค่าคงที่การลดผลลัพธ์สำหรับพวกมัน โดยให้ไว้ในวงเล็บ

ฉันเจ	1	2	3	4	5	ฉัน
1	ม	6	10	4	0(5)	4
2	0(2)	ม	9	2	6	2
3	6	6	ม	0(5)	5	5
4	0(0)	0(6)	0(0)	ม	1	0
5	0(0)	ม	0(0)	0(0)	ม	0
ดีเจ	0	6	0	0	1	0

ง(1,5) = 4 + 1 = 5; ง(2,1) = 2 + 0 = 2; ง(3,4) = 5 + 0 = 5; ง(4,1) = 0 + 0 = 0; ง(4,2) = 0 + 6 = 6; ง(4,3) = 0 + 0 = 0; ง(5,1) = 0 + 0 = 0; ง(5,3) = 0 + 0 = 0; ง(5,4) = 0 + 0 = 0;
ผลรวมสูงสุดของค่าคงที่การลดคือ (0 + 6) = 6 สำหรับขอบ (4,2) ดังนั้นเซตจึงแบ่งออกเป็นสองชุดย่อย (4,2) และ (4*,2*)
การยกเว้นขอบ(4.2) ดำเนินการโดยแทนที่องค์ประกอบ d 42 = 0 ด้วย M หลังจากนั้นเราจะดำเนินการลดเมทริกซ์ระยะทางถัดไปสำหรับเซตย่อยผลลัพธ์ (4*,2*) ผลลัพธ์ที่ได้คือเมทริกซ์แบบรีดิวซ์

ฉันเจ	1	2	3	4	5	ฉัน
1	ม	6	10	4	0	0
2	0	ม	9	2	6	0
3	6	6	ม	0	5	0
4	0	ม	0	ม	1	0
5	0	ม	0	0	ม	0
ดีเจ	0	6	0	0	0	6

ขอบเขตล่างของวัฏจักรแฮมิลตันของเซตย่อยนี้คือ: H(4*,2*) = 41 + 6 = 47
การเปิดใช้งานขอบ(4.2) ดำเนินการโดยการกำจัดองค์ประกอบทั้งหมดของแถวที่ 4 และคอลัมน์ที่ 2 ซึ่งองค์ประกอบ d 24 จะถูกแทนที่ด้วย M เพื่อกำจัดการก่อตัวของวัฏจักรที่ไม่ใช่แฮมิลโทเนียน
ผลลัพธ์ที่ได้คือเมทริกซ์รีดิวซ์อีกตัวหนึ่ง (4 x 4) ซึ่งขึ้นอยู่กับการดำเนินการลด
หลังจากดำเนินการลดขนาดแล้ว เมทริกซ์ที่ลดขนาดจะมีลักษณะดังนี้:

ฉันเจ	1	3	4	5	ฉัน
1	ม	10	4	0	0
2	0	9	ม	6	0
3	6	ม	0	5	0
5	0	0	0	ม	0
ดีเจ	0	0	0	0	0

ผลรวมของค่าคงที่การลดของเมทริกซ์ลดขนาด: ∑d i + ∑d j = 0
ขอบเขตล่างของเซตย่อย (4,2) เท่ากับ: H(4,2) = 41 + 0 = 41 ≤ 47
เนื่องจากขอบเขตล่างของเซตย่อยนี้ (4,2) น้อยกว่าเซตย่อย (4*,2*) เราจึงรวมขอบ (4,2) ไว้ในเส้นทางด้วยขอบเขตใหม่ H = 41
ขั้นตอนที่ 2.
การกำหนดขอบการแตกแขนงและแบ่งชุดเส้นทางทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับขอบนี้ออกเป็นสองชุดย่อย (i,j) และ (i*,j*)
เพื่อจุดประสงค์นี้ สำหรับเซลล์ทั้งหมดของเมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบเป็นศูนย์ เราจะแทนที่ศูนย์ทีละตัวด้วย M (อนันต์) และหาผลรวมของค่าคงที่การลดผลลัพธ์สำหรับพวกมัน โดยให้ไว้ในวงเล็บ

ฉันเจ	1	3	4	5	ฉัน
1	ม	10	4	0(9)	4
2	0(6)	9	ม	6	6
3	6	ม	0(5)	5	5
5	0(0)	0(9)	0(0)	ม	0
ดีเจ	0	9	0	5	0

ง(1,5) = 4 + 5 = 9; ง(2,1) = 6 + 0 = 6; ง(3,4) = 5 + 0 = 5; ง(5,1) = 0 + 0 = 0; ง(5,3) = 0 + 9 = 9; ง(5,4) = 0 + 0 = 0;
ผลรวมสูงสุดของค่าคงที่การลดคือ (4 + 5) = 9 สำหรับขอบ (1,5) ดังนั้น เซตจึงแบ่งออกเป็นสองเซ็ตย่อย (1,5) และ (1*,5*)
การยกเว้นขอบ(1.5) ดำเนินการโดยแทนที่องค์ประกอบ d 15 = 0 ด้วย M หลังจากนั้นเราจะดำเนินการลดเมทริกซ์ระยะทางถัดไปสำหรับเซตย่อยผลลัพธ์ (1*,5*) ผลลัพธ์ที่ได้คือเมทริกซ์แบบรีดิวซ์

ฉันเจ	1	3	4	5	ฉัน
1	ม	10	4	ม	4
2	0	9	ม	6	0
3	6	ม	0	5	0
5	0	0	0	ม	0
ดีเจ	0	0	0	5	9

ขอบเขตล่างของวัฏจักรแฮมิลตันของเซตย่อยนี้คือ: H(1*,5*) = 41 + 9 = 50
การเปิดใช้งานขอบ(1.5) ดำเนินการโดยการกำจัดองค์ประกอบทั้งหมดของแถวที่ 1 และคอลัมน์ที่ 5 ซึ่งองค์ประกอบ d 51 จะถูกแทนที่ด้วย M เพื่อกำจัดการก่อตัวของวัฏจักรที่ไม่ใช่แฮมิลโทเนียน
เป็นผลให้เราได้เมทริกซ์ลดขนาดอีกอัน (3 x 3) ซึ่งขึ้นอยู่กับการดำเนินการลด
หลังจากดำเนินการลดขนาดแล้ว เมทริกซ์ที่ลดขนาดจะมีลักษณะดังนี้:

ฉันเจ	1	3	4	ฉัน
2	0	9	ม	0
3	6	ม	0	0
5	ม	0	0	0
ดีเจ	0	0	0	0

ผลรวมของค่าคงที่การลดของเมทริกซ์ลดขนาด: ∑d i + ∑d j = 0
ขอบเขตล่างของเซตย่อย (1,5) เท่ากับ: H(1,5) = 41 + 0 = 41 ≤ 50
เนื่องจากขอบเขตล่างของเซตย่อยนี้ (1,5) น้อยกว่าเซตย่อย (1*,5*) เราจึงรวมขอบ (1,5) ไว้ในเส้นทางด้วยขอบเขตใหม่ H = 41
ขั้นตอนที่ #3.
การกำหนดขอบการแตกแขนงและแบ่งชุดเส้นทางทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับขอบนี้ออกเป็นสองชุดย่อย (i,j) และ (i*,j*)
เพื่อจุดประสงค์นี้ สำหรับเซลล์ทั้งหมดของเมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบเป็นศูนย์ เราจะแทนที่ศูนย์ทีละตัวด้วย M (อนันต์) และหาผลรวมของค่าคงที่การลดผลลัพธ์สำหรับพวกมัน โดยให้ไว้ในวงเล็บ

ฉันเจ	1	3	4	ฉัน
2	0(15)	9	ม	9
3	6	ม	0(6)	6
5	ม	0(9)	0(0)	0
ดีเจ	6	9	0	0

ง(2,1) = 9 + 6 = 15; ง(3,4) = 6 + 0 = 6; ง(5,3) = 0 + 9 = 9; ง(5,4) = 0 + 0 = 0;
ผลรวมสูงสุดของค่าคงที่การลดคือ (9 + 6) = 15 สำหรับขอบ (2,1) ดังนั้น เซตจึงแบ่งออกเป็นสองเซ็ตย่อย (2,1) และ (2*,1*)
การยกเว้นขอบ(2.1) ดำเนินการโดยการแทนที่องค์ประกอบ d 21 = 0 ด้วย M หลังจากนั้นเราจะดำเนินการลดเมทริกซ์ระยะทางครั้งต่อไปสำหรับเซตย่อยผลลัพธ์ (2*,1*) ผลลัพธ์ที่ได้คือเมทริกซ์แบบรีดิวซ์

ฉันเจ	1	3	4	ฉัน
2	ม	9	ม	9
3	6	ม	0	0
5	ม	0	0	0
ดีเจ	6	0	0	15

ขอบเขตล่างของวัฏจักรแฮมิลตันของเซตย่อยนี้คือ: H(2*,1*) = 41 + 15 = 56
การเปิดใช้งานขอบ(2.1) ดำเนินการโดยการกำจัดองค์ประกอบทั้งหมดของแถวที่ 2 และคอลัมน์ที่ 1 ซึ่งองค์ประกอบ d 12 จะถูกแทนที่ด้วย M เพื่อกำจัดการก่อตัวของวัฏจักรที่ไม่ใช่แฮมิลโทเนียน
เป็นผลให้เราได้เมทริกซ์รีดิวซ์อีกอัน (2 x 2) ซึ่งขึ้นอยู่กับการดำเนินการลด
หลังจากดำเนินการลดขนาดแล้ว เมทริกซ์ที่ลดขนาดจะมีลักษณะดังนี้:

ฉันเจ	3	4	ฉัน
3	ม	0	0
5	0	0	0
ดีเจ	0	0	0

ผลรวมของค่าคงที่การลดของเมทริกซ์ลดขนาด:
∑d ผม + ∑d j = 0
ขอบเขตล่างของเซตย่อย (2,1) เท่ากับ: H(2,1) = 41 + 0 = 41 ≤ 56
เนื่องจากขอบเขตล่างของเซตย่อยนี้ (2,1) น้อยกว่าเซตย่อย (2*,1*) เราจึงรวมขอบ (2,1) ไว้ในเส้นทางด้วยขอบเขตใหม่ H = 41
ตามเมทริกซ์นี้ เราได้รวมขอบ (3,4) และ (5,3) ไว้ในเส้นทางแฮมิลตัน
เป็นผลให้ขอบเกิดขึ้นตามต้นไม้ที่แตกแขนงของวัฏจักรแฮมิลตัน:
(4,2), (2,1), (1,5), (5,3), (3,4) ความยาวเส้นทางคือ F(Mk) = 41

ต้นไม้การตัดสินใจ

																														1
								(5*,2*), ส=41																																												(5,2)
(4*,2*), ส=47																	(4,2)																															(4*,3*), ส=44								(4,3)
								(1*,5*), ส=50																	(1,5)
																(2*,1*), ส=56																		(2,1)
																												(3,4)												(3*,4*), ส=41
																								(5,3)								(5*,3*), ส=41

บรรยายวิชาคณิตศาสตร์เบื้องต้น (1898) เป็นการแปลภาษาอังกฤษที่เก่าแก่ที่สุดของสิ่งพิมพ์ของ Joseph Louis Lagrange ในปี 1795 Leçons élémentaires sur les คณิตศาสตร์ซึ่งมีชุดการบรรยายที่จัดขึ้นในปีเดียวกันที่ Ecole Normale งานนี้ได้รับการแปลและเรียบเรียงโดย Thomas J. McCormack และฉบับพิมพ์ครั้งที่สองซึ่งใช้คำพูดต่อไปนี้ปรากฏในปี 1901

สารบัญ

คำคม [แก้ไข]

การบรรยายครั้งที่ 3 เรื่องพีชคณิต โดยเฉพาะการแก้สมการระดับที่สามและสี่[แก้ไข]

• พีชคณิตเป็นวิทยาศาสตร์เกือบทั้งหมดเนื่องมาจากสมัยใหม่... เพราะเรามีบทความหนึ่งจากชาวกรีก นั่นคือบทความของไดโอแฟนทัส... เป็นเพียงบทความเดียวที่เราเป็นหนี้คนโบราณในสาขาคณิตศาสตร์นี้ ...ฉันพูดถึงชาวกรีกเท่านั้น เพราะชาวโรมันไม่เหลืออะไรเลยในทางวิทยาศาสตร์ และรูปลักษณ์ภายนอกก็ไม่ได้ทำอะไรเลย

• งานของเขาประกอบด้วยองค์ประกอบแรกของวิทยาศาสตร์นี้ เขาใช้เพื่อแสดงปริมาณที่ไม่รู้จักด้วยอักษรกรีกซึ่งตรงกับของเรา เซนต์และได้ถูกแทนที่ในการแปลโดย เอ็น. ในการแสดงปริมาณที่ทราบ เขาใช้ตัวเลขเพียงอย่างเดียว เนื่องจากพีชคณิตถูกกำหนดมานานแล้วว่าจะถูกจำกัดไว้เพียงการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขเท่านั้น

• [H]e ใช้ปริมาณที่ทราบและไม่ทราบเหมือนกัน และในที่นี้แทบจะประกอบด้วยแก่นแท้ของพีชคณิต ซึ่งก็คือการใช้ปริมาณที่ไม่ทราบ มาคำนวณด้วยปริมาณที่ทราบ เช่นเดียวกับที่เราทำกับปริมาณที่ทราบ และสร้างสมการหนึ่งหรือหลายสมการจากสมการเหล่านั้นซึ่งสามารถหาค่าของปริมาณที่ไม่ทราบได้

• แม้ว่างานของไดโอแฟนทัสจะมีปัญหาที่ไม่แน่นอนอยู่เกือบทั้งหมด วิธีแก้ปัญหาที่เขาแสวงหาเป็นจำนวนตรรกยะ ปัญหาที่ได้รับการกำหนดไว้ตามหลังเขา ปัญหาไดโอแฟนไทน์ อย่างไรก็ตาม เรายังพบว่าในงานของเขามีวิธีแก้ปัญหาหลายประการของปัญหาที่แน่นอนประการแรก ระดับ และแม้กระทั่งในเรื่องนั้นเกี่ยวข้องกับปริมาณที่ไม่ทราบจำนวนมากมาย อย่างไรก็ตาม ในกรณีหลังนี้ ผู้เขียนมักจะพยายาม... ลดปัญหาให้เหลือเพียงปริมาณเดียวที่ไม่ทราบ ซึ่งไม่ใช่เรื่องยาก

• เขายังให้วิธีแก้ปัญหาของ สมการของระดับที่สองแต่ต้องระมัดระวังในการจัดเรียงเพื่อไม่ให้เกิดรูปแบบที่ได้รับผลกระทบซึ่งมีกำลังสองและยกกำลังแรกของปริมาณที่ไม่ทราบ ...เขามักจะมาถึงสมการที่เขาต้องแยกรากที่สองออกเท่านั้นจึงจะได้คำตอบ...

• ไดโอแฟนทัส ... ไม่ได้ไปไกลกว่าสมการระดับที่สอง และเราไม่รู้ว่าเขาหรือผู้สืบทอดคนใดของเขา... เคยผลักดัน... เกินกว่าจุดนี้หรือไม่

• ไดโอแฟนทัสไม่เป็นที่รู้จักในยุโรปจนกระทั่งปลายศตวรรษที่ 16 งานแปลครั้งแรกเป็นงานแปลที่น่าสมเพชโดยไซแลนเดอร์ในปี 1575 Bachet de Méziriac ... นักคณิตศาสตร์ผู้เก่งกาจในสมัยของเขา ต่อมาได้ตีพิมพ์ (1621) งานแปลใหม่ ...มาพร้อมกับข้อคิดเห็นที่ยืดยาว ซึ่งตอนนี้ไม่จำเป็นเลย ต่อมางานแปลของ Bachet ได้รับการพิมพ์ซ้ำโดยมีข้อสังเกตและบันทึกโดย Fermat

• ก่อนที่จะมีการค้นพบและตีพิมพ์ไดโอแฟนทัส ... พีชคณิตได้ค้นพบทางเข้าสู่ยุโรปแล้ว ในช่วงปลายศตวรรษที่ 15 มีผลงานชิ้นหนึ่งในเมืองเวนิสโดย... Lucas Paciolus เกี่ยวกับเลขคณิตและเรขาคณิต ซึ่งมีการระบุกฎเบื้องต้นของพีชคณิตไว้

• [T] ชาวยุโรปได้รับพีชคณิตจากชาวอาหรับ ครอบครองมันหนึ่งร้อยปีก่อนที่ผลงานของไดโอแฟนทัสจะเป็นที่รู้จัก อย่างไรก็ตาม พวกเขาไม่มีความก้าวหน้าเกินกว่าสมการระดับที่หนึ่งและระดับที่สอง

• ในงานของ Paciolus... ไม่ได้ให้ความละเอียดทั่วไปของสมการระดับที่สอง... เราพบว่าในงานนี้เป็นเพียงกฎเกณฑ์ที่แสดงเป็นข้อภาษาละตินที่ไม่ดี สำหรับการแก้ปัญหาแต่ละกรณีตามการผสมผสานเครื่องหมายต่างๆ ของเงื่อนไขของสมการ และแม้แต่กฎเหล่านี้ก็ใช้กับกรณีที่รากเป็นจริงและเป็นบวกเท่านั้น รากเชิงลบยังคงถือว่าไม่มีความหมายและฟุ่มเฟือย

• จริงๆ แล้ว เรขาคณิตนั่นเองที่แนะนำให้เราใช้ปริมาณที่เป็นลบ และในที่นี้ประกอบด้วยข้อดีอย่างหนึ่งที่ยิ่งใหญ่ที่สุดซึ่งเป็นผลมาจากการประยุกต์ใช้พีชคณิตกับเรขาคณิต ซึ่งเป็นขั้นตอนที่เราเป็นหนี้เดส์การตส์

• ในช่วงต่อมา ได้มีการตรวจสอบการแก้สมการระดับที่ 3 และการค้นพบกรณีเฉพาะในท้ายที่สุดโดย... สคิปิโอ เฟอร์เรอุส (1515) ...ทาร์ทาเกลียและคาร์ดานได้ทำให้คำตอบของเฟเรอุสสมบูรณ์และทำให้เป็นสมการทั่วไปของสมการระดับที่สามทั้งหมด

• ในช่วงเวลานี้ อิตาลีซึ่งเป็นแหล่งกำเนิดของพีชคณิตในยุโรป ยังคงเป็นผู้ปลูกฝังวิทยาศาสตร์เกือบเพียงผู้เดียว จนกระทั่งประมาณกลางศตวรรษที่ 16 บทความเกี่ยวกับพีชคณิตเริ่มปรากฏในฝรั่งเศส เยอรมนี และ ประเทศอื่น ๆ.

• ผลงานของ Peletier และ Buteo เป็นผลงานชิ้นแรกที่ฝรั่งเศสผลิตในด้านวิทยาศาสตร์นี้...

• Tartaglia อธิบายวิธีแก้ปัญหาของเขาด้วยข้อพระคัมภีร์ภาษาอิตาลีที่ไม่ดีในงานเกี่ยวกับคำถามและสิ่งประดิษฐ์ของนักดำน้ำที่ตีพิมพ์ในปี 1546 ซึ่งเป็นงานที่มีความโดดเด่นในการเป็นหนึ่งในงานแรกๆ ที่ปฏิบัติต่อป้อมปราการสมัยใหม่ด้วยป้อมปราการ

• Cardan ตีพิมพ์บทความของเขา อาส แม็กน่า, หรือ พีชคณิต... คาร์ดานเป็นคนแรกที่รับรู้ว่าสมการมีหลายรากและแยกแยะออกเป็นเชิงบวกและเชิงลบ แต่เขาเป็นที่รู้จักเป็นพิเศษจากการได้กล่าวถึงสิ่งที่เรียกว่าเป็นครั้งแรก กรณีที่ลดไม่ได้ซึ่งการแสดงออกของรากแท้จริงปรากฏอยู่ในรูปจินตภาพ คาร์ดันโน้มน้าวตัวเองจากกรณีพิเศษหลายๆ กรณี ซึ่งสมการนี้มีตัวหารที่เป็นตรรกยะว่ารูปแบบจินตภาพไม่ได้ขัดขวางไม่ให้รากมีค่าที่แท้จริง แต่ยังคงต้องพิสูจน์ว่าไม่เพียงแต่รากที่แท้จริงจะมีอยู่จริงในกรณีที่ไม่สามารถลดทอนลงได้ แต่ยังเป็นไปไม่ได้ที่ทั้งสามจะรวมกันเป็นจริงยกเว้นในกรณีนั้น ในเวลาต่อมา เวียตาเป็นผู้จัดเตรียมข้อพิสูจน์นี้ และโดยเฉพาะอย่างยิ่งโดยอัลเบิร์ต จิราร์ด จากการพิจารณาเรื่องสามเหลี่ยมของมุม

• [ท] เขา กรณีสมการระดับที่สามที่ลดไม่ได้... นำเสนอรูปแบบใหม่ของนิพจน์พีชคณิตซึ่งพบการประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวางในการวิเคราะห์... มันก่อให้เกิดการสอบถามที่ไม่มีประโยชน์อย่างต่อเนื่องโดยมีจุดประสงค์เพื่อลดรูปแบบจินตภาพให้เป็นรูปแบบจริง และ... จึงนำเสนอในพีชคณิต a ปัญหาที่อาจวางอยู่บนฐานเดียวกันกับปัญหาที่มีชื่อเสียงเรื่องการทำซ้ำของลูกบาศก์และการหากำลังสองของวงกลมในเรขาคณิต

• นักคณิตศาสตร์ในยุคที่พูดคุยกันมักไม่เสนอปัญหาให้กันและกันเพื่อหาทางแก้ไข สิ่งเหล่านี้... เป็น... ความท้าทายสาธารณะและทำหน้าที่กระตุ้นและรักษาการหมักซึ่งจำเป็นสำหรับการแสวงหาวิทยาศาสตร์ ความท้าทาย...ดำเนินต่อไปจนถึงต้นศตวรรษที่ 18 ของยุโรป และไม่ได้ยุติลงจริงๆ จนกระทั่งการผงาดขึ้นของสถาบันการศึกษาซึ่งบรรลุจุดจบแบบเดียวกัน... ส่วนหนึ่งเกิดจากการรวมตัวกันของความรู้ของสมาชิกต่างๆ ส่วนหนึ่งโดย การมีเพศสัมพันธ์ที่พวกเขารักษา... และ... โดยการตีพิมพ์บันทึกความทรงจำของพวกเขา ซึ่งทำหน้าที่เผยแพร่การค้นพบและการสังเกตใหม่ๆ...

• ที่ พีชคณิตของ Bombelli ไม่เพียงแต่ประกอบด้วยการค้นพบเฟอร์รารีเท่านั้น แต่ยังรวมข้อสังเกตที่สำคัญอื่นๆ เกี่ยวกับสมการของระดับที่สองและสามและโดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีอนุมูลโดยวิธีการซึ่งผู้เขียนประสบความสำเร็จในหลายกรณีในการแยกรากที่สามของจินตนาการของทวินามทั้งสอง ของสูตรระดับที่ 3 ในกรณีที่ลดไม่ได้ ดังนั้นการหาผลลัพธ์ที่แท้จริงอย่างสมบูรณ์แบบ...จึงเป็นข้อพิสูจน์ที่ตรงที่สุดที่เป็นไปได้เกี่ยวกับความเป็นจริงของสำนวนชนิดนี้

• การแก้สมการระดับ 3 และ 4 สำเร็จได้อย่างรวดเร็ว แต่ความพยายามที่ประสบความสำเร็จของนักคณิตศาสตร์มานานกว่าสองศตวรรษกลับไม่ประสบความสำเร็จในการเอาชนะความยากลำบากของสมการระดับที่ห้า

• แต่ความพยายามเหล่านี้กลับไม่ไร้ผลเลย พวกมันได้ก่อให้เกิดทฤษฎีบทที่สวยงามมากมาย... เกี่ยวกับการก่อตัวของสมการ ลักษณะและเครื่องหมายของราก การแปลงสมการที่ให้ไปเป็นสมการอื่นๆ ซึ่งรากอาจก่อตัวขึ้นได้ตามความพึงพอใจจากรากของ สมการที่กำหนด และสุดท้าย การพิจารณาที่สวยงามเกี่ยวกับอภิปรัชญาของการแก้สมการ ซึ่งเป็นวิธีการที่ตรงที่สุดในการบรรลุผลเมื่อเป็นไปได้

• เวียตาและเดส์การตส์ ... แฮร์ริออต ... และฮัดเด ... เป็นคนแรกรองจากชาวอิตาลี... ที่ทำให้ทฤษฎีสมการสมบูรณ์แบบ และตั้งแต่สมัยนั้นมา ก็แทบจะไม่มีนักคณิตศาสตร์ผู้จดบันทึกที่ไม่ได้ใช้ตัวเองเลย...

การบรรยาย V. เรื่องการใช้เส้นโค้งในการแก้ปัญหา[แก้ไข]

• ตราบใดที่พีชคณิตและเรขาคณิตเดินทางแยกกัน ความก้าวหน้าของพวกเขาก็ช้าและการใช้งานก็มีจำกัด แต่เมื่อวิทยาศาสตร์ทั้งสองนี้มารวมกัน พวกเขาก็ดึงพลังที่สดใหม่จากกันและกัน จากนั้นก้าวไปข้างหน้าอย่างรวดเร็วสู่ความสมบูรณ์แบบ สำหรับเดส์การตส์แล้ว เราเป็นหนี้การประยุกต์ใช้พีชคณิตกับเรขาคณิต ซึ่งเป็นแอปพลิเคชั่นที่เตรียมกุญแจสู่การค้นพบที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในคณิตศาสตร์ทุกแขนง

• วิธีการ... สำหรับการค้นหาและสาธิตคุณสมบัติทั่วไปของสมการโดยการพิจารณาเส้นโค้งที่เป็นตัวแทน เป็นการประยุกต์เรขาคณิตกับพีชคณิตรูปแบบหนึ่ง... [T] วิธีการของเขาได้ขยายการใช้งานออกไป และสามารถแก้ปัญหาได้ทันที ซึ่งการแก้ปัญหาโดยตรงนั้นยากมากหรือเป็นไปไม่ได้ด้วยซ้ำ... [T] วิชาของเขา... มักไม่พบในงานประถมศึกษาเกี่ยวกับพีชคณิต

• สมการ [A]n ของระดับใดๆ สามารถแก้ไขได้โดยใช้เส้นโค้ง โดยที่ abscissæ แสดงถึงปริมาณที่ไม่ทราบของสมการ และจัดลำดับค่าที่สมาชิกทางซ้ายสมมติสำหรับทุกค่าของปริมาณที่ไม่ทราบ . ...[T]วิธีการของเขาสามารถนำไปใช้กับสมการทั้งหมดได้โดยทั่วไป ไม่ว่าจะอยู่ในรูปแบบใดก็ตาม และ... เพียงแต่กำหนดให้สมการนั้นได้รับการพัฒนาและจัดเรียงตามกำลังที่แตกต่างกันของปริมาณที่ไม่ทราบเท่านั้น
[แก้ไข]
• บรรยายวิชาคณิตศาสตร์เบื้องต้นฉบับที่ 2 (1901) @GoogleBooks

แบบทดสอบคณิตศาสตร์ SAT ครอบคลุมวิธีการทางคณิตศาสตร์หลากหลายรูปแบบ โดยเน้นที่การแก้ปัญหา แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ และการใช้ความรู้ทางคณิตศาสตร์อย่างมีกลยุทธ์

แบบทดสอบคณิตศาสตร์ SAT: เช่นเดียวกับในโลกแห่งความเป็นจริง

แทนที่จะทดสอบคุณในทุกหัวข้อทางคณิตศาสตร์ SAT ใหม่จะทดสอบความสามารถของคุณในการใช้คณิตศาสตร์ที่คุณต้องพึ่งพาในเวลาส่วนใหญ่และในสถานการณ์ต่างๆ คำถามทดสอบคณิตศาสตร์ได้รับการออกแบบมาเพื่อสะท้อนถึงการแก้ปัญหาและแบบจำลองที่คุณจะต้องเผชิญ

การศึกษาในมหาวิทยาลัย เรียนคณิตศาสตร์โดยตรง ตลอดจนวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและสังคมศาสตร์
- กิจกรรมวิชาชีพประจำวันของคุณ
- ชีวิตประจำวันของคุณ

ตัวอย่างเช่น ในการตอบคำถามบางข้อ คุณจะต้องใช้หลายขั้นตอน เนื่องจากในโลกแห่งความเป็นจริง สถานการณ์ที่ขั้นตอนง่ายๆ เพียงขั้นตอนเดียวก็เพียงพอที่จะหาวิธีแก้ไขนั้นเกิดขึ้นได้ยากมาก

รูปแบบคณิตศาสตร์ SAT

แบบทดสอบคณิตศาสตร์ SAT: ข้อเท็จจริงพื้นฐาน

ส่วน SAT Math มุ่งเน้นไปที่คณิตศาสตร์สามด้านที่มีบทบาทสำคัญในวิชาวิชาการส่วนใหญ่ในระดับอุดมศึกษาและอาชีพ:
- หัวใจของพีชคณิต: พื้นฐานของพีชคณิตซึ่งเน้นการแก้สมการและระบบเชิงเส้น
- การแก้ปัญหาและการวิเคราะห์ข้อมูล: การแก้ปัญหาและการวิเคราะห์ข้อมูลที่จำเป็นต่อความรู้ทางคณิตศาสตร์ทั่วไป
- หนังสือเดินทางสู่คณิตศาสตร์ขั้นสูง: พื้นฐานของคณิตศาสตร์ขั้นสูง ซึ่งถามคำถามที่ต้องใช้การจัดการสมการที่ซับซ้อน
แบบทดสอบคณิตศาสตร์ยังเน้นหัวข้อเพิ่มเติมทางคณิตศาสตร์ ซึ่งรวมถึงเรขาคณิตและตรีโกณมิติ ซึ่งมีความสำคัญที่สุดสำหรับการเรียนในมหาวิทยาลัยและอาชีพการงาน

แบบทดสอบคณิตศาสตร์ SAT: วีดีโอ

พื้นฐานของพีชคณิต
หัวใจของพีชคณิต

คณิตศาสตร์ SAT ในส่วนนี้จะเน้นไปที่พีชคณิตและแนวคิดหลักที่สำคัญที่สุดสำหรับความสำเร็จในวิทยาลัยและอาชีพ โดยจะประเมินความสามารถของนักเรียนในการวิเคราะห์ แก้ และสร้างสมการเชิงเส้นและอสมการได้อย่างอิสระ นักเรียนจะต้องวิเคราะห์และแก้สมการและระบบสมการได้อย่างคล่องแคล่วโดยใช้วิธีการต่างๆ มากมาย เพื่อประเมินความรู้ในเนื้อหานี้อย่างเต็มที่ปัญหาจะแตกต่างกันไปตามประเภทและเนื้อหา อาจค่อนข้างเรียบง่ายหรือต้องใช้การคิดและความเข้าใจเชิงกลยุทธ์ เช่น การตีความปฏิสัมพันธ์ระหว่างนิพจน์เชิงกราฟิกและพีชคณิต หรือการนำเสนอวิธีแก้ไขเป็นกระบวนการให้เหตุผล ผู้สอบจะต้องแสดงให้เห็นไม่เพียงแต่ความรู้เกี่ยวกับเทคนิคการแก้ปัญหาเท่านั้น แต่ยังต้องเข้าใจแนวคิดที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นเกี่ยวกับสมการและฟังก์ชันเชิงเส้นอีกด้วย SAT Math Fundamentals of Algebra มีคะแนนตั้งแต่ 1 ถึง 15

ส่วนนี้จะมีงานที่นำเสนอคำตอบแบบปรนัยหรือคำนวณโดยนักเรียนอย่างอิสระ บางครั้งอนุญาตให้ใช้เครื่องคิดเลขได้ แต่ไม่จำเป็นหรือแนะนำเสมอไป

1. สร้าง แก้ หรือตีความนิพจน์หรือสมการเชิงเส้นด้วยตัวแปรตัวเดียวในบริบทของเงื่อนไขเฉพาะบางอย่าง นิพจน์หรือสมการอาจมีสัมประสิทธิ์ตรรกยะ และอาจต้องใช้หลายขั้นตอนเพื่อทำให้นิพจน์หรือแก้สมการง่ายขึ้น

2. สร้าง แก้ หรือตีความความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นด้วยตัวแปรตัวเดียวในบริบทของเงื่อนไขเฉพาะบางประการ ความไม่เท่าเทียมกันอาจมีสัมประสิทธิ์ที่เป็นเหตุเป็นผลและอาจต้องใช้หลายขั้นตอนเพื่อทำให้ง่ายขึ้นหรือแก้ไข

3. สร้างฟังก์ชันเชิงเส้นที่สร้างแบบจำลองความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างปริมาณสองปริมาณ ผู้สอบจะต้องอธิบายความสัมพันธ์เชิงเส้นที่แสดงเงื่อนไขบางประการโดยใช้สมการที่มีตัวแปรสองตัวหรือฟังก์ชันหนึ่งฟังก์ชัน สมการหรือฟังก์ชันจะมีสัมประสิทธิ์ตรรกยะ และอาจต้องใช้หลายขั้นตอนในการสร้างและทำให้สมการหรือฟังก์ชันง่ายขึ้น

4. สร้าง แก้ และตีความระบบอสมการเชิงเส้นด้วยตัวแปรสองตัว ผู้สอบจะวิเคราะห์เงื่อนไขหนึ่งหรือหลายเงื่อนไขที่มีอยู่ระหว่างตัวแปรสองตัวโดยการสร้าง แก้ หรือตีความความไม่เท่าเทียมกันของสองตัวแปรหรือระบบของความไม่เท่าเทียมกันของสองตัวแปร ภายในเงื่อนไขที่กำหนด การสร้างความไม่เท่าเทียมกันหรือระบบความไม่เท่าเทียมกันอาจต้องใช้ขั้นตอนหรือคำจำกัดความหลายขั้นตอน

5. สร้าง แก้ และตีความระบบของสมการเชิงเส้นสองตัวในตัวแปรสองตัว ผู้สอบจะวิเคราะห์เงื่อนไขหนึ่งหรือหลายเงื่อนไขที่มีอยู่ระหว่างตัวแปรสองตัวโดยการสร้าง การแก้ หรือการวิเคราะห์ระบบสมการเชิงเส้นภายในเงื่อนไขที่กำหนด สมการจะมีสัมประสิทธิ์ตรรกยะ และอาจต้องใช้หลายขั้นตอนเพื่อทำให้ง่ายขึ้นหรือแก้ระบบ

6. แก้สมการเชิงเส้น (หรืออสมการ) ด้วยตัวแปรตัวเดียว สมการ (หรืออสมการ) จะมีสัมประสิทธิ์ตรรกยะและอาจต้องใช้หลายขั้นตอนในการแก้ สมการอาจไม่มีคำตอบ มีคำตอบเดียว หรือมีจำนวนคำตอบเป็นอนันต์ ผู้เข้าสอบอาจถูกขอให้กำหนดค่าหรือสัมประสิทธิ์ของสมการที่ไม่มีคำตอบหรือมีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด

7. แก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวที่มีตัวแปรสองตัว สมการจะมีสัมประสิทธิ์ตรรกยะ และระบบอาจไม่มีคำตอบ คำตอบเดียว หรือคำตอบจำนวนอนันต์ ผู้เข้าสอบอาจถูกขอให้กำหนดค่าหรือสัมประสิทธิ์ของสมการที่ระบบอาจไม่มีคำตอบ มีคำตอบเดียว หรือมีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด

8. อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างนิพจน์พีชคณิตและกราฟิก ระบุกราฟที่อธิบายโดยสมการเชิงเส้นที่กำหนดหรือสมการเชิงเส้นที่อธิบายกราฟที่กำหนด กำหนดสมการของเส้นที่กำหนดโดยการอธิบายกราฟด้วยวาจา ระบุลักษณะสำคัญของกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นจากสมการ กำหนดวิธีการสร้างกราฟ อาจได้รับผลกระทบจากการเปลี่ยนสมการ

การแก้ปัญหาและการวิเคราะห์ข้อมูล
การแก้ปัญหาและการวิเคราะห์ข้อมูล

คณิตศาสตร์ SAT ในส่วนนี้สะท้อนถึงงานวิจัยที่ระบุสิ่งสำคัญต่อความสำเร็จในวิทยาลัยหรือมหาวิทยาลัย การทดสอบจำเป็นต้องมีการแก้ปัญหาและการวิเคราะห์ข้อมูล: ความสามารถในการอธิบายสถานการณ์ทางคณิตศาสตร์โดยคำนึงถึงองค์ประกอบที่เกี่ยวข้อง เพื่อทราบและใช้คุณสมบัติต่างๆ ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และตัวเลข ปัญหาในหมวดนี้จะต้องอาศัยประสบการณ์ที่สำคัญในการให้เหตุผลเชิงตรรกะ

ผู้สอบจะต้องทราบการคำนวณค่าเฉลี่ยของตัวบ่งชี้ รูปแบบทั่วไป และการเบี่ยงเบนจากภาพทั่วไป และการแจกแจงเป็นชุด

คำถามในการแก้ปัญหาและการวิเคราะห์ข้อมูลทั้งหมดจะทดสอบความสามารถของผู้เข้าสอบในการใช้ความเข้าใจทางคณิตศาสตร์และทักษะในการแก้ปัญหาที่อาจพบในโลกแห่งความเป็นจริง ประเด็นเหล่านี้หลายประเด็นถูกถามในบริบททางวิชาการและวิชาชีพ และมีแนวโน้มที่จะเกี่ยวข้องกับวิทยาศาสตร์และสังคมวิทยา

การแก้ปัญหาและการวิเคราะห์ข้อมูลเป็นหนึ่งในสามส่วนย่อยของคณิตศาสตร์ SAT ที่มีคะแนนตั้งแต่ 1 ถึง 15

ส่วนนี้จะมีคำถามแบบปรนัยหรือคำตอบที่คำนวณเอง อนุญาตให้ใช้เครื่องคิดเลขที่นี่ได้เสมอ แต่ไม่จำเป็นหรือแนะนำเสมอไป

ในส่วนนี้ของ SAT Math คุณอาจพบคำถามต่อไปนี้:

1. ใช้อัตราส่วน อัตรา สัดส่วน และแบบมาตราส่วนเพื่อแก้ไขปัญหาขั้นตอนเดียวและหลายขั้นตอน ผู้สอบจะใช้ความสัมพันธ์ตามสัดส่วนระหว่างตัวแปรสองตัวในการแก้ปัญหาหลายขั้นตอนเพื่อกำหนดอัตราส่วนหรืออัตรา คำนวณอัตราส่วนหรืออัตราแล้วแก้ปัญหาหลายขั้นตอนโดยใช้อัตราส่วนหรืออัตราส่วนที่กำหนดในการแก้ปัญหาหลายขั้นตอน

2. แก้ปัญหาขั้นตอนเดียวและหลายขั้นตอนด้วยเปอร์เซ็นต์ ผู้เข้าสอบจะแก้ปัญหาหลายระดับเพื่อกำหนดเปอร์เซ็นต์ คำนวณเปอร์เซ็นต์ของตัวเลขแล้วแก้ปัญหาหลายระดับ ใช้เปอร์เซ็นต์ที่กำหนดในการแก้ปัญหาหลายระดับ

3. แก้ไขปัญหาการคำนวณขั้นตอนเดียวและหลายขั้นตอน ผู้เข้าสอบจะแก้ปัญหาหลายระดับเพื่อกำหนดหน่วยอัตรา คำนวณหน่วยการวัดแล้วแก้ปัญหาหลายขั้นตอน แก้ไขปัญหาหลายระดับเพื่อทำการแปลงหน่วยให้เสร็จสมบูรณ์ แก้ไขปัญหาการคำนวณความหนาแน่นแบบหลายขั้นตอน หรือใช้แนวคิดเรื่องความหนาแน่นเพื่อแก้ปัญหาหลายขั้นตอน

4. การใช้แผนภาพกระจาย แก้แบบจำลองเชิงเส้น กำลังสอง หรือเลขชี้กำลัง เพื่ออธิบายว่าตัวแปรมีความสัมพันธ์กันอย่างไร จากแผนภาพกระจาย ให้เลือกสมการของเส้นหรือเส้นโค้งที่พอดี ตีความบรรทัดในบริบทของสถานการณ์ หรือใช้เส้นหรือเส้นโค้งที่เหมาะกับการทำนายมากที่สุด

5. ใช้ความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสองตัว สำรวจฟังก์ชันหลักของกราฟ ผู้สอบจะทำการเชื่อมต่อระหว่างการแสดงออกทางกราฟิกของข้อมูลและคุณสมบัติของกราฟโดยเลือกกราฟที่แสดงถึงคุณสมบัติที่อธิบายไว้หรือใช้กราฟเพื่อกำหนดค่าหรือชุดของค่า

6. เปรียบเทียบการเติบโตเชิงเส้นกับการเติบโตแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล ผู้เข้าสอบจะต้องจับคู่ตัวแปรสองตัวเพื่อพิจารณาว่าแบบจำลองประเภทใดเหมาะสมที่สุด

7. ใช้ตารางคำนวณข้อมูลสำหรับปริมาณประเภทต่างๆ ความถี่สัมพัทธ์ และความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ผู้สอบใช้ข้อมูลจากหมวดหมู่ต่างๆ ในการคำนวณความถี่แบบมีเงื่อนไข ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข การเชื่อมโยงของตัวแปร และความเป็นอิสระของเหตุการณ์

8. สรุปผลพารามิเตอร์ประชากรตามข้อมูลตัวอย่าง ผู้เข้าสอบจะประมาณค่าพารามิเตอร์ประชากร โดยคำนึงถึงผลลัพธ์ของการสุ่มตัวอย่างประชากร สถิติตัวอย่างสามารถให้ช่วงความเชื่อมั่นและข้อผิดพลาดในการวัดที่นักเรียนต้องเข้าใจและนำไปใช้โดยไม่ต้องคำนวณ

9. ใช้วิธีการทางสถิติเพื่อคำนวณค่าเฉลี่ยและการแจกแจง ผู้สอบจะคำนวณค่าเฉลี่ยและ/หรือการกระจายของชุดข้อมูลที่กำหนด หรือใช้สถิติเพื่อเปรียบเทียบชุดข้อมูลที่แยกจากกันสองชุด

10. ประเมินรายงาน สรุปผล ให้เหตุผลในการสรุป และพิจารณาความเหมาะสมของวิธีการเก็บข้อมูล รายงานอาจประกอบด้วยตาราง กราฟ หรือข้อความสรุป

พื้นฐานของคณิตศาสตร์ขั้นสูง
หนังสือเดินทางสู่คณิตศาสตร์ขั้นสูง

คณิตศาสตร์ SAT ในส่วนนี้ประกอบด้วยหัวข้อที่สำคัญอย่างยิ่งสำหรับนักเรียนในการเรียนรู้ก่อนที่จะก้าวไปสู่วิชาคณิตศาสตร์ขั้นสูง สิ่งสำคัญคือการทำความเข้าใจโครงสร้างของนิพจน์และความสามารถในการวิเคราะห์ จัดการ และทำให้นิพจน์เหล่านั้นง่ายขึ้น รวมถึงความสามารถในการวิเคราะห์สมการและฟังก์ชันที่ซับซ้อนมากขึ้นด้วย

เช่นเดียวกับสองส่วนก่อนหน้าของ SAT Math คำถามที่นี่จะมีคะแนนตั้งแต่ 1 ถึง 15

ในส่วนนี้จะมีคำถามแบบปรนัยหรือคำตอบแบบคำนวณเอง บางครั้งอนุญาตให้ใช้เครื่องคิดเลขได้แต่ก็ไม่จำเป็นหรือแนะนำเสมอไป

ในส่วนนี้ของ SAT Math คุณอาจพบคำถามต่อไปนี้:

1. สร้างฟังก์ชันหรือสมการกำลังสองหรือเลขชี้กำลังที่จำลองเงื่อนไขที่กำหนด สมการจะมีสัมประสิทธิ์ตรรกยะและอาจต้องใช้หลายขั้นตอนเพื่อทำให้ง่ายขึ้นหรือแก้โจทย์

2. กำหนดรูปแบบนิพจน์หรือสมการที่เหมาะสมที่สุดเพื่อระบุคุณลักษณะเฉพาะตามเงื่อนไขที่กำหนด

3. สร้างนิพจน์ที่เทียบเท่าซึ่งเกี่ยวข้องกับเลขชี้กำลังเชิงตรรกยะและรากศัพท์ รวมถึงการทำให้ง่ายขึ้นหรือการแปลงเป็นรูปแบบอื่น

4. สร้างรูปแบบนิพจน์พีชคณิตที่เทียบเท่ากัน

5. แก้สมการกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์ตรรกยะ สมการสามารถแสดงได้หลากหลายรูปแบบ

6. บวก ลบ และคูณพหุนามและทำให้ผลลัพธ์ง่ายขึ้น นิพจน์จะมีสัมประสิทธิ์ตรรกยะ

7. แก้สมการในตัวแปรตัวเดียวที่มีรากหรือมีตัวแปรในตัวส่วนของเศษส่วน สมการจะมีสัมประสิทธิ์ตรรกยะ

8. แก้ระบบสมการเชิงเส้นหรือสมการกำลังสอง สมการจะมีสัมประสิทธิ์ตรรกยะ

9. ลดความซับซ้อนของนิพจน์เหตุผลอย่างง่าย ผู้สอบจะต้องบวก ลบ คูณ หรือหารนิพจน์ตรรกยะสองรายการ หรือหารพหุนามสองตัวแล้วทำให้ง่ายขึ้น นิพจน์จะมีสัมประสิทธิ์ตรรกยะ

10. ตีความส่วนของนิพจน์ไม่เชิงเส้นในแง่ของเงื่อนไข ผู้สอบต้องเชื่อมโยงเงื่อนไขที่กำหนดกับสมการไม่เชิงเส้นที่จำลองเงื่อนไขเหล่านั้น

11. ทำความเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างศูนย์และปัจจัยในพหุนาม และใช้ความรู้นี้เพื่อสร้างกราฟ ผู้สอบจะใช้คุณสมบัติของพหุนามในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับศูนย์ เช่น การกำหนดว่านิพจน์เป็นปัจจัยหนึ่งของพหุนามหรือไม่ โดยพิจารณาจากข้อมูลที่ให้ไว้

12. ทำความเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสองตัวโดยสร้างการเชื่อมโยงระหว่างนิพจน์พีชคณิตและกราฟิก ผู้เข้าสอบจะต้องสามารถเลือกกราฟที่สอดคล้องกับสมการไม่เชิงเส้นที่กำหนดได้ ตีความกราฟในบริบทของการแก้ระบบสมการ เลือกสมการไม่เชิงเส้นที่สอดคล้องกับกราฟที่กำหนด กำหนดสมการของเส้นโค้งโดยคำนึงถึงคำอธิบายทางวาจาของกราฟ ระบุลักษณะสำคัญของกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นจากสมการ กำหนดผลกระทบต่อกราฟของการเปลี่ยนแปลงสมการการปกครอง

ข้อสอบส่วนคณิต SAT มีอะไรบ้าง?

ความเชี่ยวชาญทั่วไปของวินัย

แบบทดสอบคณิตศาสตร์เป็นโอกาสที่จะแสดงว่าคุณ:

ทำงานทางคณิตศาสตร์ได้อย่างยืดหยุ่น แม่นยำ มีประสิทธิภาพ และใช้กลยุทธ์การแก้ปัญหา
- แก้ไขปัญหาอย่างรวดเร็วโดยการระบุและใช้วิธีการแก้ไขที่มีประสิทธิผลสูงสุด ซึ่งอาจรวมถึงการแก้ไขปัญหาด้วยการ
ดำเนินการทดแทน ทางลัด หรือจัดระเบียบข้อมูลที่คุณให้ใหม่

ความเข้าใจเชิงแนวคิด

คุณจะแสดงให้เห็นถึงความเข้าใจในแนวคิดทางคณิตศาสตร์ การดำเนินการ และความสัมพันธ์ ตัวอย่างเช่น คุณอาจถูกขอให้สร้างการเชื่อมโยงระหว่างคุณสมบัติของสมการเชิงเส้น กราฟ และเงื่อนไขที่แสดงออกมา

การประยุกต์ใช้ความรู้รายวิชา

คำถาม SAT Math หลายข้อนำมาจากปัญหาในชีวิตจริง และขอให้คุณวิเคราะห์ปัญหา ระบุองค์ประกอบพื้นฐานที่จำเป็นในการแก้ปัญหา แสดงปัญหาทางคณิตศาสตร์ และค้นหาวิธีแก้ไข

การใช้เครื่องคิดเลข

เครื่องคิดเลขเป็นเครื่องมือสำคัญในการคำนวณทางคณิตศาสตร์ หากต้องการเรียนต่อในมหาวิทยาลัยให้ประสบความสำเร็จ คุณต้องรู้ว่าจะใช้สิ่งเหล่านี้อย่างไรและเมื่อใด ในส่วนของการทดสอบเครื่องคิดเลขคณิตศาสตร์ คุณจะสามารถมุ่งความสนใจไปที่การค้นหาคำตอบและการวิเคราะห์ได้ เนื่องจากเครื่องคิดเลขของคุณจะช่วยประหยัดเวลาของคุณ

อย่างไรก็ตาม เครื่องคิดเลขก็เหมือนกับเครื่องมืออื่นๆ ที่มีความฉลาดพอๆ กับผู้ใช้เท่านั้น มีคำถามบางข้อเกี่ยวกับแบบทดสอบคณิตศาสตร์ วิธีที่ดีที่สุดที่จะไม่ใช้เครื่องคิดเลข แม้ว่าคุณจะได้รับอนุญาตให้ทำเช่นนั้นก็ตาม ในสถานการณ์เหล่านี้ ผู้สอบที่สามารถคิดและมีเหตุผลมักจะได้รับคำตอบก่อนผู้สุ่มสี่สุ่มห้าที่ใช้เครื่องคิดเลข

ส่วนเครื่องคิดเลขแบบทดสอบคณิตศาสตร์ทำให้ง่ายต่อการประเมินความรู้ทั่วไปในวิชานี้และความเข้าใจในแนวคิดทางคณิตศาสตร์บางอย่าง นอกจากนี้ยังทดสอบความคุ้นเคยกับเทคนิคการคำนวณและความเข้าใจแนวคิดเรื่องจำนวนด้วย

คำถามพร้อมคำตอบใส่ลงในตาราง

แม้ว่าคำถามส่วนใหญ่ในการทดสอบคณิตศาสตร์เป็นแบบปรนัย แต่ 22 เปอร์เซ็นต์เป็นคำถามที่คำตอบเป็นผลมาจากการคำนวณของผู้สอบ ซึ่งเรียกว่ากริดอิน แทนที่จะเลือกคำตอบที่ถูกต้องจากรายการ คุณต้องแก้ไขปัญหาและป้อนคำตอบลงในตารางที่ให้ไว้ในกระดาษคำตอบ

คำตอบถูกป้อนลงในตาราง

ทำเครื่องหมายไม่เกินหนึ่งวงกลมในคอลัมน์ใด ๆ
- จะนับเฉพาะคำตอบที่ระบุโดยการกรอกวงกลมเท่านั้น (คุณจะไม่ได้รับคะแนนสำหรับทุกสิ่งที่เขียนในช่องด้านบน
วงกลม)
- ไม่สำคัญว่าคุณจะเริ่มป้อนคำตอบในคอลัมน์ใด สิ่งสำคัญคือต้องเขียนคำตอบไว้ในตาราง จากนั้นคุณจะได้รับคะแนน
- ตารางสามารถมีทศนิยมสี่ตำแหน่งเท่านั้นและยอมรับได้เฉพาะตัวเลขบวกและศูนย์เท่านั้น
- เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่นในงาน คำตอบสามารถป้อนลงในตารางเป็นทศนิยมหรือเศษส่วนได้
- เศษส่วนเช่น 3/24 ไม่จำเป็นต้องลดลงเหลือค่าต่ำสุด
- จำนวนคละทั้งหมดต้องแปลงเป็นเศษส่วนเกินก่อนจึงจะเขียนลงในตารางได้
- หากคำตอบเป็นทศนิยมซ้ำ นักเรียนจะต้องกำหนดค่าที่ถูกต้องที่สุดที่จะได้
พิจารณา.

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างคำแนะนำที่ผู้สอบจะเห็นในการสอบ SAT Math: