การหามุมระหว่างเส้น มุมระหว่างเส้น

วัสดุนี้มีไว้สำหรับแนวคิดเช่นมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน ในย่อหน้าแรก เราจะอธิบายว่ามันคืออะไรและแสดงในภาพประกอบ จากนั้นเราจะวิเคราะห์ว่าคุณสามารถหาไซน์ โคไซน์ของมุมนี้และมุมได้อย่างไร (เราจะพิจารณากรณีที่มีระนาบและพื้นที่สามมิติแยกกัน) เราจะให้สูตรที่จำเป็นและแสดงพร้อมตัวอย่างว่ามีการใช้อย่างไร ในทางปฏิบัติ

Yandex.RTB R-A-339285-1

เพื่อให้เข้าใจว่ามุมที่เกิดขึ้นที่จุดตัดของเส้นสองเส้นคืออะไร เราต้องนึกถึงคำจำกัดความของมุม ความตั้งฉาก และจุดตัดกัน

คำจำกัดความ 1

เราเรียกเส้นสองเส้นที่ตัดกันหากมีจุดร่วมหนึ่งจุด จุดนี้เรียกว่าจุดตัดของสองเส้น

แต่ละเส้นแบ่งตามจุดตัดกันเป็นรังสี ในกรณีนี้ เส้นทั้งสองสร้างมุม 4 มุม โดยสองเส้นเป็นแนวตั้งและสองเส้นอยู่ติดกัน หากเราทราบขนาดของหนึ่งในนั้น เราก็สามารถกำหนดขนาดที่เหลือได้

สมมุติว่าเรารู้ว่ามุมหนึ่งเท่ากับ α ในกรณีเช่นนี้ มุมที่เป็นแนวตั้งกับมุมนั้นจะเท่ากับ α ด้วย ในการหามุมที่เหลือ เราต้องคำนวณผลต่าง 180 ° - α . ถ้า α เท่ากับ 90 องศา มุมทั้งหมดจะเป็นมุมขวา เส้นที่ตัดกันที่มุมฉากเรียกว่าตั้งฉาก (บทความแยกต่างหากมีไว้สำหรับแนวคิดเรื่องการตั้งฉาก)

ลองดูที่ภาพ:

ให้เราดำเนินการกำหนดคำจำกัดความหลัก

คำจำกัดความ 2

มุมที่เกิดจากเส้นตัดสองเส้นคือการวัดมุมที่เล็กกว่าของมุมทั้งสี่ที่สร้างเส้นสองเส้นนี้

ข้อสรุปที่สำคัญจะต้องดึงออกมาจากคำจำกัดความ: ขนาดของมุมในกรณีนี้จะแสดงด้วยจำนวนจริงใดๆ ในช่วง (0, 90] . หากเส้นตั้งฉากมุมระหว่างพวกเขาจะเป็นในกรณีใด ๆ เท่ากับ 90 องศา

ความสามารถในการหาค่ามุมระหว่างเส้นตัดกันสองเส้นนั้นมีประโยชน์สำหรับการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติหลายอย่าง วิธีการแก้ปัญหาสามารถเลือกได้จากหลายตัวเลือก

สำหรับการเริ่มต้น เราสามารถใช้วิธีทางเรขาคณิต ถ้าเรารู้บางอย่างเกี่ยวกับมุมเพิ่มเติม เราก็สามารถเชื่อมมันเข้ากับมุมที่เราต้องการได้โดยใช้คุณสมบัติของรูปทรงที่เท่ากันหรือคล้ายกัน ตัวอย่างเช่น ถ้าเรารู้ด้านของสามเหลี่ยมและเราต้องคำนวณมุมระหว่างเส้นตรงที่ด้านเหล่านี้ตั้งอยู่ ทฤษฎีบทโคไซน์ก็เหมาะสำหรับการแก้สมการ ถ้าเรามีสามเหลี่ยมมุมฉากในเงื่อนไข สำหรับการคำนวณ เราจะต้องรู้ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุมด้วย

วิธีการพิกัดยังสะดวกมากสำหรับการแก้ปัญหาประเภทนี้ มาอธิบายวิธีการใช้งานอย่างถูกต้องกันเถอะ

เรามีระบบพิกัดสี่เหลี่ยม (คาร์ทีเซียน) O x y ที่มีเส้นตรงสองเส้น ลองแทนด้วยตัวอักษร a และ b ในกรณีนี้ คุณสามารถอธิบายเส้นตรงโดยใช้สมการใดก็ได้ เส้นเดิมมีจุดตัด M จะกำหนดมุมที่ต้องการได้อย่างไร (ให้แทนค่า α) ระหว่างเส้นเหล่านี้

เริ่มจากการกำหนดหลักการพื้นฐานของการหามุมภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด

เรารู้ว่าแนวคิดเช่นการกำกับและเวกเตอร์ปกตินั้นสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับแนวคิดของเส้นตรง ถ้าเรามีสมการของเส้นตรง เราสามารถหาพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้จากมันได้ เราสามารถทำได้สำหรับสองเส้นตัดกันในครั้งเดียว

มุมที่เกิดจากเส้นตัดสองเส้นสามารถหาได้โดยใช้:

• มุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง
• มุมระหว่างเวกเตอร์ปกติ
• มุมระหว่างเวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นหนึ่งกับเวกเตอร์ทิศทางของอีกเส้นหนึ่ง

ทีนี้มาดูแต่ละวิธีแยกกัน

1. สมมติว่าเรามีเส้น a ที่มีเวกเตอร์ทิศทาง a → = (a x , a y) และเส้น b ที่มีเวกเตอร์ทิศทาง b → (b x , b y) ทีนี้ลองกันเวกเตอร์สองตัว a → และ b → กันจากจุดตัดกัน หลังจากนั้นเราจะมาดูกันว่าพวกเขาแต่ละคนจะอยู่ในสายของตัวเอง แล้วเรามีสี่ตัวเลือกสำหรับพวกเขา ตำแหน่งสัมพัทธ์. ดูภาพประกอบ:

ถ้ามุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวไม่ป้าน มันจะเป็นมุมที่เราต้องการระหว่างเส้นตัด a กับ b หากเป็นมุมป้าน มุมที่ต้องการจะเท่ากับมุมที่อยู่ติดกับมุม a → , b → ^ . ดังนั้น α = a → , b → ^ ถ้า a → , b → ^ ≤ 90 ° และ α = 180 ° - a → , b → ^ ถ้า a → , b → ^ > 90 °

จากข้อเท็จจริงที่ว่าโคไซน์ของมุมเท่ากันนั้นเท่ากัน เราสามารถเขียนค่าความเท่าเทียมกันที่เป็นผลลัพธ์ใหม่ได้ดังนี้: cos α = cos a → , b → ^ ถ้า a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ ถ้า a → , b → ^ > 90 ° .

ในกรณีที่สอง ใช้สูตรการลดขนาด ทางนี้,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

ลองเขียนสูตรสุดท้ายเป็นคำ:

คำจำกัดความ 3

โคไซน์ของมุมที่เกิดจากเส้นตัดสองเส้นจะเท่ากับโมดูลัสของโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง

รูปแบบทั่วไปของสูตรสำหรับโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว a → = (a x, a y) และ b → = (b x, b y) มีลักษณะดังนี้:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

จากนั้นเราจะได้สูตรสำหรับโคไซน์ของมุมระหว่างสองบรรทัดที่กำหนด:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

แล้วมุมนั้นก็จะหาได้โดย สูตรต่อไปนี้:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

โดยที่ a → = (a x , a y) และ b → = (b x , b y) เป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นที่กำหนด

ให้เรายกตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 1

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม เส้นแบ่งสองเส้น a และ b ถูกกำหนดไว้บนระนาบ สามารถอธิบายได้ด้วยสมการพาราเมตริก x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R และ x 5 = y - 6 - 3 . คำนวณมุมระหว่างเส้นเหล่านี้

สารละลาย

เรามีสมการพาราเมทริกอยู่ในเงื่อนไข ซึ่งหมายความว่าสำหรับเส้นตรงนี้ เราสามารถเขียนพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของมันได้ทันที ในการทำเช่นนี้ เราต้องใช้ค่าสัมประสิทธิ์ที่พารามิเตอร์ กล่าวคือ เส้น x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R จะมีเวกเตอร์ทิศทาง a → = (4 , 1) .

เส้นตรงที่สองอธิบายโดยใช้สมการมาตรฐาน x 5 = y - 6 - 3 ที่นี่เราสามารถหาพิกัดจากตัวส่วนได้ ดังนั้น เส้นนี้มีเวกเตอร์ทิศทาง b → = (5 , - 3) .

ต่อไปเราดำเนินการค้นหามุมโดยตรง ในการทำเช่นนี้ เพียงแทนที่พิกัดที่มีอยู่ของเวกเตอร์ทั้งสองลงในสูตรข้างต้น α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 เราได้รับสิ่งต่อไปนี้:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

ตอบ: เส้นเหล่านี้เป็นมุม 45 องศา

เราสามารถแก้ปัญหาที่คล้ายกันได้โดยการหามุมระหว่างเวกเตอร์ตั้งฉาก หากเรามีเส้น a ที่มีเวกเตอร์ปกติ na → = (nax , nay) และเส้น b ที่มีเวกเตอร์ปกติ nb → = (nbx , nby) มุมระหว่างพวกเขาจะเท่ากับมุมระหว่าง na → และ nb → หรือมุมที่จะอยู่ติดกับ na → , nb → ^ . วิธีนี้แสดงในรูปภาพ:

สูตรสำหรับคำนวณโคไซน์ของมุมระหว่างเส้นตัดกับมุมนี้เองโดยใช้พิกัดของเวกเตอร์ปกติมีลักษณะดังนี้:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

ในที่นี้ n a → และ n b → หมายถึงเวกเตอร์ปกติของเส้นที่กำหนดสองเส้น

ตัวอย่าง 2

เส้นตรงสองเส้นอยู่ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมโดยใช้สมการ 3 x + 5 y - 30 = 0 และ x + 4 y - 17 = 0 หาไซน์ โคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน และขนาดของมุมนั้นเอง

สารละลาย

เส้นตรงเดิมถูกกำหนดโดยใช้สมการเส้นตรงปกติของรูปแบบ A x + B y + C = 0 แสดงถึงเวกเตอร์ปกติ n → = (A , B) หาพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากตัวแรกสำหรับเส้นตรงหนึ่งเส้นแล้วจดไว้: n a → = (3 , 5) สำหรับบรรทัดที่สอง x + 4 y - 17 = 0 เวกเตอร์ปกติจะมีพิกัด n b → = (1 , 4) ตอนนี้เพิ่มค่าที่ได้รับลงในสูตรและคำนวณผลรวม:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

ถ้าเรารู้โคไซน์ของมุม เราก็สามารถคำนวณไซน์ของมุมนั้นได้โดยใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน เนื่องจากมุม α ที่เกิดจากเส้นตรงนั้นไม่ป้าน ดังนั้นบาป α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34

ในกรณีนี้ α = a rc cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .

คำตอบ: cos α = 23 2 34 , บาป α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c บาป 7 2 34

มาวิเคราะห์กรณีสุดท้ายกัน - การหามุมระหว่างเส้น ถ้าเรารู้พิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นหนึ่งและเวกเตอร์ตั้งฉากของอีกเส้นหนึ่ง

สมมติว่าเส้น a มีเวกเตอร์ทิศทาง a → = (a x , a y) และเส้น b มีเวกเตอร์ปกติ n b → = (n b x , n b y) เราจำเป็นต้องเลื่อนเวกเตอร์เหล่านี้ออกจากจุดตัดและพิจารณาตัวเลือกทั้งหมดสำหรับตำแหน่งสัมพัทธ์ ดูภาพ:

ถ้ามุมระหว่างเวกเตอร์ที่กำหนดไม่เกิน 90 องศา ปรากฎว่ามันจะเสริมมุมระหว่าง a และ b ให้เป็นมุมฉาก

a → , n b → ^ = 90 ° - α ถ้า a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

หากน้อยกว่า 90 องศา เราจะได้สิ่งต่อไปนี้:

a → , n b → ^ > 90 ° จากนั้น a → , n b → ^ = 90 ° + α

โดยใช้กฎความเท่าเทียมกันของโคไซน์ของมุมเท่ากัน เราเขียน:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = บาป α สำหรับ a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - บาป α ที่ a → , n b → ^ > 90 °

ทางนี้,

บาป α = cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ ≤ 90 ° - cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ > 90 ° ⇔ บาป α = cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ > 0 - cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

มาสร้างข้อสรุปกัน

คำจำกัดความ 4

ในการหาค่าไซน์ของมุมระหว่างเส้นสองเส้นที่ตัดกันในระนาบ คุณต้องคำนวณโมดูลัสของโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทางของเส้นแรกกับเวกเตอร์ปกติของเส้นที่สอง

มาเขียนสูตรที่จำเป็นกัน หาไซน์ของมุม:

บาป α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

ค้นหามุมตัวเอง:

α = a r c บาป = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

โดยที่ a → คือเวกเตอร์ทิศทางของบรรทัดแรก และ n b → คือเวกเตอร์ปกติของเส้นที่สอง

ตัวอย่างที่ 3

เส้นตัดกันสองเส้นถูกกำหนดโดยสมการ x - 5 = y - 6 3 และ x + 4 y - 17 = 0 . หามุมของทางแยก

สารละลาย

เราใช้พิกัดของทิศทางและเวกเตอร์ปกติจากสมการที่กำหนด ปรากฎว่า a → = (- 5 , 3) ​​​​และ n → b = (1 , 4) . เราใช้สูตร α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 และพิจารณา:

α = a r c บาป = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c บาป 7 2 34

โปรดทราบว่าเราใช้สมการจากปัญหาก่อนหน้านี้และได้ผลลัพธ์ที่เหมือนกันทุกประการ แต่ในทางที่ต่างออกไป

ตอบ:α = a rc บาป 7 2 34

นี่เป็นอีกวิธีหนึ่งในการหามุมที่ต้องการโดยใช้สัมประสิทธิ์ความชันของเส้นที่กำหนด

เรามีเส้น a ซึ่งกำหนดไว้ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมโดยใช้สมการ y = k 1 · x + b 1 และเส้น b กำหนดเป็น y = k 2 · x + b 2 นี่คือสมการของเส้นที่มีความชัน ในการหามุมของทางแยก ให้ใช้สูตร:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 โดยที่ k 1 และ k 2 คือความชันของเส้นที่กำหนด เพื่อให้ได้เร็กคอร์ดนี้ จะใช้สูตรสำหรับกำหนดมุมผ่านพิกัดของเวกเตอร์ปกติ

ตัวอย่างที่ 4

มีเส้นตรงสองเส้นตัดกันในระนาบ กำหนดโดยสมการ y = - 3 5 x + 6 และ y = - 1 4 x + 17 4 . คำนวณมุมของทางแยก

สารละลาย

ความชันของเส้นตรงของเราเท่ากับ k 1 = - 3 5 และ k 2 = - 1 4 . มาบวกกันในสูตร α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 แล้วคำนวณ:

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

ตอบ:α = a rc cos 23 2 34

ในบทสรุปของย่อหน้านี้ ควรสังเกตว่า สูตรสำหรับหามุมที่ให้มาไม่จำเป็นต้องเรียนรู้ด้วยใจ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะทราบพิกัดของเส้นบอกแนวและ/หรือเวกเตอร์ปกติของเส้นที่กำหนดและสามารถกำหนดได้จาก ประเภทต่างๆสมการ แต่สูตรการคำนวณโคไซน์ของมุมควรจำหรือจดไว้ดีกว่า

วิธีการคำนวณมุมระหว่างเส้นตัดกันในอวกาศ

การคำนวณมุมดังกล่าวสามารถลดลงเป็นการคำนวณพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางและการกำหนดขนาดของมุมที่เกิดจากเวกเตอร์เหล่านี้ สำหรับตัวอย่างดังกล่าว เราใช้เหตุผลเดียวกันกับที่เราให้ไว้ก่อนหน้านี้

สมมติว่าเรามีระบบพิกัดสี่เหลี่ยมอยู่ในพื้นที่ 3 มิติ ประกอบด้วยสองบรรทัด a และ b ที่มีจุดตัด M . ในการคำนวณพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง เราต้องรู้สมการของเส้นเหล่านี้ ระบุเวกเตอร์ทิศทาง a → = (a x , a y , a z) และ b → = (b x , b y , b z) ในการคำนวณโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน เราใช้สูตร:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

ในการหามุมนั้น เราต้องการสูตรนี้:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

ตัวอย่างที่ 5

เรามีเส้นตรงที่กำหนดในพื้นที่ 3 มิติโดยใช้สมการ x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 เป็นที่ทราบกันดีว่ามันตัดกับแกน O z คำนวณมุมของจุดตัดกับโคไซน์ของมุมนั้น

สารละลาย

แสดงว่ามุมที่จะคำนวณด้วยตัวอักษร α ลองเขียนพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางสำหรับเส้นตรงเส้นแรก - a → = (1 , - 3 , - 2) สำหรับแกนประยุกต์ เราสามารถใช้เวกเตอร์พิกัด k → = (0 , 0 , 1) เป็นแนวทางได้ เราได้รับข้อมูลที่จำเป็นแล้วและสามารถเพิ่มลงในสูตรที่ต้องการได้:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

เป็นผลให้เราได้ว่ามุมที่เราต้องการจะเท่ากับ a r c cos 1 2 = 45 °

ตอบ: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

คำนิยาม.หากให้สองบรรทัด y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 มุมแหลมระหว่างเส้นเหล่านี้จะถูกกำหนดเป็น

เส้นสองเส้นขนานกันถ้า k 1 = k 2 . เส้นสองเส้นตั้งฉากถ้า k 1 = -1/ k 2 .

ทฤษฎีบท.เส้นตรง Ax + Vy + C \u003d 0 และ A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ขนานกันเมื่อสัมประสิทธิ์ A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB เป็นสัดส่วน หาก C 1 = λСด้วยแสดงว่าเส้นตรง พิกัดของจุดตัดของเส้นสองเส้นพบเป็นคำตอบของระบบสมการของเส้นเหล่านี้

สมการของเส้นที่ผ่านจุดที่กำหนด

ตั้งฉากกับเส้นนี้

คำนิยาม.เส้นที่ผ่านจุด M 1 (x 1, y 1) และตั้งฉากกับเส้น y \u003d kx + b แสดงโดยสมการ:

ระยะทางจากจุดถึงเส้น

ทฤษฎีบท.หากกำหนดจุด M(x 0, y 0) ระยะทางไปยังเส้น Axe + Vy + C \u003d 0 ถูกกำหนดเป็น

.

การพิสูจน์.ให้จุด M 1 (x 1, y 1) เป็นฐานของเส้นตั้งฉากที่หลุดจากจุด M ไปยังเส้นที่กำหนด จากนั้นระยะห่างระหว่างจุด M และ M 1:

(1)

พิกัด x 1 และ y 1 สามารถหาได้จากการแก้ระบบสมการ:

สมการที่สองของระบบคือสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนด M 0 ตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนด ถ้าเราแปลงสมการแรกของระบบเป็นรูปแบบ:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + ขวาน 0 + โดย 0 + C = 0,

จากนั้น แก้ เราได้รับ:

การแทนที่นิพจน์เหล่านี้เป็นสมการ (1) เราพบว่า:

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่าง. กำหนดมุมระหว่างเส้น: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= พี /4

ตัวอย่าง. แสดงว่าเส้น 3x - 5y + 7 = 0 และ 10x + 6y - 3 = 0 ตั้งฉากกัน

สารละลาย. เราพบ: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1 ดังนั้นเส้นจึงตั้งฉาก

ตัวอย่าง. จุดยอดของสามเหลี่ยม A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) หาสมการความสูงที่ดึงมาจากจุดยอด C

สารละลาย. เราพบสมการของด้าน AB: ; 4 x = 6 ปี - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

สมการความสูงที่ต้องการคือ: Ax + By + C = 0 หรือ y = kx + b เค = . แล้ว y = . เพราะ ความสูงผ่านจุด C จากนั้นพิกัดจะเป็นไปตามสมการนี้: โดยที่ b = 17. รวม: .

คำตอบ: 3x + 2y - 34 = 0

สมการของเส้นที่ผ่านจุดที่กำหนดในทิศทางที่กำหนด สมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดที่กำหนดสองจุด มุมระหว่างสองเส้น เงื่อนไขของการขนานและความตั้งฉากของสองเส้น การหาจุดตัดของสองเส้น

1. สมการของเส้นที่ผ่านจุดที่กำหนด อา(x 1 , y 1) ในทิศทางที่กำหนดโดยกำหนดโดยความชัน k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

สมการนี้กำหนดดินสอเส้นที่ลากผ่านจุด อา(x 1 , y 1) ซึ่งเรียกว่าจุดศูนย์กลางของลำแสง

2. สมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดสองจุด: อา(x 1 , y 1) และ บี(x 2 , y 2) เขียนแบบนี้:

ความชันของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดสองจุดถูกกำหนดโดยสูตร

3. มุมระหว่างเส้นตรง อาและ บีคือมุมที่ต้องหมุนเส้นตรงเส้นแรก อารอบจุดตัดของเส้นเหล่านี้ทวนเข็มนาฬิกาจนตรงกับเส้นที่สอง บี. ถ้าสองเส้นถูกกำหนดโดยสมการความชัน

y = k 1 x + บี 1 ,

y = k 2 x + บี 2 , (4)

จากนั้นมุมระหว่างพวกมันจะถูกกำหนดโดยสูตร

ควรสังเกตว่าในตัวเศษของเศษส่วน ความชันของเส้นตรงเส้นแรกจะถูกลบออกจากความชันของเส้นตรงที่สอง

ถ้าให้สมการเส้นตรงเป็น ปริทัศน์

อา 1 x + บี 1 y + ค 1 = 0,

อา 2 x + บี 2 y + ค 2 = 0, (6)

มุมระหว่างพวกมันถูกกำหนดโดยสูตร

4. เงื่อนไขสำหรับการขนานกันของสองบรรทัด:

a) หากเส้นถูกกำหนดโดยสมการ (4) ที่มีความชัน เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการขนานกันคือความเท่าเทียมกันของความชัน:

k 1 = k 2 . (8)

b) สำหรับกรณีที่เส้นถูกกำหนดโดยสมการในรูปแบบทั่วไป (6) เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการขนานกันคือสัมประสิทธิ์ที่พิกัดปัจจุบันที่สอดคล้องกันในสมการนั้นเป็นสัดส่วน กล่าวคือ

5. เงื่อนไขการตั้งฉากของสองบรรทัด:

ก) ในกรณีที่เส้นถูกกำหนดโดยสมการ (4) ที่มีความชัน เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการตั้งฉากของเส้นตรงคือความชันของเส้นนั้นมีส่วนกลับกันในขนาดและเครื่องหมายตรงข้ามกัน กล่าวคือ

เงื่อนไขนี้สามารถเขียนได้ในรูปแบบ

k 1 k 2 = -1. (11)

b) หากสมการของเส้นตรงให้ในรูปแบบทั่วไป (6) เงื่อนไขสำหรับความตั้งฉากของเส้นตรง (จำเป็นและเพียงพอ) คือการเติมเต็มความเท่าเทียมกัน

อา 1 อา 2 + บี 1 บี 2 = 0. (12)

6. พิกัดของจุดตัดของสองเส้นหาได้จากการแก้ระบบสมการ (6) เส้น (6) ตัดกัน if และ only if

1. เขียนสมการของเส้นที่ลากผ่านจุด M โดยเส้นหนึ่งขนานกันและอีกเส้นตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด l

แต่. ให้สองบรรทัด เส้นเหล่านี้ตามที่ระบุไว้ในบทที่ 1 ก่อให้เกิดมุมบวกและลบต่างๆ ซึ่งในกรณีนี้ อาจเป็นได้ทั้งแบบเฉียบพลันและแบบป้าน เมื่อรู้มุมใดมุมหนึ่งเหล่านี้ เราก็สามารถหามุมอื่นได้ง่าย

อย่างไรก็ตาม สำหรับมุมทั้งหมดนี้ ค่าตัวเลขของแทนเจนต์จะเท่ากัน ส่วนต่างสามารถอยู่ในเครื่องหมายเท่านั้น

สมการของเส้น ตัวเลขคือเส้นโครงของเวกเตอร์กำกับของเส้นแรกและเส้นที่สองมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้เท่ากับมุมหนึ่งที่เกิดจากเส้นตรง ดังนั้น ปัญหาจะลดลงจนถึงการกำหนดมุมระหว่างเวกเตอร์ เราจะได้

เพื่อความง่าย เราสามารถตกลงเรื่องมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นเพื่อทำความเข้าใจมุมบวกเฉียบพลัน (เช่น ในรูปที่ 53)

จากนั้นแทนเจนต์ของมุมนี้จะเป็นบวกเสมอ ดังนั้น หากได้เครื่องหมายลบทางด้านขวาของสูตร (1) เราต้องทิ้งมัน นั่นคือ เก็บเฉพาะค่าสัมบูรณ์เท่านั้น

ตัวอย่าง. กำหนดมุมระหว่างเส้น

โดยสูตร (1) เรามี

จาก. หากมีการระบุว่าด้านใดของมุมเป็นจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของมุม จากนั้น ให้นับทิศทางของมุมทวนเข็มนาฬิกาเสมอ เราสามารถแยกข้อมูลเพิ่มเติมจากสูตร (1) ได้ ดังที่เห็นได้ง่ายจากรูปที่ 53 เครื่องหมายที่ได้รับทางด้านขวาของสูตร (1) จะระบุว่าอันใดอันหนึ่ง - แหลมหรือป้าน - มุมสร้างบรรทัดที่สองด้วยอันแรก

(อันที่จริง จากรูปที่ 53 เราเห็นว่ามุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทางที่หนึ่งและที่สองนั้นเท่ากับมุมที่ต้องการระหว่างเส้นทั้งสอง หรือต่างกันไป ±180°)

ง. ถ้าเส้นขนานกัน, เวกเตอร์ทิศทางของมันก็ขนานกัน. ใช้เงื่อนไขของการขนานกันของเวกเตอร์สองตัว, เราจะได้!

นี่เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับเส้นสองเส้นที่จะขนานกัน

ตัวอย่าง. โดยตรง

ขนานกันเพราะ

อี หากเส้นตั้งฉาก เวกเตอร์ทิศทางของมันก็จะตั้งฉากด้วย การนำเงื่อนไขการตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัวมาประยุกต์ใช้ จะได้เงื่อนไขความตั้งฉากของเส้นตรงสองเส้น กล่าวคือ

ตัวอย่าง. โดยตรง

ตั้งฉากเพราะ

ในการเชื่อมต่อกับเงื่อนไขของการขนานและการตั้งฉาก เราจะแก้ปัญหาสองข้อต่อไปนี้

ฉ ลากเส้นขนานกับเส้นที่กำหนดผ่านจุด

การตัดสินใจเช่นนี้ เนื่องจากเส้นที่ต้องการขนานกับเส้นที่กำหนด ดังนั้นสำหรับเวกเตอร์การกำกับ เราจึงสามารถใช้เส้นเดียวกับเส้นที่กำหนด นั่นคือ เวกเตอร์ที่มีเส้นโครง A และ B จากนั้นจึงเขียนสมการของเส้นตรงที่ต้องการ ในรูปแบบ (§ 1)

ตัวอย่าง. สมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุด (1; 3) ขนานกับเส้นตรง

จะเป็นรายต่อไป!

กรัม ลากเส้นผ่านจุดที่ตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด

ที่นี่ ไม่เหมาะสมที่จะใช้เวกเตอร์ที่มีเส้นโครง A และเป็นเวกเตอร์กำกับอีกต่อไป แต่จำเป็นต้องชนะเวกเตอร์ตั้งฉากกับมัน ดังนั้น การคาดคะเนของเวกเตอร์นี้จึงต้องเลือกตามเงื่อนไขที่เวกเตอร์ทั้งสองตั้งฉาก กล่าวคือ ตามเงื่อนไข

เงื่อนไขนี้สามารถบรรลุได้หลายวิธี เนื่องจากที่นี่มีสมการหนึ่งที่มี 2 ค่าไม่ทราบค่า แต่วิธีที่ง่ายที่สุดคือเอา จากนั้นสมการของเส้นตรงที่ต้องการจะเขียนอยู่ในรูป

ตัวอย่าง. สมการของเส้นที่ผ่านจุด (-7; 2) ในเส้นตั้งฉาก

จะเป็นดังนี้ (ตามสูตรที่สอง)!

ชม. ในกรณีที่เส้นถูกกำหนดโดยสมการของแบบฟอร์ม

การเรียนการสอน

บันทึก

คาบของฟังก์ชันตรีโกณมิติแทนเจนต์คือ 180 องศา ซึ่งหมายความว่ามุมเอียงของเส้นตรงไม่สามารถเกินค่านี้ในค่าสัมบูรณ์

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

หากสัมประสิทธิ์ความชันเท่ากัน มุมระหว่างเส้นดังกล่าวจะเป็น 0 เนื่องจากเส้นดังกล่าวจะตรงหรือขนานกัน

ในการกำหนดมุมระหว่างเส้นตัดกัน จำเป็นต้องย้ายทั้งสองเส้น (หรือเส้นใดเส้นหนึ่ง) ไปยังตำแหน่งใหม่โดยวิธีการถ่ายโอนแบบขนานไปยังทางแยก หลังจากนั้น คุณควรหามุมระหว่างเส้นตัดกันที่เกิดขึ้น

คุณจะต้องการ

• ไม้บรรทัด สามเหลี่ยมมุมฉาก ดินสอ ไม้โปรแทรกเตอร์

การเรียนการสอน

ดังนั้น ให้เวกเตอร์ V = (a, b, c) และระนาบ A x + B y + C z = 0 โดยที่ A, B และ C เป็นพิกัดของ N ปกติ แล้วโคไซน์ของมุม α ระหว่างเวกเตอร์ V และ N คือ: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))

ในการคำนวณมุมเป็นองศาหรือเรเดียน คุณต้องคำนวณฟังก์ชันผกผันกับโคไซน์จากนิพจน์ผลลัพธ์ กล่าวคือ อาร์คโคไซน์: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)))

ตัวอย่าง: find ฉีดระหว่าง เวกเตอร์(5, -3, 8) และ เครื่องบินกำหนดโดยสมการทั่วไป 2 x - 5 y + 3 z = 0 วิธีแก้ปัญหา: จดพิกัดของเวกเตอร์ปกติของระนาบ N = (2, -5, 3) แทนที่ค่าที่ทราบทั้งหมดลงในสูตรข้างต้น: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0.8 → α = 36.87°

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

เส้นตรงที่มีจุดร่วมหนึ่งจุดกับวงกลมจะสัมผัสกับวงกลม คุณลักษณะอีกประการของแทนเจนต์คือมันตั้งฉากกับรัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัสเสมอ นั่นคือ แทนเจนต์และรัศมีสร้างเป็นเส้นตรง ฉีด. ถ้าแทนเจนต์สองเส้นของวงกลม AB และ AC ถูกดึงจากจุด A หนึ่งจุด พวกมันจะเท่ากันเสมอ ความหมายของมุมระหว่างแทนเจนต์ ( ฉีด ABC) ผลิตขึ้นโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

การเรียนการสอน

ในการกำหนดมุม คุณต้องทราบรัศมีของวงกลม OB และ OS และระยะห่างของจุดเริ่มต้นของเส้นสัมผัสจากจุดศูนย์กลางของวงกลม - O ดังนั้น มุม ABO และ ACO จะเท่ากัน รัศมี OB ตัวอย่างเช่น 10 ซม. และระยะห่างจากจุดศูนย์กลางของวงกลม AO คือ 15 ซม. กำหนดความยาวของแทนเจนต์ตามสูตรตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส: AB \u003d สแควร์รูทของ AO2 - OB2 หรือ 152 - 102 \u003d 225 - 100 \u003d 125;

จะเป็นประโยชน์สำหรับนักเรียนทุกคนที่เตรียมสอบวิชาคณิตศาสตร์เพื่อทำซ้ำหัวข้อ "การหามุมระหว่างบรรทัด" ตามสถิติแสดงให้เห็นว่า เมื่อผ่านการทดสอบการรับรอง งานในส่วนนี้ของ stereometry ทำให้เกิดปัญหาสำหรับ จำนวนมากนักเรียน. ในเวลาเดียวกัน งานที่ต้องการหามุมระหว่างเส้นตรงจะพบได้ใน USE ที่ระดับพื้นฐานและระดับโปรไฟล์ ซึ่งหมายความว่าทุกคนควรจะสามารถแก้ปัญหาเหล่านี้ได้

ช่วงเวลาพื้นฐาน

มีการจัดเรียงเส้นร่วมกันในช่องว่าง 4 ประเภท พวกเขาสามารถตรง, ตัดกัน, ขนานหรือตัดกัน. มุมระหว่างพวกเขาสามารถเป็นแบบเฉียบพลันหรือตรง

ในการหามุมระหว่างเส้นในการสอบ Unified State หรือตัวอย่างเช่นในการแก้ปัญหาเด็กนักเรียนในมอสโกและเมืองอื่น ๆ สามารถใช้วิธีการหลายวิธีในการแก้ปัญหาในส่วนนี้ของ stereometry คุณสามารถทำงานให้สำเร็จด้วยโครงสร้างแบบคลาสสิก ในการทำเช่นนี้ การเรียนรู้สัจพจน์พื้นฐานและทฤษฎีบทของสเตอริโอเมทรีนั้นคุ้มค่า นักเรียนต้องสามารถสร้างเหตุผลอย่างมีเหตุมีผลและสร้างภาพวาดเพื่อที่จะนำงานไปสู่ปัญหาการวางแผน

คุณยังสามารถใช้วิธีพิกัดเวกเตอร์ โดยใช้สูตร กฎ และอัลกอริธึมอย่างง่าย สิ่งสำคัญในกรณีนี้คือการคำนวณทั้งหมดอย่างถูกต้อง ฝึกฝนทักษะการแก้ปัญหาของคุณในรูปแบบสามมิติและหัวข้ออื่นๆ หลักสูตรโรงเรียนโครงการการศึกษา "Shkolkovo" จะช่วยคุณได้