Собирающая линза — это оптическая система, которая представляет собой подобие сплющенной сферы, у которой толщина краев меньше, чем оптического центра. Для того, чтобы правильно произвести построение изображения в собирающей линзе нужно учитывать несколько важных моментов, которые сыграют ключевую роль как в построении, так и в полученном изображении предмета. Многие современные приборы работают на этих простых принципах, используя свойства собирающей линзы и геометрию построения изображения предмета.

Появилось еще в 20 веке, слово пришло с латыни. Обозначало стекло с выпуклым или вогнутым центром. Спустя небольшой промежуток времени стало активно применяться в физике и получило свое массовое распространение с помощью науки и приборам, которые были сделаны на ее основе. Схема собирающей линзы представляет собой систему из двух сплюснутых у краев полусфер, которые соединены между собой ровной стороной и имеют одинаковый центр.

Фокус собирающей линзы — это место, где все проходящие лучи света пересекаются. Эта точка является очень важной при построении.

Фокусное расстояние собирающей линзы — это не что иное, как отрезок от принятого центра линзы до фокуса.

Из-за того, где именно на оптической оси будет располагаться предмет, который предстоит построить, можно получить несколько типичных вариантов. Первое, что следует рассмотреть, это случай, когда предмет находится прямо на фокусе. В этом случае построить изображение просто не удастся, так как лучи будут идти параллельно друг другу. Поэтому получить решение невозможно. Это своего рода аномалия в построении изображения предмета, которая обосновывается геометрией.

Построение изображения тонкой собирающей линзой не составляет особого труда, если использовать правильный подход и алгоритм, благодаря которому можно получить изображение любого предмета. Для построения изображения предмета достаточно двух основных точек, используя которые не составит труда спроектировать полученное в результате преломления света в собирающей линзе изображение. Стоит отметить главные моменты при построении, без которых невозможно будет обойтись:

• Линия, проходящая через центр линзы считается лучом, который во время прохождения через линзу изменяет свое направление крайне незначительно
• Линия, проведенная параллельно ее главной оптической оси, которая после преломления в линзе проходит через фокус собирающей линзы

Обратите внимание, что информация о том, как рассчитывается формула оптической линзы доступна по этому адресу: .

Построение изображения в собирающей линзе фото

Ниже приводим фотографии по теме статьи «Построение изображения в собирающей линзе». Для открытия галереи фотографий достаточно нажать на миниатюру изображения.

Преломление света на плоских границах (треугольная призма, плоскопараллельная пластинка) приводит к смещению изображений относительно предметов без изменения их размеров. Преломление света на прозрачных оптически однородных телах, ограниченных сферическими поверхностями приводит к образованию изображений, отличающихся по размерам от предметов – увеличенных, уменьшенных (в отдельных случаях равных).

• Прозрачные тела, ограниченные двумя сферическими поверхностями, называют линзами.

• Линзы являются важнейшим элементом разнообразных оптических приборов и систем, начиная от простейших очков, кончая микроскопами и гигантскими телескопами, позволяющими существенно расширить область видения.

• Линзы для видимого света обычно изготовляют из стекла; для ультрафиолетового излучения - из кварца, флюорита, фторида лития и др.; для инфракрасного излучения - из кремния, германия, флюорита, фторида лития и др.

План

1. Презентация учебного материала через мультимедиа проектор.

• Линзы. Главные точки, линии, плоскости.

• Недостатки линз.

• Построение изображения в тонких линзах.

2. Задания для самоконтроля: решение интерактивных задач на построение изображений в линзах с проверкой выполнения. Работа с CD «Физика, 7-11 кл. Библиотека наглядных пособий». 1С: Школа.

3. Решение задач на построение. Работа с интерактивной доской Interwrite Board.

4. Тестовый контроль. Работа с системой оперативного контроля знаний Interwrite PRS.

5. Интерактивное домашнее задание. Работа с CD «Физика, 10-11 кл. Подготовка к ЕГЭ.» 1С: Школа.

6. Итоги

Линзы Главные точки, линии, плоскости

Геометрические характеристики линз.

Типы линз.

Фокусное расстояние и оптическая сила линз.

Зависимость фокусного расстояния от радиусов кривизны сферических поверхностей и относительного показателя преломления вещества линзы.

Сферическая линза

• Отрезок оптической оси, заключённый между сферами, ограничивающими линзу, называется толщиной линзы l . Линза называется тонкой , если l R1 и l R2 , где R1 и R2 – радиусы сфер, ограничивающих линзу. Эти радиусы называются радиусами кривизны поверхностей линзы.

Геометрические характеристики линз

• Для сферической поверхности, выпуклой относительно главной плоскости линзы, радиус кривизны считается положительным.

• Для сферической поверхности, вогнутой относительно главной плоскости линзы, радиус кривизны считается отрицательным.

Типы линз

По форме ограничивающих сферических поверхностей различают шесть типов линз:

Внешний вид основных типов линз

Задание 1: Постройте ход лучей в призме и сделайте вывод о характере отклонения лучей.

Задание 2: Постройте ход лучей в призме и сделайте вывод о характере отклонения лучей.

Линза как совокупность призм

Преломление рассеивающей линзой (n21 > 1) лучей, параллельных главной оптической оси: главный фокус рассеивающей линзы

Преломление параллельных световых лучей на сферических поверхностях

• Ход параллельных лучей 1, 2, 3 после прохождения системы призм при данном значении относительного показателя преломления вещества призмы зависит от расположения призм.

• Лучи после преломления либо идут сходящимся пучком и пересекают главную оптическую ось в точке F , либо расходящимся, и тогда главную оптическую ось пересекают продолжения преломлённых лучей.

• Точка на главной оптической оси, в которой пересекаются преломлённые лучи (или их продолжения), падающие на линзу параллельно её главной оптической оси, называется главным фокусом линзы. Главные фокусы расположены симметрично плоскости линзы (в однородной среде)

Работа с моделью «Фокусное расстояние линзы»

• Иллюстрируется понятие фокуса линзы как главного, так и побочного.

• Иллюстрируется зависимость фокусного расстояния и оптической силы линзы от радиусов кривизны поверхностей и соотношения оптических плотностей вещества линзы и вещества среды.

Фокусное расстояние и оптическая сила линзы

Связь фокусного расстояния с радиусом кривизны собирающей линзы (n 21 > 1)

Фокусное расстояние линзы

Линзы собирающие

К вопросу о фокусном расстоянии

• При n21 = 1 (когда линза находится в среде с абсолютным показателем преломления n1, равным абсолютному показателю преломления вещества линзы n2) линза любого типа не преломляет: (n21 – 1) = 0, поэтому D = 0.

• Если по разные стороны линзы находятся разные среды, то фокусное расстояние слева и справа неодинаково.

• В общем случае нельзя судить о характере преломления линзой параллельных лучей только исходя из внешнего вида (типа линзы), следует учитывать соотношение показателей преломления вещества линзы и среды, поэтому предпочтительно использовать условные обозначения линз.

Ход параллельных лучей

Лучи, падающие на собирающую линзу параллельно побочной оптической оси, после преломления проходят через задний побочный фокус линзы.

Характерные точки, линии, плоскости собирающей и рассеивающей линз

Точки O 1 и O 2 – центры сферических поверхностей,

O 1O 2 – главная оптическая ось,

O – оптический центр,

F – главный фокус, F" – побочный фокус,

OF" – побочная оптическая ось,

Ф – фокальная плоскость.

Недостатки линз (аберрации)

Геометрические аберрации

Сферическая аберрация

Дифракционная аберрация

Недостатки линз

• геометрическую (сферическая аберрация, кома, астигматизм, кривизна поля изображения, дисторсия),

• хроматическую,

• дифракционную аберрацию.

Сферическая аберрация

Сферическая аберрация представляет собой искажение изображения в оптических системах, связанное с тем, что собирающая линза далёкие от главной оптической оси световые лучи фокусирует ближе к линзе, чем лучи, близкие к главной оптической оси (параксиальные), а рассеивающая линза – наоборот. Изображение, создаваемое широким пучком лучей, преломленных линзой, оказывается размытым.

Хроматическая аберрация

Искажение изображения, связанное с тем, что световые лучи различных длин волн собираются после прохождения линзы на различном расстоянии от неё, называют хроматической аберрацией; в результате при использовании немонохроматического света изображение размывается и края его окрашиваются.

Причины хроматической аберрации

Хроматическая аберрация возникает из-за дисперсии белого света в веществе линзы. Красные лучи, преломляясь слабее, фокусируются дальше от линзы. Синие и фиолетовые, преломляясь сильнее, фокусируются ближе.

Дифракционная аберрация

• Дифракционная аберрация обусловлена волновыми свойствами света.

Изображение испускающей монохроматический свет точки, даваемое даже идеальным (не вносящим никаких искажений) объективом (линзой), не воспринимается глазом как точка, так как вследствие дифракции света фактически является круглым светлым пятнышком конечного диаметра d , окруженным несколькими попеременно тёмными и светлыми кольцами (т. н. дифракционное пятно, пятно Эри, диск Эри).

Другие виды геометрической аберрации

Астигматизм - искажение изображения оптической системы, связанное с неоднородностью вещества. Преломление лучей в различных сечениях проходящего светового пучка неодинаково.

Кривизна поля изображения вследствие того, что резкое изображение плоского предмета располагается на искривленной поверхности.

Дисторсия - искривление изображения в оптических системах из-за неравномерного увеличения предметов линзой от его середины к краям. При этом резкость изображения не нарушается.

Кома – аберрация, в которой изображение точки, даваемое системой в целом, принимает вид несимметричного пятна рассеяния вследствие того, что каждый участок оптической системы, удаленный от ее оси на расстояние d (кольцевая зона), дает изображение светящейся точки в виде кольца, радиус которого тем больше, чем больше d.

Способы устранения недостатков линз

• В современных оптических приборах применяются не тонкие линзы, а сложные многолинзовые системы из собирающих и рассеивающих линз, в которых удаётся приближённо устранить различные аберрации, а также диафрагмирование световых пучков

Построение изображений в тонких линзах

Формирование оптического изображения

Ход характерных лучей

Специфические случаи построения в линзах

Сравнительная характеристика изображений в собирающих и рассеивающих линзах

Оптическое изображение

Оптическое изображение – картина, получаемая в результате действия линзы или оптической системы на лучи, распространяющиеся от некоторого объекта, и воспроизводящая контуры и детали этого объекта. Поскольку предмет представляет собой совокупность светящихся своим или отражённым светом точек, то его полное изображение складывается из изображений всех этих точек.

Различают действительные и мнимые изображения. Если пучок световых лучей, исходящий из какой-либо точки А объекта, в результате отражений или преломлений сходится в некоторой точке А1, то А1 называют действительным изображением точки А. Если же в точке А1 пересекаются не сами лучи, а их продолжения, проведенные в сторону, противоположную направлению распространения света, то А1 называют мнимым изображением точки А.

Формирование изображения в линзах

• Собирающая линза преобразует расходящийся сферический волновой фронт от точечного источника в сходящийся в точке за линзой волновой фронт, если d > F;

• При d - расходящийся сферический волновой фронт от точечного источника в расходящийся волновой сферический фронт, как бы распространяющийся от мнимого точечного источника;

• При d = F –расходящуюся сферическую волну, излучаемую точечным источником, в плоскую преломлённую волну.

• Рассеивающая линза в результате преломления преобразует падающие на неё световые пучки в расходящиеся.

Иллюстрация преобразования линзами волновых фронтов

Для определения положения изображения А1 светящейся точки А достаточно взять два луча, ход которых легче всего построить. Таких лучей несколько.

Собирающая линза

Характерные лучи

Основные лучи для собирающей линзы

Характеристика изображений в линзах

1. Работа с интерактивными моделями курса «Физика, 7-11 кл. Библиотека наглядных пособий». 1С: Школа.

Комментарий к работе с интерактивными моделями

«Построение изображения точки в собирающей линзе»

Проверка выполнения исследовательского задания

«Построение изображения точки в рассеивающей линзе»

2. Работа с интерактивными моделями курса «Физика, 7-11 кл. Библиотека наглядных пособий». 1С: Школа.

Проверка выполнения исследовательского задания

«Построение изображения стрелки в собирающей линзе»

Проверка выполнения исследовательского задания

«Построение изображения стрелки в рассеивающей линзе»

3. Работа с интерактивными моделями курса «Физика, 7-11 кл. Библиотека наглядных пособий». 1С: Школа.

Построение изображения квадрата в собирающей линзе

Проверка выполнения исследовательского задания

«Построение изображения квадрата в собирающей линзе»

Проверка выполнения исследовательского задания

«Построение изображения квадрата в рассеивающей линзе»

Обратите внимание

• Если протяжённый предмет расположен перпендикулярно главной оптической оси тонкой линзы, касаясь её, то и его изображение будет перпендикулярно ей, так как все точки предмета равноудалены от плоскости линзы; достаточно найти построением положение изображения верхней точки предмета, а затем опустить перпендикуляр на главную оптическую ось.

• Прямую линию линза всегда изображает прямой, изображения пространственных предметов искажает: углы в пространстве предметов и изображений различны

Задание: проследите, как изменяются характеристики изображения при приближении предмета из бесконечности к плоскости собирающей линзы вдоль главной оптической оси. Проанализируйте, при каких расстояниях предмета от тонкой собирающей линзы его изображение получается: а) действительным; б) увеличенным; в) перевёрнутым. Заполните таблицу.

Задание: проследите, как изменяются характеристики изображения при приближении предмета из бесконечности к плоскости собирающей линзы вдоль главной оптической оси и заполните таблицу. Укажите сходства и различия изображений предмета в собирающей и рассеивающей линзах.

Зависимость f(d)

Зависимость расстояния до изображения от расстояния между предметом и собирающей линзой

Зависимость Г(d) для собирающей и рассеивающей линз

Зависимость поперечного увеличения от расстояния между предметом и собирающей линзой

Специфические случаи построения в тонких линзах

Построение изображения линейного предмета, расположенного наклонно к главной оптической оси

Построение изображения точечного объекта, расположенного на главной оптической оси собирающей линзы

Построение хода преломлённого луча

в собирающей линзе

Построение хода падающего луча

в собирающей линзе

Графическое определение фокусов линзы

Полезно помнить

• Если размеры предмета больше размеров линзы, то построение можно выполнять обычным способом, продлив плоскость линзы. Изображение точки предмета определяется пучком лучей, вышедших из этой точки и ограниченных размерами линзы.

• Если предмет частично отгорожен от линзы непрозрачным экраном, то вначале построение можно вести обычным способом без учёта преграды, после чего необходимо выделить пучок лучей, попадающих на линзу и формирующих изображение. Помните: при некоторых положениях преграды изображение вообще не получается или получается изображение лишь части предмета.

• «Количество» лучей, прошедших через линзу, определяет яркость изображения: изображение получается более или менее интенсивным, но ни его форма, ни его расположение не изменяется.

Обратите внимание

1. Отличить собирающую линзу от рассеивающей можно следующим образом:

а) собирающая линза даёт на экране действительное изображение, от рассеивающей линзы на экране можно получить круглую тень, обрамлённую светлым кольцом.

б) через собирающую линзу невооружённым глазом можно увидеть мнимое прямое увеличенное изображение предметов, например букв в книге, а через рассеивающую – уменьшенное.

2. Наиболее просто определить фокусное расстояние собирающей линзы, получив на экране изображение удалённого объекта:

а) при d = ∞ f = F .

б)Если на экране собирающая линза даёт изображение, равное по размерам предмету, то d = f = 2F , откуда

Задание для самоконтроля

Выполните задание «Интерактивные задачи на построение в линзах»

Интерактивные задачи на построение изображений в линзах

Задачи для самостоятельного решения

Задача №1

Задача №2

Задача №3

Задача №4

Задача №5

Задача №6

Задача №7.1

Задача №7.2

Задача №7.3

Задача №8

При решении задач на построение в параллельных лучах полезно помнить:

• точечный предмет и его изображение лежат на одной оптической оси; это позволяет найти построением положение оптического центра линзы;

• главная оптическая ось перпендикулярна плоскости линзы;

• предмет и его мнимое изображение расположены с одной стороны от плоскости линзы, предмет и его действительное изображение – по разные стороны.

• предмет и его прямое изображение всегда расположены по одну сторону от главной оптической оси линзы, предмет и его перевёрнутое изображение – по разные стороны. Прямые изображения всегда мнимые.

• действительные изображения даёт только собирающая линза, мнимые – и собирающая, и рассеивающая. В собирающей линзе мнимое изображение всегда увеличено, в рассеивающей – уменьшено.

Задача №1 Постройте изображение предмета, находящегося на главной оптической оси собирающей линзы.

Задача №2 Постройте изображение предмета, находящегося между фокусом и оптическим центром собирающей линзы.

Задача №3 Постройте изображение предмета, расположенного над главной оптической осью собирающей линзы над фокусом.

Задача №4 Постройте изображение наклонного предмета в рассеивающей линзе.

Задача №5 Известен ход луча 1 в собирающей линзе. Найдите построением ход луча 2.

Задача №6 Известен ход луча 1 в рассеивающей линзе. Найдите построением ход луча 2.

Задача №7.1 На рисунке изображены источник света S и его изображение S О 1О

Задача №7.2 На рисунке изображены источник света S и его изображение S ’, а также главная оптическая ось О 1О 2. Найдите построением оптический центр линзы и положение её главных фокусов.

Задача №7.3 На рисунке изображены источник света S и его изображение S ’, а также главная оптическая ось О 1О 2. Найдите построением оптический центр линзы и положение её главных фокусов.

Задача №8 АВ – предмет, А’В’ – его изображение в линзе. Найдите построением оптический центр линзы, положение её главной оптической оси и главные фокусы.

Задания для тестового контроля

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

Задание 6

Задание 7

Задание 1

• Стеклянная (n = 1,51) выпукло-вогнутая линза, у которой толщина в центре больше, чем на краях, помещается последовательно в различные среды: в воздух (n = 1,0), в воду (n = 1,33), в этиловый спирт (n = 1,36), в сероуглерод (n = 1,63). В какой из этих сред линза окажется рассеивающей?

1. Ни в одной

2. В этиловом спирте

3. Только в воде

4. Только в сероуглероде

5. Для ответа не хватает данных

Задание 2

На собирающую линзу параллельно оптической оси падает луч света. После прохождения через линзу луч пройдет по линии:

Задание 3

Собирающая линза L строит изображение предмета S

Задание 4

Рассеивающая линза L строит изображение предмета S . Выберите правильный вариант расположения и величины изображения.

Задание 5

С помощью линзы на экране получено перевернутое изображение пламени свечи. Как изменятся размеры изображения, если часть линзы заслонить листом бумаги?

Задание 6

На рисунке представлено расположение собирающей линзы и трех предметов перед ней. Изображение какого из этих предметов будет действительным, увеличенным и перевернутым?

Задание 7

Предмет приближают из бесконечности к точке переднего фокуса F 1 собирающей линзы. Как меняется при этом величина изображения H и расстояние от линзы до изображения f ? Фокусное расстояние линзы равно F .

Интерактивное домашнее задание

Домашнее задание

Работа с CD «Физика, 10-11 кл. Подготовка к ЕГЭ»: раздел «Геометрическая оптика», задание 38 «Построение изображения стрелки, перпендикулярной оптической оси, в собирающей линзе и характеристика изображения», задание 39 «Построение изображения стрелки, перпендикулярной оптической оси, в рассеивающей линзе и характеристика изображения», задание 48 (выполнить чертёж к задаче, перенести рисунок в тетрадь).

Итоги

• .

• .

Использованные информационные ресурсы

• Физика, 7-11 кл. Библиотека наглядных пособий. 1С: Школа

• Физика, 10-11 кл. Подготовка к ЕГЭ. 1С: Школа

• Открытая Физика 2.6. Физикон

• Учебники физики для 11 класса под редакцией А. А. Пинского, О. Ф. Кабардина и В. А. Касьянова и др.

Работа с моделью «Фокусное расстояние линзы» (собирающая линза)

1. Иллюстрируется зависимость фокусного расстояния и оптической силы линзы от радиусов кривизны поверхностей и соотношения оптических плотностей вещества линзы и вещества среды.

Работа с моделью «Фокусное расстояние линзы» (рассеивающая линза)

1. Иллюстрируется зависимость фокусного расстояния и оптической силы линзы от радиусов кривизны поверхностей и соотношения оптических плотностей веществ линзы и вещества среды.

Характер и положение изображения протяжённого объекта в зависимости от положения этого объекта относительно собирающей линзы

Характер и положение изображения протяжённого объекта в зависимости от положения этого объекта относительно собирающей линзы

• Собирающая линза даёт как действительные, так и мнимые изображения, как прямые, так и перевёрнутые, как уменьшенные, так и увеличенные.

• По мере приближения предмета к линзе размеры изображения увеличиваются, изображение удаляется от линзы в бесконечность при d = F . При d по мере приближения к оптическому центру получается изменяющееся в размерах мнимое изображение.

• Штриховкой показаны области существования изображения: справа – действительных, слева – мнимых.

Характер и положение изображения протяжённого объекта в зависимости от положения этого объекта относительно рассеивающей линзы

Характер и положение изображения протяжённого объекта в зависимости от положения этого объекта относительно рассеивающей линзы

• Рассеивающая линза даёт только мнимые прямые уменьшенные изображения.

• По мере приближения предмета к рассеивающей линзе размеры изображения увеличиваются, изображение приближается к оптическому центру линзы. При d = F изображение в рассеивающей линзе есть.

• Штриховкой показана область существования мнимых изображений в рассеивающей линзе.

Построение изображения точки в собирающей линзе

Построение изображения точки в рассеивающей линзе

Построение изображения стрелки в собирающей линзе

• Изображение протяжённого предмета складывается из изображений отдельных точек этого предмета.

Построение изображения стрелки в рассеивающей линзе

Темы кодификатора ЕГЭ: построение изображений в линзах, формула тонкой линзы.

Правила хода лучей в тонких линзах, сформулированные в , приводят нас к важнейшему утверждению.

Теорема об изображении. Если перед линзой находится светящаяся точка , то после преломления в линзе все лучи (или их продолжения) пересекаются в одной точке .

Точка называется изображением точки .

Если в точке пересекаются сами преломлённые лучи, то изображение называется действительным . Оно может быть получено на экране, так как в точке концентрируется энергия световых лучей.

Если же в точке пересекаются не сами преломлённые лучи, а их продолжения (так бывает, когда преломлённые лучи расходятся после линзы), то изображение называется мнимым. Его нельзя получить на экране, поскольку в точке не сосредоточено никакой энергии. Мнимое изображение, напомним, возникает благодаря особенности нашего мозга — достраивать расходящиеся лучи до их мнимого пересечения и видеть в этом пересечении светящуюся точку.Мнимое изображение существует лишь в нашем сознании.

Теорема об изображении служит основой построения изображений в тонких линзах. Мы докажем эту теорему как для собирающей, так и для рассеивающей линзы.

Собирающая линза: действительное изображение точки.

Сперва рассмотрим собирающую линзу. Пусть — расстояние от точки до линзы, — фокусное расстояние линзы. Имеются два принципиально разных случая: и (а также промежуточный случай ). Мы разберём эти случаи поочерёдно; в каждом из них мы
обсудим свойства изображений точечного источника и протяжённого объекта.

Первый случай: . Точечный источник света расположен дальше от линзы, чем левая фокальная плоскость (рис. 1 ).

Луч , идущий через оптический центр, не преломляется. Мы возьмём произвольный луч , построим точку , в которой преломлённый луч пересекается с лучом , а затем покажем, что положение точки не зависит от выбора луча (иными словами, точка является одной и той же для всевозможных лучей ). Тем самым окажется, что все лучи, исходящие из точки , после преломления в линзе пересекаются в точке и теорема об изображении будет доказана для рассматриваемого случая .

Точку мы найдём, построив дальнейший ход луча . Делать это мы умеем: параллельно лучу проводим побочную оптическую ось до пересечения с фокальной плоскостью в побочном фокусе , после чего проводим преломлённый луч до пересечения с лучом в точке .

Теперь будем искать расстояние от точки до линзы. Мы покажем, что это расстояние выражается только через и , т. е. определяется лишь положением источника и свойствами линзы, и не зависит тем самым от конкретного луча .

Опустим перпендикуляры и на главную оптическую ось. Проведём также параллельно главной оптической оси, т. е. перпендикулярно линзе. Получим три пары подобных треугольников:

, (1)
, (2)
. (3)

В результате имеем следующую цепочку равенств (номер формулы над знаком равенства указывает, из какой пары подобных треугольников данное равенство получено).

(4)

Но , так что соотношение (4) переписывается в виде:

. (5)

Отсюда находим искомое расстояние от точки до линзы:

. (6)

Как видим, оно и в самом деле не зависит от выбора луча . Следовательно, любой луч после преломления в линзе пройдёт через построенную нами точку , и эта точка будет действительным изображением источника

Теорема об изображении в данном случае доказана.

Практическая важность теоремы об изображении состоит вот в чём. Коль скоро все лучи источника пересекаются после линзы в одной точке — его изображении — то для построения изображения достаточно взять два наиболее удобных луча. Какие именно?

Если источник не лежит на главной оптической оси, то в качестве удобных лучей годятся следующие:

Луч, идущий через оптический центр линзы — он не преломляется;
- луч, параллельный главной оптической оси — после преломления он идёт через фокус.

Построение изображения с помощью этих лучей показано на рис. 2 .

Если же точка лежит на главной оптической оси, то удобный луч остаётся лишь один — идущий вдоль главной оптической оси. В качестве второго луча приходится брать «неудобный» (рис. 3 ).

Посмотрим ещё раз на выражение ( 5 ). Его можно записать в несколько ином виде, более симпатичном и запоминающемся. Перенесём сначала единицу влево:

Теперь разделим обе части этого равенства на a :

(7)

Соотношение (7) называется формулой тонкой линзы (или просто формулой линзы). Пока что формула линзы получена для случая собирающей линзы и для . В дальнейшем мы выведем модификации этой формулы для остальных случаев.

Теперь вернёмся к соотношению (6) . Его важность не исчерпывается тем, что оно доказывает теорему об изображении. Мы видим также, что не зависит от расстояния (рис. 1, 2 ) между источником и главной оптической осью!

Это означает, что какую бы точку отрезка мы ни взяли, её изображение будет находиться на одном и том же расстоянии от линзы. Оно будет лежать на отрезке — а именно, на пересечении отрезка с лучом , который пойдёт сквозь линзу без преломления. В частности, изображением точки будет точка .

Тем самым мы установили важный факт: изображением отрезка лужит отрезок . Отныне исходный отрезок, изображение которого нас интересует, мы называем предметом и обозначаем на рисунках красной стрелочкой. Направление стрелки нам понадобится для того, чтобы следить — прямым или перевёрнутым получается изображение.

Собирающая линза: действительное изображение предмета.

Перейдём к рассмотрению изображений предметов. Напомним, что пока мы находимся в рамках случая . Здесь можно выделить три характерных ситуации.

1. . Изображение предмета является действительным, перевёрнутым, увеличенным (рис. 4 ; двойной фокус обозначен ). Из формулы линзы следует, что в этом случае будет (почему?).

Такая ситуация реализуется, например, в диапроекторах и киноаппаратах — эти оптические приборы дают на экране увеличенное изображение того, что находится на плёнке. Если вам доводилось показывать слайды, то вы знаете, что слайд нужно вставлять в проектор перевёрнутым — чтобы изображение на экране выглядело правильно, а не получилось вверх ногами.

Отношение размера изображения к размеру предмета называется линейным увеличением линзы и обозначается Г — (это заглавная греческая «гамма»):

Из подобия треугольников и получим:

. (8)

Формула (8) применяется во многих задачах, где фигурирует линейное увеличение линзы.

2. . В этом случае из формулы (6) находим, что и . Линейное увеличение линзы согласно (8) равно единице, т. е. размер изображения равен размеру предмета (рис. 5 ).

Рис. 5.a=2f: размер изображения равен размеру предмета

3. . В этом случае из формулы линзы следует, что (почему?). Линейное увеличение линзы будет меньше единицы — изображение действительное, перевёрнутое, уменьшенное (рис. 6 ).

Данная ситуация является обычной для многих оптических приборов: фотоаппаратов, биноклей, телескопов — словом, тех, в которых получают изображения удалённых объектов. По мере удаления предмета от линзы его изображение уменьшается в размерах и приближается к фокальной плоскости.

Рассмотрение первого случая нами полностью закончено. Переходим ко второму случаю. Он уже не будет столь объёмным.

Собирающая линза: мнимое изображение точки.

Второй случай: . Точечный источник света расположен между линзой и фокальной плоскостью (рис. 7 ).

Наряду с лучом , идущим без преломления, мы снова рассматриваем произвольный луч . Однако теперь на выходе из линзы получаются два расходящихся луча и . Наш глаз продолжит эти лучи до пересечения в точке .

Теорема об изображении утверждает, что точка будет одной и той же для всех лучей , исходящих из точки . Мы опять докажем это с помощью трёх пар подобных треугольников:

Снова обозначая через расстояние от до линзы, имеем соответствующую цепочку равенств (вы уже без труда в ней разберётесь):

. (9)

. (10)

Величина не зависит от луча , что и доказывает теорему об изображении для нашего случая . Итак, — мнимое изображение источника . Если точка не лежит на главной оптической оси, то для построения изображения удобнее всего брать луч, идущий через оптический центр, и луч, параллельный главной оптической оси (рис. 8 ).

Ну а если точка лежит на главной оптической оси, то деваться некуда — придётся довольствоваться лучом, падающим на линзу наклонно (рис. 9 ).

Соотношение (9) приводит нас к варианту формулы линзы для рассматриваемого случая . Сначала переписываем это соотношение в виде:

а затем делим обе части полученного равенства на a :

. (11)

Сравнивая (7) и (11) , мы видим небольшую разницу: перед слагаемым стоит знак плюс, если изображение действительное, и знак минус, если изображение мнимое.

Величина , вычисляемая по формуле (10) , не зависит также от расстояния между точкой и главной оптической осью. Как и выше (вспомните рассуждение с точкой ), это означает, что изображением отрезка на рис. 9 будет отрезок .

Собирающая линза: мнимое изображение предмета.

Учитывая это, мы легко строим изображение предмета, находящегося между линзой и фокальной плоскостью (рис. 10 ). Оно получается мнимым, прямым и увеличенным.

Такое изображение вы наблюдаете, когда разглядываете мелкий предмет в увеличительное стекло — лупу. Случай полностью разобран. Как видите, он качественно отличается от нашего первого случая . Это не удивительно — ведь между ними лежит промежуточный «катастрофический» случай .

Собирающая линза: предмет в фокальной плоскости.

Промежуточный случай:. Источник света расположен в фокальной плоскости линзы (рис. 11 ).

Как мы помним из предыдущего раздела, лучи параллельного пучка после преломления в собирающей линзе пересекутся в фокальной плоскости — а именно, в главном фокусе, если пучок падает перпендикулярно линзе, и в побочном фокусе при наклонном падении пучка. Воспользовавшись обратимостью хода лучей, мы заключаем, что все лучи источника , расположенного в фокальной плоскости, после выхода из линзы пойдут параллельно друг другу.

Рис. 11. a=f: изображение отсутствует

Где же изображение точки ? Изображения нет. Впрочем, никто не запрещает нам считать, что параллельные лучи пересекаются в бесконечно удалённой точке. Тогда теорема об изображении сохраняет свою силу и в данном случае — изображение находится на бесконечности.

Соответственно, если предмет целиком расположен в фокальной плоскости, изображение этого предмета будет находиться на бесконечности (или, что то же самое, будет отсутствовать).

Итак, мы полностью рассмотрели построение изображений в собирающей линзе.

Рассеивающая линза: мнимое изображение точки.

К счастью, здесь нет такого разнообразия ситуаций, как для собирающей линзы. Характер изображения не зависит от того, на каком расстоянии предмет находится от рассеивающей линзы, так что случай тут будет один-единственный.

Снова берём луч и произвольный луч (рис. 12 ). На выходе из линзы имеем два расходящихся луча и , которые наш глаз достраивает до пересечения в точке .

Нам снова предстоит доказать теорему об изображении — о том, что точка будет одной и той же для всех лучей . Действуем с помощью всё тех же трёх пар подобных треугольников:

(12)

. (13)

Величина b не зависит от луча span
, поэтому продолжения всех преломлённых лучей span
пересекутся в точке — мнимом изображении точки . Теорема об изображении тем самым полностью доказана.

Вспомним, что для собирающей линзы мы получили аналогичные формулы (6) и (10) . В случае их знаменатель обращался в нуль (изображение уходило на бесконечность), и поэтому данный случай разграничивал принципиально разные ситуации и .

А вот у формулы (13) знаменатель не обращается в нуль ни при каком a. Стало быть, для рассеивающей линзы не существует качественно разных ситуаций расположения источника — случай тут, как мы и сказали выше, имеется только один.

Если точка не лежит на главной оптической оси, то для построения её изображения удобны два луча: один идёт через оптический центр, другой — параллельно главной оптической оси (рис. 13 ).

Если же точка лежит на главной оптической оси, то второй луч приходится брать произвольным (рис. 14 ).

Предмет АВ находится за фокусом рассеивающей линзы.

Снова используем «удобные» лучи: первый луч идёт параллельно к главной оптической оси и преломляется линзой так, что его продолжение проходит через фокус (пунктир на рисунке); второй луч, не преломляясь, проходит через оптический центр линзы.

На пересечении второго луча и продолжении хода первого луча имеем изображение точки - точку В1. Опускаем перпендикуляр на главную оптическую ось из точки В1 и получаем точку А1 - изображение точки А.

Следовательно, А1 В1 - уменьшенное, прямое, воображаемое изображение, расположенное между воображаемым фокусом и линзой.

Рассмотрим несколько случаев построения изображений в зависимости от места, где находится предмет.

На рисунке 2.9 изображен тот случай, когда предмет находится ровно между линзой и фокусом линзы, значит, увеличенное изображение получится прямо в фокусе.

На рисунке 2.10 предмет находится на расстоянии в фокусного от линзы, и мы получаем изображение предмета посередине между фокусом и линзой.

Лекция 3. Простые оптические приборы.

3.2 Микроскоп.

3.3 Телескоп.

3.4 Фотоаппарат.

Лупа

Одним из простейших оптических приборов является лупа - собирающая линза, предназначенная для рассматривания увеличенных изображений малых объектов. Линзу подносят к самому глазу, а предмет помещают между линзой и главным фокусом. Глаз увидит мнимое и увеличенное изображение предмета. Удобнее всего рассматривать предмет через лупу совершенно ненапряженным глазом, аккомодированным на бесконечность. Для этого предмет помещают в главной фокальной плоскости линзы так, что лучи, выходящие из каждой точки предмета, образуют за линзой параллельные пучки. На рисунке изображено два таких пучка, идущих от краев предмета. Попадая в аккомодированный на бесконечность глаз, пучки параллельных лучей фокусируются на ретине и дают здесь отчетливое изображение предмета.

Простейшим прибором для визуальных наблюдений является лупа. Лупой называют собирающую линзу с малым фокусным расстоянием . Лупу располагают близко к глазу, а рассматриваемый предмет - в ее фокальной плоскости. Предмет виден через лупу под углом.

где h - размер предмета. При рассматривании этого же предмета невооруженным глазом его следует расположить на расстоянии наилучшего зрения нормального глаза. Предмет будет виден под углом

Отсюда следует, что угловое увеличение лупы равно

Линза с фокусным расстоянием 10 см дает увеличение в 2,5 раза.

Рис 3. 1 Действие лупы: а - предмет рассматривается невооруженным глазом с расстояния наилучшего зрения ; б - предмет рассматривается через лупу с фокусным расстоянием F.

Угловое увеличение

Глаз находится очень близко к линзе, поэтому за угол зрения можно принять угол 2β, образованный лучами, идущими от краев предмета через оптический центр линзы. Если бы лупы не было, нам пришлось бы поставить предмет на расстоянии наилучшего зрения (25 см) от глаза и угол зрения был бы равен 2γ. Рассматривая прямоугольные треугольники с катетами 25 см и F см и обозначая половину предмета Z, можем написать:

(3.4)

2β - угол зрения, при наблюдении через лупу;

2γ - угол зрения, при наблюдении невооруженным глазом;

F - расстояние от предмета до лупы;

Z - половина длины рассматриваемого предмета.

Принимая во внимание, что через лупу рассматривают обычно мелкие детали (а следовательно, углы γ и β малы), можно тангенсы заменить углами. Таким образом, получится следующее выражение для увеличения лупы:

Следовательно, увеличение лупы пропорционально , то есть её оптической силе.

3.2 Микроскоп.

Микроскоп применяют для получения больших увеличений при наблюдении мелких предметов. Увеличенное изображение предмета в микроскопе получается с помощью оптической системы, состоящей из двух короткофокусных линз - объектива O1 и окуляра O2 (рис. 3.2). Объектив даст действительное перевернутое увеличенное изображение предмета. Это промежуточное изображение рассматривается глазом через окуляр, действие которого аналогично действию лупы. Окуляр располагают так, чтобы промежуточное изображение находилось в его фокальной плоскости; в этом случае лучи от каждой точки предмета распространяются после окуляра параллельным пучком.

Мнимое изображение предмета, рассматриваемое через окуляр, всегда перевернуто. Если же это оказывается неудобным (например, при прочтении мелкого шрифта), можно перевернуть сам предмет перед объективом. Поэтому угловое увеличение микроскопа принято считать положительной величиной.

Как следует из рис. 3.2, угол зрения φ предмета, рассматриваемого через окуляр в приближении малых углов

Приближенно можно положить d ≈ F1 и f ≈ l, где l - расстояние между объективом и окуляром микроскопа («длина тубуса»). При рассматривании того же предмета невооруженным глазом

В результате формула для углового увеличения γ микроскопа приобретает вид

Хороший микроскоп может давать увеличение в несколько сотен раз. При больших увеличениях начинают проявляться дифракционные явления.

У реальных микроскопов объектив и окуляр представляют собой сложные оптические системы, в которых устранены различные аберрации.

Телескоп

Телескопы (зрительные трубы) предназначены для наблюдения удаленных объектов. Они состоят из двух линз - обращенной к предмету собирающей линзы с большим фокусным расстоянием (объектив) и линзы с малым фокусным расстоянием (окуляр), обращенной к наблюдателю. Зрительные трубы бывают двух типов:

1) Зрительная труба Кеплера , предназначенная для астрономических наблюдений. Она дает увеличенные перевернутые изображения удаленных предметов и поэтому неудобна для земных наблюдений.

2) Зрительная труба Галилея , предназначенная для земных наблюдений, дающая увеличенные прямые изображения. Окуляром в трубе Галилея служит рассеивающая линза.

На рис. 15 изображен ход лучей в астрономическом телескопе. Предполагается, что глаз наблюдателя аккомодирован на бесконечность, поэтому лучи от каждой точки удаленного предмета выходят из окуляра параллельным пучком. Такой ход лучей называется телескопическим. В астрономической трубе телескопический ход лучей достигается при условии, что расстояние между объективом и окуляром равно сумме их фокусных расстояний .

Зрительную трубу (телескоп) принято характеризовать угловым увеличением γ. В отличие от микроскопа, предметы, наблюдаемые в телескоп, всегда удалены от наблюдателя. Если удаленный предмет виден невооруженным глазом под углом ψ, а при наблюдении через телескоп под углом φ, то угловым увеличением называют отношение

Угловому увеличению γ, как и линейному увеличению Γ, можно приписать знаки плюс или минус в зависимости от того, является изображение прямым или перевернутым. Угловое увеличение астрономической трубы Кеплера отрицательно, а земной трубы Галилея положительно.

Угловое увеличение зрительных труб выражается через фокусные расстояния:

В качестве объектива в больших астрономических телескопах применяются не линзы, а сферические зеркала. Такие телескопы называются рефлекторами. Хорошее зеркало проще изготовить, кроме того, зеркала в отличие от линз не обладают хроматической аберрацией.

В России построен самый большой в мире телескоп с диаметром зеркала 6 м. Следует иметь в виду, что большие астрономические телескопы предназначены не только для того, чтобы увеличивать угловые расстояния между наблюдаемыми космическими объектами, но и для увеличения потока световой энергии от слабосветящихся объектов.

Разберем схему и принцип работы некоторых широко распространенных оптических приборов.

Фотоаппарат

Фотоаппарат - прибор, важнейшей частью которого является собирательная система линз - объектив. При обычном любительском фотографировании предмет расположен за двойным фокусным расстоянием, поэтому изображение будет между фокусом и двойным фокусным расстоянием, действительное, уменьшенное, перевернутое (рис. 16).

Рис 3. 4

На место этого изображения помещается фотопленка или фотопластинка (покрытые светочувствительной эмульсией, содержащей бромистое серебро), на некоторое время открывается объектив - пленка экспонируется. На ней появляется скрытое изображение. Попадая в специальной раствор - проявитель, «засвеченные» молекулы бромистого серебра распадаются, бром уносится в раствор, а серебро выделяется в виде темного налета на засвеченных частях пластинки или пленки; чем больше света попало при экспозиции на данное место пленки, тем темнее оно станет. После проявления и промывания необходимо изображение закрепить, для чего его помещают в раствор - закрепитель, в котором растворяется и уносится с негатива не засвеченное бромистое серебро. Получается изображение того, что было перед объективом, с перестановкой оттенков - светлые части стали темными и наоборот (негатив).

Для получения фотографии - позитива - необходимо через негатив осветить на некоторое время фотобумагу, покрытую таким же бромистым серебром. После ее проявления и закрепления получится негатив с негатива, т. е. позитив, в котором светлые и темные части будут соответствовать светлым и темным частям предмета.

Для получения качественного изображения большое значение имеет наводка на резкость - совмещение изображения и пленки или пластинки. Для этого у старых фотоаппаратов делалась подвижной задняя стенка, вместо светочувствительной пластинки вставлялась матовая стеклянная; двигая последнюю, на глаз устанавливали резкое изображение. Затем заменяли стеклянную пластинку светочувствительной и производили фотосъемку.

В современных фотоаппаратах для наводки на резкость используется выдвижной объектив, связанный с дальномером. При этом неизменными остаются все величины, входящие в формулу линзы, изменяются расстояние между объективом и пленкой до совпадения с f. Для увеличения глубины резкости - расстояний вдоль главной оптической оси, на которых предметы изображаются резко, - диафрагмируют объектив, т. е. уменьшают его отверстие. Но это уменьшают количество света, попадающее в аппарат, и увеличивает время необходимой экспозиции.

Освещенность изображения, для которого источником света является объектив, прямо пропорциональна площади его отверстия, которая, в свою очередь, пропорциональна квадрату диаметра d2. Освещенность также обратно пропорционально квадрату расстояния от источника до изображения, в нашем случае почти квадрату фокусного расстояния F. Итак, освещенность пропорционально дроби , которую называют светосилой объектива. Корень квадратный из светосилы называют относительным отверстием и обычно указывают на объективе в виде надписи: . Современные фотоаппараты снабжаются целым рядом приспособлений, облегчающих труд фотографа и расширяющих его возможности (автозапуск, набор объективов с разными фокусными расстояниям, экспонометры, в том числе автоматические, автоматическая или полуавтоматическая наводка на резкость и т.д.). Широко распространена цветная фотография. В процессе освоения - фотография объемная.

Глаз

Человеческий глаз с оптической точки зрения представляет собой такой же фотоаппарат. Такое же (действительное, уменьшенное, перевернутое) изображение создается на задней стенке глаза - на светочувствительном желтом пятне, в котором сосредоточены особые окончание зрительных нервов - колбочки и палочки. Их раздражение светом передается нервам в мозг и вызывает ощущение видения. У глаза есть объектив - хрусталик, диафрагма - зрачок, даже крышка объектива веко. Во многих отношениях глаз совершеннее современных фотоаппаратов. Он автоматически наводится на резкость - измерением кривизны хрусталика под действием глазных мускулов, т. е. изменением фокусного расстояния. Автоматически диафрагмируются - сужением зрачка при переходе из темного помещения в светлое. Глаз дает цветное изображение, «запоминает» зрительные образы. Вообще, биологи и медики пришли к выводу, что глаз - вынесенная на периферию часть мозга.

Зрение двумя глазами позволяет видеть предмет с разных сторон, т. е. осуществлять объемное зрение. Экспериментально доказано, сто при видении одним глазом картина с 10 м кажется плоской (при базе - расстояние между крайними точками зрачка, - равной диаметру зрачка). Глядя двумя глазами, мы видим плоской картину с 500 м (база - расстояние между оптическими центрами хрусталиков), т. е. можем на глаз определить размеры предметов, какой и на сколько ближе или дальше.

Для увеличения этой способности надо увеличить базу, это осуществляется в призматическом бинокле и в разного рода дальномерах (рис. 3.5).

Но, как все на свете, даже такое совершенное создание природы, как глаз, не лишено недостатков. Во-первых, глаз реагирует только на видимый свет (и при этом с помощью зрения мы воспринимаем до 90% всей информации). Во-вторых, глаз подвержен многим заболеваниям, самым распространенным из которых является близорукость - лучи сводятся ближе сетчатки (рис. 3.6) и дальнозоркость - резкое изображение за сетчаткой (рис. 3.7).

На рис. 22 представлены простейшие профили стеклянных линз: плоско-выпуклая, двояковыпуклая (рис. 22,б ), плоско-вогнутая (рис. 22,в ) и двояковогнутая (рис. 22,г ). Первые две из них в воздухе являются собирающими линзами, а вторые две – рассеивающими . Эти названия связаны с тем, что в собирающей линзе луч, преломляясь, отклоняется в сторону оптической оси, а в рассеивающей наоборот.

Лучи, идущие параллельно главной оптической оси, отклоняются за собирающей линзой (рис. 23,а ) так, что собираются в точке, называемой фокусом . В рассеивающей линзе лучи, идущие параллельно главной оптической оси, отклоняются так, что в фокусе, находящемся со стороны падающих лучей, собираются их продолжения (рис. 23,б ). Расстояние до фокусов с одной и другой стороны тонкой линзы одинаково и не зависит от профиля правой и левой поверхностей линзы.

Рис. 22. Плоско-выпуклая (а ), двояковыпуклая (б ), плоско-вогнутая (в ) и двояковогнутая (г ) линзы.

Рис. 23. Ход лучей, идущих параллельно главной оптической оси, в собирающей (а) и рассеивающей (б) линзах.

Луч, идущий через центр линзы (рис. 24,а – собирающая линза, рис. 24,б – рассеивающая линза), не преломляется.

Рис. 24. Ход лучей, идущих через оптический центр О , в собирающей (а) и рассеивающей (б) линзах.

Лучи, идущие параллельно друг другу, но не параллельно главной оптической оси, пересекаются в точке (побочном фокусе) на фокальной плоскости , которая проходит через фокус линзы перпендикулярно главной оптической оси (рис. 25,а – собирающая линза, рис. 25,б – рассеивающая линза).

Рис. 25. Ход параллельных пучков лучей в собирающей (а) и рассеивающей (б) линзах.

.

При построении (рис. 26) изображения какой-либо точки (например, кончика стрелки) с помощью собирающей линзы, из этой точки выпускают два луча: параллельно главной оптической оси и через центр O линзы.

Рис. 26. Построение изображений в собирающей линзе

В зависимости от расстояния от стрелки до линзы можно получить четыре типа изображения, характеристики которых описаны в таблице 2. При построении изображения отрезка, перпендикулярного главной оптической оси, его изображение оказывается также отрезком, перпендикулярным главной оптической оси.

В случае рассеивающей линзы изображение предмета может получиться только одного типа – мнимое, уменьшенное, прямое . В этом легко убедиться, проведя аналогичные построения конца стрелки с помощью двух лучей (рис. 27).

Таблица 2

Расстояние от предмета до линзы	Характеристика изображения
0 <<	Мнимое, увеличенное, прямое
<< 2