1) Лампа висит на высоте Н над полом. Человек, стоящий прямо под лампой, стал идти со скоростью . С какой скоростью увеличивается длина его тени, если рост человека равен h?

Решение:

Длина тени зависит от времени

где u - скорость увеличения тени.

Прямоугольные треугольники с катетами подобны.

Из подобия треугольников следует:

Ответ:

2) Два параллельных зеркала движутся навстречу друг другу со скоростями u и . В момент, когда свет попал на нижнее зеркало, расстояние между ними было равно L . Какова длина пути пройденного светом к моменту столкновения зеркал, если скорость света равна с ?

Решение:

Относительная скорость зеркал

Тогда время сближения

За это же время свет пройдет расстояние

Ответ:

3) На оси ох в точке х 1 = 0 находится оптический центр тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием F 1 = 30 см, а в точке х 2 = 15 см - тонкой рассеивающей линзы. Главные оптические оси обеих линз лежат на оси ох . На собирающую линзу по оси ох падает параллельный пучок света из области х < 0 . Пройдя оптическую систему, пучок остается параллельным. Найдите фокусное расстояние F 2 рассеивающей линзы.

Решение:

На рисунке изображен ход лучей через систему линз.

Формула тонкой рассеивающей линзы с учетом правила знаков:

Следовательно

Искомое фокусное расстояние F 2 :

Ответ:

4) На дно водоема глубиной 3 м вертикально вбита свая, скрытая под водой. Высота сваи 2 м. Свая отбрасывает на дне водоема тень длиной 0,75 м. Определите угол падения солнечных лучей на поверхность воды. Показатель преломления воды n= 4/3 .

Решение:

Согласно рисунку высота сваи h связана с длиной тени L и углом ?? между сваей и скользящим по ее вершине лучом света соотношением:

Угол ?? является и углом преломления солнечных лучей на поверхности воды.

Согласно закону преломления

Следовательно,

Ответ:

5) Пучок параллельных световых лучей падает нормально на тонкую собирающую линзу диаметром 6 см и оптической силой 5 дптр. Экран освещен неравномерно. Выделяется более освещенная часть экрана (в форме кольца). Рассчитайте внутренний диаметр светлого кольца, создаваемого на экране. Экран находится на расстоянии 50 см от линзы.

Решение:

Лучи, падающие на линзу, соберутся в ее заднем главном фокусе, а затем разойдутся из него конусом и попадут на экран, образуя на нем светлый круг радиусом R . Из подобия треугольников следует, что

где - фокусное расстояние линзы.

Темы кодификатора ЕГЭ: линзы, оптическая сила линзы

Взгляните ещё раз на рисунки линз из предыдущего листка: эти линзы обладают заметной толщиной и существенной кривизной своих сферических границ. Мы намеренно рисовали такие линзы — чтобы основные закономерности хода световых лучей проявились как можно более чётко.

Понятие тонкой линзы.

Теперь, когда эти закономерности достаточно ясны, мы рассмотрим очень полезную идеализацию, которая называется тонкой линзой .
В качестве примера на рис. 1 приведена двояковыпуклая линза; точки и являются центрами её сферических поверхностей, и - радиусы кривизны этих поверхностей. — главная оптическая ось линзы.

Так вот, линза считается тонкой, если её толщина очень мала. Нужно, правда, уточнить: мала по сравнению с чем?

Во-первых, предполагается, что и . Тогда поверхности линзы хоть и будут выпуклыми, но могут восприниматься как «почти плоские». Этот факт нам очень скоро пригодится.
Во-вторых, , где — характерное расстояние от линзы до интересующего нас предмета. Собственно, лишь в таком случае мы и
сможем корректно говорить о «расстоянии от предмета до линзы», не уточняя, до какой именно точки линзы берётся это самое расстояние.

Мы дали определение тонкой линзы, имея в виду двояковыпуклую линзу на рис. 1 . Это определение без каких-либо изменений переносится на все остальные виды линз. Итак: линза является тонкой , если толщина линзы много меньше радиусов кривизны её сферических границ и расстояния от линзы до предмета.

Условное обозначение тонкой собирающей линзы показано на рис. 2 .

Условное обозначение тонкой рассеивающей линзы показано на рис. 3 .

В каждом случае прямая — это главная оптическая ось линзы, а сами точки — её
фокусы. Оба фокуса тонкой линзы расположены симметрично относительно линзы.

Оптический центр и фокальная плоскость.

Точки и , обозначенные на рис. 1 , у тонкой линзы фактически сливаются в одну точку. Это точка на рис. 2 и 3 , называемая оптическим центром линзы. Оптический центр находится на Пересечении линзы с её главной оптической осью.

Расстояние от оптического центра до фокуса называется фокусным расстоянием линзы. Мы будем обозначать фокусное расстояние буквой . Величина , обратная фокусному расстоянию, есть оптическая сила — линзы:

Оптическая сила измеряется в диоптриях (дптр). Так, если фокусное расстояние линзы равно 25 см, то её оптическая сила:

Продолжаем вводить новые понятия. Всякая прямая, проходящая через оптический центр линзы и отличная от главной оптической оси, называется побочной оптической осью . На рис. 4 изображена побочная оптическая ось — прямая .

Плоскость , проходящая через фокус перпендикулярно главной оптической оси, называется фокальной плоскостью . Фокальная плоскость, таким образом, параллельна плоскости линзы. Имея два фокуса, линза соответственно имеет и две фокальных плоскости, расположенных симметрично относительно линзы.

Точка , в которой побочная оптическая ось пересекает фокальную плоскость, называется побочным фокусом. Собственно, каждая точка фокальной плоскости (кроме ) есть побочный фокус — мы ведь всегда сможем провести побочную оптическую ось, соединив данную точку с оптическим центром линзы. А сама точка — фокус линзы — в связи с этим называется ещё главным фокусом.

То, что на рис. 4 изображена собирающая линза, никакой роли не играет. Понятия побочной оптической оси, фокальной плоскости и побочного фокуса совершенно аналогично определяются и для рассеивающей линзы — с заменой на рис. 4 собирающей линзы на рассеивающую.

Теперь мы переходим к рассмотрению хода лучей в тонких линзах. Мы будем предполагать, что лучи являются параксиальными , то есть образуют достаточно малые углы с главной оптической осью. Если параксиальные лучи исходят из одной точки, то после прохождения линзы преломлённые лучи или их продолжения также пересекаются в одной точке. Поэтому изображения предметов, даваемые линзой, в параксиальных лучах получаются весьма чёткими.

Ход луча через оптический центр.

Как мы знаем из предыдущего раздела, луч, идущий вдоль главной оптической оси, не преломляется. В случае тонкой линзы оказывается, что луч, идущий вдоль побочной оптической оси, также не преломляется!

Объяснить это можно следующим образом. Вблизи оптического центра обе поверхности линзы неотличимы от параллельных плоскостей, и луч в данном случае идёт как будто через плоскопараллельную стеклянную пластинку (рис. 5 ).

Угол преломления луча равен углу падения преломлённого луча на вторую поверхность. Поэтому второй преломлённый луч выходит из плоскопараллельной пластинки параллельно падающему лучу . Плоскопараллельная пластинка лишь смещает луч, не изменяя его направления, и это смещение тем меньше, чем меньше толщина пластинки.

Но для тонкой линзы мы можем считать, что эта толщина равна нулю. Тогда точки фактически сольются в одну точку, и луч окажется просто продолжением луча . Вот поэтому и получается, что луч, идущий вдоль побочной оптической оси, не преломляется тонкой линзой (рис. 6 ).

Это единственное общее свойство собирающих и рассеивающих линз. В остальном ход лучей в них оказывается различным, и дальше нам придётся рассматривать собирающую и рассеивающую линзу по отдельности.

Ход лучей в собирающей линзе.

Как мы помним, собирающая линза называется так потому, что световой пучок, параллельный главной оптической оси, после прохождения линзы собирается в её главном фокусе (рис. 7 ).

Пользуясь обратимостью световых лучей, приходим к следующему выводу: если в главном фокусе собирающей линзы находится точечный источник света, то на выходе из линзы получится световой пучок, параллельный главной оптической оси (рис. 8 ).

Оказывается, что пучок параллельных лучей, падающих на собирающую линзу наклонно , тоже соберётся в фокусе — но в побочном. Этот побочный фокус отвечает тому лучу, который проходит через оптический центр линзы и не преломляется (рис. 9 ).

Теперь мы можем сформулировать правила хода лучей в собирающей линзе . Эти правила вытекают из рисунков 6-9 ,

1. Луч, идущий через оптический центр линзы, не преломляется.
2. Луч, идущий параллельно главной оптической оси линзы, после преломления пойдёт через главный фокус (рис. 10 ).

3. Если луч падает на линзу наклонно, то для построения его дальнейшего хода мы проводим побочную оптическую ось, параллельную этому лучу, и находим соответствующий побочный фокус. Вот через этот побочный фокус и пойдёт преломлённый луч (рис. 11 ).

В частности, если падающий луч проходит через фокус линзы, то после преломления он пойдёт параллельно главной оптической оси.

Ход лучей в рассеивающей линзе.

Переходим к рассеивающей линзе. Она преобразует пучок света, параллельный главной оптической оси, в расходящийся пучок, как бы выходящий из главного фокуса (рис. 12 )

Наблюдая этот расходящийся пучок, мы увидим светящуюся точку, расположенную в фокусе позади линзы.

Если параллельный пучок падает на линзу наклонно, то после преломления он также станет расходящимся. Продолжения лучей расходящегося пучка соберутся в побочном фокусе , отвечающем тому лучу, который проходит через через оптический центр линзы и не преломляется (рис. 13 ).

Задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах на факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова в 2005 г.

IV. ОПТИКА (окончание)

2 На некотором расстоянии от стеклянного шара находится точечный источник света, дающий узкий световой пучок, ось которого проходит через центр шара. При каких значениях показателя преломления стекла n изображение источника будет находиться вне шара независимо от расстояния, на котором находится источник?

Пусть источник находится на расстоянии a от поверхности шара. Ход одного из лучей, испущенных источником, изображён на рисунке в предположении, что этот луч пересекает заднюю часть поверхности шара на оптической оси. В этом случае с учётом малости углов падения и преломления имеем:

где h – расстояние от точки падения луча на поверхность шара до его оси, R – радиус шара. Объединяя эти равенства, находим показатель преломления n 0 , при котором изображение источника располагается на задней поверхности шара:

При n < n 0 точка пересечения преломлённых шаром лучей с оптической осью (изображение источника) выйдет за пределы шара. При a находим, что n 0 2. Таким образом, для источника, удалённого на большое расстояние, достигается наименьшее значение показателя преломления, удовлетворяющее условию задачи. Следовательно, изображение источника всегда будет находиться вне шара при n < 2.

3 Узкий световой пучок падает на тонкую собирающую линзу параллельно её главной оптической оси и образует светлое пятно на экране, параллельном плоскости линзы и расположенном за ней на расстоянии l . Когда линзу передвинули на расстояние в направлении, перпендикулярном её главной оптической оси, центр пятна сместился на величину . Найдите фокусное расстояние линзы f .

Решение

Ход одного из лучей, образующих пучок, изображён на рисунке для случая, когда l > f . Сплошные линии соответствуют исходному положению линзы, штриховые – смещённому. Из подобия Aff " и ABB " следует, что

Отсюда Аналогично рассматривается случай, когда l < f . Наконец, если перемещение линзы выходит из плоскости рисунка, то лучи, преломлённые линзой в исходном и смещённом её положениях, по-прежнему будут лежать в одной плоскости, в которой можно рассмотреть такие же подобные треугольники. Следовательно, связь между смещениями линзы и светового пятна на экране во всех случаях имеет один и тот же вид.

4 Собирающая и рассеивающая линзы имеют одинаковые по модулю фокусные расстояния f и расположены так, что задний фокус собирающей линзы совмещён с передним фокусом рассеивающей. На каком расстоянии а от собирающей линзы следует поместить точечный источник света, чтобы после рассеивающей линзы получить пучок параллельных лучей?

Решение

Пучок света после рассеивающей линзы будет параллельным, если продолжения падающих на неё лучей пересекаются в её заднем фокусе (см. рисунок). Для этого изображение источника, даваемое собирающей линзой, должно располагаться на расстоянии f позади рассеивающей линзы, т.е. на расстоянии 3f от собирающей линзы. Расстояние a , на котором надо поместить источник света перед собирающей линзой, можно найти по формуле тонкой линзы:

5 С помощью установки, схема которой показана на рисунке, наблюдают дифракцию параллельного пучка белого света на дифракционной решётке Д , расположенной перпендикулярно оси пучка. При этом на экране Э , установленном в фокальной плоскости тонкой собирающей линзы Л , видны две светлые полосы, вызванные наложением спектральных компонент с длинами волн 1 = 460 нм и 2 = 575 нм. Эти полосы расположены симметрично относительно главной оптической оси линзы на расстоянии l = 30 см друг от друга. Найдите минимальный период решётки d min , при котором наблюдается эта картина, если фокусное расстояние линзы f = 20 см.

Опыт 388. Установка для демонстрации - как в опыте 385.

Пучок света направляется на ту часть стеклянной пластины, где плоские грани образуют двугранный угол 45° (рис. 232). После двойного преломления пучок света выходит отклоненным в сторону утолщения пластины.

Опыт 389. Повторяется опыт 388, но на этот раз лучок света направляется на ту часть стеклянной пластины, где плоские грани образуют угол 60° (рис. 233). Преломленный пучок света отклоняется от первоначального направления в сторону утолщения пластины.

Опыт 390. На экране прибора для изучения законов оптики укрепляют стеклянную пластину в форме двоякбвыпуклой линзы (рис. 234).

От осветителя на линзу направляют вдоль главной оптической оси центральный пучок света. Пучок света проходит через линзу, не изменяя своего направления.

Второй пучок света от осветителя направляют параллельно первому. Проходя через линзу, он отклоняется в сторону утолщения линзы. Третий пучок света от осветителя направляют параллельно первым двум, но ниже первого, центрального пучка. Пройдя через линзу, этот пучок света также отклоняется в сторону утолщения линзы. Преломленные линзой пучки света пересекаются в одной точке.

Выпуклая линза преобразует параллельный пучок света в сходящийся, собирает его в одну точку. Выпуклую линзу называют поэтому собирающей линзой.

Точку, в которой пересекаются преломленные собирающей линзой световые пучки, называют фокусом линзы.

Опыт 391. Установка для демонстрации - как в опыте 390, но линзу предыдущего опыта заменяют другой.

Повторяется опыт 390. Внимание учащихся обращается на то, что на этот раз точка пересечения световых пучков лежит на другом расстоянии от линзы.

Фокусные расстояния зависят от кривизны поверхности линзы.

Опыт 392. Повторяется опыт 391. Место пересечения световых пучков отмечается на экране.

Осветитель поворачивают так, чтобы световые пучки попадали на линзу с противоположной стороны. Место пересечения световых пучков, прошедших через линзу, отмечается на экране.

У каждой собирающей линзы имеются два фокуса, расположенные по обеим сторонам линзы.

Опыт 393. Установка для демонстрации - как в предыдущем опыте.

Центральный пучок света от осветителя направляется вдоль главной оптической оси линзы. Дополнительные световые пучки направляют так, чтобы они, прежде чем попасть на линзу, прошли через отмеченный в опыте 392 фокус (рис. 235).

Пучки света, прошедшие через фокус линзы, после преломления становятся параллельными.

Опыт 394. На экране прибора для изучения законов оптики укреплена собирающая линза. От осветителя направляют пучки света через оптический центр линзы (рис. 236).

Пучки света не меняют направления, проходя через оптический центр линзы.

Опыт 395. На экране прибора для изучения законов оптики закрепляют двояковогнутую линзу. От осветителя на линзу направляют вдоль главной оптической оси центральный пучок света.

Пучок света проходит через линзу, не изменяя своего направления. Второй пучок света направляют параллельно первому. Проходя через линзу, он отклоняется в сторону утолщения линзы. Третий пучок света направляют параллельно первым двум, но ниже главной оптической оси. Пройдя через линзу, пучок света отклоняется в сторону утолщения линзы (рис. 237).

Линзы, у которых края толще середины, называют вогнутыми.

Вогнутая линза, преломляя пучки света, рассеивает их.

Опыт 396. Установка для демонстрации - как в опыте 395. Боковые пучки света от осветителя направляют на мнимый фокус рассеивающей линзы (лежащий за линзой).

Пучок света, падающий на рассеивающую линзу по направлению к ее фокусу, преломившись, идет параллельно главной оптической оси.