Εύρεση της γωνίας μεταξύ των γραμμών. Η γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών: ορισμός, παραδείγματα εύρεσης

Θα είναι χρήσιμο για κάθε μαθητή που προετοιμάζεται για την εξέταση στα μαθηματικά να επαναλάβει το θέμα «Βρίσκοντας τη γωνία μεταξύ των γραμμών». Όπως δείχνουν τα στατιστικά στοιχεία, όταν περνάτε ένα τεστ πιστοποίησης, οι εργασίες σε αυτό το τμήμα της στερεομετρίας προκαλούν δυσκολίες για ένας μεγάλος αριθμόςΦοιτητές. Ταυτόχρονα, εργασίες που απαιτούν εύρεση της γωνίας μεταξύ ευθειών γραμμών βρίσκονται στη ΧΡΗΣΗ τόσο στο βασικό επίπεδο όσο και στο επίπεδο προφίλ. Αυτό σημαίνει ότι όλοι πρέπει να μπορούν να τα λύσουν.

Βασικές στιγμές

Υπάρχουν 4 τύποι στο διάστημα σχετική θέσηαπευθείας. Μπορούν να συμπίπτουν, να τέμνονται, να είναι παράλληλες ή τέμνουσες. Η γωνία μεταξύ τους μπορεί να είναι οξεία ή ευθεία.

Για να βρείτε τη γωνία μεταξύ των γραμμών στην Ενιαία Κρατική Εξέταση ή, για παράδειγμα, στη λύση, οι μαθητές στη Μόσχα και σε άλλες πόλεις μπορούν να χρησιμοποιήσουν διάφορες μεθόδους για την επίλυση προβλημάτων σε αυτό το τμήμα της στερεομετρίας. Μπορείτε να ολοκληρώσετε την εργασία με κλασικές κατασκευές. Για να γίνει αυτό, αξίζει να μάθετε τα βασικά αξιώματα και θεωρήματα της στερεομετρίας. Ο μαθητής πρέπει να είναι σε θέση να δημιουργήσει λογικά συλλογισμό και να δημιουργήσει σχέδια για να φέρει την εργασία σε ένα επιπεδομετρικό πρόβλημα.

Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο διανύσματος-συντεταγμένων, χρησιμοποιώντας απλούς τύπους, κανόνες και αλγόριθμους. Το κύριο πράγμα σε αυτή την περίπτωση είναι να εκτελέσετε σωστά όλους τους υπολογισμούς. Ακονίστε τις δεξιότητές σας στην επίλυση προβλημάτων στη στερεομετρία και σε άλλα θέματα σχολικό μάθηματο εκπαιδευτικό έργο "Shkolkovo" θα σας βοηθήσει.

αλλά. Ας δοθούν δύο γραμμές: Αυτές οι γραμμές, όπως αναφέρθηκε στο Κεφάλαιο 1, σχηματίζουν διάφορες θετικές και αρνητικές γωνίες, οι οποίες, στην περίπτωση αυτή, μπορεί να είναι και οξείες και αμβλείες. Γνωρίζοντας μία από αυτές τις γωνίες, μπορούμε εύκολα να βρούμε οποιαδήποτε άλλη.

Παρεμπιπτόντως, για όλες αυτές τις γωνίες, η αριθμητική τιμή της εφαπτομένης είναι η ίδια, η διαφορά μπορεί να είναι μόνο στο πρόσημο

Εξισώσεις γραμμών. Οι αριθμοί είναι οι προβολές των κατευθυντικών διανυσμάτων της πρώτης και της δεύτερης ευθείας.Η γωνία μεταξύ αυτών των διανυσμάτων είναι ίση με μία από τις γωνίες που σχηματίζονται από ευθείες γραμμές. Επομένως, το πρόβλημα περιορίζεται στον προσδιορισμό της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων, παίρνουμε

Για απλότητα, μπορούμε να συμφωνήσουμε σε μια γωνία μεταξύ δύο ευθειών για να κατανοήσουμε μια οξεία θετική γωνία (όπως, για παράδειγμα, στο Σχ. 53).

Τότε η εφαπτομένη αυτής της γωνίας θα είναι πάντα θετική. Έτσι, εάν ληφθεί ένα σύμβολο μείον στη δεξιά πλευρά του τύπου (1), τότε πρέπει να το απορρίψουμε, δηλαδή να διατηρήσουμε μόνο την απόλυτη τιμή.

Παράδειγμα. Προσδιορίστε τη γωνία μεταξύ των γραμμών

Με τον τύπο (1) έχουμε

από. Αν υποδεικνύεται ποια από τις πλευρές της γωνίας είναι η αρχή και ποια το τέλος της, τότε, μετρώντας πάντα την φορά της γωνίας αριστερόστροφα, μπορούμε να εξαγάγουμε κάτι περισσότερο από τους τύπους (1). Όπως φαίνεται εύκολα από το Σχ. 53 το πρόσημο που λαμβάνεται στη δεξιά πλευρά του τύπου (1) θα υποδεικνύει ποια - οξεία ή αμβλεία - η γωνία σχηματίζει τη δεύτερη γραμμή με την πρώτη.

(Πράγματι, από το Σχ. 53 βλέπουμε ότι η γωνία μεταξύ του πρώτου και του δεύτερου διανύσματος κατεύθυνσης είναι είτε ίση με την επιθυμητή γωνία μεταξύ των γραμμών είτε διαφέρει από αυτήν κατά ±180°.)

ρε. Αν οι ευθείες είναι παράλληλες τότε παράλληλα είναι και τα διανύσματα κατεύθυνσής τους Εφαρμόζοντας την συνθήκη παραλληλισμού δύο διανυσμάτων παίρνουμε!

Αυτή είναι απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για να είναι δύο ευθείες παράλληλες.

Παράδειγμα. Απευθείας

είναι παράλληλες γιατί

μι. Αν οι ευθείες είναι κάθετες, τότε κάθετα είναι και τα διανύσματά τους. Εφαρμόζοντας τη συνθήκη της καθετότητας δύο διανυσμάτων, προκύπτει η συνθήκη της καθετότητας δύο ευθειών, δηλαδή

Παράδειγμα. Απευθείας

κάθετη γιατί

Σε σχέση με τις συνθήκες παραλληλισμού και καθετότητας, θα λύσουμε τα ακόλουθα δύο προβλήματα.

φά. Σχεδιάστε μια ευθεία παράλληλη σε μια δεδομένη ευθεία μέσα από ένα σημείο

Η απόφαση λαμβάνεται έτσι. Εφόσον η επιθυμητή ευθεία είναι παράλληλη με τη δεδομένη, τότε για το κατευθυντικό της διάνυσμα μπορούμε να πάρουμε το ίδιο με αυτό της δεδομένης ευθείας, δηλαδή ένα διάνυσμα με προβολές Α και Β. Και τότε θα γραφεί η εξίσωση της επιθυμητής ευθείας. στη μορφή (§ 1)

Παράδειγμα. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από σημείο (1; 3) παράλληλο προς ευθεία

θα είναι το επόμενο!

σολ. Σχεδιάστε μια ευθεία σε ένα σημείο κάθετο στη δεδομένη ευθεία

Εδώ, δεν είναι πλέον κατάλληλο να παίρνουμε ένα διάνυσμα με προβολές Α και ως κατευθυντικό διάνυσμα, αλλά είναι απαραίτητο να έχουμε ένα διάνυσμα κάθετο σε αυτό. Οι προβολές αυτού του διανύσματος πρέπει επομένως να επιλέγονται σύμφωνα με την προϋπόθεση ότι και τα δύο διανύσματα είναι κάθετα, δηλ. σύμφωνα με τη συνθήκη

Αυτή η συνθήκη μπορεί να εκπληρωθεί με άπειρους τρόπους, αφού εδώ υπάρχει μια εξίσωση με δύο άγνωστους.Αλλά ο ευκολότερος τρόπος είναι να την πάρουμε.Τότε η εξίσωση της επιθυμητής ευθείας θα γραφτεί με τη μορφή

Παράδειγμα. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από σημείο (-7; 2) σε κάθετη ευθεία

θα είναι το εξής (σύμφωνα με τον δεύτερο τύπο)!

η. Στην περίπτωση που οι γραμμές δίνονται με εξισώσεις της μορφής

Ορισμός.Εάν δοθούν δύο ευθείες y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , τότε η οξεία γωνία μεταξύ αυτών των γραμμών θα οριστεί ως

Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν k 1 = k 2 . Δύο ευθείες είναι κάθετες αν k 1 = -1/ k 2 .

Θεώρημα.Οι ευθείες γραμμές Ax + Vy + C \u003d 0 και A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 είναι παράλληλες όταν οι συντελεστές A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB είναι ανάλογοι. Αν επίσης С 1 = λС, τότε οι γραμμές συμπίπτουν. Οι συντεταγμένες του σημείου τομής δύο ευθειών βρίσκονται ως λύση στο σύστημα εξισώσεων αυτών των ευθειών.

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο

Κάθετα σε αυτή τη γραμμή

Ορισμός.Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο M 1 (x 1, y 1) και είναι κάθετη στην ευθεία y \u003d kx + b αντιπροσωπεύεται από την εξίσωση:

Απόσταση από σημείο σε γραμμή

Θεώρημα.Εάν δοθεί ένα σημείο M(x 0, y 0), τότε η απόσταση από την ευθεία Ax + Vy + C \u003d 0 ορίζεται ως

.

Απόδειξη.Έστω το σημείο M 1 (x 1, y 1) η βάση της καθέτου που έπεσε από το σημείο M σε μια δεδομένη ευθεία. Τότε η απόσταση μεταξύ των σημείων M και M 1:

(1)

Οι συντεταγμένες x 1 και y 1 μπορούν να βρεθούν ως λύση στο σύστημα των εξισώσεων:

Η δεύτερη εξίσωση του συστήματος είναι η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο M 0 κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία. Αν μετατρέψουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος στη μορφή:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

τότε, λύνοντας, παίρνουμε:

Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις στην εξίσωση (1), βρίσκουμε:

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Παράδειγμα. Προσδιορίστε τη γωνία μεταξύ των ευθειών: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Παράδειγμα. Δείξτε ότι οι ευθείες 3x - 5y + 7 = 0 και 10x + 6y - 3 = 0 είναι κάθετες.

Λύση. Βρίσκουμε: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, επομένως, οι γραμμές είναι κάθετες.

Παράδειγμα. Δίνονται οι κορυφές του τριγώνου A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Βρείτε την εξίσωση για το ύψος που προκύπτει από την κορυφή Γ.

Λύση. Βρίσκουμε την εξίσωση της πλευράς ΑΒ: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Η επιθυμητή εξίσωση ύψους είναι: Ax + By + C = 0 ή y = kx + b. k = . Τότε y = . Επειδή το ύψος διέρχεται από το σημείο C, τότε οι συντεταγμένες του ικανοποιούν αυτήν την εξίσωση: από όπου b = 17. Σύνολο: .

Απάντηση: 3x + 2y - 34 = 0.

Εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο σε μια δεδομένη κατεύθυνση. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία. Γωνία μεταξύ δύο γραμμών. Συνθήκη παραλληλισμού και καθετότητας δύο ευθειών. Προσδιορισμός του σημείου τομής δύο ευθειών

1. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο ΕΝΑ(Χ 1 , y 1) σε μια δεδομένη κατεύθυνση, που καθορίζεται από την κλίση κ,

y - y 1 = κ(Χ - Χ 1). (1)

Αυτή η εξίσωση ορίζει ένα μολύβι γραμμών που διέρχονται από ένα σημείο ΕΝΑ(Χ 1 , y 1), που ονομάζεται κέντρο της δέσμης.

2. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία: ΕΝΑ(Χ 1 , y 1) και σι(Χ 2 , y 2) γράφεται ως εξής:

Η κλίση μιας ευθείας γραμμής που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία καθορίζεται από τον τύπο

3. Γωνία μεταξύ ευθειών γραμμών ΕΝΑΚαι σιείναι η γωνία κατά την οποία πρέπει να περιστραφεί η πρώτη ευθεία ΕΝΑγύρω από το σημείο τομής αυτών των γραμμών αριστερόστροφα μέχρι να συμπέσει με τη δεύτερη γραμμή σι. Αν δίδονται δύο ευθείες με εξισώσεις κλίσης

y = κ 1 Χ + σι 1 ,

y = κ 2 Χ + σι 2 , (4)

τότε η γωνία μεταξύ τους καθορίζεται από τον τύπο

Σημειώνεται ότι στον αριθμητή του κλάσματος, η κλίση της πρώτης ευθείας αφαιρείται από την κλίση της δεύτερης ευθείας.

Αν δίνονται οι εξισώσεις μιας ευθείας γενική εικόνα

ΕΝΑ 1 Χ + σι 1 y + ντο 1 = 0,

ΕΝΑ 2 Χ + σι 2 y + ντο 2 = 0, (6)

η γωνία μεταξύ τους καθορίζεται από τον τύπο

4. Προϋποθέσεις για παραλληλισμό δύο ευθειών:

α) Αν οι ευθείες δίνονται από τις εξισώσεις (4) με κλίση, τότε απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για τον παραλληλισμό τους είναι η ισότητα των κλίσεων τους:

κ 1 = κ 2 . (8)

β) Για την περίπτωση που οι ευθείες δίνονται με εξισώσεις στη γενική μορφή (6), απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για τον παραλληλισμό τους είναι οι συντελεστές στις αντίστοιχες τρέχουσες συντεταγμένες στις εξισώσεις τους να είναι ανάλογοι, δηλ.

5. Προϋποθέσεις για την καθετότητα δύο ευθειών:

α) Στην περίπτωση που οι ευθείες δίνονται από τις εξισώσεις (4) με κλίση, απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για την καθετότητά τους είναι οι κλίσεις τους να είναι αντίστροφες σε μέγεθος και αντίθετες σε πρόσημο, δηλ.

Αυτή η συνθήκη μπορεί επίσης να γραφτεί στη φόρμα

κ 1 κ 2 = -1. (11)

β) Αν οι εξισώσεις των ευθειών δίνονται σε γενική μορφή (6), τότε προϋπόθεση για την καθετότητά τους (απαραίτητη και επαρκής) είναι να πληρούται η ισότητα

ΕΝΑ 1 ΕΝΑ 2 + σι 1 σι 2 = 0. (12)

6. Οι συντεταγμένες του σημείου τομής δύο ευθειών βρίσκονται λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων (6). Οι ευθείες (6) τέμνονται αν και μόνο αν

1. Να γράψετε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σημείο Μ, εκ των οποίων η μία είναι παράλληλη και η άλλη κάθετη στη δεδομένη ευθεία l.

γωνίαμεταξύ ευθειών στον χώρο θα ονομάσουμε οποιαδήποτε από τις γειτονικές γωνίες που σχηματίζονται από δύο ευθείες γραμμές που χαράσσονται μέσα από ένα αυθαίρετο σημείο παράλληλο στα δεδομένα.

Ας δίνονται δύο ευθείες στο διάστημα:

Προφανώς, η γωνία φ μεταξύ των γραμμών μπορεί να ληφθεί ως η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσής τους και . Αφού , τότε σύμφωνα με τον τύπο για το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων παίρνουμε

Οι συνθήκες παραλληλισμού και καθετότητας δύο ευθειών είναι ισοδύναμες με τις συνθήκες παραλληλισμού και καθετότητας των διανυσμάτων κατεύθυνσής τους και:

Δύο ευθείες είναι παράλληλεςεάν και μόνο εάν οι αντίστοιχοι συντελεστές τους είναι ανάλογοι, δηλ. μεγάλο 1 παράλληλος μεγάλο 2 αν και μόνο αν είναι παράλληλη .

Δύο ευθείες κάθετοςαν και μόνο αν το άθροισμα των γινομένων των αντίστοιχων συντελεστών είναι ίσο με μηδέν: .

Στο στόχος μεταξύ γραμμής και επιπέδου

Αφήστε τη γραμμή ρε- όχι κάθετο στο επίπεδο θ.
ρε′− προβολή ευθείας γραμμής ρεστο επίπεδο θ?
Η μικρότερη από τις γωνίες μεταξύ ευθειών ρεΚαι ρε«θα καλέσουμε γωνία μεταξύ ευθείας και επιπέδου.
Ας το συμβολίσουμε ως φ=( ρε,θ)
Αν ρε⊥θ , τότε ( ρε,θ)=π/2

Oi→ι→κ→− ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων.
Επίπεδη εξίσωση:

θ: Τσεκούρι+Με+cz+ρε=0

Θεωρούμε ότι η ευθεία δίνεται από ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης: ρε[Μ 0,Π→]
Διάνυσμα n→(ΕΝΑ,σι,ντο)⊥θ
Στη συνέχεια, μένει να μάθουμε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων n→ και Π→, συμβολίστε το ως γ=( n→,Π→).

Αν η γωνία γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Αν η γωνία γ>π/2 , τότε η ζητούμενη γωνία φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Επειτα, γωνία μεταξύ ευθείας και επιπέδουμπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Απ 1+bp 2+cp 3∣ ∣ √ΕΝΑ 2+σι 2+ντο 2√Π 21+Π 22+Π 23

Ερώτηση 29. Η έννοια της τετραγωνικής μορφής. Το πρόσημο-ορισμότητα των τετραγωνικών μορφών.

Τετραγωνική μορφή j (x 1, x 2, ..., x n) n πραγματικές μεταβλητές x 1, x 2, ..., x nονομάζεται άθροισμα της μορφής
, (1)

όπου aij είναι κάποιοι αριθμοί που ονομάζονται συντελεστές. Χωρίς απώλεια γενικότητας, μπορούμε να το υποθέσουμε aij = ένα τζι.

Η τετραγωνική μορφή ονομάζεται έγκυρος,αν aij О GR. Πίνακας τετραγωνικής μορφήςονομάζεται ο πίνακας που αποτελείται από τους συντελεστές του. Η τετραγωνική μορφή (1) αντιστοιχεί σε έναν μοναδικό συμμετρικό πίνακα
δηλ. Α Τ = Α. Επομένως, η τετραγωνική μορφή (1) μπορεί να γραφτεί σε μορφή πίνακα j ( Χ) = x T Ah, όπου x Τ = (Χ 1 Χ 2 … x n). (2)

Και αντίστροφα, οποιοσδήποτε συμμετρικός πίνακας (2) αντιστοιχεί σε μια μοναδική τετραγωνική μορφή μέχρι τη σημείωση των μεταβλητών.

Η κατάταξη της τετραγωνικής μορφήςονομάζεται κατάταξη του πίνακα του. Η τετραγωνική μορφή ονομάζεται μη εκφυλισμένος,αν ο πίνακας του είναι μη μοναδικός ΑΛΛΑ. (θυμηθείτε ότι η μήτρα ΑΛΛΑονομάζεται μη εκφυλισμένος αν η ορίζουσα του είναι μη μηδενική). Διαφορετικά, η τετραγωνική μορφή είναι εκφυλισμένη.

θετική οριστική(ή αυστηρά θετικό) εάν

j ( Χ) > 0 , Για οποιονδηποτε Χ = (Χ 1 , Χ 2 , …, x n), εκτός Χ = (0, 0, …, 0).

Η μήτρα ΑΛΛΑθετική οριστική τετραγωνική μορφή j ( Χ) ονομάζεται και θετική οριστική. Επομένως, μια θετική οριστική τετραγωνική μορφή αντιστοιχεί σε μια μοναδική θετική οριστική μήτρα και αντίστροφα.

Ο τετραγωνικός τύπος (1) ονομάζεται αρνητική οριστική(ή αυστηρά αρνητικό) εάν

j ( Χ) < 0, для любого Χ = (Χ 1 , Χ 2 , …, x n), εκτός Χ = (0, 0, …, 0).

Ομοίως όπως παραπάνω, ένας αρνητικός-ορισμένος τετραγωνικός πίνακας ονομάζεται επίσης αρνητικός-ορισμένος.

Επομένως, μια θετικά (αρνητικά) οριστική τετραγωνική μορφή j ( Χ) φτάνει στην ελάχιστη (μέγιστη) τιμή j ( Χ*) = 0 για Χ* = (0, 0, …, 0).

Σημειώστε ότι οι περισσότεροι από τους τετραγωνικούς τύπους δεν είναι πρόσημα-οριστικές, δηλαδή δεν είναι ούτε θετικοί ούτε αρνητικοί. Τέτοιες τετραγωνικές μορφές εξαφανίζονται όχι μόνο στην αρχή του συστήματος συντεταγμένων, αλλά και σε άλλα σημεία.

Πότε n> 2, απαιτούνται ειδικά κριτήρια για τον έλεγχο της προσήμου-οριστικότητας μιας τετραγωνικής μορφής. Ας τα εξετάσουμε.

Μείζονες ανήλικοιΗ τετραγωνική μορφή λέγεται ανήλικα:

δηλαδή πρόκειται για ανηλίκους της τάξης 1, 2, …, nμήτρες ΑΛΛΑ, που βρίσκεται στην επάνω αριστερή γωνία, το τελευταίο συμπίπτει με την ορίζουσα του πίνακα ΑΛΛΑ.

Κριτήριο θετικής βεβαιότητας (κριτήριο Sylvester)

Χ) = x T Ahείναι θετική οριστική, είναι απαραίτητο και επαρκές ότι όλα τα κύρια δευτερεύοντα του πίνακα ΑΛΛΑήταν θετικά, δηλαδή: Μ 1 > 0, Μ 2 > 0, …, M n > 0. Κριτήριο αρνητικής βεβαιότητας Για τον τετραγωνικό τύπο j ( Χ) = x T Ahείναι αρνητική οριστική, είναι απαραίτητο και επαρκές οι κύριες ελάσσονες άρτιες τάξεις να είναι θετικές και αυτές της περιττής τάξης αρνητικές, δηλ.: Μ 1 < 0, Μ 2 > 0, Μ 3 < 0, …, (–1)n