Cele mai simple probleme cu o linie dreaptă pe un plan. Aranjamentul reciproc al liniilor. Unghiul dintre linii

dar. Să fie date două drepte Aceste drepte, așa cum sa indicat în capitolul 1, formează diverse unghiuri pozitive și negative, care, în acest caz, pot fi atât acute, cât și obtuze. Cunoscând unul dintre aceste unghiuri, putem găsi cu ușurință oricare altul.

Apropo, pentru toate aceste unghiuri, valoarea numerică a tangentei este aceeași, diferența poate fi doar în semn

Ecuații de linii. Numerele sunt proiecțiile vectorilor de direcție ai primei și a doua linii.Unghiul dintre acești vectori este egal cu unul dintre unghiurile formate din drepte. Prin urmare, problema se reduce la determinarea unghiului dintre vectori, obținem

Pentru simplitate, putem conveni asupra unui unghi între două drepte pentru a înțelege un unghi pozitiv acut (ca, de exemplu, în Fig. 53).

Atunci tangenta acestui unghi va fi întotdeauna pozitivă. Astfel, dacă se obține un semn minus în partea dreaptă a formulei (1), atunci trebuie să-l renunțăm, adică să păstrăm doar valoarea absolută.

Exemplu. Determinați unghiul dintre linii

Prin formula (1) avem

din. Dacă se indică care dintre laturile unghiului este începutul și care este sfârșitul lui, atunci, numărând întotdeauna direcția unghiului în sens invers acelor de ceasornic, putem extrage ceva mai mult din formulele (1). După cum se vede ușor din fig. 53 semnul obținut în partea dreaptă a formulei (1) va indica care dintre ele - acut sau obtuz - formează a doua linie cu prima.

(Într-adevăr, din Fig. 53 vedem că unghiul dintre primul și al doilea vector de direcție este fie egal cu unghiul dorit dintre linii, fie diferă de acesta cu ±180°.)

d. Dacă dreptele sunt paralele, atunci vectorii lor de direcție sunt și paraleli.Aplicând condiția de paralelism a doi vectori, obținem!

Aceasta este o condiție necesară și suficientă pentru ca două linii să fie paralele.

Exemplu. Direct

sunt paralele deoarece

e. Dacă liniile sunt perpendiculare, atunci vectorii lor de direcție sunt de asemenea perpendiculari. Aplicând condiția de perpendicularitate a doi vectori, obținem condiția de perpendicularitate a două drepte și anume

Exemplu. Direct

perpendicular deoarece

În legătură cu condițiile de paralelism și perpendicularitate, vom rezolva următoarele două probleme.

f. Desenați o dreaptă paralelă cu o dreaptă dată printr-un punct

Decizia se ia asa. Deoarece linia dorită este paralelă cu cea dată, atunci pentru vectorul ei de direcție îl putem lua pe același ca și al dreptei date, adică un vector cu proiecțiile A și B. Și atunci se va scrie ecuația dreptei dorite. sub forma (§ 1)

Exemplu. Ecuația unei drepte care trece printr-un punct (1; 3) paralel cu o dreaptă

va fi urmatorul!

g. Desenați o dreaptă printr-un punct perpendicular pe dreapta dată

Aici, nu mai este potrivit să luăm un vector cu proiecțiile A și ca vector de direcție, dar este necesar să câștigăm un vector perpendicular pe acesta. Prin urmare, proiecțiile acestui vector trebuie alese în funcție de condiția ca ambii vectori să fie perpendiculari, adică în funcție de condiția

Această condiție poate fi îndeplinită într-un număr infinit de moduri, deoarece aici există o ecuație cu două necunoscute.Dar cel mai simplu mod este să o luați.Atunci ecuația dreptei dorite se va scrie sub forma

Exemplu. Ecuația unei drepte care trece printr-un punct (-7; 2) într-o dreaptă perpendiculară

va fi urmatoarea (conform celei de-a doua formule)!

h. În cazul în care liniile sunt date prin ecuații de forma

Definiție. Dacă sunt date două drepte y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , atunci unghiul ascuțit dintre aceste drepte va fi definit ca

Două drepte sunt paralele dacă k 1 = k 2 . Două drepte sunt perpendiculare dacă k 1 = -1/ k 2 .

Teorema. Liniile drepte Ax + Vy + C \u003d 0 și A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sunt paralele atunci când coeficienții A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB sunt proporționali. Dacă și С 1 = λС, atunci liniile coincid. Coordonatele punctului de intersecție a două drepte se găsesc ca soluție a sistemului de ecuații ale acestor drepte.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat

Perpendicular pe această linie

Definiție. Linia care trece prin punctul M 1 (x 1, y 1) și perpendiculară pe dreapta y \u003d kx + b este reprezentată de ecuația:

Distanța de la punct la linie

Teorema. Dacă este dat un punct M(x 0, y 0), atunci distanța până la linia Ax + Vy + C \u003d 0 este definită ca

.

Dovada. Fie punctul M 1 (x 1, y 1) să fie baza perpendicularei căzute de la punctul M la dreapta dată. Atunci distanța dintre punctele M și M 1:

(1)

Coordonatele x 1 și y 1 pot fi găsite ca soluție a sistemului de ecuații:

A doua ecuație a sistemului este ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat M 0 perpendicular pe o dreaptă dată. Dacă transformăm prima ecuație a sistemului în forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

apoi, rezolvand, obtinem:

Înlocuind aceste expresii în ecuația (1), găsim:

Teorema a fost demonstrată.

Exemplu. Să se determine unghiul dintre drepte: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Exemplu. Arătați că dreptele 3x - 5y + 7 = 0 și 10x + 6y - 3 = 0 sunt perpendiculare.

Soluţie. Găsim: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, prin urmare, liniile sunt perpendiculare.

Exemplu. Sunt date vârfurile triunghiului A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Găsiți ecuația pentru înălțimea desenată din vârful C.

Soluţie. Găsim ecuația laturii AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Ecuația de înălțime dorită este: Ax + By + C = 0 sau y = kx + b. k = . Atunci y = . pentru că înălțimea trece prin punctul C, apoi coordonatele sale satisfac această ecuație: de unde b = 17. Total: .

Răspuns: 3x + 2y - 34 = 0.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat într-o direcție dată. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date. Unghiul dintre două linii. Condiție de paralelism și perpendicularitate a două drepte. Determinarea punctului de intersecție a două drepte

1. Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat A(X 1 , y 1) într-o direcție dată, determinată de pantă k,

y - y 1 = k(X - X 1). (1)

Această ecuație definește un creion de linii care trec printr-un punct A(X 1 , y 1), care se numește centrul fasciculului.

2. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte: A(X 1 , y 1) și B(X 2 , y 2) se scrie astfel:

Panta unei drepte care trece prin două puncte date este determinată de formula

3. Unghiul dintre liniile drepte AȘi B este unghiul cu care trebuie rotită prima linie dreaptă Aîn jurul punctului de intersecție al acestor linii în sens invers acelor de ceasornic până când acesta coincide cu a doua linie B. Dacă două drepte sunt date prin ecuații de pante

y = k 1 X + B 1 ,

y = k 2 X + B 2 , (4)

atunci unghiul dintre ele este determinat de formula

Trebuie remarcat faptul că la numărătorul fracției, panta primei drepte este scăzută din panta celei de-a doua drepte.

Dacă ecuațiile unei linii drepte sunt date în vedere generala

A 1 X + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 X + B 2 y + C 2 = 0, (6)

unghiul dintre ele este determinat de formula

4. Condiții pentru paralelismul a două linii:

a) Dacă dreptele sunt date de ecuațiile (4) cu o pantă, atunci condiția necesară și suficientă pentru paralelismul lor este egalitatea pantelor lor:

k 1 = k 2 . (8)

b) Pentru cazul în care dreptele sunt date prin ecuații în forma generală (6), condiția necesară și suficientă pentru paralelismul lor este ca coeficienții la coordonatele curente corespunzătoare din ecuațiile lor să fie proporționali, i.e.

5. Condiții pentru perpendicularitatea a două drepte:

a) În cazul în care dreptele sunt date de ecuațiile (4) cu o pantă, condiția necesară și suficientă pentru perpendicularitatea lor este ca pantele lor să fie reciproce ca mărime și opuse ca semn, i.e.

Această condiție poate fi scrisă și în formă

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Dacă ecuațiile dreptelor sunt date în forma generală (6), atunci condiția pentru perpendicularitatea lor (necesară și suficientă) este îndeplinirea egalității

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Coordonatele punctului de intersecție a două drepte se găsesc prin rezolvarea sistemului de ecuații (6). Liniile (6) se intersectează dacă și numai dacă

1. Scrieți ecuațiile dreptelor care trec prin punctul M, dintre care una este paralelă, iar cealaltă perpendiculară pe dreapta dată l.

colţîntre drepte în spațiu vom numi oricare dintre unghiurile adiacente formate din două drepte trasate printr-un punct arbitrar paralel cu datele.

Să fie date două drepte în spațiu:

În mod evident, unghiul φ dintre linii poate fi luat ca unghi între vectorii lor de direcție și . Deoarece , atunci conform formulei pentru cosinusul unghiului dintre vectori obținem

Condițiile de paralelism și perpendicularitate a două drepte sunt echivalente cu condițiile de paralelism și perpendicularitate ale vectorilor lor de direcție și:

Două drepte sunt paralele dacă și numai dacă coeficienții lor respectivi sunt proporționali, i.e. l 1 paralelă l 2 dacă și numai dacă sunt paralele .

Două drepte perpendicular dacă şi numai dacă suma produselor coeficienţilor corespunzători este egală cu zero: .

La obiectiv între linie și plan

Lasă linia d- nu perpendicular pe planul θ;
d′− proiecția unei drepte d la planul θ;
Cel mai mic dintre unghiurile dintre liniile drepte dȘi d„vom suna unghiul dintre linie și plan.
Să o notăm ca φ=( d,θ)
Dacă d⊥θ , atunci ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→− sistem de coordonate dreptunghiular.
Ecuația plană:

θ: Topor+De+cz+D=0

Considerăm că linia este dată de un punct și un vector de direcție: d[M 0,p→]
Vector n→(A,B,C)⊥θ
Apoi rămâne de aflat unghiul dintre vectori n→ și p→, notează-l ca γ=( n→,p→).

Dacă unghiul γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Dacă unghiul γ>π/2 , atunci unghiul necesar φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Apoi, unghiul dintre linie și plan poate fi calculat folosind formula:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+bp 2+cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23

Întrebarea 29. Conceptul de formă pătratică. Definitivitatea semnului formelor pătratice.

Forma pătratică j (x 1, x 2, ..., x n) n variabile reale x 1, x 2, ..., x n se numește sumă a formei
, (1)

Unde aij sunt niște numere numite coeficienți. Fără a pierde generalitatea, putem presupune că aij = a ji.

Forma pătratică se numește valabil, dacă aij О GR. Matrice de formă pătratică se numește matrice alcătuită din coeficienții săi. Forma pătratică (1) corespunde unei matrice simetrice unice
adică A T = A. Prin urmare, forma pătratică (1) poate fi scrisă în forma matriceală j ( X) = x T Ah, Unde x T = (X 1 X 2 … x n). (2)

Și invers, orice matrice simetrică (2) corespunde unei forme pătratice unice până la notarea variabilelor.

Rangul formei pătratice se numește rangul matricei sale. Forma pătratică se numește nedegenerat, dacă matricea sa este nesingulară DAR. (amintim că matricea DAR se numeşte nedegenerat dacă determinantul său este diferit de zero). În caz contrar, forma pătratică este degenerată.

definit pozitiv(sau strict pozitiv) dacă

j ( X) > 0 , pentru oricine X = (X 1 , X 2 , …, x n), cu exceptia X = (0, 0, …, 0).

Matricea DAR forma patratică definită pozitivă j ( X) se mai numește și definit pozitiv. Prin urmare, o formă pătratică definită pozitivă corespunde unei matrice definite pozitive unice și invers.

Forma pătratică (1) se numește definitiv negativ(sau strict negativ) dacă

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), cu exceptia X = (0, 0, …, 0).

În mod similar ca mai sus, o matrice pătratică negativ-definită este, de asemenea, numită negativ-definită.

Prin urmare, o formă pătratică definită pozitiv (negativ) j ( X) atinge valoarea minimă (maximă) j ( X*) = 0 pentru X* = (0, 0, …, 0).

Rețineți că majoritatea formelor pătratice nu sunt definite de semn, adică nu sunt nici pozitive, nici negative. Astfel de forme pătratice dispar nu numai la originea sistemului de coordonate, ci și în alte puncte.

Când n> 2, sunt necesare criterii speciale pentru a verifica caracterul definit al semnului unei forme pătratice. Să le luăm în considerare.

Minori majori forma pătratică se numesc minore:

adică aceștia sunt minori de ordinul 1, 2, …, n matrici DAR, situat în colțul din stânga sus, ultimul dintre ele coincide cu determinantul matricei DAR.

Criteriul de certitudine pozitivă (criteriul Sylvester)

X) = x T Ah este pozitiv definit, este necesar și suficient ca toți minorii principali ai matricei DAR au fost pozitive, adică: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Criteriul certitudinii negative Pentru forma pătratică j ( X) = x T Ah este negativ definit, este necesar și suficient ca principalii săi minori de ordin par să fie pozitivi, iar cei de ordin impar să fie negativi, adică: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

Va fi util pentru fiecare student care se pregătește pentru examenul de matematică să repete subiectul „Găsirea unghiului dintre linii”. După cum arată statisticile, la trecerea unui test de certificare, sarcinile din această secțiune de stereometrie provoacă dificultăți pentru un numar mare elevi. În același timp, sarcinile care necesită găsirea unghiului dintre liniile drepte se găsesc în USE atât la nivel de bază, cât și la nivel de profil. Aceasta înseamnă că toată lumea ar trebui să le poată rezolva.

Momente de bază

Există 4 tipuri de aranjare reciprocă a liniilor în spațiu. Ele pot coincide, se intersectează, pot fi paralele sau se intersectează. Unghiul dintre ele poate fi acut sau drept.

Pentru a găsi unghiul dintre linii în examenul de stat unificat sau, de exemplu, în soluție, școlarii din Moscova și alte orașe pot folosi mai multe metode pentru rezolvarea problemelor din această secțiune a stereometriei. Puteți finaliza sarcina prin construcții clasice. Pentru a face acest lucru, merită să învățați axiomele și teoremele de bază ale stereometriei. Elevul trebuie să fie capabil să construiască logic raționament și să creeze desene pentru a aduce sarcina la o problemă planimetrică.

De asemenea, puteți utiliza metoda vector-coordonate, folosind formule, reguli și algoritmi simpli. Principalul lucru în acest caz este să efectuați corect toate calculele. Perfecționați-vă abilitățile de rezolvare a problemelor în stereometrie și alte subiecte curs şcolar proiectul educațional „Shkolkovo” vă va ajuta.