กำลังสามของจำนวนใด ๆ เรียกว่าอะไร? ปริญญาและคุณสมบัติของมัน คู่มือฉบับสมบูรณ์ (2019) การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เมื่อไรจำนวนนั้นก็คูณด้วยตัวมันเอง ถึงตัวฉันเอง, งานเรียกว่า ระดับ.

ดังนั้น 2.2 = 4, กำลังสองหรือกำลังสองของ 2
2.2.2 = 8 ลูกบาศก์หรือยกกำลังสาม
2.2.2.2 = 16 องศาที่ 4

นอกจากนี้ 10.10 = 100 ซึ่งเป็นกำลังสองของ 10
10.10.10 = 1,000 ระดับที่สาม
10.10.10.10 = 10,000 ยกกำลังสี่

และ aa = aa กำลังสองของ a
a.a.a = aaa กำลังสามของ a
a.a.a.a = aaaa กำลังสี่ของ a

เบอร์เดิมเรียกว่า รากเลขยกกำลังนี้เพราะเป็นเลขที่ใช้สร้างเลขยกกำลัง

อย่างไรก็ตาม การเขียนปัจจัยทั้งหมดที่ประกอบเป็นอำนาจนั้นไม่สะดวกนัก โดยเฉพาะในกรณีที่มีอำนาจสูง ดังนั้นจึงใช้วิธีจดชวเลข รากของดีกรีเขียนเพียงครั้งเดียวและทางด้านขวาและสูงขึ้นเล็กน้อยใกล้ ๆ แต่ด้วยแบบอักษรที่เล็กกว่าเล็กน้อยเขียนได้กี่ครั้ง รากทำหน้าที่เป็นปัจจัย. หมายเลขหรือตัวอักษรนี้เรียกว่า เลขชี้กำลังหรือ ระดับตัวเลข ดังนั้น 2 เท่ากับ a.a หรือ aa เพราะต้องคูณราก a ด้วยตัวเองสองครั้งจึงจะได้กำลัง aa นอกจากนี้ 3 ยังหมายถึง aaa นั่นคือ ตรงนี้ a ซ้ำกัน สามครั้งเป็นตัวคูณ

เลขชี้กำลังของดีกรีแรกคือ 1 แต่โดยปกติแล้วจะไม่เขียนลงไป ดังนั้น 1 เขียนเป็น a

คุณไม่ควรสับสนองศาด้วย ค่าสัมประสิทธิ์. ค่าสัมประสิทธิ์จะแสดงความถี่ในการรับค่าดังกล่าว ส่วนหนึ่งทั้งหมดนี้. กำลังแสดงว่ามีการใช้ปริมาณบ่อยเพียงใด ปัจจัยทำงาน.
ดังนั้น 4a = a + a + a + a แต่ 4 = a.a.a.a

รูปแบบสัญกรณ์ยกกำลังมีข้อได้เปรียบพิเศษที่ทำให้เราสามารถแสดงออกได้ ไม่ทราบระดับ. เพื่อจุดประสงค์นี้ เลขชี้กำลังจะถูกเขียนแทนตัวเลข จดหมาย. ในกระบวนการแก้ปัญหาเราสามารถได้ปริมาณที่เรารู้คือ บางระดับของขนาดอื่น แต่จนถึงขณะนี้เรายังไม่ทราบว่าเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ลูกบาศก์ หรืออย่างอื่นที่มีระดับสูงกว่า ดังนั้น ในนิพจน์ a x เลขชี้กำลังหมายความว่านิพจน์นี้มี บางปริญญา แม้จะไม่ได้กำหนดไว้ก็ตาม ระดับไหน. ดังนั้น b m และ d n ยกกำลัง m และ n เมื่อพบเลขชี้กำลังแล้ว ตัวเลขจะถูกแทนที่ด้วยตัวอักษร ดังนั้น ถ้า m=3 แล้ว b m = b 3 ; แต่ถ้า m = 5 แล้ว b m =b 5

วิธีการเขียนค่าโดยใช้กำลังก็เป็นข้อได้เปรียบอย่างมากเมื่อใช้ การแสดงออก. ดังนั้น (a + b + d) 3 คือ (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d) นั่นคือ ลูกบาศก์ของตรีโกณมิติ (a + b + d) . แต่ถ้าเราเขียนพจน์นี้หลังจากยกให้เป็นลูกบาศก์แล้ว ก็จะได้หน้าตาแบบนี้
ก 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

หากเราใช้ชุดกำลังซึ่งมีเลขชี้กำลังเพิ่มขึ้นหรือลดลง 1 เราจะพบว่าผลคูณนั้นเพิ่มขึ้น ตัวคูณทั่วไปหรือลดลงโดย ตัวหารร่วมและตัวประกอบหรือตัวหารนี้คือจำนวนเดิมที่ถูกยกกำลัง

ดังนั้นในซีรีส์ aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
หรือ 5, 4, 3, 2, 1;
ตัวชี้หากนับจากขวาไปซ้ายคือ 1, 2, 3, 4, 5; และความแตกต่างระหว่างค่าของพวกเขาคือ 1 ถ้าเราเริ่มต้น ด้านขวา คูณโดย a เราจะได้ค่าหลายค่าสำเร็จ

ดังนั้น a.a = a 2 เทอมที่สอง และ 3 .a = 4
a 2 .a = a 3 เทอมที่สาม ก 4 .a = 5 .

ถ้าเราเริ่มต้น ซ้าย แบ่งถึง
เราได้รับ 5:a = a 4 และ 3:a = a 2
ก 4:a = ก 3 ก 2:ก = ก 1

แต่กระบวนการแบ่งนี้สามารถดำเนินต่อไปได้ต่อไป และเราได้รับชุดค่านิยมใหม่

ดังนั้น a:a = a/a = 1 (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa

แถวที่สมบูรณ์จะเป็น: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa

หรือ 5, 4, 3, 2, a, 1, 1/a, 1/a 2, 1/a 3

นี่คือค่าต่างๆ ด้านขวาจากอันหนึ่งที่มีอยู่ ย้อนกลับค่าทางด้านซ้ายของหนึ่ง ดังนั้นจึงสามารถเรียกองศาเหล่านี้ได้ พลังผกผันก. เรายังบอกได้ว่ากำลังทางซ้ายคือการผกผันของกำลังทางขวา

ดังนั้น 1:(1/a) = 1.(a/1) = a และ 1:(1/a 3) = 3

สามารถใช้แผนการบันทึกเดียวกันได้ พหุนาม. สำหรับ a + b เราได้เซต
(ก + ข) 3 , (ก + ข) 2 , (ก + ข) 1, 1/(ก + ข) 1/(ก + ข) 2 , 1/(ก + ข) 3 .

เพื่อความสะดวก จึงมีการใช้อำนาจในการเขียนอีกรูปแบบหนึ่ง

ตามรูปแบบนี้ 1/a หรือ 1/a 1 = a -1 และ 1/aaa หรือ 1/a 3 = a -3
1/aa หรือ 1/a 2 = a -2 1/aaa หรือ 1/a 4 = a -4

และเพื่อสร้างอนุกรมที่สมบูรณ์โดยให้ 1 เป็นผลต่างรวมกับเลขชี้กำลัง a/a หรือ 1 จะถือเป็นค่าที่ไม่มีดีกรีและเขียนเป็น 0

จากนั้นให้คำนึงถึงกำลังทางตรงและทางผกผันด้วย
แทนที่จะเป็น aaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
คุณสามารถเขียน 4, 3, 2, 1, 0, a -1, a -2, a -3, a -4
หรือ +4, +3, +2, +1, 0, -1, -2, -3, -4

และชุดของระดับเฉพาะบุคคลเท่านั้นจะมีลักษณะดังนี้:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

รากของปริญญาสามารถแสดงได้ด้วยตัวอักษรมากกว่าหนึ่งตัว

ดังนั้น aa.aa หรือ (aa) 2 จึงเป็นกำลังสองของ aa
และ aa.aa.aa หรือ (aa) 3 คือกำลังสามของ aa

กำลังทั้งหมดของหมายเลข 1 เหมือนกัน: 1.1 หรือ 1.1.1 จะเท่ากับ 1

การยกกำลังคือการค้นหาค่าของตัวเลขใดๆ โดยการคูณตัวเลขนั้นด้วยตัวมันเอง กฎสำหรับการยกกำลัง:

คูณปริมาณด้วยตัวเองหลาย ๆ ครั้งตามที่ระบุในการยกกำลังของตัวเลข

กฎนี้เป็นเรื่องปกติสำหรับตัวอย่างทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้นระหว่างกระบวนการยกกำลัง แต่เป็นการถูกต้องที่จะให้คำอธิบายว่าจะใช้กับบางกรณีอย่างไร

หากมีการยกกำลังเพียงพจน์เดียว ก็จะคูณด้วยตัวมันเองหลายๆ ครั้งตามที่ระบุโดยเลขชี้กำลัง

กำลังสี่ของ a คือ 4 หรือ aaaa (ข้อ 195)
ยกกำลังที่หกของ y คือ y 6 หรือ yyyyyy
กำลัง N ของ x คือ x n หรือ xxx..... n ครั้งซ้ำ

หากจำเป็นต้องยกนิพจน์หลายพจน์มายกกำลังให้ยึดหลักที่ว่า กำลังของผลคูณของปัจจัยหลายประการเท่ากับผลคูณของปัจจัยเหล่านี้ยกกำลัง

ดังนั้น (ใช่) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay
แต่ ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2
ดังนั้น (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 ม. 3 x 3

ดังนั้นในการค้นหาพลังของผลิตภัณฑ์เราสามารถดำเนินการกับผลิตภัณฑ์ทั้งหมดได้ในคราวเดียวหรือเราจะดำเนินการกับแต่ละปัจจัยแยกกันแล้วจึงคูณค่าของมันด้วยกำลัง

ตัวอย่างที่ 1 กำลังที่สี่ของ dhy คือ (dhy) 4 หรือ d 4 h 4 y 4

ตัวอย่างที่ 2 กำลังที่สามคือ 4b มี (4b) 3 หรือ 4 3 b 3 หรือ 64b 3

ตัวอย่างที่ 3 กำลัง N ของ 6ad คือ (6ad) n หรือ 6 n a n d n

ตัวอย่างที่ 4 ยกกำลังที่สามของ 3m.2y คือ (3m.2y) 3 หรือ 27m 3 .8y 3

ระดับของทวินามที่ประกอบด้วยพจน์ที่เชื่อมต่อด้วย + และ - คำนวณโดยการคูณพจน์ของมัน ใช่,

(a + b) 1 = a + b ระดับแรก
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, กำลังสอง (a + b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, กำลังสาม
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 กำลังสี่

กำลังสองของ a - b คือ a 2 - 2ab + b 2

กำลังสองของ a + b + h คือ 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

แบบฝึกหัดที่ 1. ค้นหาลูกบาศก์ a + 2d + 3

แบบฝึกหัดที่ 2. จงหากำลังที่สี่ของ b + 2

แบบฝึกหัดที่ 3. จงหากำลังที่ห้าของ x + 1

แบบฝึกหัดที่ 4 ค้นหายกกำลังที่หก 1 - b

ผลรวมกำลังสอง จำนวนเงินและ ความแตกต่างทวินามเกิดขึ้นบ่อยครั้งในพีชคณิตซึ่งจำเป็นต้องรู้จักพวกมันเป็นอย่างดี

ถ้าเราคูณ a + h ด้วยตัวมันเอง หรือ a - h ด้วยตัวมันเอง
เราได้รับ: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 เช่นกัน (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2

นี่แสดงให้เห็นว่าในแต่ละกรณี เทอมแรกและเทอมสุดท้ายคือกำลังสองของ a และ h และเทอมกลางเป็นสองเท่าของผลคูณของ a และ h จากตรงนี้ คุณสามารถหากำลังสองของผลรวมและผลต่างของทวินามได้โดยใช้กฎต่อไปนี้

กำลังสองของทวินาม ซึ่งทั้งสองพจน์เป็นบวก จะเท่ากับกำลังสองของเทอมแรก + สองเท่าผลคูณของทั้งสองเทอม + กำลังสองของเทอมสุดท้าย

สี่เหลี่ยม ความแตกต่างทวินามจะเท่ากับกำลังสองของเทอมแรก ลบ 2 เท่าของผลคูณของทั้งสองเทอม บวกกำลังสองของเทอมที่สอง

ตัวอย่างที่ 1 สแควร์ 2a + b มี 4a 2 + 4ab + b 2

ตัวอย่างที่ 2 สแควร์ ab + cd มี 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2

ตัวอย่างที่ 3 สแควร์ 3d - h มี 9d 2 + 6dh + h 2

ตัวอย่างที่ 4 กำลังสอง a - 1 คือ 2 - 2a + 1

สำหรับวิธีการหากำลังที่สูงกว่าของทวินาม โปรดดูหัวข้อต่อไปนี้

ในหลายกรณี การเขียนลงไปจะได้ผลดี องศาโดยไม่ต้องคูณ

ดังนั้น กำลังสองของ a + b คือ (a + b) 2
กำลัง N ของ bc + 8 + x คือ (bc + 8 + x) n

ในกรณีเช่นนี้ วงเล็บจะครอบคลุมถึง ทั้งหมดสมาชิกในระดับปริญญาตรี

แต่ถ้ารากของดีกรีประกอบด้วยหลายตัว ตัวคูณวงเล็บอาจครอบคลุมนิพจน์ทั้งหมด หรืออาจใช้แยกจากปัจจัยก็ได้ ขึ้นอยู่กับความสะดวก

ดังนั้น กำลังสอง (a + b)(c + d) จะเป็น [(a + b).(c + d)] 2 หรือ (a + b) 2 .(c + d) 2

สำหรับนิพจน์แรก ผลลัพธ์คือกำลังสองของผลคูณของตัวประกอบสองตัว และตัวที่สอง ผลลัพธ์คือผลคูณของกำลังสองของตัวประกอบทั้งสอง แต่พวกเขามีความเท่าเทียมกัน

ลูกบาศก์ a.(b + d) คือ 3 หรือ 3.(b + d) 3.

ต้องคำนึงถึงป้ายที่อยู่ด้านหน้าสมาชิกที่เกี่ยวข้องด้วย สิ่งสำคัญมากที่ต้องจำไว้ว่าเมื่อรากของระดับหนึ่งเป็นบวก พลังบวกทั้งหมดของระดับนั้นก็จะเป็นบวกเช่นกัน แต่เมื่อรากเป็นลบค่าด้วย แปลกกำลังเป็นลบในขณะที่ค่า สม่ำเสมอองศาเป็นบวก

ระดับที่สอง (-a) คือ +a 2
ระดับที่สาม (-a) คือ -a 3
กำลังที่สี่ (-a) คือ +a 4
กำลังที่ห้า (-a) คือ -a 5

ดังนั้นแต่อย่างใด แปลกปริญญามีเครื่องหมายเดียวกับตัวเลข แต่ สม่ำเสมอระดับเป็นบวกไม่ว่าตัวเลขจะมีเครื่องหมายลบหรือบวกก็ตาม
ดังนั้น +a.+a = +a 2
และ -a.-a = +a 2

ปริมาณที่ถูกยกกำลังแล้วจะถูกยกกำลังอีกครั้งโดยการคูณเลขชี้กำลัง

กำลังที่สามของ 2 คือ 2.3 = 6

สำหรับ 2 = aa; ลูกบาศก์ aa คือ aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; ซึ่งเป็นกำลังที่หกของ a แต่เป็นกำลังที่สามของ 2

กำลังสี่ของ 3 b 2 คือ 3.4 b 2.4 = a 12 b 8

กำลังที่สามของ 4a 2 x คือ 64a 6 x 3

ยกกำลังที่ห้าของ (a + b) 2 คือ (a + b) 10

กำลัง N ของ 3 คือ 3n

กำลัง N ของ (x - y) m คือ (x - y) mn

(ก 3 .ข 3) 2 = ก 6 .ข 6

(ก 3 ข 2 ชั่วโมง 4) 3 = ก 9 ข 6 ชั่วโมง 12

กฎนี้ใช้บังคับอย่างเท่าเทียมกันกับ เชิงลบองศา

ตัวอย่างที่ 1 กำลังที่สามของ -2 คือ -3.3 =a -6

สำหรับ -2 = 1/aa และกำลังสามของอันนี้
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

กำลังที่สี่ของ 2 b -3 คือ 8 b -12 หรือ 8 /b 12

สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ b 3 x -1 โดยมี b 6 x -2

กำลัง N ของ ax -m คือ x -mn หรือ 1/x

อย่างไรก็ตามเราต้องจำไว้ตรงนี้ว่าถ้าเป็นป้าย ก่อนหน้าองศาคือ "-" ดังนั้นจะต้องเปลี่ยนเป็น "+" ทุกครั้งที่ดีกรีเป็นเลขคู่

ตัวอย่างที่ 1 กำลังสอง -a 3 คือ +a 6 กำลังสองของ -a 3 คือ -a 3 .-a 3 ซึ่งตามกฎของเครื่องหมายในการคูณคือ +a 6

2. แต่ลูกบาศก์ -a 3 คือ -a 9 สำหรับ -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9

3. ยกกำลัง N -a 3 คือ 3n

ในที่นี้ผลลัพธ์อาจเป็นค่าบวกหรือลบ ขึ้นอยู่กับว่า n เป็นคู่หรือคี่

ถ้า เศษส่วนยกกำลังแล้วตัวเศษและส่วนก็ยกกำลัง

กำลังสองของ a/b คือ a 2 /b 2 ตามกฎของการคูณเศษส่วน
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 ข 2

กำลังสอง, สาม และ n ของ 1/a คือ 1/a 2, 1/a 3 และ 1/a n

ตัวอย่าง ทวินามโดยมีพจน์ใดพจน์หนึ่งเป็นเศษส่วน

1. หากำลังสองของ x + 1/2 และ x - 1/2
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. กำลังสองของ a + 2/3 คือ 2 + 4a/3 + 4/9

3. สี่เหลี่ยมจัตุรัส x + b/2 = x 2 + bx + b 2 /4

4 กำลังสองของ x - b/m คือ x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2

ก่อนหน้านี้ก็แสดงให้เห็นแล้วว่า สัมประสิทธิ์เศษส่วนสามารถย้ายจากตัวเศษไปยังตัวส่วนหรือจากตัวส่วนไปยังตัวเศษได้ การใช้โครงร่างการเขียนอำนาจต่างตอบแทนก็ชัดเจนว่า ตัวคูณใดๆยังสามารถเคลื่อนย้ายได้ หากเครื่องหมายปริญญามีการเปลี่ยนแปลง.

ดังนั้น ในเศษส่วน ax -2 /y เราสามารถย้าย x จากตัวเศษไปยังตัวส่วนได้
จากนั้น ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2

ในเศษส่วน a/คูณ 3 เราสามารถย้าย y จากตัวส่วนไปยังตัวเศษได้
จากนั้น a/คูณ 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถย้ายตัวประกอบที่มีเลขชี้กำลังบวกไปเป็นตัวเศษหรือตัวประกอบที่มีเลขชี้กำลังลบไปที่ตัวส่วนได้

ดังนั้น ax 3 /b = a/bx -3 สำหรับ x 3 ค่าผกผันคือ x -3 ซึ่งก็คือ x 3 = 1/x -3

ดังนั้นตัวส่วนของเศษส่วนใดๆ จึงสามารถลบออกได้ทั้งหมด หรือตัวเศษสามารถลดเหลือ 1 ได้โดยไม่ต้องเปลี่ยนความหมายของนิพจน์

ดังนั้น a/b = 1/ba -1 หรือ ab -1

ผลิตภัณฑ์ที่ปัจจัยทั้งหมดเหมือนกันสามารถเขียนให้สั้นลงได้:

4 4 4 = 4 3

เรียกว่านิพจน์ 4 3 (รวมถึงผลลัพธ์ของการคำนวณ) ระดับ.

กำลังคือสัญลักษณ์สั้นๆ สำหรับผลคูณของตัวประกอบที่เหมือนกัน

เรียกว่าตัวเลขแสดงจำนวนตัวประกอบที่เหมือนกัน เลขชี้กำลัง. เรียกเลขยกกำลังว่า พื้นฐานการศึกษาระดับปริญญา:

รายการ 4 3 อ่านได้ดังนี้: สี่ยกกำลังสามหรือสี่ยกกำลังสาม

พลังของจำนวน กมีตัวบ่งชี้ทางธรรมชาติ n(ที่ไหน n> 1) โทรสอบถามสินค้า nปัจจัยแต่ละอย่างเท่าเทียมกัน ก.

ตัวอย่างที่ 1มาคำนวณ 2 4:

ตัวอย่างที่ 2มาคำนวณ 3 7:

ถ้านำจำนวนใดเป็นตัวประกอบ 2 ครั้ง ผลคูณจะเรียกว่ากำลังสองของจำนวนนี้ ถ้าจำนวนใดจำนวนหนึ่งนำมาเป็นตัวประกอบ 3 ครั้ง ผลคูณจะเรียกว่ากำลังสามของจำนวนนี้ เป็นต้น เช่น ผลคูณ 16 จากตัวอย่างแรกคือกำลังสี่ของหมายเลข 2

กำลังแรกของตัวเลขคือตัวเลขนั้นเอง ตัวอย่างเช่น 2 1 = 2, 5 1 = 5, 100 1 = 100 กล่าวคือ กำลังแรกของตัวเลขใดๆ จะเท่ากับตัวเลขนั้นเอง:

ก 1 = ก

กำลังสองของตัวเลขเรียกว่าต่างกัน สี่เหลี่ยมตัวเลข ตัวอย่างเช่น รายการ 5 2 อ่านว่า ห้ากำลังสอง กำลังสามของจำนวนเรียกต่างกัน ลูกบาศก์ตัวเลข ตัวอย่างเช่น รายการ 5 3 อ่านห้ากำลังสาม ชื่อเหล่านี้ยืมมาจากเรขาคณิต

นี่คือการคำนวณค่าของดีกรี ตัวอย่างเช่น หากงานคือการคำนวณค่ายกกำลัง 3 5 ก็สามารถจัดรูปแบบใหม่ได้ดังนี้ เพิ่มเลข 3 ขึ้นเป็นกำลังที่ห้า

ตัวอย่าง:คำนวณค่ากำลัง 3 5 .

สารละลาย:ระดับนี้เท่ากับผลคูณ: 3 3 3 3 3 เราคูณปัจจัยแล้วได้คำตอบ: 243

คำตอบ: 3 5 = 243.

เลขยกกำลังมักใช้ในการเขียนตัวเลขที่มากหรือน้อยมาก เช่น ความเร็วแสงซึ่งมีค่าประมาณ 300,000,000 (สามร้อยล้าน) เมตรต่อวินาที จะเขียนได้สะดวกกว่าดังนี้ 3 · 10 8 เมตร/วินาที

องศาสามารถใช้แทนหน่วยค่าสถานที่เป็นกำลังได้:

399 = 3 100 + 9 10 + 9 1 = 3 10 2 + 9 10 1 + 9 1

นอกจากนี้ ระดับมักใช้ในการเขียนการสลายตัวของตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ:

1,000 = 2 3 5 3

เครื่องคิดเลขยกกำลัง

เครื่องคิดเลขนี้จะช่วยคุณทำการยกกำลัง เพียงใส่ฐานและเลขยกกำลังแล้วคลิกปุ่มคำนวณ

โปรดทราบว่าส่วนนี้จะกล่าวถึงแนวคิดนี้ องศาที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติเท่านั้นและเป็นศูนย์

แนวคิดและคุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ (มีลบและเศษส่วน) จะกล่าวถึงในบทเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 8

ลองหาว่ากำลังของตัวเลขคืออะไร.ในการเขียนผลคูณของตัวเลขเพียงอย่างเดียว จะใช้สัญกรณ์แบบย่อหลายครั้ง

แทนที่จะผลคูณของตัวประกอบหกตัวที่เหมือนกัน 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 ให้เขียน 4 6 แล้วพูดว่า "สี่ยกกำลังหก"

4 4 4 4 4 4 = 4 6

นิพจน์ 4 6 เรียกว่ากำลังของตัวเลข โดยที่:

• 4 — ฐานปริญญา;
• 6 — เลขชี้กำลัง.

โดยทั่วไป ระดับที่มีฐาน “a” และเลขชี้กำลัง “n” จะถูกเขียนโดยใช้นิพจน์:

จดจำ!

กำลังของตัวเลข “a” ที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ “n” มากกว่า 1 คือผลคูณของตัวประกอบ “n” ที่เหมือนกัน ซึ่งแต่ละตัวจะเท่ากับตัวเลข “a”

รายการ “a n” อ่านได้ดังนี้: “a ยกกำลัง n” หรือ “กำลังที่ n ของจำนวน a”

ข้อยกเว้นคือรายการต่อไปนี้:

• a 2 - สามารถออกเสียงได้ว่า "กำลังสอง";
• 3 - สามารถออกเสียงได้ว่า "ลูกบาศก์"

• a 2 - "a ยกกำลังสอง";
• 3 - "a ยกกำลังสาม"

กรณีพิเศษเกิดขึ้นหากเลขชี้กำลังเท่ากับหนึ่งหรือศูนย์ (n = 1; n = 0)

จดจำ!

พลังของตัวเลข “a” ที่มีเลขชี้กำลัง n = 1 คือตัวเลขนี้เอง:
1 = ก

จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง
0 = 1

ศูนย์พลังธรรมชาติใดๆ มีค่าเท่ากับศูนย์
0 น = 0

หนึ่งยกกำลังใด ๆ เท่ากับ 1
1 น = 1

นิพจน์ 0 0 ( เป็นศูนย์ถึงกำลังเป็นศูนย์) ถือว่าไม่มีความหมาย

• (−32) 0 = 1
• 0 253 = 0
• 1 4 = 1

เมื่อแก้ตัวอย่าง คุณต้องจำไว้ว่าการยกกำลังคือการค้นหาค่าตัวเลขหรือตัวอักษรหลังจากยกกำลังแล้ว

ตัวอย่าง. ยกกำลังขึ้น.

• 5 3 = 5 5 5 = 125
• 2.5 2 = 2.5 2.5 = 6.25
• ( · = = 81

  256

การยกจำนวนลบยกกำลัง

ฐาน (ตัวเลขที่ถูกยกกำลัง) อาจเป็นตัวเลขใดก็ได้ - บวก ลบ หรือศูนย์

จดจำ!

การเพิ่มจำนวนบวกยกกำลังจะทำให้เกิดจำนวนบวก

เมื่อศูนย์ถูกยกขึ้นเป็นพลังธรรมชาติ ผลลัพธ์จะเป็นศูนย์

เมื่อจำนวนลบยกกำลัง ผลลัพธ์อาจเป็นจำนวนบวกหรือจำนวนลบก็ได้ ขึ้นอยู่กับว่าเลขชี้กำลังเป็นเลขคู่หรือคี่

ลองดูตัวอย่างการเพิ่มจำนวนลบให้เป็นกำลัง

จากตัวอย่างที่พิจารณา เห็นชัดเจนว่าหากยกจำนวนลบเป็นเลขคี่ ก็จะได้จำนวนลบ เนื่องจากผลคูณของตัวประกอบลบจำนวนคี่จึงเป็นลบ

ถ้าจำนวนลบยกกำลังเป็นคู่ ก็จะกลายเป็นจำนวนบวก เนื่องจากผลคูณของปัจจัยลบจำนวนคู่เป็นบวก

จดจำ!

จำนวนลบที่ถูกยกกำลังเป็นคู่ก็คือจำนวนบวก

จำนวนลบยกกำลังคี่ก็คือจำนวนลบ

กำลังสองของจำนวนใดๆ ที่เป็นจำนวนบวกหรือศูนย์ นั่นคือ:

a 2 ≥ 0 สำหรับ a ใดๆ

• 2 · (−3) 2 = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
• −5 · (−2) 3 = −5 · (−8) = 40

บันทึก!

เมื่อแก้ตัวอย่างการยกกำลัง มักจะเกิดข้อผิดพลาด โดยลืมไปว่าค่า (−5) 4 และ −5 4 เป็นนิพจน์ที่แตกต่างกัน ผลลัพธ์ของการเพิ่มการแสดงออกเหล่านี้สู่อำนาจจะแตกต่างกัน

การคำนวณ (−5) 4 หมายถึงการค้นหาค่ากำลังสี่ของจำนวนลบ

(−5) 4 = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625

ในขณะที่การค้นหา “−5 4” หมายความว่าตัวอย่างจะต้องได้รับการแก้ไขใน 2 ขั้นตอน:

1. ยกเลขบวก 5 ขึ้นเป็นกำลังสี่
   5 4 = 5 5 5 5 = 625
2. วางเครื่องหมายลบไว้หน้าผลลัพธ์ที่ได้รับ (นั่นคือ ดำเนินการลบ)
   −5 4 = −625

ตัวอย่าง. คำนวณ: −6 2 − (−1) 4

−6 2 − (−1) 4 = −37

1. 6 2 = 6 6 = 36
2. −6 2 = −36
3. (−1) 4 = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
4. −(−1) 4 = −1
5. −36 − 1 = −37

ขั้นตอนในตัวอย่างที่มีองศา

การคำนวณค่าเรียกว่าการกระทำของการยกกำลัง นี่คือการกระทำขั้นที่สาม

จดจำ!

ในนิพจน์ที่มีอำนาจซึ่งไม่มีวงเล็บ ให้ทำก่อน การยกกำลัง, แล้ว การคูณและการหารและในตอนท้าย การบวกและการลบ.

หากนิพจน์มีวงเล็บ ให้ดำเนินการในวงเล็บตามลำดับที่ระบุไว้ข้างต้นก่อน จากนั้นจึงดำเนินการที่เหลือในลำดับเดียวกันจากซ้ายไปขวา

ตัวอย่าง. คำนวณ:

เพื่อให้แก้ตัวอย่างได้ง่ายขึ้น การรู้และนำไปใช้จึงเป็นประโยชน์ ตารางองศาซึ่งคุณสามารถดาวน์โหลดได้ฟรีบนเว็บไซต์ของเรา

หากต้องการตรวจสอบผลลัพธ์คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขบนเว็บไซต์ของเราได้ "

ระดับการศึกษา

ลองหาว่ากำลังของตัวเลขคืออะไร. ในการเขียนผลคูณของตัวเลขเพียงอย่างเดียว จะใช้สัญกรณ์แบบย่อหลายครั้ง ดังนั้น แทนที่จะเป็นผลคูณของตัวประกอบ 6 ตัวที่เหมือนกัน 6 ตัว 4. 4. 4. 4. 4 เขียนว่า 4 6 และออกเสียงว่า "สี่ยกกำลังหก"
4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 = 4 6

นิพจน์ 4 6 เรียกว่ากำลังของตัวเลข โดยที่:
. 4 - ระดับฐาน;
. 6 คือเลขชี้กำลัง

โดยทั่วไป ระดับที่มีฐาน “a” และเลขชี้กำลัง “n” จะถูกเขียนโดยใช้นิพจน์:

• กำลังของตัวเลข "a" ที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ "n" มากกว่า 1 คือผลคูณของตัวประกอบ "n" ที่เหมือนกัน ซึ่งแต่ละตัวจะเท่ากับตัวเลข "a"

ข้อความ a n อ่านได้ดังนี้: “a ยกกำลัง n” หรือ “ยกกำลังที่ n ของ a”

ข้อยกเว้นคือรายการต่อไปนี้:
. a 2 - สามารถออกเสียงได้ว่า "กำลังสอง";
. 3 - สามารถออกเสียงได้ว่า "ลูกบาศก์"

• พลังของตัวเลข “a” ที่มีเลขชี้กำลัง n = 1 คือตัวเลขนี้เอง:
• 1 = ก
• จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง
• 0 = 1
• ศูนย์พลังธรรมชาติใดๆ มีค่าเท่ากับศูนย์
• 0 น = 0
• หนึ่งยกกำลังใด ๆ เท่ากับ 1
• 1 น = 1

นิพจน์ 0 0 (ศูนย์ยกกำลังศูนย์) ถือว่าไม่มีความหมาย
. (-32) 0 = 1
. 0 234 = 0
. 1 4 = 1
เมื่อแก้ตัวอย่าง คุณต้องจำไว้ว่าการยกกำลังหมายถึงการค้นหาค่าของกำลัง

ตัวอย่าง. ยกกำลังขึ้น.
. 5 3 = 5 . 5 . 5 = 125
. 2.5 2 = 2.5 . 2.5 = 6.25
. (3 ) 4 = 3. 3. 3. 3 = 81
4 4 4 4 4 256

การยกจำนวนลบยกกำลัง
ฐาน (ตัวเลขที่ถูกยกกำลัง) อาจเป็นตัวเลขใดก็ได้ - บวก ลบ หรือศูนย์

• การเพิ่มจำนวนบวกยกกำลังจะทำให้เกิดจำนวนบวก

เมื่อศูนย์ถูกยกขึ้นเป็นพลังธรรมชาติ ผลลัพธ์จะเป็นศูนย์
เมื่อจำนวนลบยกกำลัง ผลลัพธ์อาจเป็นจำนวนบวกหรือจำนวนลบก็ได้ ขึ้นอยู่กับว่าเลขชี้กำลังเป็นเลขคู่หรือคี่

ลองดูตัวอย่างการเพิ่มจำนวนลบให้เป็นกำลัง


จากตัวอย่างที่พิจารณา เห็นชัดเจนว่าหากยกจำนวนลบเป็นเลขคี่ ก็จะได้จำนวนลบ เนื่องจากผลคูณของตัวประกอบลบจำนวนคี่จึงเป็นลบ

ถ้าจำนวนลบยกกำลังเป็นคู่ ก็จะกลายเป็นจำนวนบวก เนื่องจากผลคูณของปัจจัยลบจำนวนคู่เป็นบวก

จำนวนลบที่ถูกยกกำลังเป็นคู่ก็คือจำนวนบวก

• จำนวนลบยกกำลังคี่ก็คือจำนวนลบ
• กำลังสองของจำนวนใดๆ ที่เป็นจำนวนบวกหรือศูนย์ นั่นคือ:
• a 2 ≥ 0 สำหรับ a ใดๆ

2 . (- 3) 2 = 2 . (- 3) . (- 3) = 2 . 9 = 18
. - 5 . (- 2) 3 = - 5 . (- 8) = 40

บันทึก!
เมื่อแก้ตัวอย่างการยกกำลัง มักเกิดข้อผิดพลาด โดยลืมไปว่าสัญกรณ์ (- 5) 4 และ -5 4 เป็นสำนวนที่แตกต่างกัน ผลลัพธ์ของการเพิ่มการแสดงออกเหล่านี้สู่อำนาจจะแตกต่างกัน

คำนวณ (- 5) 4 หมายถึงการหาค่ากำลังสี่ของจำนวนลบ
(- 5) 4 = (- 5) . (- 5) . (- 5) . (- 5) = 625

ในขณะที่การค้นหา -5 4 หมายความว่าตัวอย่างต้องได้รับการแก้ไขใน 2 ขั้นตอน:
1. ยกจำนวนบวก 5 ขึ้นเป็นกำลังสี่
5 4 = 5 . 5 . 5 . 5 = 625
2. วางเครื่องหมายลบไว้หน้าผลลัพธ์ที่ได้รับ (นั่นคือดำเนินการลบ)
-5 4 = - 625
ตัวอย่าง. คำนวณ: - 6 2 - (- 1) 4
- 6 2 - (- 1) 4 = - 37

1. 6 2 = 6 . 6 = 36
2. -6 2 = - 36
3. (- 1) 4 = (- 1) . (- 1) . (- 1) . (- 1) = 1
4. - (- 1) 4 = - 1
5. - 36 - 1 = - 37

ขั้นตอนในตัวอย่างที่มีองศา
การคำนวณค่าเรียกว่าการกระทำของการยกกำลัง นี่คือการกระทำขั้นที่สาม

• ในนิพจน์ที่ยกกำลังซึ่งไม่มีวงเล็บ การยกกำลังจะดำเนินการก่อน จากนั้นจึงทำการคูณและการหาร และสุดท้ายคือการบวกและการลบ
• หากนิพจน์มีวงเล็บ ให้ดำเนินการในวงเล็บตามลำดับที่ระบุไว้ข้างต้นก่อน จากนั้นจึงดำเนินการที่เหลือในลำดับเดียวกันจากซ้ายไปขวา

ตัวอย่าง. คำนวณ:

คุณสมบัติของปริญญา

กำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติมีคุณสมบัติที่สำคัญหลายประการที่ช่วยให้เราสามารถคำนวณได้ง่ายขึ้นในตัวอย่างที่มีกำลัง
คุณสมบัติหมายเลข 1
ผลิตผลแห่งอำนาจ

• เมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน ฐานจะไม่เปลี่ยนแปลง และเลขยกกำลังจะถูกบวกเข้าด้วยกัน
• เช้า. n = a m+n โดยที่ a คือจำนวนใดๆ และ m, n คือจำนวนธรรมชาติใดๆ

คุณสมบัติของพลังนี้ยังใช้กับผลคูณของพลังตั้งแต่สามตัวขึ้นไปด้วย
ตัวอย่าง.
. ลดความซับซ้อนของนิพจน์
ข. ข 2 . ข 3 ข 4. ข 5 = ข 1+2+3+4+5 = ข 15

6 15 . 36 = 6 15 . 6 2 = 6 15+2 = 6 17

นำเสนอเป็นปริญญา
(0,8) 3 . (0,8) 12 = (0,8) 3+12 = (0,8) 15

• โปรดทราบว่าในคุณสมบัติที่ระบุเรากำลังพูดถึงเฉพาะการคูณกำลังด้วยฐานเดียวกันเท่านั้น มันใช้ไม่ได้กับการเพิ่มของพวกเขา
• คุณไม่สามารถแทนที่ผลรวม (3 3 + 3 2) ด้วย 3 3 ได้ สิ่งนี้สามารถเข้าใจได้หากคุณนับ 3 3 = 27 และ 3 2 = 9; 27 + 9 = 36 และ 3 5 = 243

คุณสมบัติหมายเลข 2
องศาบางส่วน

• เมื่อหารเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน ฐานจะไม่เปลี่ยนแปลง และเลขชี้กำลังของตัวหารจะถูกลบออกจากเลขชี้กำลังของเงินปันผล
• เช้า. a n = a m-n โดยที่ a คือจำนวนใดๆ ที่ไม่เท่ากับศูนย์ และ m, n คือจำนวนธรรมชาติใดๆ ที่ m > n

ตัวอย่าง.
. เขียนผลหารเป็นกำลัง
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5-3 = (2b) 2

ตัวอย่าง. แก้สมการ เราใช้คุณสมบัติของกำลังหาร
3 8: เสื้อ = 3 4

เสื้อ = 3 8: 3 4

เสื้อ = 3 8-4

เสื้อ = 3 4

คำตอบ: เสื้อ = 3 4 = 81

การใช้คุณสมบัติหมายเลข 1 และหมายเลข 2 จะทำให้นิพจน์และคำนวณง่ายขึ้นได้อย่างง่ายดาย
. ตัวอย่าง. ลดความซับซ้อนของนิพจน์
4 5ม.+6 . 4 ม.+2: 4 4ม.+3 = 4 5ม.+6+ม.+2: 4 4ม. + 3 = 4 6ม. + 8 - 4ม. - 3 = 4 2ม. + 5

โปรดทราบว่าในคุณสมบัติ 2 เราพูดถึงเพียงการแบ่งอำนาจด้วยฐานเดียวกันเท่านั้น
คุณไม่สามารถแทนที่ส่วนต่าง (4 3 - 4 2) ด้วย 4 1 สิ่งนี้สามารถเข้าใจได้หากคุณนับ 4 3 = 64 และ 4 2 = 16; 64 - 16 = 48 และ 4 1 = 4
ระวัง!

คุณสมบัติหมายเลข 3
การยกระดับไปสู่อำนาจ

• เมื่อเพิ่มดีกรีเป็นกำลัง ฐานของดีกรีจะไม่เปลี่ยนแปลง และเลขชี้กำลังจะถูกคูณ
• (ก) ม. = ก. m โดยที่ a คือจำนวนใดๆ และ m, n คือจำนวนธรรมชาติใดๆ

ตัวอย่าง.
(ก 4) 6 = ก 4 . 6 = 24
. ตัวอย่าง. เขียน 3 20 ยกกำลังด้วยฐาน 32
โดยคุณสมบัติในการยกระดับอำนาจขึ้น เป็นที่ทราบกันดีว่าเมื่อยกกำลัง เลขชี้กำลังจะถูกคูณ ซึ่งหมายความว่า:

คุณสมบัติ 4
พลังของผลิตภัณฑ์

• เมื่อกำลังเพิ่มขึ้นเป็นกำลังของผลิตภัณฑ์ แต่ละปัจจัยจะเพิ่มขึ้นตามกำลังนั้น และผลลัพธ์ก็จะถูกคูณ
• (ก . ข) n = n . b n โดยที่ a, b เป็นจำนวนตรรกยะใดๆ n - จำนวนธรรมชาติใดๆ

ตัวอย่างที่ 1

(6 . ก 2 . ข 3 . ค) 2 = 6 2 . 2 . 2. ข 3 2. จาก 1 2 = 36 ถึง 4 . ข 6. จาก 2

ตัวอย่างที่ 2

(- x 2 . ย) 6 = ((- 1) 6 . x 2 . 6 . ป 1 . 6) = x 12 . คุณ 6

โปรดทราบว่าคุณสมบัติหมายเลข 4 เช่นเดียวกับคุณสมบัติอื่นขององศาก็ถูกนำไปใช้ในลำดับย้อนกลับเช่นกัน
(a n . b n)= (a . b) n

นั่นคือ ในการคูณเลขยกกำลังด้วยเลขยกกำลังเดียวกัน คุณสามารถคูณฐานได้ แต่เลขยกกำลังไม่เปลี่ยนแปลง
. ตัวอย่าง. คำนวณ.

2 4 . 5 4 = (2 . 5) 4 = 10 4 = 10 000

ตัวอย่าง. คำนวณ.

0,5 16 . 2 16 = (0,5 . 2) 16 = 1

ในตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น อาจมีกรณีที่ต้องทำการคูณและการหารยกกำลังที่มีฐานและเลขชี้กำลังต่างกัน ในกรณีนี้ เราแนะนำให้คุณทำดังต่อไปนี้
ตัวอย่างเช่น 4 5 3 2 = 4 3. 4 2 . 3 2 = 4 3. (4 . 3) 2 = 64 . 12 2 = 64. 144 = 9216

ตัวอย่างการเพิ่มทศนิยมให้เป็นกำลัง
4 21 . (-0,25) 20 = 4 . 4 20 . (-0,25) 20 = 4 . (4 . (-0,25)) 20 = 4 . (- 1) 20 = 4 . 1 = 4

คุณสมบัติ 5
กำลังของผลหาร (เศษส่วน)

• หากต้องการเพิ่มผลหารยกกำลัง คุณสามารถเพิ่มเงินปันผลและตัวหารแยกกันเป็นกำลังนี้ และหารผลลัพธ์แรกด้วยวินาที
• (a: b) n = a n: b n โดยที่ a, b เป็นจำนวนตรรกยะใดๆ b ≠ 0, n คือจำนวนธรรมชาติใดๆ

ตัวอย่าง. นำเสนอนิพจน์เป็นผลหารของกำลัง.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

การยกเศษส่วนให้เป็นกำลัง

• เมื่อยกเศษส่วนเป็นกำลัง คุณต้องยกทั้งเศษและส่วนให้เป็นกำลัง

ตัวอย่างการยกเศษส่วนเป็นยกกำลัง

วิธียกจำนวนคละให้เป็นกำลัง
หากต้องการเพิ่มจำนวนคละยกกำลัง ก่อนอื่นเราต้องกำจัดส่วนที่เป็นจำนวนเต็มออก แล้วเปลี่ยนจำนวนคละให้เป็นเศษส่วนเกิน หลังจากนั้น เรายกทั้งตัวเศษและตัวส่วนขึ้นเป็นกำลัง.
ตัวอย่าง.

สูตรการเพิ่มเศษส่วนเป็นกำลังนั้นใช้ทั้งจากซ้ายไปขวาและจากขวาไปซ้าย กล่าวคือ ในการที่จะหารองศาให้เป็นเลขชี้กำลังเดียวกัน คุณสามารถหารฐานหนึ่งด้วยอีกฐานหนึ่งแล้วปล่อยเลขชี้กำลังไว้ ไม่เปลี่ยนแปลง

ตัวอย่าง. ค้นหาความหมายของสำนวนอย่างมีเหตุผล

คุณสมบัติขององศา