Grafikus módszer egyenletek és egyenlőtlenségek megoldására. Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása. Másodfokú egyenlőtlenség grafikus ábrázolása a koordinátasíkon

L. A. Kustova

matematika tanár

Voronyezs, MBOU Lyceum 5. sz

Projekt

"Az egyenletek és egyenlőtlenségek grafikus megoldásának előnyei".

Osztály:

7-11

Dolog:

Matematika

Kutatási cél:

Kitalálniegyenletek és egyenlőtlenségek megoldására szolgáló grafikus módszer előnyei.

Hipotézis:

Egyes egyenleteket és egyenlőtlenségeket egyszerűbb és esztétikusabb grafikusan megoldani.

Kutatási szakaszok:

Hasonlítsa össze az analitikai és grafikus megoldástegyenletek és egyenlőtlenségek.

Ismerkedjen meg azokkal az esetekkel, amikor a grafikus módszernek előnyei vannak.

Fontolja meg az egyenletek modulussal és paraméterrel történő megoldását.

Kutatási eredmények:

1. A matematika szépsége filozófiai probléma.

2. Egyes egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásánál a grafikus megoldási módlegpraktikusabb és legvonzóbb.

3. Grafikus megoldási módszerrel tudja alkalmazni a matematika vonzerejét az iskolábanegyenletek és egyenlőtlenségek.

„A matematikai tudományok már a legősibb időkben is különös figyelmet keltettek,

most még nagyobb érdeklődést váltottak ki művészetre és iparra gyakorolt ​​befolyásuk iránt.

Pafnuty Lvovics Csebisev.

A 7. osztálytól kezdve az egyenletek és egyenlőtlenségek különböző megoldási módjait veszik figyelembe, beleértve a grafikus megoldásokat is. Aki azt hiszi, hogy a matematika száraz tudomány, az szerintem meggondolja magát, ha látja, hogy bizonyos típusokat milyen szépen meg lehet oldaniegyenletek és egyenlőtlenségek. Íme néhány példa:

1) Oldja meg az egyenletet: = .

Megoldhatod analitikusan, vagyis az egyenlet mindkét oldalát a harmadik hatványra emelheted, és így tovább.

A grafikus módszer akkor megfelelő ehhez az egyenlethez, ha csak a megoldások számát kell megadnia.

Hasonló feladatokat gyakran találunk a 9. osztályú OGE „geometria” blokkjának megoldása során.

2) Oldja meg az egyenletet a következő paraméterrel:

││ x│- 4│= a

Nem a legbonyolultabb példa, de ha analitikusan oldja meg, akkor kétszer kell kinyitnia a modul zárójeleit, és minden esetben figyelembe kell vennie a paraméter lehetséges értékeit. Grafikailag minden nagyon egyszerű. Rajzoljuk a függvények grafikonjait, és látjuk, hogy:

Források:

számítógépes programhaladó grafikus .

A másodfokú egyenlőtlenségek megoldásának egyik legkényelmesebb módja a grafikus módszer. Ebben a cikkben azt elemezzük, hogyan oldják meg grafikusan a másodfokú egyenlőtlenségeket. Először is beszéljük meg ennek a módszernek a lényegét. Ezután megadjuk az algoritmust, és példákat veszünk a másodfokú egyenlőtlenségek grafikus megoldására.

Oldalnavigáció.

A grafikus módszer lényege

Általában az egyenlőtlenségek grafikus megoldása egy változóval nemcsak négyzetes egyenlőtlenségek megoldására szolgál, hanem más típusú egyenlőtlenségekre is. Az egyenlőtlenségek megoldásának grafikus módszerének lényege Következő: Tekintsük az egyenlőtlenség bal és jobb oldali részének megfelelő y=f(x) és y=g(x) függvényeket, építsük fel grafikonjaikat ugyanabba a derékszögű koordináta-rendszerbe, és derítsük ki, hogy milyen időközönként jelenik meg a másik alatt vagy felett helyezkednek el. Azok az intervallumok, ahol

• az f függvény grafikonja a g függvény grafikonja felett az f(x)>g(x) egyenlőtlenség megoldásai;
• az f függvény grafikonja nem alacsonyabb, mint a g függvény grafikonja, az f(x)≥g(x) egyenlőtlenség megoldásai;
• az f függvény grafikonja a g függvény grafikonja alatt az f(x) egyenlőtlenség megoldásai
• az f függvény grafikonja nem a g függvény grafikonja felett az f(x)≤g(x) egyenlőtlenség megoldásai.

Tegyük fel azt is, hogy az f és g függvények grafikonjainak metszéspontjainak abszcisszán az f(x)=g(x) egyenlet megoldásai.

Vigyük át ezeket az eredményeket esetünkre – az a x 2 +b x+c másodfokú egyenlőtlenség megoldására<0 (≤, >, ≥).

Két függvényt vezetünk be: az első y=a x 2 +b x+c (ebben az esetben f(x)=a x 2 +b x+c) a másodfokú egyenlőtlenség bal oldalának felel meg, a második y=0 (in ez az eset g (x)=0 ) az egyenlőtlenség jobb oldalának felel meg. menetrend másodfokú függvény f egy parabola és a gráf állandó funkció g egy egyenes, amely egybeesik az Ox abszcissza tengellyel.

Továbbá az egyenlőtlenségek megoldásának grafikus módszere szerint elemezni kell, hogy az egyik függvény grafikonja milyen időközönként helyezkedik el a másik felett vagy alatt, ami lehetővé teszi a másodfokú egyenlőtlenség kívánt megoldásának felírását. Esetünkben elemeznünk kell a parabola helyzetét az Ox tengelyhez képest.

Az a, b és c együtthatók értékétől függően a következő hat lehetőség lehetséges (igényünkre elegendő egy sematikus ábrázolás, és nem is lehet ábrázolni az Oy tengelyt, mivel annak helyzete nem befolyásolja a az egyenlőtlenség megoldása):

Ezen a rajzon egy parabolát látunk, amelynek ágai felfelé irányulnak, és amely két pontban metszi az Ox tengelyt, amelyeknek abszcisszán x 1 és x 2 . Ez a rajz annak a változatnak felel meg, amikor az a együttható pozitív (ez a felelős a parabola ágainak felfelé irányuló irányáért), és amikor az érték pozitív négyzetes trinomiális diszkriminátora a x 2 +b x + c (ebben az esetben a trinomnak két gyöke van, amelyeket x 1-nek és x 2-nek jelöltünk, és feltételeztük, hogy x 1 0 , D=b 2 −4 a c=(−1) 2 −4 1 (−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

Az érthetőség kedvéért rajzoljuk meg pirossal a parabola abszcissza tengelye feletti részeit, kékkel pedig az abszcissza tengelye alatt.


Most nézzük meg, milyen rések felelnek meg ezeknek a részeknek. A következő rajz segít meghatározni őket (a jövőben gondolatban téglalapok formájában fogunk kiválasztani):


Tehát az abszcissza tengelyen két intervallum (−∞, x 1) és (x 2, +∞) lett pirossal kiemelve, ezeken a parabola magasabb, mint az Ox tengely, ezek alkotják az a x 2 + másodfokú egyenlőtlenség megoldását. b x+c>0 , és az (x 1 , x 2) intervallum kékkel van kiemelve, rajta a parabola az Ox tengely alatt van, ez az a x 2 + b x + c egyenlőtlenség megoldása.<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

És most röviden: a>0 és D=b 2 −4 esetén a c>0 (vagy D"=D/4>0 páros b együttható esetén)

• az a x 2 +b x+c>0 másodfokú egyenlőtlenség megoldása (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) vagy más módon x x2;
• az a x 2 +b x+c≥0 másodfokú egyenlőtlenség megoldása (−∞, x 1 ]∪ vagy más jelöléssel x 1 ≤x≤x 2 ,

ahol x 1 és x 2 az a x 2 + b x + c és x 1 négyzetháromtag gyökei


Itt egy parabolát látunk, melynek ágai felfelé irányulnak, és érinti az abszcissza tengelyt, vagyis van vele egy közös pontja, ennek a pontnak az abszcisszáját jelöljük x 0-val. A bemutatott eset megfelel a>0-nak (az ágak felfelé irányulnak) és D=0-nak (a négyzetháromtagnak egy gyöke x 0 ). Például vehetjük az y=x 2 −4 x+4 másodfokú függvényt, itt a=1>0, D=(−4) 2 −4 1 4=0 és x 0 =2.

A rajzon jól látható, hogy a parabola az érintkezési pont kivételével mindenhol az Ox tengely felett helyezkedik el, vagyis a (−∞, x 0) , (x 0 , ∞) intervallumokban. Az áttekinthetőség kedvéért az előző bekezdés analógiájával jelöljük ki a területeket a rajzban.


Következtetéseket vonunk le: a>0 és D=0 esetén

• az a x 2 +b x+c>0 másodfokú egyenlőtlenség megoldása (−∞, x 0)∪(x 0 , +∞) vagy más jelöléssel x≠x 0 ;
• az a x 2 +b x+c≥0 másodfokú egyenlőtlenség megoldása (−∞, +∞) vagy más jelöléssel x∈R ;
• másodfokú egyenlőtlenség a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• az a x 2 +b x+c≤0 másodfokú egyenlőtlenségnek egyedi megoldása van x=x 0 (az érintőpont adja meg),

ahol x 0 az a x 2 + b x + c négyzetháromtag gyöke.


Ebben az esetben a parabola ágai felfelé irányulnak, és nincs közös pontja az abszcissza tengellyel. Itt az a>0 (az ágak felfelé irányulnak) és a D feltételeink<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0, D=0 2 −4 2 1=−8<0 .

Nyilvánvaló, hogy a parabola teljes hosszában az Ox tengely felett helyezkedik el (nincs olyan intervallum, ahol az Ox tengely alatt van, nincs érintkezési pont).


Így a>0 és D esetén<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 és a x 2 +b x+c≥0 az összes valós szám és az a x 2 +b x+c egyenlőtlenségek halmaza<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

És három lehetőség van a parabola elhelyezésére, ha az ágak lefelé, nem pedig felfelé irányulnak az Ox tengelyhez képest. Elvileg ezeket nem lehet figyelembe venni, mivel az egyenlőtlenség mindkét részét −1-gyel megszorozva egy ekvivalens egyenlőtlenséghez juthatunk pozitív együtthatóval x 2 -nél. Ezekről az esetekről azonban nem árt képet alkotni. Az érvelés itt is hasonló, ezért csak a főbb eredményeket írjuk le.

Megoldási algoritmus

Az összes korábbi számítás eredménye az algoritmus négyzetegyenlőtlenségek grafikus megoldására:

A koordinátasíkon egy sematikus rajzot készítünk, amely az Ox tengelyt ábrázolja (az Oy tengelyt nem szükséges ábrázolni), valamint egy y=a x 2 + b x + c másodfokú függvénynek megfelelő parabola vázlatát. A parabola vázlatának elkészítéséhez elegendő két pontot kideríteni:

• Először az a együttható értékéből derül ki, hogy hova irányulnak az ágai (a>0 esetén felfelé, a<0 – вниз).
• Másodszor pedig az a x 2 + b x + c négyzetháromtag diszkriminánsának értékéből kiderül, hogy a parabola két pontban metszi-e az x tengelyt (D> 0 esetén), vagy érinti-e egy pontban (D= esetén 0), vagy nincs közös pontja az Ox tengellyel (D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Ha kész a rajz, az algoritmus második lépésében rá kell tenni

  • az a·x 2 +b·x+c>0 másodfokú egyenlőtlenség megoldásánál meghatározzuk azokat az intervallumokat, amelyekben a parabola az abszcissza tengelye felett helyezkedik el;
  • az a x 2 +b x+c≥0 egyenlőtlenség megoldásánál meghatározzuk azokat az intervallumokat, amelyeknél a parabola az abszcissza tengelye felett helyezkedik el, és ezekhez hozzáadjuk a metszéspontok abszcisszáját (vagy az érintőpont abszcisszáját);
  • az a x 2 +b x+c egyenlőtlenség megoldásakor<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • végül az a x 2 +b x + c≤0 alakú másodfokú egyenlőtlenség megoldásánál vannak olyan intervallumok, ahol a parabola az Ox tengely alatt van, és ezekhez hozzáadjuk a metszéspontok abszcisszáját (vagy az érintési pont abszcisszáját). ;

  ezek alkotják a másodfokú egyenlőtlenség kívánt megoldását, és ha nincsenek ilyen intervallumok és nincsenek érintkezési pontok, akkor az eredeti másodfokú egyenlőtlenségnek nincsenek megoldásai.

Már csak néhány másodfokú egyenlőtlenséget kell megoldani ezzel az algoritmussal.

Példák megoldásokkal

Példa.

Oldja meg az egyenlőtlenséget .

Döntés.

Meg kell oldanunk egy másodfokú egyenlőtlenséget, az előző bekezdés algoritmusát fogjuk használni. Első lépésben meg kell rajzolnunk a másodfokú függvény grafikonját . Az x 2-nél az együttható 2, pozitív, ezért a parabola ágai felfelé irányulnak. Nézzük meg azt is, hogy az abszcissza tengelyű parabolának vannak-e közös pontjai, ehhez számítsuk ki a négyzetháromság diszkriminánsát . Nekünk van . A diszkrimináns nullánál nagyobbnak bizonyult, ezért a trinomiálisnak két valós gyöke van: és , azaz x 1 =−3 és x 2 =1/3.

Ebből jól látható, hogy a parabola két pontban metszi az Ox tengelyt −3 és 1/3 abszcisszákkal. Ezeket a pontokat a rajzon közönséges pontokként fogjuk ábrázolni, mivel egy nem szigorú egyenlőtlenséget oldunk meg. A pontosított adatok alapján a következő rajzot kapjuk (a cikk első bekezdésének első sablonjához illeszkedik):

Áttérünk az algoritmus második lépésére. Mivel egy nem szigorú másodfokú egyenlőtlenséget oldunk meg ≤ előjellel, meg kell határoznunk azokat az intervallumokat, amelyekben a parabola az abszcissza tengelye alatt helyezkedik el, és hozzá kell adni a metszéspontok abszcisszáit.

A rajzon látható, hogy a parabola a (−3, 1/3) intervallumban az abszcissza alatt van, és ehhez adjuk hozzá a metszéspontok abszcisszáját, vagyis a −3 és 1/3 számokat. Ennek eredményeként a [−3, 1/3] numerikus szegmenshez jutunk. Ez a kívánt megoldás. Felírható kettős egyenlőtlenségként −3≤x≤1/3 .

Válasz:

[−3, 1/3] vagy −3≤x≤1/3.

Példa.

Keress megoldást a −x 2 +16 x −63 másodfokú egyenlőtlenségre<0 .

Döntés.

Szokás szerint rajzzal kezdjük. A változó négyzetének numerikus együtthatója negatív, −1, ezért a parabola ágai lefelé irányulnak. Számítsuk ki a diszkriminánst, vagy jobb esetben a negyedik részét: D"=8 2 −(−1)(−63)=64−63=1. Értéke pozitív, kiszámítjuk a négyzetháromság gyökét: és , x 1 =7 és x 2 =9. Tehát a parabola két pontban metszi az Ox tengelyt a 7-es és a 9-es abszcisszán (a kezdeti egyenlőtlenség szigorú, ezért ezeket a pontokat üres középponttal ábrázoljuk).

Mivel egy szigorú előjelű másodfokú egyenlőtlenséget oldunk meg<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

A rajzon látható, hogy az eredeti másodfokú egyenlőtlenség megoldásai két intervallum (−∞, 7) , (9, +∞) .

Válasz:

(−∞, 7)∪(9, +∞) vagy más x jelöléssel<7 , x>9 .

A négyzetegyenlőtlenségek megoldása során, amikor egy négyzetes trinomiális diszkriminánsa a bal oldalán egyenlő nullával, óvatosan kell eljárni az érintőpont abszcisszájának be- vagy kizárásával a válaszból. Az egyenlőtlenség előjelétől függ: ha az egyenlőtlenség szigorú, akkor az nem megoldás az egyenlőtlenségre, ha pedig nem szigorú, akkor az.

Példa.

Van-e legalább egy megoldása a 10 x 2 −14 x+4,9≤0 másodfokú egyenlőtlenségnek?

Döntés.

Ábrázoljuk az y=10 x 2 −14 x+4,9 függvényt. Elágazásai felfelé irányulnak, mivel az x 2-nél az együttható pozitív, és az abszcisszát abban a pontban érinti, ahol az abszcissza 0,7, mivel D "=(−7) 2 −10 4,9=0, ahonnan vagy 0,7 tizedes. Sematikusan így néz ki:

Mivel egy ≤ előjelű másodfokú egyenlőtlenséget oldunk meg, így a megoldása azok az intervallumok, amelyeken a parabola az Ox tengelye alatt van, valamint az érintőpont abszcisszája. A rajzon látható, hogy egyetlen rés sincs, ahol a parabola az Ox tengely alatt lenne, ezért megoldása csak az érintkezési pont abszcisszája lesz, azaz 0,7.

Válasz:

ennek az egyenlőtlenségnek van egy egyedi megoldása 0.7 .

Példa.

Oldja meg a –x 2 +8 x−16 másodfokú egyenlőtlenséget!<0 .

Döntés.

A másodfokú egyenlőtlenségek megoldására szolgáló algoritmus szerint járunk el, és az ábrázolással kezdjük. A parabola ágai lefelé irányulnak, mivel x 2-nél az együttható negatív, −1. Határozzuk meg a –x 2 +8 x−16 négyzethármas diszkriminánsát, megvan D'=4 2 −(−1)(−16)=16−16=0és további x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Tehát a parabola a 4 abszcissza pontban érinti az Ox tengelyt. Készítsünk egy rajzot:

Az eredeti egyenlőtlenség jelét nézzük, az<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

Esetünkben ezek nyílt sugarak (−∞, 4) , (4, +∞) . Külön megjegyezzük, hogy a 4 - az érintőpont abszcisszája - nem megoldás, mivel az érintőpontban a parabola nem alacsonyabb, mint az Ox tengely.

Válasz:

(−∞, 4)∪(4, +∞) vagy más jelöléssel x≠4 .

Különös figyelmet kell fordítani azokra az esetekre, amikor a négyzetegyenlőtlenség bal oldalán a négyzetháromság diszkriminánsa kisebb, mint nulla. Nem kell itt kapkodni, és azt mondani, hogy az egyenlőtlenségnek nincs megoldása (megszoktuk, hogy negatív diszkrimináns másodfokú egyenletekre vonjunk le ilyen következtetést). A lényeg az, hogy D másodfokú egyenlőtlensége<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Példa.

Keresse meg a 3 x 2 +1>0 másodfokú egyenlőtlenség megoldását.

Döntés.

Szokás szerint rajzzal kezdjük. Az a együttható 3, pozitív, ezért a parabola ágai felfelé irányulnak. Számítsa ki a diszkriminánst: D=0 2 −4 3 1=−12 . Mivel a diszkrimináns negatív, a parabolának nincs közös pontja az x tengellyel. A kapott információ elegendő egy sematikus diagramhoz:

Szigorú másodfokú egyenlőtlenséget oldunk meg > jellel. Megoldása az összes olyan intervallum lesz, ahol a parabola az Ox tengelye felett van. Esetünkben a parabola teljes hosszában az x tengely felett van, így a kívánt megoldás az összes valós szám halmaza lesz.

Ox , és hozzá kell adni a metszéspontok abszcisszáját vagy az érintési pont abszcisszáját. De a rajzon jól látszik, hogy nincsenek ilyen hézagok (hiszen a parabola mindenhol az abszcissza tengelye alatt van), valamint nincsenek metszéspontok, ahogyan érintkezési pontok sem. Ezért az eredeti másodfokú egyenlőtlenségnek nincsenek megoldásai.

Válasz:

nincsenek megoldások vagy más jelölésben ∅.

Bibliográfia.

• Algebra: tankönyv 8 cellához. Általános oktatás intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerk. S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M. : Oktatás, 2008. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: 9. évfolyam: tankönyv. általános műveltségre intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerk. S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M. : Oktatás, 2009. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. osztály. 14 órakor 1. rész Tankönyv oktatási intézmények diákjainak / A. G. Mordkovich. - 11. kiadás, törölve. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovich A. G. Algebra. 9. évfolyam 14 órakor 1. rész Tankönyv az oktatási intézmények diákjainak / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. kiadás, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovich A. G. Algebra és a matematikai elemzés kezdete. 11. évfolyam. 14 órakor 1. rész. Tankönyv oktatási intézmények diákjainak (profilszint) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. kiadás, törölve. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.

A grafikus módszer a másodfokú egyenlőtlenségek megoldásának egyik fő módszere. A cikkben bemutatunk egy algoritmust a grafikus módszer alkalmazására, majd példákon keresztül megvizsgáljuk a speciális eseteket.

A grafikus módszer lényege

A módszer nem csak négyzetes egyenlőtlenségek megoldására alkalmazható. Lényege: az egyenlőtlenség jobb és bal oldalát két különálló függvénynek tekintjük y \u003d f (x) és y \u003d g (x), grafikonjaikat téglalap alakú koordinátarendszerbe építik fel, és megnézik, hogy melyik a grafikonok egymás felett helyezkednek el, és melyik intervallumokon. Az intervallumokat a következőképpen értékeljük:

1. definíció

• az f(x) > g(x) egyenlőtlenség megoldásai azok az intervallumok, ahol az f függvény grafikonja magasabb, mint a g függvény grafikonja;
• az f (x) ≥ g (x) egyenlőtlenség megoldásai azok az intervallumok, ahol az f függvény grafikonja nem kisebb, mint a g függvény grafikonja;
• az f (x) egyenlőtlenség megoldásai< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• az f (x) ≤ g (x) egyenlőtlenség megoldásai azok az intervallumok, ahol az f függvény grafikonja nem magasabb, mint a g függvény grafikonja;
• az f és g függvények grafikonjainak metszéspontjainak abszcisszán az f(x) = g(x) egyenlet megoldásai.

Tekintsük a fenti algoritmust egy példával. Ehhez vegyük az a x 2 + b x + c másodfokú egyenlőtlenséget< 0 (≤ , >, ≥), és ebből két függvényt származtat. Az egyenlőtlenség bal oldala y = a x 2 + b x + c (ebben az esetben f (x) = a x 2 + b x + c), a jobb oldali y = 0 (ebben az esetben g (x) = 0 ).

Az első függvény grafikonja egy parabola, a második egy egyenes, amely egybeesik az x tengellyel. Elemezzük a parabola helyzetét az x tengelyhez képest. Ehhez vázlatos rajzot készítünk.

A parabola ágai felfelé irányulnak. Pontokban metszi az x tengelyt x 1és x2. Az a együttható ebben az esetben pozitív, mivel ő a felelős a parabola ágainak irányáért. A diszkriminans pozitív, ami azt jelzi, hogy a négyzetháromtagnak két gyöke van. a x 2 + b x + c. A trinomiális gyökereit a-val jelöljük x 1és x2, és ezt elfogadták x 1< x 2 , mivel az O x tengelyen egy pontot ábrázoltak abszcisszával x 1 az abszcisszával ellátott ponttól balra x2.

A parabola O x tengelye felett elhelyezkedő részeit piros, alatta kék szín jelöli. Ez lehetővé teszi számunkra, hogy a rajzot vizuálisabbá tegyük.

Jelöljük ki az ezeknek a részeknek megfelelő hézagokat, és jelöljük meg az ábrán bizonyos színű mezőkkel.

Pirossal jelöltük a (− ∞, x 1) és (x 2, + ∞) intervallumokat, rajtuk a parabola az O x tengelye felett van. Ezek a x 2 + b x + c > 0 . Kék színnel jelöltük az (x 1 , x 2) intervallumot, ami az a x 2 + b x + c egyenlőtlenség megoldása.< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

Jegyezzük fel röviden a megoldást. Ha a > 0 és D = b 2 − 4 a c > 0 (vagy D " = D 4 > 0 páros b együttható esetén), a következőt kapjuk:

• az a x 2 + b x + c > 0 másodfokú egyenlőtlenség megoldása (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) vagy más módon x< x 1 , x >x2;
• az a · x 2 + b · x + c ≥ 0 másodfokú egyenlőtlenség megoldása (− ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞) vagy más jelöléssel x ≤ x 1, x ≥ x 2 ;
• az a x 2 + b x + c másodfokú egyenlőtlenség megoldása< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• az a x 2 + b x + c ≤ 0 másodfokú egyenlőtlenség megoldása [ x 1 , x 2 ] vagy más jelöléssel x 1 ≤ x ≤ x 2 ,

ahol x 1 és x 2 az a x 2 + b x + c és x 1 négyzetháromtag gyökei< x 2 .

Ezen az ábrán a parabola csak egy pontban érinti az O x tengelyt, amelyet a következőképpen jelölünk x0 a > 0. D=0, ezért a négyzetháromtagnak egy gyöke van x0.

A parabola teljesen az O x tengely felett helyezkedik el, kivéve a koordinátatengely érintkezési pontját. Színezd ki a hézagokat (− ∞ , x 0) , (x 0 , ∞) .

Írjuk fel az eredményeket. Nál nél a > 0és D=0:

• a másodfokú egyenlőtlenség megoldása a x 2 + b x + c > 0értéke (− ∞ , x 0) ∪ (x 0 , + ∞) vagy más jelöléssel x ≠ x0;
• a másodfokú egyenlőtlenség megoldása a x 2 + b x + c ≥ 0 egy (− ∞ , + ∞) vagy más jelöléssel x ∈ R ;
• négyzetes egyenlőtlenség a x 2 + b x + c< 0 nincs megoldása (nincs olyan intervallum, amelyen a parabola a tengely alatt található Ökör);
• négyzetes egyenlőtlenség a x 2 + b x + c ≤ 0 megvan az egyetlen megoldás x = x0(az érintkezési pont adja meg),

ahol x0- a négyzetes trinom gyöke a x 2 + b x + c.

Tekintsük a harmadik esetet, amikor a parabola ágai felfelé irányulnak, és nem érintik a tengelyt Ökör. A parabola ágai felfelé mutatnak, ami azt jelenti a > 0. A négyzetháromtagnak nincsenek valódi gyökerei, mert D< 0 .

A grafikonon nincsenek olyan intervallumok, amelyeknél a parabola az x tengely alatt lenne. Ezt figyelembe vesszük, amikor színt választunk rajzunkhoz.

Kiderül, hogy mikor a > 0és D< 0 négyzetegyenlőtlenségek megoldása a x 2 + b x + c > 0és a x 2 + b x + c ≥ 0 az összes valós szám és az egyenlőtlenségek halmaza a x 2 + b x + c< 0 és a x 2 + b x + c ≤ 0 nincsenek megoldásai.

Három lehetőséget kell mérlegelnünk, amikor a parabola ágai lefelé irányulnak. Ezen a három lehetőségnél nem kell elmélkednünk, mivel az egyenlőtlenség mindkét részét −1-gyel megszorozva egy ekvivalens egyenlőtlenséget kapunk, pozitív együtthatóval x 2-ben.

A cikk előző részének átgondolása felkészített bennünket az egyenlőtlenségek grafikus módszerrel történő megoldásának algoritmusának érzékeltetésére. A számításokhoz minden alkalommal egy rajzot kell használnunk, amely az O x koordináta egyenest és egy másodfokú függvénynek megfelelő parabolát mutat. y = a x 2 + b x + c. A legtöbb esetben nem ábrázoljuk az O y tengelyt, mivel nincs rá szükség a számításokhoz, és csak túlterheli a rajzot.

A parabola megalkotásához két dolgot kell tudnunk:

2. definíció

• az ágak iránya, amelyet az a együttható értéke határoz meg;
• a parabola és az abszcissza tengely metszéspontjainak jelenléte, amelyeket a négyzetes trinomiális diszkrimináns értéke határoz meg a · x 2 + b · x + c.

A metszéspontokat és az érintési pontokat a nem szigorú egyenlőtlenségek megoldásánál a szokásos módon, szigorúak megoldásánál üresen jelöljük ki.

A kész rajz birtokában továbbléphet a megoldás következő lépésére. Ez magában foglalja azoknak az intervallumoknak a meghatározását, amelyek között a parabola az O x tengely felett vagy alatt helyezkedik el. A hézagok és a metszéspontok a megoldás a másodfokú egyenlőtlenségre. Ha nincsenek metszéspontok vagy érintési pontok és intervallumok, akkor azt tekintjük, hogy a feladat feltételeiben megadott egyenlőtlenségnek nincs megoldása.

Most oldjunk meg néhány másodfokú egyenlőtlenséget a fenti algoritmus segítségével.

1. példa

A 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 egyenlőtlenséget grafikusan kell megoldani.

Döntés

Rajzoljuk fel az y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 másodfokú függvény grafikonját. Együttható at x2 pozitív, mert 2 . Ez azt jelenti, hogy a parabola ágai felfelé irányulnak.

Kiszámítjuk a 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 négyzethármas diszkriminánsát, hogy megtudjuk, vannak-e közös pontjai a parabolának az x tengellyel. Kapunk:

D \u003d 5 1 3 2 - 4 2 (- 2) \u003d 400 9

Mint látható, D nagyobb, mint nulla, ezért két metszéspontunk van: x 1 \u003d - 5 1 3 - 400 9 2 2 és x 2 \u003d - 5 1 3 + 400 9 2 2, azaz x 1 = − 3és x 2 = 1 3.

Egy nem szigorú egyenlőtlenséget oldunk meg, ezért közönséges pontokat teszünk a grafikonra. Rajzolunk egy parabolát. Amint láthatja, a rajz ugyanolyan megjelenésű, mint az általunk áttekintett első sablonban.

Egyenlőtlenségünk előjele ≤. Ezért ki kell választanunk a grafikonon azokat a hézagokat, ahol a parabola az O x tengelye alatt található, és metszéspontokat kell hozzáadnunk hozzájuk.

A szükséges intervallum a − 3 , 1 3 . Adjuk hozzá a metszéspontokat, és kapunk egy − 3 , 1 3 numerikus szakaszt. Ez a megoldás a problémánkra. A válasz felírható kettős egyenlőtlenségként: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Válasz:− 3, 1 3 vagy − 3 ≤ x ≤ 1 3.

2. példa

− x 2 + 16 x − 63< 0 grafikus módszer.

Döntés

A változó négyzetének numerikus együtthatója negatív, így a parabola ágai lefelé mutatnak. Számítsa ki a diszkrimináns negyedik részét! D" = 8 2 − (− 1) (− 63) = 64 − 63 = 1. Ez az eredmény azt mutatja, hogy két metszéspont lesz.

Számítsuk ki a négyzetes trinom gyökereit: x 1 \u003d - 8 + 1 - 1 és x 2 \u003d - 8 - 1 - 1, x 1 \u003d 7 és x2 = 9.

Kiderült, hogy a parabola pontokban metszi az x tengelyt 7 és 9 . Ezeket a pontokat üresnek jelöljük a grafikonon, mivel szigorú egyenlőtlenséggel dolgozunk. Ezek után rajzolunk egy parabolát, amely a megjelölt pontokban metszi az O x tengelyt.

Arra leszünk kíváncsiak, hogy a parabola milyen intervallumokban helyezkedik el az O x tengelye alatt. Jelölje be ezeket az intervallumokat kékkel.

Megkapjuk a választ: az egyenlőtlenség megoldása a (− ∞ , 7) , (9 , + ∞) intervallumok.

Válasz:(− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) vagy más jelöléssel x< 7 , x > 9 .

Azokban az esetekben, amikor egy négyzetes trinom diszkriminánsa nulla, ügyelni kell arra, hogy belefoglaljuk-e az érintőpont abszcisszáját a válaszba. A helyes döntés meghozatalához figyelembe kell venni az egyenlőtlenség jelét. Szigorú egyenlőtlenségekben az abszcissza tengely érintkezési pontja nem jelent megoldást az egyenlőtlenségre, a nem szigorúaknál igen.

3. példa

Oldja meg a másodfokú egyenlőtlenséget! 10 x 2 − 14 x + 4, 9 ≤ 0 grafikus módszer.

Döntés

A parabola ágai ebben az esetben felfelé irányulnak. Ez érinti az O x tengelyt a 0, 7 pontban, mivel

Ábrázoljuk a függvényt y = 10 x 2 − 14 x + 4, 9. Ágai felfelé irányulnak, mivel az együttható at x2 pozitív, és érinti az x tengelyt az x tengellyel rendelkező pontban 0 , 7 , mint D" = (- 7) 2 - 10 4, 9 = 0, ahonnan x 0 = 7 10 ill 0 , 7 .

Tegyünk egy pontot és rajzoljunk egy parabolát.

Egy nem szigorú egyenlőtlenséget oldunk meg ≤ előjellel. Ennélfogva. Arra leszünk kíváncsiak, hogy a parabola milyen intervallumokban helyezkedik el az x tengely és az érintkezési pont alatt. Az ábrán nincsenek olyan intervallumok, amelyek a feltételeinket kielégítenék. Csak egy érintési pont van 0, 7. Ez a kívánt megoldás.

Válasz: Az egyenlőtlenségnek csak egy megoldása van 0 , 7 .

4. példa

Oldja meg a másodfokú egyenlőtlenséget! – x 2 + 8 x – 16< 0 .

Döntés

A parabola ágai lefelé mutatnak. A diszkrimináns nulla. Metszéspont x0 = 4.

Jelöljük az érintkezési pontot az x tengelyen, és rajzolunk egy parabolát.

Szigorú egyenlőtlenséggel állunk szemben. Ezért arra vagyunk kíváncsiak, hogy a parabola milyen intervallumokon helyezkedik el az O x tengelye alatt. Jelöljük őket kékkel.

A 4-es abszcissza pont nem megoldás, mivel a parabola nem az O x tengely alatt helyezkedik el. Ezért két intervallumot kapunk (− ∞ , 4) , (4 , + ∞) .

Válasz: (− ∞ , 4) ∪ (4 , + ∞) vagy más jelöléssel x ≠ 4 .

Nem mindig negatív diszkriminans érték esetén az egyenlőtlenségnek nem lesz megoldása. Vannak esetek, amikor a megoldás az összes valós szám halmaza lesz.

5. példa

Oldja meg grafikusan a 3 · x 2 + 1 > 0 másodfokú egyenlőtlenséget!

Döntés

Az a együttható pozitív. A diszkrimináns negatív. A parabola ágai felfelé irányulnak. A parabolának nincsenek metszéspontjai az O x tengellyel. Térjünk rá a rajzra.

Szigorú egyenlőtlenséggel dolgozunk, aminek > jele van. Ez azt jelenti, hogy az érdekel minket, hogy a parabola milyen intervallumokban helyezkedik el az x tengely felett. Pontosan ez az eset, ha a válasz az összes valós szám halmaza.

Válasz:(− ∞ , + ∞) vagy így x ∈ R .

6. példa

Az egyenlőtlenségre megoldást kell találni − 2 x 2 − 7 x − 12 ≥ 0 grafikus módon.

Döntés

A parabola ágai lefelé mutatnak. A diszkrimináns negatív, ezért nincs közös pontja a parabolának és az x tengelynek. Térjünk rá a rajzra.

≥ előjelű nem szigorú egyenlőtlenséggel dolgozunk, ezért arra vagyunk kíváncsiak, hogy a parabola mely intervallumokon helyezkedik el az x tengely felett. A menetrendből ítélve ilyen hiányosságok nincsenek. Ez azt jelenti, hogy a probléma feltételében megadott egyenlőtlenségnek nincs megoldása.

Válasz: Nincsenek megoldások.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Sok olyan feladat, amelyet tisztán algebrailag számolni szoktunk, sokkal könnyebben és gyorsabban megoldható, ebben a függvénygráfok segítségére leszünk. Azt mondod "hogyan?" rajzolni valamit, és mit kell rajzolni? Higgye el, néha kényelmesebb és egyszerűbb. Kezdhetjük? Kezdjük az egyenletekkel!

Egyenletek grafikus megoldása

Lineáris egyenletek grafikus megoldása

Mint már tudod, a lineáris egyenlet grafikonja egy egyenes, innen ered ennek a típusnak a neve. A lineáris egyenleteket meglehetősen könnyű algebrailag megoldani - az összes ismeretlent átvisszük az egyenlet egyik oldalára, mindent, amit tudunk, a másikra, és íme! Megtaláltuk a gyökeret. Most megmutatom, hogyan kell csinálni grafikus módon.

Tehát van egy egyenleted:

Hogyan lehet megoldani?
1.opció, és a leggyakoribb az, hogy az ismeretleneket az egyik oldalra, az ismerteket a másik oldalra mozgatjuk, így kapjuk:

És most építkezünk. Mit kaptál?

Ön szerint mi az egyenletünk gyökere? Így van, a grafikonok metszéspontjának koordinátája:

A válaszunk az

Ez a grafikus megoldás teljes bölcsessége. Amint azt könnyen ellenőrizheti, az egyenletünk gyöke egy szám!

Ahogy fentebb is mondtam, ez a leggyakoribb lehetőség, közel az algebrai megoldáshoz, de meg lehet oldani más módon is. Egy alternatív megoldás megfontolásához térjünk vissza az egyenletünkhöz:

Ezúttal nem fogunk semmit egyik oldalról a másikra mozgatni, hanem közvetlenül fogunk grafikonokat készíteni, ahogy most is:

Épült? Néz!

Mi a megoldás ezúttal? Rendben. Ugyanez a grafikonok metszéspontjának koordinátája:

És ismét a válaszunk az.

Amint látja, a lineáris egyenletekkel minden rendkívül egyszerű. Itt az ideje, hogy valami bonyolultabbat fontolgass... Például másodfokú egyenletek grafikus megoldása.

Másodfokú egyenletek grafikus megoldása

Tehát most kezdjük el a másodfokú egyenlet megoldását. Tegyük fel, hogy meg kell találnia ennek az egyenletnek a gyökereit:

Természetesen most már elkezdheti a számolást a diszkriminánson keresztül, vagy a Vieta-tétel szerint, de sok ideg hibázik a szorzásnál vagy négyzetesítésnél, különösen, ha a példa nagy számokat tartalmaz, és mint tudod, nem lesz számológép a vizsgán ... Ezért próbáljunk meg egy kicsit lazítani és rajzolni az egyenlet megoldása közben.

Grafikusan ennek az egyenletnek a megoldása többféleképpen is megoldható. Fontolja meg a különböző lehetőségeket, és maga választja ki, melyik tetszik a legjobban.

Módszer 1. Közvetlenül

Egyszerűen felállítunk egy parabolát az alábbi egyenlet szerint:

A gyorsítás érdekében adok egy kis tippet: célszerű a konstrukciót a parabola csúcsának meghatározásával kezdeni. A következő képletek segítenek meghatározni a parabola csúcsának koordinátáit:

Azt mondod: "Állj! A képlete nagyon hasonlít a diszkrimináns „igen, az, és ez egy hatalmas hátránya annak, ha „direkt „építünk egy parabolát, hogy megtaláljuk a gyökereit – megkeresésére használt képlethez. Azonban számoljunk a végéig, aztán megmutatom, hogyan lehet ezt sokkal (sokkal!) megkönnyíteni!

számoltál? Melyek a parabola csúcsának koordinátái? Találjuk ki együtt:

Pontosan ugyanaz a válasz? Szép munka! És most már ismerjük a csúcs koordinátáit, és egy parabola felépítéséhez több ... pontra van szükségünk. Mit gondolsz, hány minimum pontra van szükségünk? Helyesen,.

Tudod, hogy egy parabola szimmetrikus a csúcsára, például:

Ennek megfelelően további két pontra van szükségünk a parabola bal vagy jobb ága mentén, és a jövőben szimmetrikusan tükrözzük ezeket a pontokat az ellenkező oldalon:

Visszatérünk a parabolánkhoz. A mi esetünkben a lényeg. Kell még két pont, illetve vehetünk pozitívat, de vehetünk negatívat? Melyek a legjobb pontok számodra? Kényelmesebb számomra pozitívakkal dolgozni, ezért és -vel fogok számolni.

Most három pontunk van, és könnyedén megépíthetjük a parabolánkat, ha tükrözzük az utolsó két pontot a csúcsáról:

Ön szerint mi az egyenlet megoldása? Így van, azok a pontok, amelyeknél, vagyis és. Mert.

És ha ezt mondjuk, akkor ez azt jelenti, hogy egyenlőnek kell lennie, ill.

Éppen? Az egyenlet megoldását Önnel komplex grafikusan befejeztük, különben lesz még!

Válaszunkat természetesen algebrailag is ellenőrizheti – a gyököket a Vieta-tételen vagy a diszkriminánson keresztül számíthatja ki. Mit kaptál? Ugyanaz? Látod! Most pedig lássunk egy nagyon egyszerű grafikus megoldást, biztosan nagyon fog tetszeni!

2. módszer. Oszd fel több funkcióra

Vegyünk mindent, az egyenletünket is: , de kicsit másképp írjuk, mégpedig:

Megírhatjuk így? Megtehetjük, hiszen a transzformáció ekvivalens. Nézzük tovább.

Építsünk két függvényt külön-külön:

1. - a gráf egy egyszerű parabola, amelyet könnyedén megépíthet anélkül is, hogy képletekkel határozná meg a csúcsot, és nem készít táblázatot a többi pont meghatározásához.
2. - a grafikon egy egyenes, amelyet az értékek becslésével és fejben is könnyedén megépíthet anélkül, hogy számológépet kellene igénybe vennie.

Épült? Hasonlítsd össze azzal, amit kaptam:

Ön szerint ebben az esetben mi az egyenlet gyökere? Helyesen! Koordináták, amelyeket két grafikon keresztezésével kapunk, és ez:

Ennek megfelelően ennek az egyenletnek a megoldása a következő:

Mit mondasz? Egyetértek, ez a megoldási módszer sokkal könnyebb, mint az előző, és még könnyebb is, mint a diszkriminánson keresztül gyökereket keresni! Ha igen, próbálja meg ezzel a módszerrel megoldani a következő egyenletet:

Mit kaptál? Hasonlítsuk össze diagramjainkat:

A grafikonok azt mutatják, hogy a válaszok a következők:

Sikerült? Szép munka! Most nézzük az egyenleteket egy kicsit bonyolultabban, nevezetesen a vegyes egyenletek megoldását, vagyis a különböző típusú függvényeket tartalmazó egyenleteket.

Vegyes egyenletek grafikus megoldása

Most próbáljuk meg megoldani a következőket:

Természetesen mindent lehet közös nevezőre hozni, megkeresni a kapott egyenlet gyökereit, miközben nem felejtjük el figyelembe venni az ODZ-t sem, de ismét megpróbáljuk grafikusan megoldani, ahogy minden korábbi esetben tettük.

Ezúttal ábrázoljuk a következő 2 grafikont:

1. - a grafikon egy hiperbola
2. - a grafikon egy egyenes vonal, amelyet könnyedén megépíthet az értékek becslésével és fejben anélkül, hogy számológépet kellene igénybe vennie.

Megvalósult? Most kezdje el az építkezést.

Íme, mi történt velem:

Ha ezt a képet nézzük, mik az egyenletünk gyökerei?

Így van, és. Íme a megerősítés:

Próbálja meg a gyökereinket bedugni az egyenletbe. Megtörtént?

Rendben! Egyetértek, az ilyen egyenletek grafikus megoldása öröm!

Próbálja meg grafikusan megoldani az egyenletet:

Adok egy tippet: mozgassa az egyenlet egy részét jobbra, hogy mindkét oldalnak a legegyszerűbb függvényei legyenek. Megvan a tipp? Cselekszik!

Most pedig lássuk, mire jutottál:

Illetőleg:

1. - köbös parabola.
2. - egy közönséges egyenes.

Nos, építkezünk:

Ahogy sokáig írtad, ennek az egyenletnek a gyökere -.

Miután ilyen sok példát megoldott, biztos vagyok benne, hogy rájött, hogyan lehet egyszerűen és gyorsan grafikusan megoldani az egyenleteket. Ideje kitalálni, hogyan lehet ilyen módon megoldani a rendszereket.

Rendszerek grafikus megoldása

A rendszerek grafikus megoldása lényegében nem különbözik az egyenletek grafikus megoldásától. Két gráfot is készítünk, és ezek metszéspontjai lesznek ennek a rendszernek a gyökerei. Az egyik gráf egy egyenlet, a második egy másik egyenlet. Minden rendkívül egyszerű!

Kezdjük a legegyszerűbb - lineáris egyenletrendszerek megoldásával.

Lineáris egyenletrendszerek megoldása

Tegyük fel, hogy a következő rendszerünk van:

Először is úgy alakítjuk át, hogy a bal oldalon legyen minden, amihez kapcsolódik, a jobb oldalon pedig az, amihez kapcsolódik. Más szavakkal, ezeket az egyenleteket függvényként írjuk fel a számunkra szokásos formában:

És most csak két egyenest építünk. Mi a megoldás esetünkben? Helyesen! A metszéspontjuk! És itt nagyon-nagyon óvatosnak kell lenni! Gondold meg, miért? Adok egy tippet: egy rendszerrel van dolgunk: a rendszerben mindkettő van, és... Megvan a tipp?

Rendben! A rendszer megoldásánál mindkét koordinátára kell figyelnünk, és nem csak, mint az egyenletek megoldásánál! Egy másik fontos szempont, hogy helyesen írjuk le őket, és ne keverjük össze, hol van az értékünk és hol az érték! Felvett? Hasonlítsunk össze mindent sorrendben:

És a válaszok: i. Végezzen ellenőrzést - cserélje ki a talált gyökereket a rendszerbe, és győződjön meg arról, hogy grafikusan helyesen oldottuk meg?

Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása

De mi van akkor, ha egy egyenes helyett másodfokú egyenletünk van? Rendben van! Csak építs egy parabolát egyenes helyett! Nem hiszek? Próbálja meg megoldani a következő rendszert:

Mi a következő lépésünk? Így van, írd le, hogy kényelmesen tudjunk grafikonokat készíteni:

És most minden az apróságról szól – gyorsan megépítettem, és itt a megoldás az Ön számára! Épület:

A grafika ugyanaz? Most jelölje be a képen a rendszer megoldásait, és írja le helyesen a feltárt válaszokat!

mindent megtettem? Hasonlítsa össze a megjegyzéseimmel:

Rendben? Szép munka! Már az ilyen feladatokra kattintasz, mint a dió! És ha igen, akkor adjunk egy bonyolultabb rendszert:

Mit csinálunk? Helyesen! A rendszert úgy írjuk meg, hogy kényelmes legyen felépíteni:

Adok egy kis tippet, mert a rendszer nagyon bonyolultnak tűnik! Grafikonok építésénél „többet” építsünk, és ami a legfontosabb, ne lepődjünk meg a metszéspontok számán.

Akkor gyerünk! Kilélegzett? Most kezdje el az építkezést!

Nos, hogyan? Gyönyörű? Hány kereszteződési pontot kapott? nekem három van! Hasonlítsuk össze grafikonjainkat:

Ugyanilyen módon? Most gondosan írja le rendszerünk összes megoldását:

Most nézd meg újra a rendszert:

El tudod képzelni, hogy mindössze 15 perc alatt megoldottad? Egyetértek, a matematika még mindig egyszerű, főleg ha egy kifejezést nézel, nem félsz hibázni, hanem fogod és döntesz! Te nagy fiú vagy!

Egyenlőtlenségek grafikus megoldása

Lineáris egyenlőtlenségek grafikus megoldása

Az utolsó példa után készen állsz a feladatra! Most lélegezz ki – az előző részekhez képest ez nagyon-nagyon egyszerű lesz!

Kezdjük, mint általában, egy lineáris egyenlőtlenség grafikus megoldásával. Például ez:

Először a legegyszerűbb átalakításokat hajtjuk végre - megnyitjuk a tökéletes négyzetek zárójeleit, és hasonló kifejezéseket adunk:

Az egyenlőtlenség nem szigorú, ezért - nem szerepel az intervallumban, és a megoldás az összes jobb oldali pont lesz, mivel több, több, és így tovább:

Válasz:

Ez minden! Könnyen? Oldjunk meg egy egyszerű egyenlőtlenséget két változóval:

Rajzoljunk függvényt a koordinátarendszerbe.

Van ilyen diagramod? És most alaposan nézzük meg, mi van az egyenlőtlenségben? Kisebb? Tehát mindent átfestünk, ami az egyenesünktől balra van. Mi lenne, ha több lenne? Így van, akkor átfestenének mindent, ami az egyenesünktől jobbra van. Minden egyszerű.

Ennek az egyenlőtlenségnek minden megoldása narancssárga árnyalatú. Ennyi, a kétváltozós egyenlőtlenség meg van oldva. Ez azt jelenti, hogy a koordináták és az árnyékolt terület bármely pontja a megoldás.

Másodfokú egyenlőtlenségek grafikus megoldása

Most azzal foglalkozunk, hogyan lehet grafikusan megoldani a másodfokú egyenlőtlenségeket.

De mielőtt egyenesen a lényegre térnénk, gyűjtsünk össze néhány dolgot a négyzetfüggvénnyel kapcsolatban.

Miért felelős a diszkrimináns? Így van, a gráf tengelyhez viszonyított helyzetére (ha erre nem emlékszel, akkor mindenképp olvasd el a másodfokú függvények elméletét).

Mindenesetre álljon itt egy kis emlékeztető:

Most, hogy az összes anyagot felfrissítettük az emlékezetünkben, lássuk a dolgot - grafikusan megoldjuk az egyenlőtlenséget.

Azonnal elmondom, hogy két lehetőség van a megoldásra.

1.opció

A parabolánkat függvényként írjuk fel:

A képletek segítségével meghatározzuk a parabola csúcsának koordinátáit (ugyanúgy, mint a másodfokú egyenletek megoldásánál):

számoltál? Mit kaptál?

Most vegyünk még két különböző pontot, és számoljunk rájuk:

Elkezdjük építeni a parabola egyik ágát:

Pontjainkat szimmetrikusan tükrözzük a parabola másik ágán:

Most térjünk vissza az egyenlőtlenségünkhöz.

Szükségünk van arra, hogy nullánál kisebb legyen:

Mivel egyenlőtlenségünkben szigorúan kevesebb előjel van, a végpontokat kizárjuk - „kibökjük”.

Válasz:

Hosszú út, igaz? Most megmutatom a grafikus megoldás egy egyszerűbb változatát, ugyanazt az egyenlőtlenséget használva példaként:

2. lehetőség

Visszatérünk egyenlőtlenségünkhöz, és megjelöljük a szükséges intervallumokat:

Egyetértek, sokkal gyorsabb.

Most írjuk le a választ:

Tekintsünk egy másik megoldási módot, amely leegyszerűsíti az algebrai részt, de a lényeg, hogy ne keveredjünk össze.

Szorozzuk meg a bal és a jobb oldalt a következővel:

Próbáld meg tetszés szerint egyedül megoldani a következő másodfokú egyenlőtlenséget: .

Sikerült?

Nézze meg, hogyan sikerült a diagramom:

Válasz: .

Vegyes egyenlőtlenségek grafikus megoldása

Most térjünk át a bonyolultabb egyenlőtlenségekre!

Hogy tetszik ez:

Szörnyű, igaz? Őszintén szólva fogalmam sincs, hogyan lehet ezt algebrailag megoldani... De nem szükséges. Grafikailag nincs ebben semmi bonyolult! A szemek félnek, de a kezek csinálják!

Először is két grafikon felépítésével kezdünk:

Nem írok mindenki számára táblázatot – biztos vagyok benne, hogy egyedül is tökéletesen meg tudod csinálni (persze, rengeteg a megoldásra váró példa!).

Festett? Most készítsen két grafikont.

Hasonlítsuk össze a rajzainkat?

Neked is van ilyen? Bírság! Most helyezzük el a metszéspontokat, és határozzuk meg egy színnel, hogy elméletileg melyik grafikonunk legyen nagyobb, azaz. Nézd meg, mi történt a végén:

És most csak azt nézzük, hol van magasabban a kiválasztott diagramunk a diagramnál? Nyugodtan fogjon egy ceruzát és fesse át ezt a területet! Ez lesz a megoldás összetett egyenlőtlenségünkre!

A tengely mentén milyen intervallumokban vagyunk magasabban? Jobb, . Ez a válasz!

Nos, most már bármilyen egyenletet, és bármilyen rendszert, és még inkább minden egyenlőtlenséget kezelhet!

RÖVIDEN A FŐRŐL

Algoritmus az egyenletek függvénygráfok segítségével történő megoldásához:

1. Express keresztül
2. Határozza meg a függvény típusát
3. Készítsünk grafikonokat a kapott függvényekből
4. Keresse meg a grafikonok metszéspontjait!
5. Írja le helyesen a választ (figyelembe véve az ODZ és az egyenlőtlenség jeleit)
6. Ellenőrizze a választ (helyettesítse a gyököket az egyenletben vagy rendszerben)

A függvénygrafikonok ábrázolásával kapcsolatos további információkért lásd a "" témakört.

A FELÉPÍTETT 2/3 CIKKEK CSAK A YOUCLEVER DIÁKOK SZÁMÁRA ÉRHETŐK EL!

Legyél a YouClever tanulója,

Készüljön fel az OGE-re, vagy használja a matematikát "egy csésze kávé havonta" áron,

Továbbá korlátlan hozzáférést kap a "YouClever" tankönyvhöz, a "100gia" képzési programhoz (megoldáskönyv), korlátlan próba USE és OGE, 6000 feladat megoldások elemzésével és egyéb YouClever és 100gia szolgáltatásokkal.

Yury Kotovchikhin 10. osztályos tanuló

A tanulók már 6. osztálytól kezdik el az egyenletek modulos tanulását, a szubmoduláris kifejezések állandósági intervallumán a modulok bővítésével tanulják a szokásos megoldási módszert. Azért választottam ezt a témát, mert úgy gondolom, hogy mélyebb, alaposabb tanulmányozást igényel, a modullal kapcsolatos feladatok nagy nehézségeket okoznak a hallgatóknak. Az iskolai tantervben fokozott komplexitású feladatokként és vizsgákon is vannak modult tartalmazó feladatok, ezért ilyen feladattal is fel kell készülni.

Letöltés:

Előnézet:

Önkormányzati oktatási intézmény

Középiskola №5

Kutatómunka a témában:

« Modulust tartalmazó egyenletek és egyenlőtlenségek algebrai és grafikus megoldása»

Elvégeztem a munkát:

10. osztályos tanuló

Kotovcsikhin Jurij

Felügyelő:

Matematika tanár

Shanta N.P.

Uryupinsk

1. Bevezetés………………………………………………………….3

2. Fogalmak és definíciók…………………………………………….5

3. Tételek bizonyítása………………………………………………..6

4. Modulokat tartalmazó egyenletek megoldási módszerei……………7

12

4.2. A modul geometriai értelmezésének felhasználása egyenletek megoldására………………………………………………………………..14

4.3 A legegyszerűbb függvények grafikonjai, amelyek az abszolút érték előjelét tartalmazzák.

………………………………………………………………………15

4.4. A ... modult tartalmazó nem szabványos egyenletek megoldása 16

5. Következtetés………………………………………………………….17

6. Felhasznált irodalom jegyzéke………………………………………………………………………………………………………18

A munka célja: a tanulók már 6. osztálytól elkezdik az egyenleteket modulárisan tanulni, a szubmoduláris kifejezések állandó előjelű intervallumán a modulok megnyitásával történő standard megoldási módszert tanulják. Azért választottam ezt a témát, mert úgy gondolom, hogy mélyebb, alaposabb tanulmányozást igényel, a modullal kapcsolatos feladatok nagy nehézségeket okoznak a hallgatóknak. Az iskolai tantervben fokozott komplexitású feladatokként és vizsgákon is vannak modult tartalmazó feladatok, ezért ilyen feladattal is fel kell készülni.

1. Bemutatkozás:

A „modul” szó a latin „modulus” szóból származik, ami „mértéket” jelent. Ez egy többértékű szó (homonim), amelynek sok jelentése van, és nem csak a matematikában, hanem az építészetben, a fizikában, a mérnöki tudományokban, a programozásban és más egzakt tudományokban is használatos.

Az építészetben ez a kezdeti mértékegység, amelyet egy adott építészeti szerkezetre határoznak meg, és az alkotóelemek többszörös arányát fejezik ki.

A mérnöki tudományban ez a technológia különböző területein használt kifejezés, amelynek nincs univerzális jelentése, és különféle együtthatók és mennyiségek jelölésére szolgál, például az összekapcsolódási modulus, a rugalmassági modulus stb.

A térfogati modulus (a fizikában) az anyag normál feszültségének és a nyúlásnak az aránya.

2. Fogalmak és definíciók

Az A valós szám modulját - abszolút értékét - |A| jelöli.

A téma alapos tanulmányozásához meg kell ismerkednie a legegyszerűbb definíciókkal, amelyekre szükségem lesz:

Az egyenlet változókat tartalmazó egyenlőség.

A modulusos egyenlet olyan egyenlet, amely egy változót tartalmaz az abszolút érték előjele alatt (a modulus előjele alatt).

Egy egyenlet megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes gyökerét, vagy bebizonyítjuk, hogy nincsenek gyökök.

3.Tételek bizonyítása

1. Tétel. Egy valós szám abszolút értéke egyenlő a két a vagy -a szám közül a nagyobbkal.

Bizonyíték

1. Ha az a szám pozitív, akkor -a negatív, azaz -a

Például az 5-ös szám pozitív, majd -5 negatív és -5

Ebben az esetben |a| = a, azaz |a| megfelel a két szám közül a nagyobbnak a és - a.

2. Ha a negatív, akkor -a pozitív és a

Következmény. A tételből következik, hogy |-a| = |a|.

Valójában mindkettő és egyenlő az -a és a nagyobb számmal, ezért egyenlők egymással.

2. Tétel. Bármely a valós szám abszolút értéke megegyezik A számtani négyzetgyökével 2 .

Valóban, ha akkor egy szám modulusának definíciója alapján lAl>0 lesz, másrészt, ha A>0, akkor |a| = √A 2

Ha egy 2

Ez a tétel lehetővé teszi |a| helyettesítését a

Geometriailag |a| a koordinátavonalon az a számot képviselő pont és az origó közötti távolságot jelenti.

Ha ekkor a koordinátaegyenesen van két nullától egyenlő távolságra lévő a és -a pont, amelyek moduljai egyenlőek.

Ha a = 0, akkor az |a| koordinátaegyenesen 0 pont képviseli

4. Módszerek modult tartalmazó egyenletek megoldására.

Az abszolút érték előjelét tartalmazó egyenletek megoldásához a szám modulusának meghatározását és a szám abszolút értékének tulajdonságait vesszük alapul. Számos példát fogunk különböző módon megoldani, és megnézzük, melyik módszerrel könnyebb megoldani a modulust tartalmazó egyenleteket.

1. példa. Megoldjuk analitikusan és grafikusan az |x + 2| egyenletet = 1.

Döntés

Analitikai megoldás

1. mód

Egy modul definíciója alapján fogunk érvelni. Ha a modulus alatti kifejezés nem negatív, azaz x + 2 ≥0, akkor a moduluszjelet pluszjellel „elhagyja” és az egyenlet a következő alakot ölti: x + 2 = 1. Ha az értékek a modulusjel alatti kifejezés negatív , akkor definíció szerint egyenlő lesz: vagy x + 2=-1

Így vagy x + 2 = 1, vagy x + 2 = -1. Az eredményül kapott egyenleteket megoldva a következőket kapjuk: X + 2 \u003d 1 vagy X + 2 + -1

X=-1 X=3

Válasz: -3; -1.

Most azt a következtetést vonhatjuk le, hogy ha valamely kifejezés modulusa egyenlő egy valós pozitív számmal a, akkor a modulus alatti kifejezés vagy a vagy -a.

Grafikus megoldás

A modult tartalmazó egyenletek megoldásának egyik módja a grafikus módszer. Ennek a módszernek az a lényege, hogy grafikonokat készítünk ezekről a függvényekről. Ha a gráfok metszik egymást, akkor ezeknek a gráfoknak a metszéspontjai lesznek az egyenletünk gyökerei. Ha a gráfok nem metszik egymást, akkor azt a következtetést vonhatjuk le, hogy az egyenletnek nincs gyöke. Ezt a módszert valószínűleg ritkábban alkalmazzák, mint másokat modult tartalmazó egyenletek megoldására, mivel egyrészt sok időt vesz igénybe, és nem mindig racionális, másrészt a grafikonok ábrázolásakor kapott eredmények nem mindig pontosak.

A modulust tartalmazó egyenletek megoldásának másik módja a számegyenes intervallumokra bontása. Ebben az esetben fel kell osztanunk a számsort, hogy a modul definíciója szerint ezeken az intervallumokon az abszolút érték előjele eltávolítható legyen. Ezután mindegyik résnél meg kell oldanunk ezt az egyenletet, és le kell vonnunk a következtetést a kapott gyökökre vonatkozóan (akár kielégítik a rést, akár nem). A hiányokat kielégítő gyökerek adják meg a végső választ.

2. út

Határozzuk meg, hogy x mely értékeinél a modulus egyenlő nullával: |X+2|=0 , X=2

Két intervallumot kapunk, amelyek mindegyikén megoldjuk az egyenletet:

Két vegyes rendszert kapunk:

(1) X+2 0

X-2=1 X+2=1

Oldjuk meg az egyes rendszereket:

X=-3 X=-1

Válasz: -3; -1.

Grafikus megoldás

y= |X+2|, y= 1.

Grafikus megoldás

Az egyenlet grafikus megoldásához szükséges a függvények ill

Egy függvénygrafikon ábrázolásához egy függvénygrafikont ábrázolunk - ez egy olyan függvény, amely pontokban metszi az OX tengelyt és az OY tengelyt.

A függvénygráfok metszéspontjainak abszcisszái megoldást adnak az egyenletre.

Az y=1 függvény direkt gráfja metszi az y=|x + 2| függvény grafikonját. a (-3; 1) és (-1; 1) koordinátájú pontokban, ezért az egyenlet megoldásai a pontok abszcisszái lesznek:

x=-3, x=-1

Válasz: -3;-1

2. példa Oldja meg analitikusan és grafikusan az 1 + |x| egyenletet = 0,5.

Döntés:

Analitikai megoldás

Alakítsuk át az egyenletet: 1 + |x| = 0,5

|x| =0,5-1

|x|=-0,5

Nyilvánvaló, hogy ebben az esetben az egyenletnek nincs megoldása, mivel a modulus definíció szerint mindig nem negatív.

Válasz: Nincsenek megoldások.

Grafikus megoldás

Alakítsuk át az egyenletet: : 1 + |x| = 0,5

|x| =0,5-1

|x|=-0,5

A függvény grafikonja a sugarak - az 1. és 2. koordinátaszög felezői. A függvény grafikonja az OX tengellyel párhuzamos és az OY tengely -0,5 pontján átmenő egyenes.

A grafikonok nem metszik egymást, így az egyenletnek nincs megoldása.

Válasz: nincs megoldás.

3. példa Oldja meg analitikusan és grafikusan a |-x + 2| egyenletet = 2x + 1.

Döntés:

Analitikai megoldás

1. mód

Először be kell állítania a változó érvényes értékeinek tartományát. Felmerül a természetes kérdés, hogy az előző példákban miért nem volt erre szükség, most viszont felmerült.

A helyzet az, hogy ebben a példában az egyenlet bal oldalán valamilyen kifejezés modulusa, a jobb oldalon pedig nem egy szám, hanem egy változóval rendelkező kifejezés - ez a fontos körülmény különbözteti meg ezt a példát a korábbiak.

Mivel a bal oldalon egy modul, a jobb oldalon pedig egy változót tartalmazó kifejezés található, ezért meg kell követelni, hogy ez a kifejezés ne legyen negatív, vagyis az érvényes tartomány

modulértékek

Most ugyanúgy érvelhetünk, mint az 1. példában, amikor az egyenlőség jobb oldalán pozitív szám volt. Két vegyes rendszert kapunk:

(1) -X+2≥0 és (2) -X+2

X+2=2X+1; X-2=2X+1

Oldjuk meg az egyes rendszereket:

(1) belép az intervallumba, és az egyenlet gyöke.

X≤2

X=⅓

(2) X>2

X=-3

X = -3 nem szerepel az intervallumban, és nem az egyenlet gyöke.

Válasz: ⅓.

4.1 Megoldás az a és b számok, moduljaik és a számok négyzetei közötti függőségek felhasználásával.

Az általam fentebb megadott módszerek mellett bizonyos ekvivalencia van a számok és az adott számok moduljai, valamint az adott számok négyzetei és moduljai között:

|a|=|b| a=b vagy a=-b

A2=b2 a=b vagy a=-b

Ebből viszont azt kapjuk

|a|=|b| a 2 = b 2

4. példa Oldjuk meg az |x + 1|=|2x - 5| egyenletet két különböző módon.

1. Ha figyelembe vesszük az (1) összefüggést, a következőt kapjuk:

X + 1 = 2x - 5 vagy x + 1 = -2x + 5

x - 2x = -5 - 1 x + 2x = 5 - 1

X=-6|(:1) 3x=4

x=6 x=11/3

Az első egyenlet gyöke x=6, a második egyenlet gyöke x=11/3

Így az eredeti x egyenlet gyökei 1=6, x2=11/3

2. A (2) összefüggés alapján azt kapjuk

(x + 1) 2 = (2x - 5) 2 vagy x2 + 2x + 1 = 4x2 - 20x + 25

X2 - 4x2 +2x+1 + 20x - 25=0

3x2 + 22x - 24=0|(:-1)

3x2 - 22x + 24=0

D/4=121-3 24=121 - 72=49>0 ==> az egyenletnek 2 különböző gyökere van.

x 1 \u003d (11-7) / 3 \u003d 11/3

x 2 \u003d (11 + 7) / 3 \u003d 6

Ahogy a megoldás is mutatja, ennek az egyenletnek a gyökerei is a 11/3 és a 6 számok.

Válasz: x 1 \u003d 6, x 2 \u003d 11/3

5. példa Oldja meg a (2x + 3) egyenletet 2 =(x - 1) 2 .

A (2) összefüggést figyelembe véve azt kapjuk, hogy |2x + 3|=|x - 1|, ahonnan az előző példa modellje szerint (és az (1) összefüggés szerint):

2x + 3=x - 1 vagy 2x + 3 = -x + 1

2x - x=-1 - 3 2x+ x=1 - 3

X=-4 x=-0,(6)

Így az egyenlet gyökei x1=-4, és x2=-0,(6)

Válasz: x1 \u003d -4, x 2 \u003d 0, (6)

6. példa Oldjuk meg az |x - 6|=|x2 - 5x + 9| egyenletet.

Az arányt használva a következőket kapjuk:

x - 6 \u003d x2 - 5x + 9 vagy x - 6 \u003d - (x2 - 5x + 9)

X2 + 5x + x - 6 - 9=0 |(-1) x - 6 = -x2 + 5x - 9

x2 - 6x + 15 = 0 x 2 - 4x + 3 = 0

D=36-4 15=36-60= -24 D=16-4 3=4 >0==>2 r.c.

==> nincsenek gyökerek.

X 1 \u003d (4-2) / 2 \u003d 1

X 2 \u003d (4 + 2) / 2 = 3

Ellenőrzés: |1 - 6|=|12 - 5 1 + 9| |3 - 6|=|32 - 5 3 + 9|

5 = 5(I) 3 = |9 - 15 + 9|

3 = 3 (ÉS)

Válasz: x 1 =1; x2=3

4.2 A modulus geometriai értelmezésének felhasználása egyenletek megoldására.

A nagyságkülönbség modulusának geometriai jelentése a köztük lévő távolság. Például az |x - a | kifejezés geometriai jelentése - a pontokat az a és x abszcisszákkal összekötő koordinátatengely szakaszának hossza. Egy algebrai feladat geometriai nyelvre fordítása gyakran lehetővé teszi a nehézkes megoldások elkerülését.

Példa7. Oldjuk meg az |x - 1| egyenletet + |x - 2|=1 a modulus geometriai értelmezésével.

A következőképpen fogunk érvelni: a modulus geometriai értelmezése alapján az egyenlet bal oldala az x abszciszták valamelyik pontjától két fix pontig tartó távolságok összege, ahol az abszciszták 1 és 2. Ekkor nyilvánvaló, hogy minden a szegmensből származó abszcisszákkal rendelkező pontok rendelkeznek a szükséges tulajdonsággal, és a szegmensen kívül található pontok - nem. Innen a válasz: az egyenlet megoldásainak halmaza a szegmens.

Válasz:

Példa8. Oldjuk meg az |x - 1| egyenletet - |x - 2|=1 1 a modulus geometriai értelmezésével.

Az előző példához hasonlóan fogunk érvelni, és azt fogjuk látni, hogy az 1-es és 2-es abszcisszával rendelkező pontok távolságának különbsége csak a 2-es számtól jobbra lévő koordinátatengelyen lévő pontok esetén egyenlő eggyel. ez az egyenlet nem az 1. és 2. pont közötti szakasz, és egy sugár, amely a 2. pontból jön ki és az OX tengely pozitív irányába irányul.

Válasz:)