Η προβολή της δύναμης στον άξονα. Προβολή του διανυσματικού αθροίσματος δυνάμεων στον άξονα. Προβολή (γεωμετρική, αλγεβρική) ενός διανύσματος σε έναν άξονα. Ιδιότητες προβολής Προβολή ενός διανύσματος σε τρισδιάστατο χώρο σε έναν άξονα

προβολήΤο διάνυσμα σε έναν άξονα ονομάζεται διάνυσμα, το οποίο προκύπτει πολλαπλασιάζοντας τη βαθμιδωτή προβολή ενός διανύσματος σε αυτόν τον άξονα και το μοναδιαίο διάνυσμα αυτού του άξονα. Για παράδειγμα, αν ένα x είναι κλιμακωτή προβολήδιάνυσμα έναστον άξονα x, μετά ένα x Εγώ- η διανυσματική του προβολή σε αυτόν τον άξονα.

Σημαίνω διανυσματική προβολήακριβώς όπως το ίδιο το διάνυσμα, αλλά με τον δείκτη του άξονα στον οποίο προβάλλεται το διάνυσμα. Άρα, η διανυσματική προβολή του διανύσματος έναστον άξονα x υποδηλώνουν έναΧ ( ελαιώδηςένα γράμμα που δηλώνει ένα διάνυσμα και έναν δείκτη του ονόματος του άξονα) ή (ένα μη έντονο γράμμα που δηλώνει ένα διάνυσμα, αλλά με ένα βέλος στην κορυφή (!) και έναν δείκτη του ονόματος του άξονα).

Σκαλική προβολήδιάνυσμα ανά άξονα ονομάζεται αριθμός, η απόλυτη τιμή του οποίου ισούται με το μήκος του τμήματος του άξονα (στην επιλεγμένη κλίμακα) που περικλείεται μεταξύ των προβολών του σημείου έναρξης και του σημείου τέλους του διανύσματος. Συνήθως αντί της έκφρασης κλιμακωτή προβολήαπλά πες - προβολή. Η προβολή συμβολίζεται με το ίδιο γράμμα με το προβαλλόμενο διάνυσμα (σε κανονική, μη έντονη γραφή), με δείκτη (συνήθως) του ονόματος του άξονα στον οποίο προβάλλεται αυτό το διάνυσμα. Για παράδειγμα, εάν ένα διάνυσμα προβάλλεται στον άξονα x ένα,τότε η προβολή του συμβολίζεται με x . Όταν προβάλλεται το ίδιο διάνυσμα σε άλλο άξονα, εάν ο άξονας είναι Y , η προβολή του θα συμβολίζεται ως y .

Για τον υπολογισμό της προβολής διάνυσμασε έναν άξονα (για παράδειγμα, τον άξονα Χ) είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε τη συντεταγμένη του σημείου έναρξης από τη συντεταγμένη του τελικού σημείου του, δηλαδή
και x \u003d x k - x n.
Η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα είναι ένας αριθμός.Επιπλέον, η προβολή μπορεί να είναι θετική εάν η τιμή του x k είναι μεγαλύτερη από την τιμή του x n,

αρνητικό αν η τιμή του x k είναι μικρότερη από την τιμή του x n

και ίσο με μηδέν αν το x k είναι ίσο με x n.

Η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα μπορεί επίσης να βρεθεί γνωρίζοντας το μέτρο του διανύσματος και τη γωνία που κάνει με αυτόν τον άξονα.

Από το σχήμα φαίνεται ότι a x = a Cos α

δηλαδή η προβολή του διανύσματος στον άξονα είναι ίση με το γινόμενο του συντελεστή του διανύσματος και του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ της διεύθυνσης του άξονα και του διανυσματική κατεύθυνση. Εάν η γωνία είναι οξεία, τότε
Συν α > 0 και a x > 0, και αν είναι αμβλεία, τότε το συνημίτονο αμβλείας γωνίας είναι αρνητικό και η προβολή του διανύσματος στον άξονα θα είναι επίσης αρνητική.

Οι γωνίες που μετρώνται από τον άξονα αριστερόστροφα θεωρούνται θετικές και προς την κατεύθυνση αρνητικές. Ωστόσο, δεδομένου ότι το συνημίτονο είναι άρτια συνάρτηση, δηλαδή Cos α = Cos (− α), κατά τον υπολογισμό των προβολών, οι γωνίες μπορούν να μετρηθούν τόσο δεξιόστροφα όσο και αριστερόστροφα.

Για να βρεθεί η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα, το δομοστοιχείο αυτού του διανύσματος πρέπει να πολλαπλασιαστεί με το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ της διεύθυνσης του άξονα και της διεύθυνσης του διανύσματος.

Διανυσματικές συντεταγμένεςείναι οι συντελεστές του μόνου δυνατού γραμμικού συνδυασμού διανυσμάτων βάσης στο επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων ίσοι με το δεδομένο διάνυσμα.

όπου είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος.

Σημείο γινόμενο διανυσμάτων

SCOAL ΠΡΟΪΟΝ ΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ[- σε πεπερασμένες διαστάσεις διανυσματικός χώροςορίζεται ως το άθροισμα των γινομένων των ίδιων συστατικών του πολλαπλασιαζόμενου φορείς.

Για παράδειγμα, ο S. p. ένα = (ένα 1 , ..., a n) και σι = (σι 1 , ..., b n):

(ένα , σι ) = ένα 1 σι 1 + ένα 2 σι 2 + ... + a n b n

§ 3. Διανυσματικές προβολές στους άξονες συντεταγμένων

1. Γεωμετρική εύρεση προβολών.

Διάνυσμα
- προβολή του διανύσματος στον άξονα ΒΟΔΙ
- προβολή του διανύσματος στον άξονα OY

Ορισμός 1. Διάνυσμα προβολής σε οποιονδήποτε άξονα συντεταγμένων ονομάζεται ένας αριθμός που λαμβάνεται με πρόσημο "συν" ή "πλην", που αντιστοιχεί στο μήκος του τμήματος που βρίσκεται μεταξύ των βάσεων των καθέτων, χαμηλωμένο από την αρχή και το τέλος του διανύσματος στον άξονα συντεταγμένων.

Το σήμα προβολής ορίζεται ως εξής. Εάν, κατά την κίνηση κατά μήκος του άξονα συντεταγμένων, υπάρχει κίνηση από το σημείο προβολής της αρχής του διανύσματος προς το σημείο προβολής του τέλους του διανύσματος στη θετική κατεύθυνση του άξονα, τότε η προβολή του διανύσματος θεωρείται θετική . Εάν το - είναι αντίθετο προς τον άξονα, τότε η προβολή θεωρείται αρνητική.

Το σχήμα δείχνει ότι εάν το διάνυσμα είναι κατά κάποιο τρόπο προσανατολισμένο αντίθετα από τον άξονα συντεταγμένων, τότε η προβολή του σε αυτόν τον άξονα είναι αρνητική. Εάν το διάνυσμα είναι προσανατολισμένο με κάποιο τρόπο στη θετική κατεύθυνση του άξονα συντεταγμένων, τότε η προβολή του σε αυτόν τον άξονα είναι θετική.

Αν το διάνυσμα είναι κάθετο στον άξονα των συντεταγμένων, τότε η προβολή του σε αυτόν τον άξονα είναι ίση με μηδέν.
Εάν ένα διάνυσμα κατευθύνεται από κοινού με έναν άξονα, τότε η προβολή του σε αυτόν τον άξονα είναι ίση με τη μονάδα του διανύσματος.
Εάν το διάνυσμα είναι αντίθετο προς τον άξονα των συντεταγμένων, τότε η προβολή του σε αυτόν τον άξονα είναι ίση σε απόλυτη τιμή με το μέτρο του διανύσματος, που λαμβάνεται με πρόσημο μείον.

2. Ο γενικότερος ορισμός της προβολής.

Από ορθογώνιο τρίγωνο ABD: .

Ορισμός 2. Διάνυσμα προβολής σε οποιονδήποτε άξονα συντεταγμένων λέγεται αριθμός ίσος με το γινόμενο του συντελεστή του διανύσματος και του συνημιτόνου της γωνίας που σχηματίζει το διάνυσμα με τη θετική φορά του άξονα συντεταγμένων.

Το πρόσημο της προβολής προσδιορίζεται από το πρόσημο του συνημιτόνου της γωνίας που σχηματίζει το διάνυσμα με τη θετική φορά του άξονα.
Εάν η γωνία είναι οξεία, τότε το συνημίτονο έχει θετικό πρόσημο και οι προβολές είναι θετικές. Για αμβλείες γωνίες, το συνημίτονο έχει αρνητικό πρόσημο, επομένως σε τέτοιες περιπτώσεις οι προβολές στον άξονα είναι αρνητικές.
- άρα για διανύσματα κάθετα στον άξονα, η προβολή είναι μηδέν.

Η επίλυση προβλημάτων σχετικά με την ισορροπία των συγκλίνων δυνάμεων με την κατασκευή πολυγώνων κλειστής δύναμης σχετίζεται με δυσκίνητες κατασκευές. Μια καθολική μέθοδος για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων είναι η μετάβαση στον προσδιορισμό των προβολών δεδομένων δυνάμεων στους άξονες συντεταγμένων και στη λειτουργία με αυτές τις προβολές. Ο άξονας ονομάζεται ευθεία γραμμή, στην οποία εκχωρείται μια συγκεκριμένη κατεύθυνση.

Η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα είναι μια βαθμωτή τιμή, η οποία καθορίζεται από το τμήμα του άξονα που αποκόπτεται από τις κάθετες που πέφτουν πάνω του από την αρχή και το τέλος του διανύσματος.

Η προβολή ενός διανύσματος θεωρείται θετική αν η κατεύθυνση από την αρχή της προβολής μέχρι το τέλος της συμπίπτει με τη θετική κατεύθυνση του άξονα. Η προβολή ενός διανύσματος θεωρείται αρνητική εάν η φορά από την αρχή της προβολής μέχρι το τέλος του είναι αντίθετη από τη θετική κατεύθυνση του άξονα.

Έτσι, η προβολή της δύναμης στον άξονα των συντεταγμένων είναι ίση με το γινόμενο του συντελεστή της δύναμης και του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ του διανύσματος δύναμης και της θετικής κατεύθυνσης του άξονα.

Εξετάστε έναν αριθμό περιπτώσεων εκτόξευσης δυνάμεων σε έναν άξονα:

Διάνυσμα δύναμης φά(Εικ. 15) κάνει οξεία γωνία με τη θετική κατεύθυνση του άξονα x.

Για να βρούμε την προβολή, από την αρχή και το τέλος του διανύσματος δύναμης χαμηλώνουμε τις κάθετες στον άξονα ω; παίρνουμε

1. Fx = φά cosα

Η προβολή του διανύσματος σε αυτή την περίπτωση είναι θετική

Δύναμη φά(Εικ. 16) είναι με τη θετική φορά του άξονα Χαμβλεία γωνία α.

Επειτα φά x= φά cos α, αλλά αφού α = 180 0 - φ,

φά x= φά cosα = φά cos180 0 - φ =- φά cos phi.

Προβολή δύναμης φάανά άξονα ωσε αυτή την περίπτωση είναι αρνητικό.

Δύναμη φά(Εικ. 17) κάθετα στον άξονα ω.

Προβολή της δύναμης F στον άξονα Χμηδέν

φά x= φά cos 90° = 0.

Δύναμη που βρίσκεται σε ένα αεροπλάνο πώς(Εικ. 18), μπορεί να προβληθεί σε δύο άξονες συντεταγμένων ωκαι OU.

Δύναμη φάμπορεί να αναλυθεί σε συστατικά: φά x και φά y . Διανυσματικό μέτρο φάΤο x είναι ίσο με τη διανυσματική προβολή φάανά άξονα βόδι, και το μέτρο του διανύσματος φάΤο y είναι ίσο με την προβολή του διανύσματος φάανά άξονα ω.

Από το Δ ΟΑΒ: φά x= φά cosα, φά x= φά sina.

Από το Δ SLA: φά x= φά cos phi, φά x= φάσιν φι.

Το μέτρο δύναμης μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα:

Η προβολή του διανυσματικού αθροίσματος ή του προκύπτοντος σε οποιονδήποτε άξονα είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των προβολών των όρων των διανυσμάτων στον ίδιο άξονα.

Εξετάστε τις συγκλίνουσες δυνάμεις φά 1 , φά 2 , φά 3, και φά 4, (Εικ. 19, α). Το γεωμετρικό άθροισμα, ή το αποτέλεσμα, αυτών των δυνάμεων φάκαθορίζεται από την πλευρά κλεισίματος του πολυγώνου δύναμης

Πτώση από τις κορυφές του πολυγώνου δύναμης στον άξονα Χκάθετες.

Λαμβάνοντας υπόψη τις λαμβανόμενες προβολές δυνάμεων απευθείας από την ολοκληρωμένη κατασκευή, έχουμε

φά= φά 1x+ φά 2x+ φά 3x+ φά 4x

όπου n είναι ο αριθμός των όρων των διανυσμάτων. Οι προβολές τους μπαίνουν στην παραπάνω εξίσωση με το κατάλληλο πρόσημο.

Σε ένα επίπεδο, το γεωμετρικό άθροισμα των δυνάμεων μπορεί να προβληθεί σε δύο άξονες συντεταγμένων και στο διάστημα, αντίστοιχα, σε τρεις.

Σε αυτό το άρθρο, θα ασχοληθούμε με την προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα και θα μάθουμε πώς να βρίσκουμε την αριθμητική προβολή ενός διανύσματος. Αρχικά, δίνουμε έναν ορισμό της προβολής ενός διανύσματος σε έναν άξονα, εισάγουμε σημειογραφία και δίνουμε επίσης μια γραφική απεικόνιση. Μετά από αυτό, θα εκφράσουμε τον ορισμό της αριθμητικής προβολής ενός διανύσματος σε έναν άξονα, θα εξετάσουμε τρόπους εύρεσης του και θα δείξουμε λύσεις σε πολλά παραδείγματα στα οποία απαιτείται να βρεθεί η αριθμητική προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα - ορισμός, προσδιορισμός, απεικονίσεις, παράδειγμα.

Ας ξεκινήσουμε με γενικές πληροφορίες.

Ένας άξονας είναι μια ευθεία γραμμή για την οποία υποδεικνύεται μια κατεύθυνση. Έτσι, η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα και η προβολή ενός διανύσματος σε μια κατευθυνόμενη γραμμή είναι ένα και το αυτό.

Η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα μπορεί να θεωρηθεί με δύο έννοιες: γεωμετρική και αλγεβρική. Με γεωμετρική έννοια, η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα είναι ένα διάνυσμα και με την αλγεβρική έννοια είναι ένας αριθμός. Συχνά αυτή η διάκριση δεν γίνεται ρητά, αλλά γίνεται κατανοητή από τα συμφραζόμενα. Δεν θα αγνοήσουμε αυτή τη διάκριση: θα χρησιμοποιήσουμε τον όρο "" όταν πρόκειται για την προβολή ενός διανύσματος με τη γεωμετρική έννοια, και τον όρο "" όταν πρόκειται για την προβολή ενός διανύσματος με την αλγεβρική έννοια (η επόμενη παράγραφος αυτού του άρθρου είναι αφιερωμένο στην αριθμητική προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα) .

Τώρα στραφούμε στον ορισμό της προβολής του διανύσματος στον άξονα. Για αυτό, δεν βλάπτει να επαναλάβετε.

Έστω στο επίπεδο ή στον τρισδιάστατο χώρο μας δίνεται ο άξονας L και ένα μη μηδενικό διάνυσμα . Ας ορίσουμε τις προβολές των σημείων A και B στην ευθεία L ως A 1 και B 1, αντίστοιχα, και ας κατασκευάσουμε ένα διάνυσμα . Κοιτάζοντας μπροστά, ας πούμε ότι ένα διάνυσμα είναι μια προβολή ενός διανύσματος στον άξονα L.

Ορισμός.

Προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξοναείναι ένα διάνυσμα του οποίου η αρχή και το τέλος είναι, αντίστοιχα, οι προβολές της αρχής και του τέλους του δεδομένου διανύσματος.

Η προβολή ενός διανύσματος στον άξονα L συμβολίζεται ως .

Για να δημιουργήσετε μια διανυσματική προβολή στον άξονα L, πρέπει να χαμηλώσετε τις κάθετες από τα σημεία Α και Β στην κατευθυνόμενη γραμμή L - οι βάσεις αυτών των καθέτων θα δώσουν την αρχή και το τέλος της επιθυμητής προβολής.

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα της προβολής ενός διανύσματος σε έναν άξονα.

Αφήστε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxy να εισαχθεί στο επίπεδο και να δοθεί κάποιο σημείο. Ας απεικονίσουμε το διάνυσμα ακτίνας του σημείου M 1 και ας χτίσουμε τις προβολές του στους άξονες συντεταγμένων Ox και Oy . Προφανώς είναι διανύσματα με συντεταγμένες και αντίστοιχα.

Συχνά ακούει κανείς για την προβολή ενός διανύσματος σε ένα άλλο μη μηδενικό διάνυσμα ή για την προβολή ενός διανύσματος σε μια κατεύθυνση ενός διανύσματος. Σε αυτή την περίπτωση, υπονοείται η προβολή του διανύσματος σε κάποιον άξονα, η διεύθυνση του οποίου συμπίπτει με την κατεύθυνση του διανύσματος (γενικά, υπάρχουν άπειροι άξονες των οποίων οι κατευθύνσεις συμπίπτουν με την κατεύθυνση του διανύσματος). Η προβολή ενός διανύσματος σε μια ευθεία γραμμή της οποίας η διεύθυνση καθορίζει το διάνυσμα συμβολίζεται ως .

Σημειώστε ότι αν η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και είναι οξεία, τότε τα διανύσματα και είναι συνκατευθυντικά. Αν η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και είναι αμβλεία, τότε τα διανύσματα και είναι αντίθετα κατευθυνόμενα. Εάν το διάνυσμα είναι μηδέν ή κάθετο στο διάνυσμα, τότε η προβολή του διανύσματος στην ευθεία γραμμή, η διεύθυνση της οποίας προσδιορίζει το διάνυσμα, είναι το μηδενικό διάνυσμα.

Αριθμητική προβολή διανύσματος σε άξονα - ορισμός, προσδιορισμός, παραδείγματα εύρεσης.

Το αριθμητικό χαρακτηριστικό της προβολής ενός διανύσματος σε έναν άξονα είναι η αριθμητική προβολή αυτού του διανύσματος σε έναν δεδομένο άξονα.

Ορισμός.

Αριθμητική προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξοναείναι ένας αριθμός που ισούται με το γινόμενο του μήκους ενός δεδομένου διανύσματος και του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ αυτού του διανύσματος και του διανύσματος που καθορίζει την κατεύθυνση του άξονα.

Η αριθμητική προβολή του διανύσματος στον άξονα L συμβολίζεται ως (χωρίς το βέλος στην κορυφή) και η αριθμητική προβολή του διανύσματος στον άξονα που ορίζεται από το διάνυσμα συμβολίζεται ως .

Σε αυτούς τους συμβολισμούς, ο ορισμός της αριθμητικής προβολής ενός διανύσματος σε μια ευθεία γραμμή που κατευθύνεται ως διάνυσμα θα λάβει τη μορφή , όπου είναι το μήκος του διανύσματος , είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και .

Έχουμε λοιπόν το πρώτο τύπος για τον υπολογισμό της αριθμητικής προβολής ενός διανύσματος: . Αυτός ο τύπος χρησιμοποιείται όταν το μήκος του διανύσματος και η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και είναι γνωστά. Αναμφίβολα, αυτός ο τύπος μπορεί επίσης να εφαρμοστεί όταν οι συντεταγμένες των διανυσμάτων και είναι γνωστές σε σχέση με ένα δεδομένο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, αλλά σε αυτή την περίπτωση είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε έναν άλλο τύπο, τον οποίο θα λάβουμε παρακάτω.

Παράδειγμα.

Υπολογίστε την αριθμητική προβολή ενός διανύσματος σε μια ευθεία που κατευθύνεται ως διάνυσμα εάν το μήκος του διανύσματος είναι 8 και η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και είναι ίση με .

Λύση.

Από την κατάσταση του προβλήματος που έχουμε . Απομένει μόνο να εφαρμόσετε τον τύπο που σας επιτρέπει να προσδιορίσετε την απαιτούμενη αριθμητική προβολή του διανύσματος:

Απάντηση:

Ξέρουμε ότι , όπου είναι το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων και . Μετά η φόρμουλα , επιτρέποντάς σας να βρείτε την αριθμητική προβολή ενός διανύσματος σε μια ευθεία γραμμή που κατευθύνεται ως διάνυσμα, θα πάρει τη μορφή . Δηλαδή, μπορούμε να διατυπώσουμε έναν άλλο ορισμό της αριθμητικής προβολής ενός διανύσματος σε έναν άξονα, ο οποίος είναι ισοδύναμος με τον ορισμό που δίνεται στην αρχή αυτής της ενότητας.

Ορισμός.

Αριθμητική προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα, του οποίου η κατεύθυνση συμπίπτει με την κατεύθυνση του διανύσματος , είναι ο λόγος του βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων και προς το μήκος του διανύσματος .

Είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε τον ληφθέντα τύπο της φόρμας για να βρείτε την αριθμητική προβολή ενός διανύσματος σε μια ευθεία γραμμή, η κατεύθυνση της οποίας συμπίπτει με την κατεύθυνση του διανύσματος, όταν οι συντεταγμένες των διανυσμάτων και είναι γνωστές. Αυτό θα το δείξουμε λύνοντας παραδείγματα.

Παράδειγμα.

Είναι γνωστό ότι το διάνυσμα θέτει την κατεύθυνση του άξονα L . Βρείτε την αριθμητική προβολή του διανύσματος στον άξονα L.

Λύση.

Ο τύπος σε μορφή συντεταγμένων είναι , πού και . Το χρησιμοποιούμε για να βρούμε την απαιτούμενη αριθμητική προβολή του διανύσματος στον άξονα L:

Απάντηση:

Παράδειγμα.

Σε σχέση με το ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyz στον τρισδιάστατο χώρο, δίδονται δύο διανύσματα και . Να βρείτε την αριθμητική προβολή του διανύσματος στον άξονα L, η διεύθυνση του οποίου συμπίπτει με τη φορά του διανύσματος.

Λύση.

Με διανυσματικές συντεταγμένες και μπορείτε να υπολογίσετε το βαθμωτό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων: . Το μήκος ενός διανύσματος στις συντεταγμένες του υπολογίζεται από τον ακόλουθο τύπο . Τότε ο τύπος για τον προσδιορισμό της αριθμητικής προβολής του διανύσματος στον άξονα L σε συντεταγμένες έχει τη μορφή .

Ας το εφαρμόσουμε:

Απάντηση:

Τώρα ας πάρουμε τη σχέση μεταξύ της αριθμητικής προβολής του διανύσματος στον άξονα L, η διεύθυνση του οποίου καθορίζει το διάνυσμα, και το μήκος της προβολής του διανύσματος στον άξονα L. Για να το κάνετε αυτό, σχεδιάστε τον άξονα L, αφήστε στην άκρη τα διανύσματα και από ένα σημείο που βρίσκεται στο L, ρίξτε την κάθετο από το τέλος του διανύσματος στην ευθεία L και κατασκευάστε την προβολή του διανύσματος στον άξονα L. Ανάλογα με το μέτρο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων και οι ακόλουθες πέντε επιλογές είναι δυνατές:

Στην πρώτη περίπτωση, είναι προφανές ότι, επομένως, , τότε .

Στη δεύτερη περίπτωση, σε σημειωμένο ορθογώνιο τρίγωνο, από τον ορισμό του συνημιτόνου μιας γωνίας, έχουμε , Συνεπώς, .

Στην τρίτη περίπτωση, είναι προφανές ότι , και , επομένως, και .

Στην τέταρτη περίπτωση, από τον ορισμό του συνημιτόνου μιας γωνίας προκύπτει ότι , όπου .

Στην τελευταία περίπτωση λοιπόν
.

Ο ακόλουθος ορισμός της αριθμητικής προβολής ενός διανύσματος σε έναν άξονα συνδυάζει τα αποτελέσματα που προέκυψαν.

Ορισμός.

Αριθμητική προβολή ενός διανύσματος στον άξονα L, κατευθυνόμενη ως διάνυσμα , είναι

Παράδειγμα.

Το μήκος της προβολής του διανύσματος στον άξονα L , η διεύθυνση του οποίου ορίζεται από το διάνυσμα , είναι ίσο με . Ποια είναι η αριθμητική προβολή του διανύσματος στον άξονα L αν η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και είναι ίση με ακτίνια.

Εισαγωγή…………………………………………………………………………………… 3

1. Η τιμή ενός διανύσματος και ενός κλιμακωτή………………………………………………….4

2. Ορισμός προβολής, άξονα και συντεταγμένων σημείου……………………5

3. Διάνυσμα προβολή στον άξονα………………………………………………………………………

4. Ο βασικός τύπος της διανυσματικής άλγεβρας……………………………..8

5. Υπολογισμός της ενότητας του διανύσματος από τις προβολές του……………………9

Συμπέρασμα…………………………………………………………………………………….

Λογοτεχνία……………………………………………………………………………….12

Εισαγωγή:

Η φυσική είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με τα μαθηματικά. Τα μαθηματικά δίνουν στη φυσική τα μέσα και τις τεχνικές μιας γενικής και ακριβούς έκφρασης της σχέσης μεταξύ των φυσικών μεγεθών που ανακαλύπτονται ως αποτέλεσμα πειραμάτων ή θεωρητικής έρευνας.Τελικά, η κύρια μέθοδος έρευνας στη φυσική είναι η πειραματική. Αυτό σημαίνει ότι ο επιστήμονας αποκαλύπτει τους υπολογισμούς με τη βοήθεια μετρήσεων. Δηλώνει τη σχέση μεταξύ διαφορετικών φυσικών μεγεθών. Στη συνέχεια, όλα μεταφράζονται στη γλώσσα των μαθηματικών. Σχηματίζεται ένα μαθηματικό μοντέλο. Η φυσική είναι μια επιστήμη που μελετά τους απλούστερους και ταυτόχρονα τους πιο γενικούς νόμους. Το καθήκον της φυσικής είναι να δημιουργήσει στο μυαλό μας μια τέτοια εικόνα του φυσικού κόσμου που να αντικατοπτρίζει πλήρως τις ιδιότητές του και να παρέχει τέτοιες σχέσεις μεταξύ των στοιχείων του μοντέλου που υπάρχουν μεταξύ των στοιχείων.

Έτσι, η φυσική δημιουργεί ένα μοντέλο του κόσμου γύρω μας και μελετά τις ιδιότητές του. Αλλά οποιοδήποτε μοντέλο είναι περιορισμένο. Κατά τη δημιουργία μοντέλων ενός συγκεκριμένου φαινομένου, λαμβάνονται υπόψη μόνο ιδιότητες και συνδέσεις που είναι απαραίτητες για ένα δεδομένο φάσμα φαινομένων. Αυτή είναι η τέχνη ενός επιστήμονα - από όλη την ποικιλία να επιλέξει το κύριο πράγμα.

Τα φυσικά μοντέλα είναι μαθηματικά, αλλά τα μαθηματικά δεν είναι η βάση τους. Οι ποσοτικές σχέσεις μεταξύ φυσικών μεγεθών διευκρινίζονται ως αποτέλεσμα μετρήσεων, παρατηρήσεων και πειραματικών μελετών και εκφράζονται μόνο στη γλώσσα των μαθηματικών. Ωστόσο, δεν υπάρχει άλλη γλώσσα για την κατασκευή φυσικών θεωριών.

1. Η τιμή ενός διανύσματος και ενός κλιμακωτή.

Στη φυσική και στα μαθηματικά, διάνυσμα είναι ένα μέγεθος που χαρακτηρίζεται από την αριθμητική του τιμή και την κατεύθυνση. Στη φυσική, υπάρχουν πολλά σημαντικά μεγέθη που είναι διανύσματα, όπως δύναμη, θέση, ταχύτητα, επιτάχυνση, ροπή, ορμή, ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία. Μπορούν να αντιπαραβληθούν με άλλες ποσότητες, όπως μάζα, όγκος, πίεση, θερμοκρασία και πυκνότητα, που μπορούν να περιγραφούν με έναν συνηθισμένο αριθμό, και ονομάζονται " σκαλοπάτια".

Γράφονται είτε με γράμματα κανονικής γραμματοσειράς, είτε με αριθμούς (a, b, t, G, 5, -7 ....). Οι βαθμίδες μπορεί να είναι θετικές ή αρνητικές. Ταυτόχρονα, ορισμένα αντικείμενα μελέτης μπορεί να έχουν τέτοιες ιδιότητες, για μια πλήρη περιγραφή των οποίων η γνώση μόνο ενός αριθμητικού μέτρου είναι ανεπαρκής, είναι επίσης απαραίτητο να χαρακτηριστούν αυτές οι ιδιότητες από μια κατεύθυνση στο χώρο. Τέτοιες ιδιότητες χαρακτηρίζονται από διανυσματικές ποσότητες (διανύσματα). Τα διανύσματα, σε αντίθεση με τους βαθμωτούς, σημειώνονται με έντονα γράμματα: a, b, g, F, C ....
Συχνά, ένα διάνυσμα συμβολίζεται με ένα κανονικό (μη έντονο) γράμμα, αλλά με ένα βέλος πάνω από αυτό:

Επιπλέον, ένα διάνυσμα συχνά υποδηλώνεται με ένα ζεύγος γραμμάτων (συνήθως με κεφαλαία), με το πρώτο γράμμα να δείχνει την αρχή του διανύσματος και το δεύτερο γράμμα να δείχνει το τέλος του.

Η ενότητα του διανύσματος, δηλαδή το μήκος του κατευθυνόμενου ευθύγραμμου τμήματος, συμβολίζεται με τα ίδια γράμματα με το ίδιο το διάνυσμα, αλλά με τη συνήθη (μη έντονη) γραφή και χωρίς βέλος από πάνω τους ή ακριβώς όπως το διάνυσμα (δηλαδή με έντονη γραφή ή κανονικό, αλλά με βέλος), αλλά στη συνέχεια ο προσδιορισμός του διανύσματος περικλείεται σε κάθετες παύλες.
Ένα διάνυσμα είναι ένα σύνθετο αντικείμενο που χαρακτηρίζεται από το μέγεθος και την κατεύθυνση ταυτόχρονα.

Επίσης δεν υπάρχουν θετικά και αρνητικά διανύσματα. Αλλά τα διανύσματα μπορεί να είναι ίσα μεταξύ τους. Αυτό συμβαίνει όταν, για παράδειγμα, τα a και b έχουν τις ίδιες μονάδες και κατευθύνονται προς την ίδια κατεύθυνση. Σε αυτή την περίπτωση, το ρεκόρ ένα= β. Θα πρέπει επίσης να ληφθεί υπόψη ότι το σύμβολο του διανύσματος μπορεί να προηγείται από ένα σύμβολο μείον, για παράδειγμα, -c, ωστόσο, αυτό το σύμβολο υποδηλώνει συμβολικά ότι το διάνυσμα -c έχει τον ίδιο συντελεστή με το διάνυσμα c, αλλά κατευθύνεται στο αντίθετη κατεύθυνση.

Το διάνυσμα -c ονομάζεται αντίθετο (ή αντίστροφο) του διανύσματος c.
Στη φυσική, ωστόσο, κάθε διάνυσμα είναι γεμάτο με συγκεκριμένο περιεχόμενο και κατά τη σύγκριση διανυσμάτων του ίδιου τύπου (για παράδειγμα, δυνάμεις), τα σημεία εφαρμογής τους μπορεί επίσης να έχουν σημαντική σημασία.

2.Προσδιορισμός της προβολής, του άξονα και της συντεταγμένης του σημείου.

Αξοναςείναι μια ευθεία γραμμή στην οποία δίνεται κατεύθυνση.
Ο άξονας υποδεικνύεται με οποιοδήποτε γράμμα: X, Y, Z, s, t ... Συνήθως, επιλέγεται (αυθαίρετα) ένα σημείο στον άξονα, το οποίο ονομάζεται αρχή και, κατά κανόνα, δηλώνεται με το γράμμα Ο Από αυτό το σημείο μετρώνται οι αποστάσεις από άλλα σημεία ενδιαφέροντος για εμάς.

σημειακή προβολήστον άξονα λέγεται η βάση της καθέτου που έπεσε από αυτό το σημείο στον δεδομένο άξονα. Δηλαδή, η προβολή ενός σημείου πάνω στον άξονα είναι ένα σημείο.

συντεταγμένη σημείουσε έναν δεδομένο άξονα ονομάζεται ένας αριθμός του οποίου η απόλυτη τιμή ισούται με το μήκος του τμήματος του άξονα (στην επιλεγμένη κλίμακα) που περικλείεται μεταξύ της αρχής του άξονα και της προβολής του σημείου σε αυτόν τον άξονα. Ο αριθμός αυτός λαμβάνεται με πρόσημο συν αν η προβολή του σημείου βρίσκεται στην κατεύθυνση του άξονα από την αρχή του και με αρνητικό αν βρίσκεται στην αντίθετη κατεύθυνση.

3.Προβολή ενός διανύσματος πάνω σε έναν άξονα.

Η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα είναι ένα διάνυσμα που προκύπτει πολλαπλασιάζοντας τη βαθμιδωτή προβολή ενός διανύσματος σε αυτόν τον άξονα και το μοναδιαίο διάνυσμα αυτού του άξονα. Για παράδειγμα, αν a x είναι η βαθμιδωτή προβολή του διανύσματος a στον άξονα Χ, τότε το x i είναι η διανυσματική προβολή του σε αυτόν τον άξονα.

Ας υποδηλώσουμε τη διανυσματική προβολή με τον ίδιο τρόπο όπως το ίδιο το διάνυσμα, αλλά με τον δείκτη του άξονα στον οποίο προβάλλεται το διάνυσμα. Έτσι, η διανυσματική προβολή του διανύσματος a στον άξονα Χ θα συμβολίζεται με ένα x (έντονο γράμμα που δηλώνει το διάνυσμα και τον δείκτη του ονόματος του άξονα) ή

(χωρίς έντονο γράμμα που δηλώνει διάνυσμα, αλλά με βέλος στην κορυφή (!) και δείκτη του ονόματος του άξονα).

Σκαλική προβολήδιάνυσμα ανά άξονα ονομάζεται αριθμός, η απόλυτη τιμή του οποίου ισούται με το μήκος του τμήματος του άξονα (στην επιλεγμένη κλίμακα) που περικλείεται μεταξύ των προβολών του σημείου έναρξης και του σημείου τέλους του διανύσματος. Συνήθως αντί της έκφρασης κλιμακωτή προβολήαπλά πες - προβολή. Η προβολή συμβολίζεται με το ίδιο γράμμα με το προβαλλόμενο διάνυσμα (σε κανονική, μη έντονη γραφή), με δείκτη (συνήθως) του ονόματος του άξονα στον οποίο προβάλλεται αυτό το διάνυσμα. Για παράδειγμα, εάν ένα διάνυσμα προβάλλεται στον άξονα x ένα,τότε η προβολή του συμβολίζεται με x . Όταν προβάλλεται το ίδιο διάνυσμα σε άλλο άξονα, εάν ο άξονας είναι Y , η προβολή του θα συμβολίζεται ως y .

Για τον υπολογισμό της προβολής διάνυσμασε έναν άξονα (για παράδειγμα, τον άξονα Χ) είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε τη συντεταγμένη του σημείου έναρξης από τη συντεταγμένη του τελικού σημείου του, δηλαδή

και x \u003d x k - x n.

Η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα είναι ένας αριθμός.Επιπλέον, η προβολή μπορεί να είναι θετική εάν η τιμή του x k είναι μεγαλύτερη από την τιμή του x n,

αρνητικό αν η τιμή του x k είναι μικρότερη από την τιμή του x n

και ίσο με μηδέν αν το x k είναι ίσο με x n.

Η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα μπορεί επίσης να βρεθεί γνωρίζοντας το μέτρο του διανύσματος και τη γωνία που κάνει με αυτόν τον άξονα.

Από το σχήμα φαίνεται ότι a x = a Cos α

Δηλαδή, η προβολή του διανύσματος στον άξονα είναι ίση με το γινόμενο του συντελεστή του διανύσματος και του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ της διεύθυνσης του άξονα και του διανυσματική κατεύθυνση. Εάν η γωνία είναι οξεία, τότε
Συν α > 0 και a x > 0, και αν είναι αμβλεία, τότε το συνημίτονο αμβλείας γωνίας είναι αρνητικό και η προβολή του διανύσματος στον άξονα θα είναι επίσης αρνητική.

Οι γωνίες που μετρώνται από τον άξονα αριστερόστροφα θεωρούνται θετικές και προς την κατεύθυνση αρνητικές. Ωστόσο, δεδομένου ότι το συνημίτονο είναι άρτια συνάρτηση, δηλαδή Cos α = Cos (− α), κατά τον υπολογισμό των προβολών, οι γωνίες μπορούν να μετρηθούν τόσο δεξιόστροφα όσο και αριστερόστροφα.

Για να βρεθεί η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα, το δομοστοιχείο αυτού του διανύσματος πρέπει να πολλαπλασιαστεί με το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ της διεύθυνσης του άξονα και της διεύθυνσης του διανύσματος.

4. Βασικός τύπος διανυσματικής άλγεβρας.

Προβάλλουμε ένα διάνυσμα α στους άξονες Χ και Υ ενός ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων. Βρείτε τις διανυσματικές προβολές του διανύσματος a σε αυτούς τους άξονες:

και x = a x i, και y = a y j.

Αλλά σύμφωνα με τον κανόνα πρόσθεσης διανυσμάτων

a \u003d a x + a y.

a = a x i + a y j.

Έτσι, έχουμε εκφράσει ένα διάνυσμα ως προς τις προβολές του και τις στροφές ενός ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων (ή ως προς τις διανυσματικές προβολές του).

Οι διανυσματικές προβολές a x και a y ονομάζονται συνιστώσες ή συνιστώσες του διανύσματος α. Η πράξη που πραγματοποιήσαμε ονομάζεται αποσύνθεση του διανύσματος κατά μήκος των αξόνων ενός ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων.

Αν το διάνυσμα δίνεται στο χώρο, τότε

a = a x i + a y j + a z k.

Αυτός ο τύπος ονομάζεται βασικός τύπος της διανυσματικής άλγεβρας. Φυσικά, μπορεί να γραφτεί και έτσι.