Telek ax2 bx c. Lecke „Y=ax2 függvény, grafikonja és tulajdonságai. Önálló megoldási feladatok

Az exponenciális függvény referenciaadatai megadva - alapvető tulajdonságok, grafikonok és képletek. A következő kérdéseket vizsgáljuk: definíciós tartomány, értékkészlet, monotonitás, inverz függvény, derivált, integrál, hatványsorok kiterjesztése és ábrázolása komplex számokkal.

Tartalom

Az exponenciális függvény tulajdonságai

Az y = a x exponenciális függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik a valós számok halmazán () :
(1.1) meghatározott és folyamatos, for , for all ;
(1.2) amikor a ≠ 1 sok jelentése van;
(1.3) szigorúan növekszik -nál, szigorúan csökken -nél,
állandó -nál;
(1.4) nál nél ;
nál nél ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Egyéb hasznos képletek
.
Az exponenciális függvényre való konvertálás képlete eltérő hatványalappal:

Ha b = e , akkor megkapjuk az exponenciális függvény kifejezését a kitevőben:

Magánértékek

, , , , .

y = a x az a bázis különböző értékeihez.

Az ábrán az exponenciális függvény grafikonjai láthatók
y (x) = x
négy értékre fokozati alapok:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 és egy = 1/8 . Látható, hogy egy > 1 az exponenciális függvény monoton növekszik. Minél nagyobb az a fok alapja, annál erősebb a növekedés. Nál nél 0 < a < 1 az exponenciális függvény monoton csökken. Minél kisebb az a kitevő, annál erősebb a csökkenés.

Növekvő csökkenő

Az at exponenciális függvény szigorúan monoton, tehát nincs szélsősége. Főbb tulajdonságait a táblázat tartalmazza.

	y = a x , a > 1	y = x, 0 < a < 1
Tartomány	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Értéktartomány	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monoton	monoton növekszik	monoton csökken
Nullák, y= 0	Nem	Nem
Metszéspontok az y tengellyel, x = 0	y= 1	y= 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Inverz függvény

Az a fokú bázisú exponenciális függvény reciproka az a bázis logaritmusa.

Ha akkor
.
Ha akkor
.

Az exponenciális függvény differenciálása

Egy exponenciális függvény megkülönböztetéséhez az alapját e számra kell redukálni, alkalmazni kell a derivált táblázatot és a komplex függvény differenciálására vonatkozó szabályt.

Ehhez a logaritmusok tulajdonságát kell használni
és a derivált táblázat képlete:
.

Adjunk meg egy exponenciális függvényt:
.
Hozzuk az alapra e:

Alkalmazzuk egy komplex függvény differenciálási szabályát. Ehhez bevezetünk egy változót

Akkor

A derivált táblázatból a következőt kapjuk (az x változót z-re cseréljük):
.
Mivel konstans, ezért z deriváltja x-hez képest
.
A komplex függvény differenciálási szabálya szerint:
.

Az exponenciális függvény deriváltja

.
Az n-edik rend származéka:
.
Képletek származtatása > > >

Példa exponenciális függvény differenciálására

Keresse meg egy függvény deriváltját
y= 35 x

Megoldás

Az exponenciális függvény alapját az e számmal fejezzük ki.
3 = e log 3
Akkor
.
Bevezetünk egy változót
.
Akkor

A származékok táblázatából a következőket találjuk:
.
Mert a 5ln 3 konstans, akkor z deriváltja x-hez képest:
.
Egy komplex függvény differenciálási szabálya szerint a következőket kapjuk:
.

Válasz

Integrál

Kifejezések komplex számokkal

Tekintsük a komplex számfüggvényt z:
f (z) = az
ahol z = x + iy ; én 2 = - 1 .
Az a komplex állandót az r modulussal és a φ argumentummal fejezzük ki:
a = r e i φ
Akkor


.
A φ argumentum nincs egyértelműen definiálva. Általában
φ = φ 0 + 2 pn,
ahol n egész szám. Ezért az f függvény (z) szintén kétértelmű. Gyakran tartják a fő fontosságát
.

Előadás és lecke a témában:
"A $y=ax^2+bx+c$ függvény grafikonja. Tulajdonságok"

Kiegészítő anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsék el megírni észrevételeiket, visszajelzéseiket, javaslataikat! Az összes anyagot egy vírusirtó program ellenőrzi.

Oktatási segédanyagok és szimulátorok az "Integral" online áruházban a 8. osztály számára
Kézikönyv a Dorofeeva G.V. tankönyvhöz. Útmutató a Nikolsky S.M. tankönyvhöz.

Srácok, az utolsó leckéken rengeteg grafikont építettünk, köztük sok parabolát. Ma összefoglaljuk a megszerzett ismereteket, és megtanuljuk, hogyan készítsünk grafikonokat ennek a függvénynek a legáltalánosabb formában.
Tekintsük az $a*x^2+b*x+c$ négyzetháromtagot. $a, b, c$ együtthatóknak nevezzük. Bármely szám lehet, de $a≠0$. $a*x^2$ a vezető tag, az $a$ pedig a vezető együttható. Érdemes megjegyezni, hogy a $b$ és $c$ együtthatók nullával is egyenlőek lehetnek, vagyis a trinomiális két tagból áll, a harmadik pedig nullával egyenlő.

Tekintsük a $y=a*x^2+b*x+c$ függvényt. Ezt a függvényt "négyzetesnek" nevezik, mert a legnagyobb hatvány a második, vagyis egy négyzet. Az együtthatók megegyeznek a fent meghatározottakkal.

Az utolsó példa utolsó leckében egy hasonló függvény gráfjának felépítését elemeztük.
Bizonyítsuk be, hogy minden ilyen másodfokú függvény visszavezethető a következő alakra: $y=a(x+l)^2+m$.

Egy ilyen függvény grafikonját egy további koordinátarendszer segítségével készítjük el. A nagy matematikában a számok meglehetősen ritkák. Szinte minden problémát a legáltalánosabb esetben kell bizonyítani. Ma egy ilyen bizonyítékot fogunk elemezni. Srácok, láthatjátok a matematikai apparátus minden erejét, de a bonyolultságát is.

Kiválasztjuk a teljes négyzetet a négyzetháromtagból:
$a*x^2+b*x+c=(a*x^2+b*x)+c=a(x^2+\frac(b)(a)*x)+c=$ $= a(x^2+2\frac(b)(2a)*x+\frac(b^2)(4a))-\frac(b^2)(4a)+c=a(x+\frac(b) (2a))^2+\frac(4ac-b^2)(4a)$.
Azt kaptuk, amit akartunk.
Bármely másodfokú függvény ábrázolható:
$y=a(x+l)^2+m$, ahol $l=\frac(b)(2a)$, $m=\frac(4ac-b^2)(4a)$.

$y=a(x+l)^2+m$ ábrázolásához az $y=ax^2$ függvényt kell ábrázolni. Ezenkívül a parabola teteje a $(-l;m)$ koordinátájú pontban lesz.
Tehát a $y=a*x^2+b*x+c$ függvényünk egy parabola.
A parabola tengelye a $x=-\frac(b)(2a)$ egyenes lesz, és a parabola abszcissza menti csúcsának koordinátáit, mint látjuk, a következő képlettel számítjuk ki: $x_ (c)=-\frac(b)(2a) $.
Egy parabola y tengely menti csúcsának koordinátájának kiszámításához a következőket teheti:

• használja a következő képletet: $y_(c)=\frac(4ac-b^2)(4a)$,
• közvetlenül helyettesítse be a csúcs $x$ koordinátáját az eredeti függvénybe: $y_(c)=ax_(c)^2+b*x_(c)+c$.

Hogyan kell kiszámítani egy csúcs ordinátáját? Ismét a tiéd a választás, de általában a második módszert könnyebb kiszámítani.
Ha néhány tulajdonságot szeretne leírni, vagy konkrét kérdésekre szeretne válaszolni, nem mindig kell függvényt ábrázolnia. A következő példa azokat a fő kérdéseket tárgyalja, amelyekre konstrukció nélkül is meg lehet válaszolni.

1. példa
A $y=4x^2-6x-3$ függvény ábrázolása nélkül válaszoljon a következő kérdésekre:

Megoldás.
a) A parabola tengelye a $x=-\frac(b)(2a)=-\frac(-6)(2*4)=\frac(6)(8)=\frac(3) egyenes )(4)$ .
b) Megtaláltuk az abszcissza csúcsot $x_(c)=\frac(3)(4)$ felett.
A csúcs ordinátáját az eredeti függvénybe való közvetlen behelyettesítéssel találjuk meg:
$y_(v)=4*(\frac(3)(4))^2-6*\frac(3)(4)-3=\frac(9)(4)-\frac(18)(4 )-\frac(12)(4)=-\frac(21)(4)$.
c) A kívánt függvény grafikonját a $y=4x^2$ gráf párhuzamos átvitelével kapjuk meg. Az ágai felfelé néznek, ami azt jelenti, hogy az eredeti függvény parabolájának ágai is felfelé néznek.
Általában, ha az együttható $a>0$, akkor az ágak felfelé néznek, ha az együttható $a
2. példa
Ábrázolja a függvényt: $y=2x^2+4x-6$.

Megoldás.
Keresse meg a parabola csúcsának koordinátáit:
$x_(b)=-\frac(b)(2a)=-\frac(4)(4)=-1$.
$y_(v)=2*(-1)^2+4(-1)-6=2-4-6=-8$.
Jegyezze fel a csúcs koordinátáját a koordinátatengelyen. Ezen a ponton, mintha egy új koordináta-rendszerben szerkesztünk egy $y=2x^2$ parabolát.

A parabolagráfok felépítésének egyszerűsítésére számos módszer létezik.

• Találhatunk két szimmetrikus pontot, ezeken a pontokon kiszámoljuk a függvény értékét, megjelöljük a koordinátasíkon és összekapcsoljuk a parabolát leíró görbe csúcsával.
• Felépíthetünk egy parabolaágat a tetejétől jobbra vagy balra, majd tükrözhetjük azt.
• Építhetünk pontok alapján.

3. példa
Keresse meg a függvény legnagyobb és legkisebb értékét: $y=-x^2+6x+4$ a $[-1;6]$ intervallumon.

Megoldás.
Készítsük el ennek a függvénynek a grafikonját, válasszuk ki a kívánt intervallumot, és keressük meg grafikonunk legalacsonyabb és legmagasabb pontját.
Keresse meg a parabola csúcsának koordinátáit:
$x_(b)=-\frac(b)(2a)=-\frac(6)(-2)=3$.
$y_(v)=-1*(3)^2+6*3+4=-9+18+4=13$.
A $(3;13)$ koordinátájú pontban megszerkesztünk egy $y=-x^2$ parabolát. Válassza ki a kívánt intervallumot. A legalacsonyabb pont koordinátája -3, a legmagasabb pont koordinátája 13.
$y_(név)=-3$; $y_(naib)=13$.

Önálló megoldási feladatok

1. A $y=-3x^2+12x-4$ függvény ábrázolása nélkül válaszoljon a következő kérdésekre:
a) Jelölje meg azt az egyenest, amely a parabola tengelyeként szolgál!
b) Határozza meg a csúcs koordinátáit!
c) Merre mutat a parabola (felfelé vagy lefelé)?
2. Ábrázolja a függvényt: $y=2x^2-6x+2$.
3. Ábrázolja a függvényt: $y=-x^2+8x-4$.
4. Keresse meg a függvény legnagyobb és legkisebb értékét: $y=x^2+4x-3$ a $[-5;2]$ szegmensen.

Az „Y=ax 2 függvény, grafikonja és tulajdonságai” bemutató egy vizuális segédlet, amely a tanár e témával kapcsolatos magyarázatához készült. Ez az előadás részletesen tárgyalja a másodfokú függvényt, annak tulajdonságait, az ábrázolás sajátosságait, a fizika feladatmegoldási módszereinek gyakorlati alkalmazását.

A nagyfokú láthatóságot biztosítva ez az anyag segít a tanárnak a tanítás hatékonyságának növelésében, lehetőséget ad az óra ésszerűbb időbeosztására. Az animációs effektusok, a fogalmak, fontosabb pontok színekkel történő kiemelésével a tanulók figyelme a tanult tárgyra összpontosul, a definíciók jobb memorizálása, az érvelés menete érhető el a problémák megoldása során.

Az előadás az előadás címének és a másodfokú függvény fogalmának bemutatásával kezdődik. Hangsúlyozzák ennek a témakörnek a fontosságát. A tanulókat arra kérik, hogy jegyezzék meg a másodfokú függvény definícióját, mint y=ax 2 +bx+c formájú funkcionális függést, amelyben független változó, számok, míg a≠0. A 4. dián külön megjegyezzük, hogy ennek a függvénynek a tartománya a valós értékek teljes tengelye. Hagyományosan ezt az állítást D(x)=R-vel jelöljük.

Példa a másodfokú függvényre a fizikában való fontos alkalmazása - az egyenletesen gyorsított mozgásban az út időtől való függésének képlete. Ezzel párhuzamosan a fizika órákon a diákok különféle mozgástípusok képleteit tanulják, így szükségük lesz az ilyen problémák megoldásának képességére. Az 5. dián a tanulók emlékeztetnek arra, hogy amikor a test gyorsulással mozog és az időreferencia elején ismert a megtett távolság és a mozgás sebessége, akkor az ilyen mozgást reprezentáló funkcionális függést az S=() képlettel fejezzük ki. 2)/2+v 0-nál t+S 0. A következő egy példa a képlet adott másodfokú függvénnyel való alakítására, ha a gyorsulás értéke = 8, a kezdeti sebesség = 3 és a kezdeti út = 18. Ebben az esetben a függvény S=4t 2 +3t+18 alakot ölt.

A 6. dián az y=ax 2 másodfokú függvény alakját vesszük figyelembe, amelyen a következő helyen szerepel. Ha =1, akkor a másodfokú függvény alakja y=x 2 . Megjegyezzük, hogy ennek a függvénynek a grafikonja parabola lesz.

Az előadás következő része egy másodfokú függvény grafikonjának ábrázolását szolgálja. Javasoljuk az y=3x 2 függvény gráfjának megalkotását. Először is, a táblázat jelöli a függvény értékei és az argumentum értékei közötti megfelelést. Megjegyezzük, hogy az y=3x 2 függvény szerkesztett grafikonja és az y=x 2 függvény grafikonja között az a különbség, hogy minden értéke háromszor nagyobb lesz, mint a megfelelő. A táblázatos nézetben ez a különbség jól követhető. A közelben a grafikus ábrázolásban is jól látható a különbség a parabola szűkületében.

A következő dia egy y=1/3 x 2 másodfokú függvény ábrázolását tekinti meg. A grafikon felépítéséhez a táblázatban fel kell tüntetni a függvény értékeit több pontján. Megjegyezzük, hogy az y=1/3 x 2 függvény minden értéke háromszor kisebb, mint az y=x 2 függvény megfelelő értéke. Ez a különbség a táblázaton kívül jól látható a grafikonon. Parabolája az y tengelyhez képest jobban kitágult, mint az y=x 2 függvény parabolája.

A példák segítenek megérteni azt az általános szabályt, amely szerint egyszerűbben és gyorsabban készítheti el a megfelelő gráfokat. A 9. dián egy külön szabály van kiemelve, hogy az y \u003d ax 2 másodfokú függvény grafikonja az együttható értékétől függően a grafikon nyújtásával vagy szűkítésével ábrázolható. Ha a>1, akkor a grafikont az x tengelytől időben kinyújtjuk. Ha 0

Az y=ax 2 és y=-ax2 függvények grafikonjainak az abszcissza tengelyhez viszonyított szimmetriájára vonatkozó következtetést külön kiemeljük a 12. dián memorizálás céljából, és jól láthatóan megjelenik a megfelelő grafikonon. Továbbá az y=x 2 másodfokú függvény gráfjának fogalmát kiterjesztjük az y=ax 2 függvény általánosabb esetére, azzal érvelve, hogy egy ilyen gráfot parabolának is nevezünk.

A 14. dia az y=ax 2 másodfokú függvény tulajdonságait tárgyalja pozitívra. Meg kell jegyezni, hogy a gráfja átmegy az origón, és a pont kivételével minden pont a felső félsíkban található. Megjegyezzük a grafikon szimmetriáját az y tengelyhez képest, jelezve, hogy az argumentum ellentétes értékei megfelelnek a függvény azonos értékeinek. Jelöljük, hogy ennek a függvénynek a csökkenési intervalluma (-∞;0], és a függvény növekedése az intervallumon történik. Ennek a függvénynek az értékei lefedik a valós tengely teljes pozitív részét, ez a pontban egyenlő nullával, és nem a legnagyobb értéke.

A 15. dia az y=ax 2 függvény tulajdonságait írja le, ha negatív. Meg kell jegyezni, hogy a gráfja is átmegy az origón, de minden pontja, kivéve, az alsó félsíkban található. A grafikon tengelyhez viszonyított szimmetriája feljegyzésre kerül, és az argumentum ellentétes értékei a függvény azonos értékeinek felelnek meg. A funkció az intervallumonként növekszik, tovább csökken. Ennek a függvénynek az értékei az intervallumban rejlenek, a pontban egyenlő nullával, és nem a legkisebb értéke.

Összegezve a figyelembe vett jellemzőket, a 16. dián látható, hogy a parabola ágai lefelé, illetve felfelé irányulnak. A parabola szimmetrikus a tengelyre, és a parabola csúcsa a tengellyel való metszéspontjában található. Az y=ax 2 parabolának van egy csúcsa - az origó.

Szintén a 17. dián látható egy fontos következtetés a parabola transzformációiról. Lehetőségeket mutat be egy másodfokú függvény gráfjának transzformációjára. Megjegyezzük, hogy az y=ax 2 függvény grafikonját a grafikon tengely körüli szimmetrikus megjelenítésével alakítjuk át. Lehetőség van a grafikon tengelyhez viszonyított tömörítésére vagy bővítésére is.

Az utolsó dián általánosító következtetéseket vonunk le a függvény grafikonjának transzformációiról. Következtetések bemutatásra kerülnek, hogy a függvénygráfot a tengely körüli szimmetrikus transzformációval kapjuk. A függvény grafikonját pedig az eredeti gráf tengelytől való tömörítéséből vagy nyújtásából kapjuk. Ebben az esetben a tengelyről időnkénti nyújtás figyelhető meg abban az esetben, amikor. A tengelyhez 1/a-szoros összehúzással a grafikon az esetben alakul ki.

Az "Y=ax 2 függvény, grafikonja és tulajdonságai" című előadást a tanár vizuális segédeszközként használhatja egy algebra órán. Ezenkívül ez a kézikönyv jól áttekinti a témát, mélyrehatóan megérti a témát, így a hallgatók önálló tanulmányozásra ajánlhatják fel. Ezenkívül ez az anyag segít a tanárnak magyarázatot adni a távoktatás során.

Az „Y=ax^2 függvény, grafikonja és tulajdonságai” témakör leckét a 9. osztályos algebra tanfolyamon a „Függvények” témájú órarendszerben tanulmányozzuk. Ez a lecke alapos felkészülést igényel. Mégpedig olyan edzési módszereket és eszközöket, amelyek valóban jó eredményeket adnak.

A videóóra szerzője gondoskodott arról, hogy segítse a tanárokat a témával kapcsolatos órákra való felkészülésben. Az összes követelményt szem előtt tartva kidolgozott egy oktatóvideót. Az anyagot a tanulók életkorának megfelelően választják ki. Nincs túlterhelve, de elég nagy kapacitású. A szerző részletesen elmondja az anyagot, kitérve a fontosabb pontokra. Minden elméleti ponthoz tartozik egy példa is, így sokkal hatékonyabb és jobb az oktatási anyagok érzékelése.

A leckét a tanár a 9. osztályban szokásos algebra órán használhatja fel az óra meghatározott szakaszaként - új tananyag magyarázataként. Ebben az időszakban a tanárnak nem kell semmit sem mondania. Elég, ha bekapcsolja ezt a videóleckét, és ügyel arra, hogy a tanulók figyelmesen figyeljenek és leírják a fontos pontokat.

Az órát az iskolások az órára való önálló felkészüléshez, valamint önképzéshez is felhasználhatják.

Az óra hossza 8:17 perc. A lecke elején a szerző észreveszi, hogy az egyik fontos függvény a másodfokú függvény. Ezután egy másodfokú függvényt vezetünk be matematikai szempontból. Definícióját magyarázatokkal együtt adjuk meg.

Továbbá a szerző bevezeti a hallgatókat a másodfokú függvény definíciójának területébe. A megfelelő matematikai jelölés megjelenik a képernyőn. Ezt követően a szerző egy példát vesz a másodfokú függvényre valós helyzetben: egy fizikai problémát vesz alapul, amely megmutatja, hogy egyenletesen gyorsított mozgás során hogyan függ az út az időtől.

Ezt követően a szerző az y=3x^2 függvényt veszi figyelembe. Ennek a függvénynek és az y=x^2 függvény értéktáblázatának felépítése megjelenik a képernyőn. A táblázatok adatai alapján függvénygrafikonok készülnek. Itt egy magyarázat jelenik meg a dobozban, hogyan kapjuk meg az y=3x^2 függvény grafikonját y=x^2-ből.

Két speciális esetet, az y=ax^2 függvény példáját figyelembe véve a szerző arra a szabályra jut, hogy ennek a függvénynek a gráfját hogyan kapjuk meg az y=x^2 gráfból.

Ezután tekintsük az y=ax^2 függvényt, ahol a<0. И, подобно тому, как строились графики функций до этого, автор предлагает построить график функции y=-1/3 x^2. При этом он строит таблицу значений, строит графики функций y=-1/3 x^2 и, замечая при этом закономерность расположения графиков между собой.

Ezután a következmények a tulajdonságokból származnak. Négy van belőlük. Közülük egy új fogalom jelenik meg - a parabola csúcsai. Következik egy megjegyzés, amely elmondja, hogy milyen transzformációk lehetségesek ennek a függvénynek a grafikonján. Ezek után elmondjuk, hogy az y=-f(x) függvény grafikonját hogyan kapjuk az y=f(x) függvény grafikonjából, valamint az y=af(x) függvényt az y=f(x) függvényből. .

Ezzel az oktatási anyagot tartalmazó óra zárul. Marad a megszilárdítása a tanulók képességeihez mérten megfelelő feladatok kiválasztásával.